Решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики при наличии электромагнитного поля
Автор: Кривоносов Л.Н., Лукьянов В.А.
Журнал: Пространство, время и фундаментальные взаимодействия @stfi
Статья в выпуске: 3 (4), 2013 года.
Бесплатный доступ
Ранее нами было найдено полное решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики в пространстве конформной связности без кручения в случае равенства нулю тензора электромагнитного поля. В данной работе эта задача решена в более общей ситуации: при наличии электромагнитного поля.
Кривизна связности, уравнения эйнштейна, уравнения максвелла, уравнения янга- миллса, центрально-симметрическая метрика, 4-мерное многообразие конформной связности, эллиптическая функция вейерштрасса, решение райсснера-нордстрема
Короткий адрес: https://sciup.org/14266101
IDR: 14266101
Текст научной статьи Решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики при наличии электромагнитного поля
В [1] мы нашли полное решение уравнений Яига-Миллса для метрики вида
Ц = —e2v dt 2 + e2 X dr2 + e2 ^ (d92 + ст2 (9) dy2), (0.1)
где А, д, v - функции только от r и t, а функция ст (9), удовлетворяет уравнению d2σ
-— = —кст, к = const. (0.2)
dθ 2
Это условие означает, что бинарная квадратичная форма d92 + ст2 (9) dy2 имеет постоянную гауссову кривизну, равную к. Поскольку метрика многообразия конформной связности определена лишь с точностью до множителя, можно упростить квадратичную форму (0.1), поделив ее па один из коэффициентов e2v, e2X и ли e2^. Удобнее всего избавиться от е2ф т.к. в итоге получается прямая сумма двух бинарных квадратичных форм
Ц = (—e2vdt2 + e2Xdr2) + (d92 + ст2 (9) dy2), (0.3)
последняя из которых имеет постоянную гауссову кривизну к.
Как известно [2, с. 183], бинарную квадратичную форму всегда можно привести путем замены локальных координат к виду —dt2 + e2 X dr2, а также к виду —e2vdt2 + dr2. Поэтому метрика (0.1) всегда приводима, как к первому каноническому виду
Ц = —dt2 + e2Xdr2 + d92 + ст2 (9) dy2, (0.4)
так и ко второму
Ц = —e2vdt2 + dr2 + d92 + ст2 (9) dy2. (0.5)
Оказывается, что и при наличии электромагнитного поля, зависящего в пеголопомпом базисе только от двух переменных r и t, для обоих канонических видов при d^ = const уравнения Яига-Миллса решаются в конечном виде с помощью эллиптической функции Вейерштрасса у.
Замечание. А.П. Трунев в работах [3-7] использовал паше решение уравнений Яига-Миллса для центрально-симметрической метрики для моделирования геометрии пространства-времени внутри адронов. При этом он был вынужден придумывать механизм возникновения электромагнитного поля в исходной решетке, которая не содержит электромагнитного поля. Настоящая работа показывает, что в подобном механизме пет необходимости, т.к. уравнения Яига-Миллса для центральносимметрической метрики допускают решения того же вида, который использовал А.П. Трунев, и при наличии электромагнитного поля. По нашему мнению, указанное моделирование оправдано в масштабе адронов, т.к. в этом случае слабое взаимодействие еще не является главенствующим, и им можно пренебречь. Но вряд ли оно оправдано в масштабах кварка, лептона или преопа, т.к. в этих масштабах слабым взаимодействием пренебречь уже нельзя, а многообразие конформной связности без кручения не приспособлено для моделирования слабого взаимодействия (см. введение к [8]).
1. Вывод уравнений Янга-Миллса
Можно было бы воспользоваться готовыми уравнениями Янга-Миллса, выведенными в [8, формула 65]. Однако они записаны в ковариантных производных второго порядка в пеголопомпом базисе, а решать их можно только в голономном базисе, записав в обычных координатных производных. Переход к координатным производным связан с трудоемкой вычислительной работой. Поэтому мы выведем уравнения Янга-Миллса, воспользовавшись алгоритмом, описанным в [1]. Отправляясь от метрики (0.3), введем пфаффовы формы ш1 = evdt, ш2 = exdr, ш3 = d9, ш4 = ст (9) d^.
(1.1)
Тогда метрика (0.3) запишется в стандартном виде ф = n ij w i w j , где
(Л и ) = (nij) =
( —I
0 0 \ 0
0 0 0 \
1 0 0
0 1 0
0 0 1/ есть тензор Минковского. Далее мы воспользуемся обозначениями и формулами из [1], в частности, точкой над буквой обозначена производная по t, а штрихом - производная по r dw1 = —e xv'ш1 Л ш2, dw2 = e vАш1 Л ш2, dw3 = 0, dw4 = d^-ш3 Л ш4.
(1.2)
(1.3)
, , , dθ σ
Пфаффовы формы Кристоффеля для квадратичной формы (0.3)
ш2 = e -x v ' ш 1 + e-v Аш2, ш4 = ш4, ш3 = ш4 = ш3 = ш4 = 0.
1 3 dθ σ 1 1 22
Внешние 2-формы римановой кривизны квадратичной формы (0.3)
2 12 4 34 3 4 34
R1 — Аш Л ш , R3 — —Кш Л ш , R1 — R1 — R2 — R2 — 0, где для краткости обозначено
A d—f e^2 x (A'v' — V ' — v'2) + e-2v ( а — Аv + А2) .
Ненулевые компоненты тензора Риччи R ij = Rkjk и скалярная кривизна R = n ij R ij равны
Ки = A, R22 = —A, R33 = R44 = — к , R = —2А — 2 к. (1.4)
Для компонент bjm пфаффовых форм шг = bijwj можно вычислить симметрическую часть bjm) = bjm + bmj 113 урависшнi Эйнштейна. bjm) = Rjm — 6Rnjm [8- C- 439]. Имеем bn = 3 A — 6 к, b22 = — 3; A + 6 к, Ьзз = b44 = 6 A — 3 к,
(1.5)
b(jm) = 0 nr)ii j = m, то есть недиагональные элементы кососимметричны. Уравнения Максвелла имеют вид dФ0 = 0, d * Ф0 = 0 (1.6)
[8, с. 440], где
Ф0 = 2 b[ ij ]w j Л шг = 2 (bij- — b ji ) w j Л шг = b ij w j Л шг =
= —2 (b12w1 Л ш2 + b13w1 Л ш3 + b14w1 Л ш4 + b23w2 Л ш3 + b24w2 Л ш4 + b34w3 Л ш4) , а. * -
оператор Ходжа
*Ф0 = 2 (— Ь 12 ш 3 Л ш 4 + Ь 13 ш 2 Л ш 4 — Ь 14 ш 2 Л ш 3 + Ь 23 ш 1 Л ш 4 — Ь 24 ш 1 Л ш 3 + Ь 34 ш1 Л ш 2 )
[1,
с.
352]. Ф0 - это одна из компонент
матрицы конформной кривизны
[8,
с.
ОТ
Ф =
Ф00 |
Ф1 |
Ф2 |
Фз |
Ф4 |
0 |
Ф1 |
0 |
ф1 |
ф 1 |
ф 4 |
Ф1 |
Ф2 |
Ф21 |
0 |
— ф 2 |
— ф 4 |
— Ф2 |
Ф3 |
Ф1 |
ф 2 |
0 |
— ф 4 |
—Фз |
Ф4 |
Ф41 |
Ф42 |
ф 4 |
0 |
— Ф4 |
0 |
Ф1 |
—Ф2 |
— ф3 |
— ф4 |
— Ф0 |
/
435]. Уравнения (1.6) в компонентах принимают соответственно вид
e A (Ь1з + b13VI) = e v (b2з + b23^) , .
b34e—v — b14 df 1 =0,
e —A (b24 + b24v') = e-v
.
b12e-v
' ^b14 + Ь14л) ,
+ b2 3d^ 1 = 0, 23 dθ σ ,
e A (b'14 + bMvI)
I A da 1 b 34 e - b 24 dθ σ
e A (Ь2з + b23VI) b12e—A+b13 dta
= e—v (b24 + b24X^ , = 0.
= e-v (bx з + Ь1з А) , = 0.
(1.8)
(1.9)
Функция ст зависит только от 9, а остальные величины, входящие в эти уравнения, наоборот, 9 не зависят, поэтому из последних двух уравнений (1.8) из последних двух уравнений (1.9)
следует, что либо
dCT 1
— — = C = const, dθ σ
(1.10)
либо
b13 = b14 = b23 = b24 = 0, b12 = const, b34 = const.
(1.П)
Сначала, мы получим уравнения Яига-Миллса для общего случая, не пользуясь уравнениями (1.10) или (1.11), а. затем рассмотрим каждый из этих вариантов отдельно.
Так как ш i = b j ш j , из формул (1.5) получаем
ω1
(3 а —
1 ' κ
'^ ш1 + Ь^ш2 + Ь1зш 3 + bi4W4,
ω2
-
b 12 ω 1
+
— — 3A + 6к) Ш2 + Ь23Ш3 + Ь24Ш4
ω3
-
b 13 ω 1
Ь2зш2 + ^ A —
3 к
^ ш3 + Ьз4Ш 4 ,
ω4
-
b 14 ω 1
b 24 ω 2
Ьз4Ш3 + ^6 A —
— и
:^ ш 4 .
Находим внешние формы конформной кривизны фj = Rj + шi Л Ш j + n im n jn ш т Л ш п и Фi dш i — шк Л шк и сразу вычисляем преобразования Ходжа [1, с. 352]
* ф 4
* ф 4
* ф 2
* ф 4
* ф 1
*ф2
3 (A + к) ш 1 Л ш 2 + Ь1зш 2 Л ш 3 + Ь14Ш 2 Л ш 4 + Ь2зш1 Л ш 3 + Ь24Ш1 Л ш 4 ,
6 (A + к) ш 1 Л ш 3 + Ь 12 ш 2 Л ш 3 — Ь14Ш3 Л ш 4 + Ь2зш1 Л ш 2
1 (A + к) ш 1 Л ш 4
1 ( а + к) ш 2 Л ш 3
b 12 ω 2 ∧ ω 4 b 12 ω 1 ∧ ω 3
- b13ω3 ∧ ω4 - b24ω1 ∧ ω
b34ω1 ∧ ω4,
b34ω1 ∧ ω3,
6 (A + к) ш 2 Л ш 4 + Ь12ш1 Л ш 4
33 (A + к) ш 3 Л ш 4 — Ь13ш1 Л ш 4
— Ь24Ш3 Л ш 4 + Ь1зш1 Л ш 2 + Ьз4Ш2 Л ш 4 , Ь2зш3 Л ш 4 — Ь14Ш1 Л ш 2 + Ьз4Ш2 Л ш 3 ,
— Ь 23 ш 2 Л ш 4 + Ь14Ш1 Л ш 3 + Ь 24 ш 2 Л ш 3;
*Ф1
(b1 2e— v — 3 e— X 4^ ш 3 Л ш 4 —
(b1 3 e v — b23e X v ') ш 2 Л ш 4 +
(b14e v — b24e Xv ) ш2 Л ш 3+
+ (bi4e X — b24e VA) ш1 Л ш3 —
( Ь ' 1зе - Х
— b23e vA) ш1 Л ш4 — b14ш1 Л ш2, dθ σ
*Ф2 = ^'12e—X
3 e-V "4)
ω3 ∧ ω4
(b23e v — b13e Xv^ ш2 Л ш 4 + (b24e v — b14e X v ') ш2 Л ш3+
+ (b24e X — bi4e v a ) ш4 Л ш3 —
( b23e—X
— b13e vA) ш1 Л ш4 — b24ш1 Л ш2, dθ σ
*Ф3 = — 6e v4ш2 Л ш4 — 6e X A ' ш 1 Л ш4, * Ф4 = 6e v4ш2 Л ш3 + 6e X A ' ш 1 Л ш 3 .
Находим внешние 3-формы d * Фi, при возможности упрощая их с помощью (1.8) и (1.9)
d * Ф1
e 2v (b14 — b14v + b^A) + e 2X (b14A' — b14 — b^v') + +e X v ( b24^ — b24V' + b24A — b24V )
ш1 Л ш2 Л ш3 +
e 2v (bisV — b13 — b13A) + e 2X (b'^' + b'^ — Ь1э A') +
+ / . . . ' ш1 Л ш2 Л ш4 +
+e-X-v ^23V + b23v' — Ь2эA — b23A
+ ( Ie-X-v (A'A — 4 ) + e-2v (b12 — b12V) + З71 (b'13e -X — b23Ae-v)) ш1 Л ш3 Л ш4 + у 3 du 7
+ fc'e -X- v + d71 b13e—v + 1 e—2X (A'A' — 4'')) ш2 Л ш3 Л ш4, du 7 3
d * Ф2
e 2v (b24 — b24V + b24A^ + e 2X (b24 A' — b24 — b24v') + +e X v (b^A — b14V' + b) 4A — b14V ) + b24 ( к + ( d— ) )
ш 1 Л ш2 Л ш3 +
d * Ф3
d * Ф4
/ e 2v (b23Z . — b23 — b23A) + e 2X (b23V' + b23 — b23A') + \
+ . . . ' ш1 Л ш2 Л ш4 +
+e-X-v (^b13Z > + b13v' — b'13A — b13A j +
+ fb12 e-X-v + 37-3b23e-X + e e -2v (.4z> — A)) ш1 Л ш3 Л ш4 +
У du 7 3 V
+ (1 e-X-v (.4v' — .4 ) + e-2X (b"2 — b'2A') + З71 (b23e-v — b13V'e-X)) ш2 Л ш3 Л ш4, у 3 du 7
6 (e-2X (4'' — 4'A' + 4'v') + e-2v (.4z> — 4 — .4.X)) ш1 Л ш2 Л ш4 +
+ -г-З7 (A'e-Xш1 + .4e-vш2) Л ш3 Л ш4,
67 du
6 (e-2X (A,A, — 4'' — 4'v') + e-2v (4 — .4z> + .4.A)) ш1 Л ш2 Л ш3.
При i = 1 имеем первое уравнение Яига-Миллса [1, с. 352]
d * Ф1 + шi Л *Ф1 — *Фi Л ш ( — *Ф0 Л ш1 = 0.
С помощью полученных выше выражений запишем его в компонентах и придем к
e
— 2v
(b14 — b14 V + b14 A +e—2X (b'14A'
e
—2 v
b13ν. - b13
+e—2X (br
,''
'' b14
. . . 2
b13A + b13A
b14λ. 2
b14v' + b14V '2) + 4b14
b'13A' + b'13v'
+e
,—X — v
+e
— X — v
13e
X - v
(4v' + A,,X — .4')
b13v '2)
+ дд 1 (e—Xb dθ σ
,'
(2b24A — 2b24v' — b24Z/ + b24A )
+
4b12b24 — 4b13b34 = 0,
(2b23v' — 2b23A + b23z^ — b23A )
+
,'
e—2Xb'12v'
e
ν
4b13 + 4b12b23
4b14b34 — 0,
.
e 2vb12V + 4b13b23 + 4b14b24+
b23 + b23A + b23v.
= 0,
3e—2X (4'A' — 4'') + 6 (к2 — 42) + 3e—2 v 4A+
+ 2 ((b12)2 + (b13)2 + (b14)2 + (b23)2 + (b24)2 + (b34)2) = 0-
(1.12)
При i = 2 получаем еще четыре уравнения
e
2 ν
b . 2 . 4
.
.
.
b24v + b24X
b24λ. 2
+ e
A — v
+e—2A ^A'
'' b24
,'
b24v'
e
—2 v
b2. 3ν.
+e—2A (b
.
.
b23
.
,''
13e
A — v
+ b24v '2) + (A + K + ( d^f
22b 'i4 A — 2bi4V
b24
.
b23A +
b23^ ^
+e
— A — v
b23A' + b23v'
, '
bi4v' + bMA )
4bi2bi4
+
4 b 23 b 34 = 0,
(2bi3v' — 2Ь1зА + bi3v
'
bi3A')
+
(A v' + A'A — A') + df f (e-Vb23
b23V '2)
Ab23 + 4bi2bi3
+ 4bi3b23 + 4bi4b24
e
— A
4b24b34 = 0,
e — 2Ab'i2A'
.
.
..
e—2 v bi2A+
(1.13)
i p — 2v 3e
(Av — A) + 6 (A
(b'i3 + bi3A' + bi3v'))
= 0,
+ 2 ((bi3)2 + (bi4)2 + (b23)2 + (b24)
K2) + 3 e — 2AA'v'+
(bi2)
(b34)2
= 0.
При i = 3 будем иметь
b23b24 — bi3bi4 = 0, b23K — 4b24b34 + 4bi2bi3 = 0, bi3K — 4bi4b34 + 4bi2b23 = 0, 6e—2A (A'' — A'A' + A'v') + 6e—2v ( a v — A — AA) + 6 (A2 — k 2 ) +
+ 2 ((bi3)2 — (bi4)2 — (Ь2з)2 + (b24)2 — (bi2)2 — (Ьз4)2^ = 0.
При i = 4 возникают только три новых уравнения
6 e—2А (A'' — A'A' + A'v') + 6 e—2v (Av — A — A a ) + 6 (A2 — k 2 ) + +2 (— (bia)2 + (bi4)2 + (Ь2з)2 — (b24)2 — (bi2)2 — (Ьзл)2^ = 0, b24K + 4bi2bi4 + 4 Ь 2з Ь з4 = 0, bi4K + 4bi2b24 + 4bi3b34 = 0.
(1.14)
(1.15)
Итак, все уравнения Янга-Миллса свелись к (1.8), (1.9) и (1.12)-(1.15), где величина A вычис
ляется по формуле (1.3).
2. Отыскание решений системы уравнений (1.8), (1.9) и (1.12)-(1.15)
Первый случай, dA = const
Подставим (1.11) в уравнения (1.12)-(1.15) и получим всего три независимых уравнения
A v' + A'A — A' = 0, e—2A (A'A' — A'') — 2A2 + e—2vAA + 2K2 = 0, (2.1)
e—2v (Av — A^ + 22A2 + e—2AA'v' — 2K2 = 0,
где K d=f K 2 + 12 (bi2)2 + 12 (b34)2 = const.
Переход к первому каноническому виду (0.4) означает, что нужно положить v = 0. Система (2.1) в этом случае превратится в
. ' . ..
A — AA' = 0, A + 2 (K2 — A2) = 0,
..
e—2A (A'' — A'A') — AA + 2 (K2 — A2) = 0,
.. . 2
A = A + A .
(2.2)
Мы получили точно такую же систему, что и в [1, формулы 19-22] с той лишь разницей, что в роли
к здесь выступает постоянная K. Поэтому в случае A' = 0 получим общее решение [1, формула
eA = 12^з ^t + r + в, KK2, а^ ,
а, в = const,
(2.3)
где р (t + r) - эллиптическая функция Вейерштрасса.
В случае A' = 0, ио A = 0 решением будет [1, формула 28]
e
λ
= 12р б + в.^а).
(2.4)
.
..
..
При A = A = 0 решением (2.2) является A = ±K = А + А . Если А + А = K > 0, то.
..
полагая e x = H, получаем линейное уравнение с постоянными коэффициентами H — KH = 0. Его очевидные решения приводят к метрике
ф = —dt2 + cosh2 Цк2 + 12 (b12)2 + 12 (b34)2 1 + в^ dr2 + d92 + a2 (9) dp2,
(2.5)
..
где b12, b34, в " произвольные постоянные. Если А + А = —K < 0, то
ф = —dt2 + cos2 Ц к2 + 12 (b12)2 + 12 (b34)21 + в^ dr2 + d92 + a2 (9) dp2.
(2.6)
Если метрика (0.4) приводится ко 2-му каноническому виду (1.3), то есть при А = 0, то решений (2.3), (2.4), (2.5) и (2.6) имеют соответственно вид
аналоги
e ν
— 12р' ^t + r + в, 12", а^ ,
e ν
— 12р' (r + в, K >«) ,
(2.7)
ψ
ψ
cos2 ( Цк2 + 12 (b12)2 + 12 (b34)2 r + в) dt 2 + dr2 + d92 + a2 (9) dp2, cosh2 Цк2 + 12 (b12)2 + 12 (b34)2 r + в^ dt2 + dr2 + d92 + a2 (9) dp2.
В отличие
от
[1], среди всех полученных решений при K = |к| не может быть коиформио-
плоских метрик и метрик, конформных метрикам Эйнштейна, так как в [8] доказано, что такие метрики электромагнитного поля не допускают.
Замечание. Условие (1.11) не означает, что электромагнитное поле постоянно. Из (1.7) и (1.1) следует, что
Ф0 = —2b12w1 A w2 — 2b34w3 A w4 = — 2b12eA+vdt A dr — 2b34a (9) d9 A dp.
Поэтому компоненты тензора Максвелла в голономном базисе зависят не только от t и r, ио и от 9.
Второй случай, ^■1 = С = const
В этом случае последние два уравнения (1.11) и последние два уравнения (1.12) примут вид
b12 = —Cb13eA, b12 = —Cb23ev, b34 = Cb24e\ Ьз4 = Cb14ev.
(2.8)
Остальные уравнения (1.11) и (1.12) являются дифференциальными следствиями (2.8). Интегрируя уравнение d-A = C, получим a = CC1ece. Условие (0.2) превратится в к = —С2. Поэтому 2-е и 3-е равенство (1.14) и последние два равенства (1.15) принимают вид
4b12b13 — C2b23 — 4 Ь з4 Ь 24 = 0, —C 2b13 — 4Ьз4Ьы + 4b12b23 = 0,
4b12b14 + 4b34b23 — C 2b24 = 0, 4b34b13 — C2b14 + 4b12b24 = 0.
(2.9)
Эти равенства можно рассматривать как линейную однородную систему уравнений с неизвестными b13, b14, b23, b24. Ее определитель есть
А = — (С4 — 8b12C2 + 16 (b12)2 + 16 Ф34)2) (C4 + 8b12C2 + 16 (b12)2 + 16 (Ьзл)2) .
Если А = 0, получим b13 = b14 = b23 = b24 = 0. Тогда, из (2.8) следует, что b12 = const ii Ьз4 = const, выполняются равенства (1.11), и мы попадаем в первый случай.
При А = 0 будет b12 = ±C- и Ьз4 = 0. Подставим эти выражения в (2.8). Если мы не хотим снова попасть в первый случай, когда выполняются (1.11), следует считать С = 0, отсюда к = 0, a = const и b12 = 0. Таким образом, решения, отличные от полученных в первом случае, можно получить лишь когда b12 = Ьз4 = к = 0, a = const. (2,10)
При условиях (2.10) система (1.8)-(1.9) сводится к
..
b23 + Ь 2з А
..
Ь14 + Ь14А
..
b24 + Ь24А
..
Ь13 + Ь1зА
Из уравнений (1,12)-( 1.15) останутся лишь e A v (A.' + AX — A ^ +12 (Ь1зЬ23 + b14b24) = 0, b23b24 — Ь1зЬ14 = 0, e 2A (A'X' — A") — 2A2 + e 2vAX + 6 ((b13) + (b14) + (b23) + (b24) ) = 0, e 2v (AZ/ — A) + 2A2 + e 2AA'v' + 6 ((b13) + (b14) + (b23) + (b24) ) = 0, (2-12)
e -2A (A" — AX' + AV) + e -2v (A v — A — A A) + A2+
+ 12 ((Ь1з)2 — (b14)2 — (Ь2з)2 + (b24)2^ = 0.
Остальные уравнения (1.12)-(1.15) являются дифференциальными следствиями (2.11) или алгебраическими следствиями друг друга.
Вычтем из 3-го уравнения (2.12) 4-е и прибавим последнее. Получим
(ь13)2 — (ь14)2 — (b23)2 + (b24)2 = 0.
Это равенство совместно со вторым уравнением (2.12) имеет только следующее решение b23 = ebi3, b24 = ebi4, e = ±1. (2.13)
В итоге система уравнений (2.11)-(2.12) примет вид e-А (Ь1з + Ь13/') = ee-v (b13 + b^X) , e-A (b14 + bMv') = ee-v (bi4 + bMX e-A- v (Av' + A'A — A ) + eL = 0,
(2-14)
e-2A (A'X' — A'') — 2A2 + e-2vAX + L = 0, e-2v (Av — A) + 2A2 + e-2AA'v' + L = 0, def 22
где A вычисляется по формуле (1.3), a L = 12 I (Ь1з) + (Ьы) 1. Умножим первое из этих равенств на 24Ь1з, второе - на 24b14 и сложим. Получим e-A (L' + 2Lv') = ee-v LL + 2LX) .
(2.15)
Для составления условий интегрируемости системы (2.14) запишем ее последние три уравнения в виде • ' ••
A = eA+v eL + Av' + A'X,
A'' = e2A (L — 2 A2) + A'X' + e2A-2vAX, (2-16)
...
A = e2v (L + 2A2) + e2v-2AA'v' + Av.
Вычитая смешанные производные (A ) и A из первого и третьего равенств (2.16) с учетом (2.15) • ''
и (2.16), получаем тождество. Вычитая смешанные производные A и (A'') из первых двух равенств (2.16), снова приходим к тождеству. Это означает, что система. (2.14) вполне интегрируема. Поэтому опа. поддается численному решению. Однако решить ее в конечном виде через какие-либо общеизвестные функции не удается.
Вывод. Уравнения Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики при наличии электромагнитного поля решаются полностью в конечном виде при дуд = const. При d^A = const они доступны для численного решения. Впрочем, последний случай остается за. рамками общепринятого понятия центрально-симметрической метрики.
3. Некоторые решения первого случая в элементарных функциях
Функция Вейерштрасса в (2.3) - это функция р (t + r), являющаяся решением дифференци ального уравнения
Р =
K2
N 4Р3 — "12 Р — а.
В общем случае она не выражается через элементарные функции, но если многочлен третьей степени
K 2 4р3 - 12 р - а
(3.2)
имеет кратный корень, то это дифференциальное уравнение интегрируется. Поэтому можно привести частные решения в элементарных функциях. Корень этого многочлена будет кратным, если он является еще и корнем производной по р. Решая у равнение 12р2 — KA = 0, найдем р = ± K .
Потребуем сначала, чтобы р = K являлось корнем много члена (3.2), и получим а = случае
Kr.В этом
4р3 -
K 2
12 Р
- а = (р+0) (2р
K)'
Теперь решим дифференциальное уравнение (3.1)
d℘
(2₽ - K )/
, = dt.
р + KK
Интегрирование дает р =
KK
-
- т + т(
-
1 + eV K ( t + r + e )
1 — eV K ( t + r + e )
)
,
в = const.
Поэтому (2.3) превращается
в
e x = 12р =
12K VKe V K (t+r+e) (1 + e - K t ' r ' )
(1 - eV K ( t + r + e )^
.
Если же считать, что корнем многочлена (3.2) является р = - K , то аналогичные вычисления
приводят к
K
р=-6+
— tan2 4
+ r + в)^ ,
ex = 12р =
3KVK sin ( — K (t + r + cos3 ( — K (t + r + в)
0 < t+r+в < — = . Таким же образом можно получить частные решения в элементарных функциях для первой формулы (2.7).
Для решения (2.4) можно получить представление, выражающееся через элементарные функции. Для отыскания этого представления не будем прибегать к каноническому виду (0.4), а просто добавим условие A = 0 к уравнениям (2.1). Они станут такими:
. .. . ..
Av' = 0, - 2 A2 + e-2v AA + 2 K 2 = 0, e-2v (Ai/ - AJ + 2 A2 - i K 2 = 0, (3.3)
Снова получилась такая же система, как в [1, с. 358], только в роли к выступает K = к2 + 12 (b12)2 + 12 (634)2. Поэтому и решения будут аналогичны решениям в [1]. В частности, при A = 0, v' = 0 получим e2A = 3(t + в)3 - K2 (t + в)+ а, e2v = e-2A.
(3.4)
.
При A = 0 система (3.3) сводится kA2 = K2. Учитывая (1.3), получим, что e-2A (A'v'
v'' -
v'2) + e-2v ^А - A v + А2) = ±K.
(3.5)
В каноническом представлении (0.4) уравнение (3.5) имеет решение (2.5) или (2.6).
Если же вместо условий A = v' = 0 потребовать A = А = 0, то получим решение, аналогичное тому, что было приведено в [1, формула 37]
e2v = -3 (r + в)3 + K2 (r + в) + а = e 2А, а, в - константы. Это решение есть другое представление 2-го решения (2.7). Метрику, соответствующую решению (3.6)
ф = - | ( r + в ) + к 2 (г + в) + а dt2 +----------——--+ dS2 + ст2 (S) d^2,
\ -3 ) -31 (г + в)3 + K2 (г + в) + а разделим на г2 и сделаем замену r ^ 1. Получим метрику в — зГ ) dt2+ ст2 (S) d^2) .
ф = — ((к2в + а - 43-) r2 + (K2 — в2) r —
+ 7-------\ dr------------;—+ r2 (dS2 +
( К 2 в + а-L /г2+(К2-в2)г-в--r V
(3.6)
(3.7)
Для сравнения Эйнштейна
выпишем известное электромагнитное решение Райссиера-Нордстрема уравнений
ds2 = - fl - rs + r r2
dt2 +--
1 -
dr2
2 rs + rQ r r2
+ r2 (dS2 + sin2 Sd^2) ,
(3.8)
(rs и rQ - константы) для центрально-симметрической метрики. Так как (3.7) есть решение уравнений Яига-Миллса, в которые электромагнитное поле входит совсем не так, как постулировали связь гравитации с электромагнетизмом Райссиер и Нордстрем, подставив в правую часть уравнений Эйнштейна тензор энергии-импульса электромагнитного поля, то нельзя рассчитывать па что-либо общее в метриках (3.7) и (3.8). Однако есть любопытная аналогия. Можно проверить, что метрика (3.8) удовлетворяет уравнениям Яига-Миллса (2.1) только при rQ = 0, и в этом случае опа является эйнштейновой метрикой Шварцшильда ds2
- (1 - 4s) dt2 +
dr2
1 - rs r
+ r2 (dS2 + sin2 Sd^2) .
С другой стороны, метрика (3.7) при в = -K, а = 3K3 принимает похожий вид ф = -
(к Я
dt2 + + r2 (dS2 + ст2 (S) d^2) .
K - 37 ' 7
(3.9)
Но метрика (3.9) при K = |к| не является эйнштейновой, и она, в отличие от эйнштейновой метрики, допускает электромагнитное поле. Формула (3.9) дает самое простое решение уравнений Яига-Миллса для центрально-симметрической метрики с ненулевым электромагнитным полем.