Решение задачи о растяжении упругой прямоугольной пластины методом быстрых разложений

В работе [1] получено решение для пластины конечных размеров методом малого параметра для упругопластической деформации, в исследовании [2] – методом граничных состояний. В [3] рассмотрено решение методом малых возмущений.

Рассмотрим прямоугольную пластину конечных размеров a х b (рисунок).

( Л + 2 ц ^и + Л ^{U v} ’ e x уу

O x 0 ,

Г д и д и I I ~⁺~ I (д у 8х )

= Ь ⁰ . (3) _:=0, а      ^ц

Решение задачи (1)-(3) в перемещениях

( и , и )     представим быстрыми синус -

разложениями по переменной y с граничными

Рисунок. Прямоугольная пластина

функциями второго порядка [4]:

Г, у )           у          I у ³ у • b I

^и ( ^x , у ) = Ф 1 ( ^x ) | ^1-T I ⁺ ^ 2 ( ^x Ъ + Ф 4 ( ^x ) | "76 —7" I +

( b v           b          ( 6 b 6 i

Г у ² у ³ + № (x ) — - — ^{3 (} ) ( 2 6 b

U ( x , у ) = ^ 1 ( x )

у • b I ^ / \ m П m n у + >  и x sin ^m

³ 1 m = 1            ( ^b

| i - у I

( b )

⁺ V 2 ( x ) ^{у +} V 4 ( x ) | 77 - b         ( 6 b

I у у у • b I v          I m n у

⁺ v 3 ^{( x} )I v-T^-T I⁺ ^ ^u" ^{( x} ) ^sin I "T"

( 2 6 ь 3 v m = i          ( ь

.

Подставим выражения (4) в систему уравнений (1)-(3), в результате чего получим

Напряженно деформированное состояние пластины описывается уравнениями равновесия Ламе:

д ² и            д^и     д ² и -

(Л + 2ц) , ; ■ I Л + ц)уГ7- + р-у = 0, дx          дx ду    ду (1)

д ² и           д ² и     д ² и

( ^Л + ^{2 ц} )     ^{+ ( Л} + ^ц )—— + ^ц 2 = 0.

д у          д x д у    д x

Граничные условия (ГУ) для нормальных и касательных напряжений запишем равенствами:

( Л + 2 ц + Л ™

² д у д x

= ° . 0 ,

у = 0, b

\ д и д и | I ⁺^ I ( д у д x )

= ^ , (2) ^ц

замкнутую систему, содержащую две переменные (x, у). Чтобы избавиться от переменной у в этой системе, преобразуем уравнения в соответствии с методом быстрых разложений. Для этого левую и правую части каждого из уравнений Ламе (1) умножим на sin jпy-, j = 1..М и b проинтегрируем по у е[0, b]. В результате получим 2M обыкновенных ДУ по переменной x относительно 2М + 8 неизвестных функций, указанных в (4). Дополним эту систему, рaс-смотрев равенства Ламе на границах при у = 0, у = b. Таким образом, мы получим еще 4 уравнения. Оставшиеся 4 уравнения найдем из ГУ (2), подставляя в них выражения для пере-43

мещений (4) и затем полагая у = 0, y = b . Подобный метод использовался также в [5].

Граничные условия для напряжений зададим в виде:

^

^ xy l

I x =0

= ^ F ⁽ У ) , ^ x L = a = ^ F 2 ⁽ У ) , ^T

( n ^{+ 2} ) f v 3 ( ^x ) b- ^— v 4 ( ^x ) b- ^{— u} 2 ( ^x ) 2 ^ ^{2 +} V      2 п       2 n         b у

⁺ ( n ^{+ 1} ) [ ^— ф 3 ( ^x ) b- ^— ф 4 ( ^x ) b -⁺4 u ( ^x ) | ⁺ V        4 n        4 n 3 J

I x = a = ^ F 4 ^{( У} ) , -' = 0

tJ = ^G3 (x), т I xy\y=0 r 3 V /    ^"l

= ^ ^G 1 ( ^x ) , ^ = ^ G 4 ( x ) ,

I x = 0 = ^ F 3 ^{( У} ) ,

I У = b = ^ ^G 2 ^{( x} ) ,

+

v ' ( ^x ) b- ^— v 22 ( ^x ) b- ^— v *3 ( ^x ) /г ⁺ 2 n      2 n      8 n

= 0,

где F ’ ( x ) , G ( x ) , i = 1..4 - некоторые функции:

F ( у ) = b 1 у ² + b_i2 у + b_{i 3} , G i ( x ) = a i1 x + a_{i 2} , i = 1..4 .

Константы, определяющие напряжения на границах, зависимы между собой согласно условиям равновесия сил и моментов.

Полученную в итоге систему 2 M + 8 уравнений приведем к безразмерному виду, разделив левую и правую часть на ц . В рядах Фурье (1) ограничимся двумя слагаемыми, M = 2 , и выпишем 12 дифференциальных уравнений первого и второго порядков для 12 неизвестных функций: ф , , v i , u j , u j , j = 1,2. :

2 b 2

( Ф 1 ( ^x ) ⁺ Ф 2 ( ^x ) )—

' ^V " i ^x )⁺ ^ ^x ) b

V 8n 2 J v' (x)1+v 2 (x)1—v 3 (x) b—v 4 (x) b+

( n + 1 ) ^{b b 36}

+U (x)^П + u ' ( x) —

V ^{1 (} ) b ² b                               .

+ ( n + 2 ) ф '' ( x ) + Ф 3 ( x ) = 0,                         I

( n ^{+ 2} )

b ³           . b

^— ( Ф 3 ( ^x ) ⁺ Ф 4 ( ^x ) )—^{+ u} ' ( ^x )- П        2 у

+

f / \ ¹ , f / \^{1 b} \^{b b} \^b ,

^— Ф 1 ( ^x )т ⁺ Ф 2 ( ^x )т ^— Ф 3 ( ^x )-^— Ф 4 ( ^x ) ■

(n +1) b 6         36

. f \ ⁿ .   1 / \ ^{2 n}

+ u , x — + u , x —

V 1 ( ) b 2 ( ) b

+ (n + 2)v3 (x) + v1’(x) = 0,(10)

^— v , ' ( ^x ) ¹ + v 2 ( ^x ) ¹ + v 3 ( ^x ) ^{b +} v 4 ( ^x ) ^{b —}

(n +1)         b b 63

П 2 П

— u. x —+ U ' x —

V 1 ( ) b 2 ( ) b

+ ( n + 2 ) ^ 2’ ( x ) + ^ 4 ( x ) = 0,

⁺ ( n ^{+ 1} )

2         . 2 2.

( v 2 ( ^x W1 ( ^x ) ) - -V 4 ( ^x ) V П 3

6 n

-

^U 2 ^{( x} ) 3

⁺ [ Ф 3 ( ^x ) - ⁺ Ф 4 ( ^x ) b — u 1 ( ^x ) ^П | = ⁰, V П П       2 b J

( n + 2 )

”( \ ^b ” ( A ^b

Ф 1 ( ^x h— Ф 2 ( ^x h— 2 п        2 П

^— Ф' 3 ^{( x} ) b r ⁺ Ф 4 ' ^{( x} ) b r

V        8 n          8 n

, «2 \ b

⁺ u 2 ( ^x ) 2

+

+

⁺ ( n ⁺ i ) f ^— v 3 ( ^x ) ^b— v 4 ( ^x ) b- ^{+ 4 u} 1 ' ( ^x ) ^{2 +} V        4 n        4 n  3 J

⁺ | Ф 3 ( ^x ) br — Ф 4 ( ^x ) b- — u 2 ( ^x ) h r " | = ⁰, ⁽⁶⁾ V 2 П       2 n         b J

( n + ² ) f v 3 ( ^x ) ^b + v 4 ( ^x ) ^{b — U} 1 ( ^x ) ^{П 2 +}

V п n       2 b J

>2 —

+ ( n + 1 )

’² - u ³ ( ^x ) 3

v 1 ( x ) b + v ' ( x ) b —v 3 ( x ) b y —

+

— W 4 ( ^x ) Ь + ^U 1 ’ ( ^x ) ^- П 2

= 0,

+

^—Ф' ( ^x ) b + Ф 2 ( ^x ) b + Ф 3 ( ^x ) 6 ⁺ Ф 4 ( ^x ) 3 ^{— П}       2 ⁿ

— u , x —+ u ‘ x —

V ^{1 (} ) b ^{2 (} ) b                           J

+ ( n + 2 ) v 4 ( x ) + v 2' ( x ) = 0,

( n + 2 )

^— v 1 ( ^x ) ¹ + v 2 ( ^x ) b - v 3 ( ^x ) 3 ^—

, x b n xK

^—V 4 ( ^x b^{+ U} 1 ( ^x )- + ^U 2 ( ^x ) 6 b

+ПФ' ( x ) = ( a 11 x + a₁₂ ) ,

2 n b у

^— Ф 1 ( ^x ) ^{1 +} Ф 2 ( ^x ) ^{1 —} Ф 3 ( ^x ) b ^— Ф 4 ( ^x ) b ⁺ bb 36

+ u , ( x ) П + u 2 ( x ) b n + v 1 ( x ) = ( a ₃₁ x + a ₃₂ ) ,

( n + 2 )

^— v 1 ( ^x ) ¹ + v 2 ( ^x ) ^{1 +} v 3 ( ^x ) b + bb 6

+ V 4 ( ^x ) 3 ^{— U} 1 ( ^x ) П + ^u 2 ( ^x )

—I

—

+ Пф 2 ( x ) = ( a ₂₁ x + a ₂₂ ) ,

" Ф 1 ( ^x ) ^{1 +} Ф 2 ( ^x ) ^{1 +} Ф з ( ^x ) b ⁺ Ф 4 ( ^x ) b ^— bb 63

-u 1 ( x ) ⁿ + u ₂ ( x ) 2 ^ + V 2 ( x ) = ( a ₄₁ x + a ₄₂ ) .

2 n

у

Здесь п = — = 1.(27), для стали. Размеры Ц пластины возьмем a = 1, b = 0.4.

Полученную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (5)-(16) будем решать методом Эйлера. Для этого представим каждую из искомых функций в виде f (x ) = f (x) + f * (x), (17) где f (x) - общее решение однородной системы; f * (x) - частное решение неоднородной системы.

В данном случае частное решение неоднородной системы следует искать в том же виде, в каком заданы правые части - то есть в виде линейной функции:

Ф* ( x ) = Ax + B i , / * ( x ) = A_{i + 6} x + B_{i + 6} , i = 1..4,

u * ( x ) = A j + 5 x + B j + 5 , u* ( x ) = A n x + B _n, j = 1,2. (18)

Тогда первая производная каждой функции будет константой Ai, а вторая производная равна 0 . Подставим выражения (18) в формулы (5)-(16). Уравнения, входящие в систему, должны выполняться при любом x е[0, a], по этому приравняем правые и левые части уравнений при x1 и при x0. Решив обе системы, найдем Ai, Bi, i = 1..12 и дополнительные условия для напряжений на границах, необходимые для совместности системы:

G 1 ( x ) = a_u x + a ₁₂ , G ₂ ( x ) = a_n x + a ₁₂ - ba ₃₁ ,

G ₃ ( x ) = a ₃₁ x + a ₃₂ ,

"Л

G. ( x ) = a_3lx + a„-- .

^{4V 7 31 32} п + 2

Таким образом, частные решения прини мают вид:

и * ( x , у )

ba„ ( п + 1 ) )

y

2(п +2) У a„ (п +1) Г у2 _ у3 - у ■ b )_ a„ (п +1) Г у3 - у-Ь_ (п + 2) ( 2 6b 3 J (п + 2) (6b 6

2 a _п x + 2 a ₁₂ - a ₃₁ b ( п + 1 )

2 ( п + 2 )

^a 31 ( п + 1 ) Г у ² _ у³ _ у ■ b )_ a 31 ( п + 1 ) Г у³ _ у ■ b

( п + 2 ) ( 2 6 b 3 J ( п + 2 ) ( 6 b 6

Отметим, что полученные в процессе решения условия для перемещений у ₀ | _у = _{0 b} , r _xi __об не являются ограничением общности рассмотрений, а всего лишь отражают тот факт, что пластина находится в равновесии.

Общее решение однородной системы, соответствующей системе (5)-(16), будем искать в виде:

Ф 1 ( x ) = A 1 e k , ф ₂ ( x ) = A 2 e kx , ф ₃ ( x ) = A ₃ e k ,

Ф а ( x ) = A 4 e k , й 1 ( x ) = A e k , u ( x ) = Ae k ,      (19)

/ 1 ( x ) = A ₇ e k , / ₂ ( x ) = A ₈ e k , / ₃ ( x ) = A e k ,

/ 4 ( x ) = A_w e " , u ( x ) = A_n e k , 6 ₂ ( x ) = A 12 e " .

После подстановки выражений (18) в однородную систему, соответствующую (5)-(16), получим линейную однородную систему относительно постоянных Ai, i = 1..12. Приравняем к нулю ее определитель, и, решив уравнение 16-й степени относительно неизвестной к, найдем корни ki, i = 1..16. Такое количество корней в уравнении для определителя объясняется тем, что система дифференциальных уравнений состоит из ДУ первого и второго порядков, а общий порядок системы - 16.

Среди полученных решений к , ,..., к ₆ - нулевые корни, к ₇ , к ₈ - действительные корни, к ₉ , к ₁₀ и к _п, к ₁₂ - пары противоположных по знаку мнимых корней, к ₁₃ , к ₁₄ и к ₁₅ , к ₁₆ - пары комплексно сопряженных корней. Общее решение однородной системы будет складываться из решений для каждого к .

Для нулевых корней к , ,..., к ₆ решения будут представлены в виде многочленов степени i _ 1, i = 1..6 :

ф : = A ,...,u^1) = Ay для к1 = 0 , ф?: A*2)x + В1(2),...,u(22)= .12) x + b’22) для к2 = 0, ф{6) = A*6) x5 + В<6) x4 + СУ x3 + D<6) x2 + E1(6) x + F1W,

у ( ⁶ ) _ 2< ⁶ ) у⁵ + B^{( 6 )} x⁴ + C^{( 6 )} x³ + D^{( 6 )} x ² + E ^{( 6 )}% + F^{( 6 )} U2       "^”12 x * "^12 x * ^^12 x * ^'*'12 x * ^"^12 x * 12

для к ₆ = 0 .

В этих выражениях нижний индекс константы соответствует порядковому номеру ф ~ A ,..., ф ~ A ₄, u ~ A ₅, и ₂ ~ A ₆, функции:

/ 1 ~ A 7 ,..., / 4 ~ A _w, U 1 ~ A n, U 2 ~ A 12 .

Верхний индекс, заключенный в круглые скобки - номер i кратности к . = 0 , i = 1..6 .

Подставим выражения для ф 1 ^{( 1} ) ,..., и^ ¹ в систему однородных уравнений, соответствующих (5)-(16). Поскольку к 1 = 0 обращает определитель системы в 0, после подстановки одно из уравнений системы станет линейно зависимым. Исключив это уравнение и положив A ^{( 1)} = 1 , найдем оставшиеся коэффициенты A ^{( 1} , i = 2..12 и получим решения для первого корня.

Аналогичным образом найдем решения длянулевых корней к ₂ ,..., к ₆ .

Решения, соответствующие действительным корням, представим в виде:

ф⁷⁽⁷ = AP¹e^{k 7}, фр⁷ = A ^{7 7} e^{k 7}, фр⁷ = Ap⁷e^{k 7}, фр' = A 47 ⁷ e^{k 7}, u ^{( 7 7} = A 57 ⁷ e^{k 7}, u 27 ⁷ = A p ⁷e^{k 7}, /p ⁷ = A 77 ⁷ e k ⁷, V 27 ⁷ = A 8 7 ⁷ e k ⁷, ^(⁷⁷₌ k 7      ( ^{7 7} _{= л}( ^{7 7} k 7 ^{7 7 7} _Л( Г ) k 7     ( 7 ) ^kk,

^V 3 ^9 e , ^V 4 ^10 e , ^u 1 ^Л11 e , ^u 2 ^zl12 e , для k ₇ . Здесь также верхний индекс в круглых скобках – порядковый номер корня k , нижний индекс константы соответствует номеру функции. То есть для корня k ₈ выражения запишутся аналогично, но с верхним индексом ( 8 7 . Подставляя представления действительных корней в однородную систему, соответствующую (5)-(16), исключая линейно-зависимое уравнение и принимая одну из искомых констант Ap⁷ или Ap⁷ равной 1, найдем решения, соответствующие действительным корням.

Аналогичным образом найдем решения, соответствующие мнимым корням k ₉ ,..., k ₁₂ , представляя искомые функции в виде:

ф7 j7 = A7j7 sin (kjx^ + B7j7 cos (kjx 7, u2j7 = Ap7 sin(kjx7 + Bp7 cos(kjx 7.

Здесь j = 9..12 - порядковый номеркорня k j .

Аналогичным образом найдем решения, соответствующие комплексным корням k13,..., k14 , представляя искомые функции в виде ф( j 7 = e Re( kj 7 (A( j 7 sin (Im (kj ^x ^ + B1( j 7 cos (Im (kj ^x ^, u2j 7 = eRe7 kj7 (A^j7 sin (Im (kj ^x ^ + Bj cos (Im (kj ^x ^. Здесь j = 13..16 - порядковый номер корня kj, Re (kj 7 - действительная часть j-го корня, Im (kj 7 - его мнимаячасть.

Таким образом, общее решение однородной системы определяется по формулам:

(P1 =Z Ci ■ ф1 17,..., ф4=Z Ci' ф4 17, i=1

й1 =Y Ci. u(i, u2 =;g Ci. u (-7, i=1

• V>1 =£ C,- V1(0,..., V/ 4 =z C,- v 4'7, i =1

• <5, = У C ■ и<‘ ⁷ , б_г = У C ■ и < ‘ ⁷ .

1i12i2 i=1

В (20) – (21) входят 16 неизвестных констант C i , i = 1..16 . Они определяются методом вариации произвольных постоянных. Для этого 46

решение в виде (17) подставим в ГУ (3), преобразованные согласно методу быстрых разложений, и в дополнительные условия равенства нулю перемещений и их производных в точке ( ^0,0 ) :

и(о,о7 = о, и(о,о7 = о, и (x, у7|       = о, и (x, у7|       = о.

y v ’■^//|x = о, у = о           y^{7 у 7}l x = о, у = о

Решив систему из (22) преобразованных уравнений (3), найдем произвольные постоянные Ci, i = 1..16 и дополнительные условия для коэффициентов b1, bi2, i = 1..4, определяющих напряжения   ^,1   , т I на границах y lx=о,a xy\x=о,a x = о, x = a . Эти дополнительные условия также не являются ограничением общности рассмотрения, а являются следствием того, что пластина находится в равновесии.

После нахождения произвольных постоянных получим общее решение неоднородной системы уравнений – функции ф , , y i , u j , u j , j = 1,2. После подстановки их в (4) найдем решение поставленной задачи в перемещениях.