Асимптотические разложения функций Люстерника

%!

x,y,...G R”, z g C”, x =

,xJ'=PJx/',5'(x) = ^x;.

х.

Пусть к = ... ,А =

.. ,к₀ А_} g Z . Определим функции G_A(z) следующим образом:

к+тА             h+mAi . кп+тАп

G_k (z) = У —----= У--3----, _{z G} с.

^(^ + /иЯ)! ^_z^k₁+mA₁y-.„

Функции (1), впервые определенные в [1], называются функциями Люстерника и являются широким обобщением классических специальных функций математической физики -цилиндрических функций, в частности функций Бесселя, функций параболического цилиндра и ДР- Пусть {eJ'L] - базис в аддитивной группе R”. Рассмотрим случайное блуждание, задаваемое однородной переходной функцией Р(х,у):

Vx, у е R": Р^х, у) = Р(0, у - х) =

0,y-x*e;

п

7=1

и рандомизованное пуассоновским процессом с параметром X - количество N_T переходов за время т дается соотношением

Р^т=в\ = е

s!

, 5 = 0, 1

R” - абелева группа относительно операции сложения. Пусть A g R” - элемент с целыми координатами, H_A=VA\teZ) - подгруппа, W4H_A - факторгруппа. Элементами W4H_A являются «прямые» Н_А = {г: г = k + tA, к g R”, t g zj.

Случайное блуждание (2) - (3) индуцирует рандомизованное случайное блуждание на факторгруппе W/H_A с переходной функцией:

РЧНкА,н^ =

р , ВтеХ'к-г-тА^е "

0, в противном случае    _J=x

Пусть Р^Н^ вероятность для индуцированного случайного блуждания за время т попасть из начала координат в Н_А . Известно [3], что

РАНО - 2 е^К’⁽^^ e^teG№p\ ^к^тАУ

• II.    Преобразование Фурье распределений. Далее везде предполагается, что, по крайней мере, одна из компонент целочисленного вектора А равна 1.

Если F(g) - распределение на группе G, то его характеристическая функция, как известно (например, [5]), дается соотношением

Ф(,0) = M(e,g9) = je,g6F(dg).

G

Распределение на фактор группе R”/ Н_А, порожденное рандомизованным случайным блужданием, является распределением случайной суммы¹ N_T независимых слагаемых

Nt ’ каждое из которых имеет одно и то же распределение (4).

Характеристическая функция распределения рандомизированного блуждания на фактор группе R” / Н_А дается соотношением ([6], с. 576)

ф(0) = Р(ф(0)У где P(s) - производящая функция рандомизирующей величины NT. Так как в нашем случае это распределение Пуассона, то

^)=Е '

Л=0<

к\

фЧо^е"^ .е^ ^ = ехр[Ят(^)-1)].

Найдем характеристическую функцию ф^ распределения (4).

Для упрощения дальнейших выкладок сделаем линейное преобразование, переводящее А в последний базисный вектор е_п. Распределение одного слагаемого в соответствии с переходной функцией (2) будет иметь вид:

P{^Q} = Рп’Р^^^}^ Pid=^-’ⁿ~^Pl⁺- + Рп =1» где ^ = (-4,-X₂,...,l).

В новых координатах подгруппа Н_А - ось е„ . В качестве представителей смежных классов можно выбрать элементы, у которых 0 < х„ < 1, а точки (х₁₅х₂,...,0) и (х,,х₂,...,1) склеены. Таким образом, факторгруппа К” !Н_А эквивалентна R"^-1 х[0;1].

Распределение слагаемого Х_к примет вид

Преобразование Фурье распределения (7) есть:

ф^ = J   e^P^dt) = ^ р_х +... + е*⁶^ р_п__х + е¹^^

R”-*x[0;l]

Ш. Теорема обращения. Заметим, что фф') раскладывается в ряд Тейлора:

_ П—1               ]                                                   1

ф№=у,_Рр+»,--в² +...)+р^+ц-лд-...-^^--(-ла -...-4_д.,)² +..)=

J=1             2                                             2

п-1

2=1

И-1                                              1 п—1

^;(^Pj⁶j +(-43 ---Л-^п-^Рп^-^С^Р^ +(-4^i ---Л-А-1)²^)⁺-

2=1                                        2 2=1

(Ю)

Введем обозначения р = (р1-Л1Рп,...,рп_1-Лп_1р„) . Рассмотрим преобразование Фурье век тора т)т = -Лтр:

ц/_о(0) = е ^Хтр6 =ехр[2т(^(#)-/р0-1)].

(Н)

Отсюда

00 -S п—1

^-ip0-\ = ^—С^р^ * рп<0хАх* ...*0п_хА„_хУУ s=2S" j=l

Т.е. суммы случайного - в рассматриваемом случае пуассоновского - числа слагаемых.

Кочнев А.В.

Асимптотические разложения функций Люстерника

К -top

Для характеристической функции случайного вектора ^. = ----т==--- получаем:

уАт

^=4/А -7= \УАт

Гез Y

Рп         Г.

V УАт )

_         р п-1

При Ат-^со имеем <у(0)~ехр — TpAj ⁺ Рп(^А +— ^h-iA-i)²

Справедливо утверждение ([2]).

Теорема. Пусть случайная величина § - дискретное распределение на решетке с шагом по осям hx,...,hn и одним из узлов bQ=(bx,...,bn). Тогда вероятности Pk-Pkx,k2,...,kn того- чт0 век- тор ^ примет значение b0 = (bx + klhl,...,bn+knhn), могут быть получены из соотношения:

, ,    , я//^ я/hi я/h,,

Рк =

АА j j ... j ^vae, V-⁷¹)  -я!^ -я/^ -я/h.

где (р^ преобразование Фурье для §.

< 7Vr '

ТА -top

Рассмотрим теперь вектор ^_г = AA—L^--- . q_h имеет решетчатое распределение с узлом уАт

-руАт и шагами вдоль каждой оси. В соответствии с последней теоремой заключаем:

^=р ^,=»L/ .'=1         . Та ~Лтр                      .     я/ку я/Н2 я/V^, ’Л'™1 Y—=^=Az£^L—1_ г Г 4to                 (2яхЩ)п J/hlJ/hz J/hn где <в(9~) - преобразование Фурье случайного вектора £т. Заменим подынтегральную функцию асимптотикой, получим:

. я1к\ я!^   я/h,, —Д ^рА ⁺Рп(^1⁺- -⁺®п-А-1)²— гг=<А^гР~&)

^-ГО1 1 -1г L"               и (15)

ЦЯУАТ) _„/hi_xih2 _x/hn

Теперь сделаем линейную замену переменных 9 = QT , такую что:

1^+л(614 +...+е„-А-1)2 =У.т}.(16)

7=17=1

Обозначим g[j] - j -й столбец матрицы Q.

221(Лтр-к) = ^^ЛТДАтр-к).(17)

N Л-Т               "\j АТ у._|

Отсюда:

^П5р^ + РМ4 +... + У„_1Л-1)² -Ж=(Атр-к) =

7=1                              У Ат о                      .                       (18)

= 2fc— ^QVjWp-k^

7=1 (     у Ат               J 7=1 Ат

Тогда интеграл (15) равен:

detg (2я-ТЯг)и

J J .fexp AAU-^Q^Up-k^ dT хехр -Pfl^Wz^L . ₍i₉₎

Интеграл стоящий в скобках, есть интеграл Пуассона по области Дг, которая является образом (w-1)-мерного куба DT со стороной 2л Ал , при линейном невырожденном преобразова нии 0 = QT. Но lim Dt = Ж”, откуда аналогично lim Ar = Ж”. Поэтому интеграл в скобках при Zr->oo                                      Zr->oo

Яг -> 00 стремиться к (V2tr )и. Отсюда:

detg [ х ^ап^р-к^ (ААл)^п _ч 2_J=i      Хт ,

Теперь осталось вычислить матрицу Q. До замены переменных в интеграле, в показателе степени в экспоненте стояла квадратичная форма:

z р 02 + рп(01А1 + ... + 0„_tA„_1)2 = 0(В + рпс'с)0‘,(21)

7=1

где 0 = (0A,...,0n_f), B = diag^px,...,pn_x^, С = diag(Ax,...,An_x) - выражены в исходных условиях и-1п-1

задачи. Условие ^PjQ² + рАА + ••• + 0_n-iAi-i)^{2 =} ^Т² налагает на матрицу Q условие:

7=17=1

QtB+p/c^E.(22)