Асимптотическая устойчивость решений сингулярно возмущенных систем

В работе рассматриваются сингулярно возмущенные системы, для которых получены достаточные условия асимптотической устойчивости по Ляпунову тривиального решения при достаточно малых значениях параметра.

В связи с широким применением в теории гороскопов сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и их систем задача об устойчивости по Ляпунову их тривиального решения имеет большое значение. Этому вопросу посвящено немало работ, которые базируются на применении второго метода Ляпунова [1—4; 6]. При этом зачастую ищется «общая» функция Ляпунова, т. е. не зависящая от параметра. В данной статье предлагается подход, который позволяет свести поиск функции Ляпунова, зависящей от параметра, к поиску другой функции.

Рассмотрим систему сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений х = /i (t, х, у),

Уу = Ь. (t,х у), в которой х = (Xi, ... , х^ ^ ,

... , у_т )^Г , ц > 0,     отображения

(i)

У = ( У l^, . / ( t, х, у ) ,

• / 2 ( t, х, у ) непрерывно дифференцируемы в области

D = { ( t, х _ъ . , х_ь у^ . , у_т ) : t > О,

II(х, у)|| < Н, Н > О}, где Ц(х> у)ц=-^х.+...+х. +у. +... + ут ■ Пусть система (i) имеет в D единственное положение равновесия х = 0, у = 0.

С помощью замены t = рт получим ре гулярно возмущенную систему х = р/1 (рт, х, у), у = Ь (Рт> х У),

которая при р = 0 вырождается в автоном ную систему:

х = 0, у = f (0,х, у) ■

Поставим следующую задачу : найти условия, при выполнении которых существуют число р 0 > 0 и функция П(р, т, х, у), которая при каждом р е (0; р о ) удовлетворяет требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2).

Пусть для системы (3) выполняются требования теоремы Ляпунова об устойчивости. Это означает, что существует функция П 0 (х,у), удовлетворяющая следующим условиям [5, с. 22]:

• i)    V ₀ ( х, у ) > ® ₀ ( х, у ) , где ® ₀ ( х, у ) -определенно положительная функция;

  
  

  W _o ( х, у ) =          < 0.

  ^dt (1.3)

  
  

Рассмотрим систему ал др

= F ( р, т, X, 9 ) ,

dW 8F

) щ— = , 1 (VxV,Ш + р \VxF,fl/ +

5р    дт

+ рт к _XV, ^{d f} + (v „F, f₂) + т к V, Ш

I \ ^x dt / ^{99 2/}      \ ⁹ ’ St /

и начальные данные к ней

[V ( 0, т, х, у ) = V ( х, у ) , [ W ( 0, т, х, у ) = W 0 ( х, у ) .

F ( р, т, х, у ) есть некоторая скалярная функция. Решение системы (4), определенное условиями (5), обозначим за V ( р, т, х, у ) и W ( р, т, х, у ) ■

Теорема 1. Пусть существует функция

F ( р, т, х, у ) , удовлетворяющая условиям:

• i)    F ( р, т,х, у ) непрерывно дифференцируема по переменным т , X i , ..., х ^ , у i, ..., у _т ;

• 2)    F ( р, т, 0,0 ) = 0 при ц > 0;

• 3)    F ( р, т, х, у ) допускает бесконечно малый высший предел в точке х = 0, у = 0;

• 4)    F ( р, т, х, у ) > - а ( р ) ® 0 ( х, у ) , где а ( р ) — непрерывная функция;

• 5)    справедливо соотношение

dF

^G ( ц ^{, т ,} x^, 9 ) = — ⁺ ц (^v r ^{F ,} f i дт

+

+ (V/F, f2) + /v xV0, fi + цт+ dt I

+ kx\Fds, / + цт —\ + т V «Vq ,df2) + \ r 0              dt 9 0 dt / цd/\

+ т( V_y J Fds, ² )< -raj ( x, 9 ) ,

\ 9 0

где Щ | ( х, у ) есть определенно положительная функция. Тогда найдется такое р 0 > 0, что при каждом р е (0; р 0 ) функция У(р, т, х, у) будет удовлетворять требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.

Доказательство. Проинтегрируем первое уравнение системы (4), используя начальные данные (5):

ц

V ( ц, т, х, у ) = V 0 ( х, у ) + J F ( s, т, х, у ) ds^

Свойства функций У 0 (х, у) и Р(р, т, х, у) позволяют перейти к неравенству

ц

V ( ц, т, х, у ) > ® 0 ( х, у ) - J а ( s ) ® 0 ( х, у ) ds = 0

f ц          )

= ® 0 ( х, у ) | 1 - J а ( s ) ds I.

I 0          J

Обозначим через р0 минимальный положи- р тельный корень уравнения J а (s) ds = 1, если О таковые имеются. Тогда при р е (О; Р0 )

(или при всех р е (0; +го), если корней нет) ц справедливо неравенство 1 -Ja (s) ds > 0 , и 0

поэтому функция V ( р, т, х, у ) — определенно-положительная. Также V ( р, т, х, у ) допускает бесконечно малый высший предел при ( х, у ) ^ 0, так как является суммой функций, обладающих таким свойством. Осталось доказать, что производная функции V ( р, т, х, у ) в силу системы (2) является определенно отрицательной. В самом деле, интегрирование второго уравнения системы (4) и использование свойств входящих в него функций дает нужное неравенство:

и

W ( р, т, х, у ) = W 0 ( х, у ) + J G ( s, т, х, у ) ds <

О

• < -р® ( х, у ) .

Таким образом, функция V ( р, т, х, у ) удовлетворяет всем требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Теорема доказана.

Рассмотрим один частный случай: пусть отображения f ( t, х, у ) и / 2 ( t, х, у ) не зависят явно от переменной t, т. е. система (2) автономна. В этом случае функции У и F не зависят от переменной т, так что условия теоремы 1 упрощаются, и справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Если существует функция F ( р, х, у ) удовлетворяющая условиям:

• 1)    F ( р, х, у ) непрерывно дифференцируема по переменным х-ц ..., ху У 1, ..., у _т ;

• 2)    F ( р, 0,0 ) = 0 при р > 0;

• 3)    F ( р, х, у ) > -а ( р ) ®о ( х, у ) , где а ( р ) — непрерывная функция;

• 4)    G ( р,х, у ) = р(VxF, /) + (VyF, /,) + / р

⁺ (^V x^y 0 > ^f0 ⁺ Vx J ^Fds >Ю ^ ^- ® 1 ( XУ ) > где \ 0         /

® 1 ( х, у ) — определенно-положительная функция, то найдется такое р о >  0, что при каждом р е ( 0; р о ) функция V ( р, х, у ) будет удовлетворять требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.

Переход от сингулярно возмущенной системы (1) к регулярно возмущенной системе (2) сохраняет для нулевого решения свойство устойчивости. Поэтому, теорему 1 можно применить при исследовании не только системы (2), но и системы (1), в том смысле, что если эта теорема выполнена для системы (2), то нулевое решение системы (1) будет асимптотически устойчиво.