Асимптотические характеристики мер, предельные множества Азарина

Пусть p(t) - некоторый уточнённый порядок. На пространстве Жс определяется одно-параметрическое семейство преобразований Азарина At :

^ с ^ ^ с , t € (0,^ю), согласно формулам

p(tE)

^p t    -^ t ^p,    ^p t ^(E) F(t) ,

Для любого борелевского множества E.

Пусть р € Ф(К ^ ). Формула переменных даёт

J p^dp^x) = ^j J р (|) dp ⁽ ty к ”                     к ”

(4.1)

= +^} будем называть

Пусть множество {vE^c:v= lim At р, lim tm I         m^w m m^w предельным множеством Азарина для меры p и обозначим через Fr[p].

В случае вещественных радоновых мер наряду с предельным множеством Азарина Fr[p] важными асимптотическими характеристиками меры p являются её верхняя конусная плотность A(E) и нижняя конусная плотность A(E), а также верхняя плотность N(a, E) и нижняя плотность N(a, E). Пусть r₀ > 0 - некоторое фиксированное число, E - борелевское подмножество единичной сферы F_n-1 в пространстве K Q , f(r, E) = p((r₀,r] X E). Тогда указанные высшие величины определяются следующим образом

---f(r, E) A(E) = lim 1^, r^w V (r)

f(r, E) A(E) = lim^V, r^w ^V(r)

---f(r + ar, E) — f(r, E)

N(a,E) = lim7 V            7     7

r^w

V(r)

,

N(a, E) = lim

f (r + ar, E) — f(r, E)

r^W

V(r)

.   (4.2)

Заметим, что величины A(E) и A(E) имеет смысл определить только в случае, если уточнённый порядок p(r) таков, что р = limp(r) > 0. Это r^w особенно наглядно для случая положительной меры. В случае р > 0 величины A(E) и A(E) не зависят от выбора числа r0.

Заметим, что величины N(a, E) и N(a, E) не зависят от r₀ для любых уточнённых порядков р(г ) Эти величины имеют смысл рассматривать для любых уточнённых поряд-ков. Эти величины являются важными характеристиками мер, как в случае р > 0, так и в случае р < 0.

В общем случае, когда нет связи между мерой р и уточнённым порядком р(г) каждая из четырёх величин является элементом расширенного множества вещественных чисел [-от, от]. Обычно величины N(a, E) и N(a, E) рассматривают как функции на полу-оси a > 0. Однако, иногда удобно считать эти величины функциями на полуоси a > -1.

Из свойств пределов и уточнённого порядка р(г) вытекают следующие соотношения

N(a + р, E) < N(a, E) + (1 + a)^pN (:j-P-^,.

N(a + P, E) > N(a, E) + (1 + a)^pN (-];pj,

P

N(a + P, E) < N(a, E) + (1 + a)^pN (^jy^,

N(a + P, E) <  N(a, E) + (1 + a)^pN (j^, где р = р(от) = limр(r).

^e) , , e), , e), , e),

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

Г^М

Легко видеть, что для того, чтобы обе функции N(a, E) и N(a, E) были

непрерывными на полуоси [0, от) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства lim N(a, E) = 0, lim N(a, E) = 0.

a^+0a^+0

Обозначим  f0(r, E) = p((r, r0] X E),  r < r0.  Иногда мы будем рассматривать функцию

"          ^f 0 ^{(r + ar,E)-f} 0 (^r,E)  —p^{((r,r+ ar] XE)}

N(a, E) = lim-------—--------= lim-----—------.(4.7)

r^0         ^(r)           r^0

Иногда возникает необходимость оценивать функцию f(r, E) с помощью функций N(a, E) и N(a, E). В этом случае наряду с функцией

y(r) = rp(r) полезна функция

r

S1M = 1 +

^(t) at at

t

i

Как показывает опыт, применение функции 5 1 (r)

становится

неэффективным, если эта функция является ограниченной. В случае ограниченности функции 5 1 (r) применяют функцию

^V(t) a, -----dt.

t

S2(r) = J

r

С помощью правила Лопиталя получаем, что

(4.8)

lim 7—^- = p. (S₁ (r) — не ограничен r^o S₁(r)

Имеем ere

[ V(t)      „-2 f ^V(™r) ,

----dt = rn 2  

J tJu r1

Поскольку

^ up, r ^ ш, u G [1, e], то er

Г V(t)      ,         x ep — 1

J     dt = (1 + 6(1))—— V(r),

r

Из этого следует, что V(r) ^ 0 (r ^ ш), если S1(r) - ограниченная функция.

Вновь при-меняя правило Лопиталя, получим

V(r)          z„ z ч                 ч lim      = —p.  (S1(r) — ограничена)                (4.9)

r^o S₂(r)

Из этих равенств видно, что функции S1(r) и S2(r) особенно важны в случае p = р(ш) = 0. В этом случае функции S1(r) и V(r), а также функции S2(r) и V(г) имеют различный рост на бесконечности.

Лемма 4.1. Пусть p(r) - произвольный уточнённый порядок, ц -вещественная радо-нова мера на ^ Q ,Е - множество из единичной сферы, N(a, Е) - верхняя плотность меры ц относительно уточнённого порядка p(r), причём N(a₀, Е) < +ш для некоторого а₀ > 0. Тогда существует постоянная М > 0 такая, что для всех r > 1 выполняется неравенство

/(r, Е) < MS1(r).

Доказательство. Имеем

^/(г,е) =^/((1 ₊ а) п₀ ^,Е)

И д

+ 1[/((Г+^,Е) —/((Т^,Е)]  (4.10)

т=1

Число п0 определяется из условия

г

1 < з-----:— <

⁽1 + « о )^п о

1 + (Т о .

Очевидно, что существуют постоянные М 1 , М₂ , М 3 такие, что выполняются

неравенства

/(х, Е) < М 1 ,        хе (1,1 + Т о ],

г                  г                     г

/(й+«у^'Е)—/(й+«уИ<М2Чй+^

(т1>«.<М" R      1

R > 1.

(4.11)

(4.12)

Из этих неравенств и равенства (4.10) легко следует утверждение леммы.

Лемма доказана.

При использовании верхней и нижней плотности важную роль играют

теоремы о равномерности. Одну из таких теорем мы докажем ниже.

Теорема. Пусть р(г^

–

произвольный уточнённый порядок, Е -

множество из единичной сферы, пусть h > 0, Ь > 0. Тогда, если при т е [— 1 ,2 b] выполняется неравен-ство

---/(г + тг, Е) — /(г, Е) lim

г^м

У(г)

< h,

(4.13)

то равномерно на сегменте [а, b] выполняется неравенство

—- /(г + тг, Е) — /(г, Е) lim

Г^М

Последнее означает, что функция

У(г)

<

5h.

£(г,т) = (

/(г + тг, Е) — /(г, Е)

У(г)

^—5h) +

Равномерно на сегменте [0, Ь] стремится к нулю при г ^ го.

Доказательство. Обозначим /(г) = /(г, Е), г = е^х, 1 + т = е^т, ^(х) =

/(ех), Ф(х) = У(ех). В новых обозначениях неравенство (4.13) выглядит так

-- ф(х + т) — ф(х)

lim------ ------< h,     т е [—ln 2, ln(1 + 2Ь)].              (4.14)

Если утверждение теоремы неверно, то существуют последовательность хт^ ^ и после-довательность тт Е [0, ln(1 + b)] такие, что выполняется неравенство

^ф(хт ^{+ Т}т )   ^ф(хт⁾

(4.15)

lim ------—---------> 5д, т^ю      Ф(^т)

Пусть 5 Е (0, min(ln 2, ln(1 + 2b) — ln b)). Обозначим

Е_т = (a Е [0,5]: ф(х_к + a) — ф(х_к) < 2ЬФ(х_к^к > m).

Е - возрастающая последовательность измеримых множеств. Из неравенства та

• (4.14)    следует, что U Е_т = [0,5]. Поэтому lim mes Е_т = 5. т=1                   т^та

Далее обозначим

Р т = ⁽ Р Е ^[—5,ln⁽1 + b^)]: ф ⁽ Х к + Т к ) — Ф ⁽ Х к + Т к — Р)

• < 2ЬФ(х_к + т_к — Р) Vk > m).

Р_т - также возрастающая последовательность измеримых множеств. Из

ОО неравенства (4.14) следует, что что     U Рт = [—5, ln(1 + b)].

т=1

Поэтому lim mes Р_т = ln(1 + b) + 5 .

т^та

Пусть 5 1 Е (0, | 5). Тогда существует число р₀ такое, что при р > р₀

будут выпо-лняться неравенства mes Е р > 5 — 5 1 , mes Р р > ln(1 + b) + 5 —

Обозначим   Р р = {т_р} — Р р  (арифметическая разность множеств).

Справедливы вклю-чения

Е_р с [0,5] с [т_р — ln(1 + b),T_p + 5], р рр с [т р — ln(1 + b), Т р + 5].

Оба множества Е р и Р р являются частью сегмента [т р — ln(1 + b), Т р +

• 5] . Сумма мер этих множеств больше длины указанного сегмента. Поэтому

пересечение этих множеств не пусто. Пусть a Е Ер ПРр'. Тогда a = тр — Р, где Р Е Рр. Поэтому выполняются нерав-енства

ф(хр + a) — ф(хр) < 2ЬФ(хр) , ф(хр + тр) — ф(хр + тр — Р) < 2ЬФ(хр + тр — Р). Складывая эти неравенства, и учитывая равенство хр + a = хр + тр — Р , получим

ф(х р +

тр) — ф(хр) < 4ЬФ(хр) + 2Ь

^(ф(х р

+ a) — Ф(х р )).

Обозначим г_р = е^х г . Далее находим

ф(х_р + a) — ф(х_р)   V(e^aT p ) — V(r_p)

^ _eP « - 1 (p ^ от).

Ф^(х р )

'Чг)

Так как a G (0,5), то при достаточно малых 5 и достаточно больших p будет выполнять-ся    неравенство    ф(хр + тр) — ф(хр) < 5^Ф(хр).    Это противоречит (4.15). Теорема доказана.

В леммах 4.3 и 4.4, где встречается функция ^([г, от)хЕ), она определяется разли-чным образом. Сейчас мы сформулируем условия, обеспечивающие существование предела lim р((г, Я] х Е). При R^+ro выполнении этих условий функции, которые в леммах 4.3 и 4.4 обозначены одним символом ^([г, от) х Е), совпадают.