Асимптотические свойства многочленов ln,n(x) , ортогональных на произвольных сетках

В различных прикладных и теоретических задачах широкое применение находят разложения в ряды Фурье. При этом в качестве базисов для разложений используют многочлены, которые образуют ортогональную систему на дискретных системах точек. Однако при практической реализации этих разложений возникает новая задача — исследовать асимптотические свойства этих многочленов.

Заметим, что одним из способов проведения этого исследования является сравнение многочленов, ортогональных на дискретных системах точек с соответствующими классическими ортогональными многочленами, где это возможно. А поскольку последние изучены достаточно хорошо, то ряд их свойств может быть перенесен и на дискретные их аналоги.

Далее заметим, что существенный вклад в асимптотическую теорию многочленов, ортогональных на дискретных системах точек, внесен И. И. Шарапудиновым [1], в частности, классических многочленов Чебышева, Мейкснера и Кравчука, ортогональных на равномерных сетках. В работах И. И. Шарапудинова [2–5], А. А. Нурмагомедова [6–7],

• (с) 2022 Магомедова З. М., Нурмагомедов А. А.

М. С. Султанахмедова [8] и других исследованы асимптотические свойства многочленов, ортогональных на неравномерных сетках числовой оси.

В монографии [1, гл. 4, § 4.9, с. 88–90] И. И. Шарапудиновым для ортонормированных на равномерной сетке многочленов Мейкснера m a n (x) доказана следующая теорема.

Теорема 1.1. Пусть 0 ^ a — целое, А, 6 > 0, N = 1/5, x G [0, то). Тогда имеет место асимптотичекая формула ma,N (x) = L П (x) +

vn* N^(x)|< ^c(a,A)An ^(x) \ у"^a,

s = 4n + 2a + 2, a > — 1, L'Cx) — ортонормированный многочлен Лагерра.

При a > — 1 нам удалось перенести эту теорему на случай неравномерной сетки.

Итак, пусть a > — 1 — произвольное действительное число, а Q = {xj }j=o — дискретное множество (сетка), состоящее из бесконечного числа различных точек полуоси [0, +то) : 0 = xo < x1 < x₂< ... Обозначим Axj = xj+i — xj, j = 0,1,..., причем предполагается, что

5 = sup Axj- < то, 0^j<^

N = -, lim xj = +то. δ j→∞

Через

Zx                              Zx aN(x) = iaN(x,q), k = 0,1,...,                         (1.2)

обозначим последовательность многочленов, образующих ортонормированную систему с весом

p^a(xj) = *

e-xj j1 — xa+1) _ a + 1       ’ e-xj+1    ; — x“+1)

a + 1

—1 < a ^ 0 , a > 0,

(1.3)

на сетке Q в следующем смысле (n, m = 0,1,...):

∞ ^.    ^.                        ^.^.

(ln,N, lm,N) = ^^ p (xj) ln,N(xj) lm,N(xj)= 5nm,   —1

∞

('a,N ,'An) = Ep”(xj )l',N (xj + 1) lm,N (xj + 1)= 6nm,  a> 0.(1.5)

j=0

Для определенности будем считать, что старший коэффициент многочлена ln (x) положителен, т. е.

l^a,N(x) = knXn + kn-ixn 1 + • • • + ko, kn > 0.                    (1.6)

Далее, пусть P_n— множество всех алгебраических многочленов степени не выше n, Ln(x) — ортонормированный многочлен Лагерра, w_a(x) = x^Se ^x — весовая функция Лагерра и || • ||_Ша— норма в пространстве L2, т. е.

If L

w_a(x)|f (x)|²dx    •

Очевидно, что если pn Е Pn, то hpnh^a ^ Mn (a)|pn hwa ,

(1.7)

где

Mn (a) = sup pn∈Pn

^‘.

llpn ^hWa

Отметим, что согласно результатам работы [9], Mn(a)/n ^ [j(_a-i)/2,1 ]^-1при n ^ то, где j_v, 1 есть первый положительный нуль функции Бесселя J_v (z).

Всюду в дальнейшем через c, c(a), c(a, А), ... будут обозначаться постоянные, зависящие лишь от указанных параметров, вообще говоря, разные в разных местах.

В настоящей работе исследуются асимптотические свойства многочлена l^ n (x) при n, N ^ то. Здесь следует отметить, что данная работа есть обобщение ранее полученного нами результата [10].

2.    Некоторые свойства многочленов Лагерра

Здесь мы приведем некоторые сведения о многочленах Лагерра. Определим многочлены Лагерра с помощью обобщенной формулы Родрига

n

La(x) =    exx^-a      (e xn^+a),                            (2.1)

n!       dxn где α — произвольное действительное число. Ниже нам понадобятся следующие свойства многочленов Лагерра [11]:

ортонормированность:

∞

I e-xxaLS(x)Lm(x) dx = 6nm, a> —1,(2.2)

o где La(x) = (hna)-1/2La(x), ha = r(a + 1)(n+a);

равенства:

La(x) = La+1(x) — LS+Kx)-(2.3)

dxLa(x) = — LS+1 (x).(2.4)

LS-1(x) = -O-LS(x) — —x—LS+1 (x);(2.5)

n + a       n + a весовая оценка:

|L"(x)| ^ с(а)АП(х), 0 < x < то,

(2.6)

где АП(x) определяется равенством (1.1).

Ниже нам также понадобится формула Кристоффеля — Дарбу для многочленов Ла-герра [11, § 5.1, с. 110]

Г(а + 1)K"(x,y)

= \!' + “)  ^L*M^L*^

= (n + 1){ (” Г)}

LaWL+iCy)-^n+iCx^Lnacy) x-y

(2.7)

3.    Некоторые вспомогательные утверждения

Мы здесь докажем некоторые утверждения, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Лемма 3.1. Пусть функция f (x) непрерывно дифференцируема на [0, то). Тогда, если сходятся ряд ^J=₀|f (xj)|(x^a+₁¹— x^a+1) и интегралы j"^ x^a|f (x)| dx, j"^ x^a|f'(x)| dx, то имеют место следующие равенства:

∞ xaf (x) dx =

о

∞

1     ~              .

0+7 ^ ^{f (x}j ⁾(^xj+1 j=0

-

x^a+1) + r⁽¹⁾(f),   -1 < 0,

(3.1)

У x^af(x)dx = о

∞ a+7 Ef (xj+1)(xa+11 j=0

-

x"⁺¹) + r⁽²⁾(f),   a> 0,

(3.2)

в которых для остаточных членов r⁽¹⁾(f) и r⁽²⁾(f) имеют место оценки:

∞

|r^(f)(f)|< 5^t^a|f'(t)| dt, i = 1, 2, о

(3.3)

где

5 = sup Axj.

0<j<^

(3.4)

<1 Мы имеем

^               ro xj+i f xa f (x) dx = ^ f xaf (x) dx.

0                j=⁰Xj

(3.5)

Далее, воспользовавшись формулой Тейлора с остаточным членом в интегральной форме и формулой Ньютона — Лейбница, мы можем записать при — 1 < а ^ 0

^Xj+1

xa f (x) dx = xj

xj+1     1-               X            -1

j x^a f (xj) + I f '(t) dt\dx = f (xj)

xj                   xj

a+1 ^xj+1

-

a+1 x_j

a + 1

xj+1     x

+ J x“ /f '(t) d^ = f (xj)

xj      xj

a+1 xj+i

-

a+1 x_j

a + 1

^xj +1       xj +1

⁺ / f '(t) / x^adx»

(3.6)

xj

t

= ^{f (x}j)

a+1 ^xj+i

-

a+1 x_j

a + 1

^Xj+1

+ У f '(t) t^a(xj+1 — t) dt.

xj

В силу (3.4) имеем

^Xj+1

I f ‘(t) ta (xj+1 - t) dt xj

< 6

^Xj+1

У If‘(t)| t^adt. xj

(3.7)

Тогда из (3.5)–(3.7) мы находим

∞

У x^af(x)dx =

a + 1

∞

E f (xj j¹

j=0

- x^a+1) + ^(f),

где

^ x^j+1

\r⁽¹⁾(fЖ 6£ / j=0 x_j

If ‘(t)l t^adt = 6

∞ j If '(t)l 0

t^αdt.

При a > 0 имеем xj+1

У x^af(x)dx = xj

xj+1

j xa f (xj+1) + xj

x

J f ‘(t) dt

a+1 - a+1 dx = f (xj+1) j+1   j— a+1

^xj+1      x

+ I x^a У f ‘(t) dtdx = f (xj₊₁)

xj     xj+1

a+1    a+1

^xj+1 ^xj a + 1

+

Xj+1        t j f ‘(t) /

xj         xj

x^αdx dt

(3-8)

a+1 _-a+1   ^xj+1

=f (xj+1) j⁺a₊1— + у f ‘(t) t^a(t - xj) dt-xj

В силу (3.4) имеем xj+1

у f‘(t) ta(t xj

-

xj+1

xj) dt < 6 j |f‘(t)| t^adt.

xj

(3.9)

Тогда из (3.5), (3.8) и (3.9) имеем

∞

[ xa f (x) dx =----- a+1

∞

E ^f (xj+1) (xa+1¹ j=0

-

x“⁺¹) + r⁽²⁾(f),

где

^ xj+1               ^

|r(2)(fЖ6e [ If‘(t)itadt = 6 /"if‘(t)itadt. ▻ j=0 xj                    0

Лемма 3.2. Для ортонормированного многочлена Лагерра la(x) =

n!

Г(п + a + 1)

Ln(x)

(3.10)

имеют место формулы

∞

— V.   j¹- xa⁺¹)(La(xj))²= 1 + r, -1 < a ^ 0,       (3.11)

^{+ 1}j=o

∞

V.    ■ (xj+¹- xj⁺¹)(Ln(xj₊i))²= 1+ r , a> 0,         (3.12)

j=0

в которых

|г«| < c(a) 6ln(n + 1), i = 1, 2.                             (3.13)

<1 Полагая f (x) = e^-X(La(x))², воспользуемся леммой 3.1. Тогда

1=

f       Ln(x⁾⁾²dx =

∞

∞

—- ^ < ^j j¹- xa⁺¹) (L^xj))^{2 +}_rN

^{+ 1}j=0

(3.14)

-1 < a ^ 0,

∞

1 = j ■ x- La(x))²

dx

∞

—T ^ e^-xj+1(^xj+i ^-xj⁺¹) (^Ln^(xj+1))^{2 +}r^, ^{+ 1}j=0

(3.15)

a > 0,

где rn) = r⁽ⁱ⁾(e ^x(LП(x))²), и, стало быть,

∞

Irni)^ 6 j'x“^e^-lx(lLП(x))²^|dx, i = 1, 2.

(3.16)

Далее, в силу (2.4) имеем

(e^-x(^Ln(x))²)’ = ,     —'( . ,) (e-x(Ln(x))²)‘

= w x 4-n - e^-X(Ln (x))²+ 2e-x(Ln (xD’L^ (x) l(n + a + 1)

= V^^Tn < - 2e-^XLn(x)Ln-1(x) - e-x(L^Cx))²).    (3.17)

г (n ^—+ a + 1)

Поэтому в силу весовой оценки (2.6) получим

|(e^-x(La(x))²)‘| ^ c(a) n^-ae^-x^(xM^x) + (An((x))²].

Тогда

∞∞ j xa|(e-X(Ln(x))2)‘|dx ^ c(a)n-a j e-Xxa [a^A^x) + (A^x))2] 00

dx.

(3.18)

Исходя из (1.1) имеем

n

-

α

e

x

x^aAa(x^)Aa-1 ⁽x)^Cc⁽a) *

s

α

x

n

α

e

x

■ x^a(Aa(x))

s

s

Отсюда следует, что

∞

n

α

/

e

-

x

x^aAn (x)An+1 (x) dx

s

C c(a) n

-

α

s

C s^a+1

Z

s

α+1xα

x

s

,

s

α

,

2x

s

-

α

s

α

-

α

e

,

(s³+ |x

-

x

α

,

α

e

x

2 x^α,

,

(sз + |x

-

x

α

,

x

2 x^α,

3s

+/+/

∞

s

s

s

+

3s

e

-

x

3s

0 C x C -;

s

- C x C

s

s

2 ^{C x C}

x > 3s;

2 ’

0 C x C ¹;

- C x

s

s

2^Cx

s

;

3s

;

s

C ^;

3s

C —;

3s

^x^ "2""

x^aA_n^a (x)A_n^a_-⁺¹(x) dx

j x^{- dx+}

dx

T +

s

-

α

s

s

∞

+

s

-

α

/

e

3s

x^α dx

xα

2 x dx — Ji + J2 + J3 + J4.

(3.19)

Оценим J1, J2, J3, J4. Имеем

s

s

J1 = s’

α+1

j x-^{dx C} cH

J2 =

3s

[ — C c(a) ln(s + 1), ^x

s

s

J3 = s

----------1

α

/

x

α

(s³+ |x

-

s

= 2s^-2

s|) ²dx = s

α

j (s+t)^a(

¹       -¹

s³+ |t|) ²dt

s

s

α

j(s + t)^a (s 3 + t)

²dt.

Ввиду того, что S C s +t C 3S, имеем

2s-2

-

ss

1         ¹                 1              1         ¹                 11

(s + t)^a(s 3 + t)  ²dt C c(a) s^-2^-a / s^a(s3 + t)  ²dt C c(a) s^-2s2

c(a).

Очевидно, 0 C e

x/4x^a C C при x ^ 3s/2. Следовательно,

∞

∞

Следовательно,

Аналогично

n

где

J4

xx

— s Ie²x dx C c(a) s      e⁴dx C c(a) s

3s 2

3s 2

3s αe _{8 .}

∞ n-a J e--xxaAn(x)Aa-1 (x) dx C c(a) ln(n + 1).

∞ a J e-xxa(Aa(x))2 dx — n

-

1 s

s

3s

2∞

•J+ЛЛ/1 e

-

^хх^а(АП(х))²dx

1 s

(3.20)

1s s2

— s^a j" x^adx + s^-2 j x—²dx + 01

s

∞

⁺s-v^e

3s 2

s

s

3s 2

3s 2

²“ j (s³+ |x - s|) s

²x^adx — Ii + I2 + I3 + I4,

²x^αdx

(3.21)

s

I1=s^a /

x^adx —

s s-1                            1 2     1

------ C c(a), I₂— s ²I - ²dx C c(a), a + 1                 J

I3 C c(a), I4 C c(a) s

1 s αe-³₈^s_.

Следовательно,

∞ n-a J e-xxa(Aa(x))2 dx C c(a).

Итак, сопоставляя (3.18)–(3.22), получим

∞ j xa|(e-x(LП(х))2^ | dx C c(a)ln(n + 1).

(3.22)

(3.23)

Отсюда и из (3.16) следует, что

∞

^Csjx^e^x(L^n(x))2) ^{|dx C c(a)}5^{ln(n + 1)}, i = 1,²- ▻

Лемма 3.3. Пусть n < c(a)/5. Для ортонормированного многочлена (1.2) имеют место следующие формулы:

∞

I e^-Xx^a(ia,_N(x))2 dx = 1 + Rn\ —1 ^ 0,                (3.24)

∞

I e~^xx^a(a,_N(x))²dx = 1 + Rn², a> 0,                   (3.25)

в которых

IRn^ т^(аж’ i = 1-2-                   (326)

1 — c(aion

<1 В силу леммы 3.1

∞_∞

/ e^-xx^a(ia,_N(x))²dx = ^e

0             ’                 j=⁰

-xj

Ta+l   a+X"V j+a+1j    (cn(xj))2+Rn1’-

— 1 < a ^ 0,

(3.27)

^                    ^       x^a+1   x^a+1

I e^^xx^a(i^a,N^(x))²dx = £e^X- ^{j+1    j}—

0                      j=o          ^{a +}

(^ia,N ^(xj+1)) ⁺Rn²,

a > 0,

(3.28)

где Rn = r(i’(e ^x(la _N(x))²), i = 1, 2. В силу (3.3) имеем

∞

I Rn²!^ 5 j x^a|(e^-X(ln,N (x))²)‘| dx, 0

Далее, находим

∞∞ j x'(e^X(ia,N (x))2)' dx = 2 j xae-x(ia,N (x))‘ln,N (x) dx

i = 1, 2.

(3.29)

∞

— j x“e^--X(ln,_N(x))²dx.

(3.30)

Применяя к первому интегралу в равенстве (3.30) неравенство Коши — Буняковского

∞

I e^^Xx^aI(l^,N(x))ln,N(x)|dx ^ 0

(^ln,N ^(x))'^{2 dx}

∞

e

x

x

α

(^ln,N ^(x))^{2 dx}\ ,

в силу неравенства (1.7) из (3.30) получаем

∞∞

J x“^e^-X(ln,_N (x))²) dx< c(a)n j x“e^-lX(Ha^i (x))2 00

dx

+

∞ j xae-X K,N (x))2

dx< c(a)n

∞ j xae-X(la,N(x)2) dx.

(3.31)

Сопоставляя (3.29)–(3.31), получим

∞

|Rni)| Е с(а)6п j x^aeT^x^ia,_N(x))2 dx, i = 1, 2.

(3.32)

Кроме того, из (3.27), (3.28) и (3.32) следует неравенство

∞ j xaex(l»N(x))2 dx = 1 + Rn\ i = 1, 2, 0

(3.33)

и оценка (3.26) для Rn. >

Лемма 3.4. Пусть kn — старший коэффициент полинома la n(x), а An — старший коэффициент полинома Лагерра 1^a(x). Тогда

k

-n > λ_n

1 + с(а)5 ln(n + 1) '

(3.34)

<1 Как известно [11], минимум сумм

и

∞

-EE e а+1

j=0

xj (_T^{a+1 x}j+1

— x“⁺¹) Pn²(xj)

∞

__¹__E p-xj+i (-r^a+1

а + 1          ^x+1

j=0

-

x“⁺¹) Pn2(xj+1)

по всевозможным полиномам p_n(x) со старшим коэффициентом, равным единице, до-

Е N (x)

ставляет n^N---, т. е. при — 1 < а Е 0

∞

—E а+1

j=0

e xj(j^{1 — x}“⁺¹⁾⁽fn,n⁽xj⁾⁾²

k 2 n

Е

∞

1 ^Ee а+1

j=0

xj x_ja₊+₁1 _—x_ja+1 p_n2₍x_j),

(3.35)

при а > 0

∞

—E а+1

j=0

e-xj+1 (xj+

-

x^a+1)(l

nN^xj+l))

2 k_n

∞

^Еа+1 E e^-xj+1(^xa-+i^-xj^a+1)pn ^2(xj+1). j=0

(3.36)

Беря pn(x)

La(x)                         1 n

= an ', получим при — 1 < а Е 0

а + 1

∞

E j=0

e-xj (xjE

-

x?⁺¹)(in,N(xj ))2

L 2

n

Е

а + 1

∞

E j=0

e-xj j*

-

xa⁺¹)(Ln(xj ))²

АП                ’

(3.37)

при α

>0

1 а+1

EE e-j1 x + j=0

-

x

2 n

'^a₂N⁽x^j+1))

Е--- а+1

ЕЕ e-xj+1 (xa+1¹— xa⁺¹)(La(xj+1))²

7 v------------------у2------------------. ⁽³.3⁸⁾

j=0                ⁿ

Отсюда, учитывая, что при — 1 < а C 0

∞

— £ e-xj 1 —   ■) (i«,N (x, ))²= 1,

⁺j-0

при а > 0 ∞

— £ ■  ' j —  ' ®л ■ .

⁺j-0

получим при — 1 < а C 0

kn2

(3.39)

2 > ^

An    £ e-xj j — x«+i)(La(x₃))²

j-0

при а > 0 kn2

(3.40)

2 > го’

^An£ e-j j¹ — .j' )£■£+1))² j-0

Ввиду леммы 3.2 отсюда имеем kn²>_________1_________

A_n²    1 + с(а)5ln(n + 1)

Отсюда ввиду неравенства

(1 + h)2 C 1+2 h’ h > —1’ имеем (3.34). >

4.    Асимптотические свойства многочленов 1^ N(x)

Здесь мы получим асимптотическую формулу для многочленов П^ n(x), ортонорми-рованных на Q в смысле (1.4) и (1.5).

Теорема 4.1. Пусть а > — 1, 0 < A < 1, 0 < 5 < 1, N = 1/5, x Е [0, +то). Тогда имеет место асимптотическая формула Zv                                Z- nn, N (x) = L n(x) + vn, N (x)’                                 (4- 1)

для остаточного члена v^, n(x) которой при 1 C n ^ AN1/2 справедлива оценка n1-а

|v^a,N^(x)| < ^с(а,А)^NA^a(x)’                          ⁽⁴‘²⁾

где An(x) определяется равенством (1.1).

• <1 Оценим следующий интеграл:

  ∞∞

  j x^ae-⁽v^aN ^(x)f dx = / x^Lⁿ<^x) 00

  
  

  _-

  
  

  ∞

  
  

  ^na,^N(x))^2dx j

  
  

  xαe

  
  
  
  

  x

  
  

  (Ln(x))²dx

  
  
  
  

∞∞

-

2 У x^ae-xLza(x) Zn,_N(x) dx + У x^ae^-x(fn,_N(x))2 dx = I1 — I₂+ I3. 00

Ясно, что

ii=1, 122k. λ_n

А по лемме 3.3

r / 1 1    ^c("⁶"

³'      1 — c(a)6n

Если теперь 0 < 6 < 1 и 1 < n ^ AN^1/2= Ad^-1/², то

∞

[ _a-x a²   < c1^{(a)5 1П(П + 1)}  +        'n <

J^xeKN^(x)) ^dx< 1 + ^(а)^i_n(n + 1) ⁺1 — c2(a)6n ^ ^c(a,A)6n. 0

• (4.3)

Отсюда и из результатов [11, с. 189–190] следует, что

K,N(x)| < fc(a,A)6n 52 |La(x)|²) ². V=0         '

• (4.4)

Далее, в силу (2.3) формулу Кристоффеля — Дарбу можно переписать в виде

K(t,x) =

Cn+J^г _r^{a       a-1}(,\   та-1(„\та /.\]

Г(п + a + 1)(x — t) (Ln^+1(x)Ln+^1(t)   Ln+^1(x)Ln+1(t)\

(n + 1)!

Г(п + a + 1)

[ L^a+i^(x)

Ln+1(x) — La+1(t)

t-x

- La+1(x)

LK(x) — La+i(t)

t-x

.

Переходя здесь к пределу при t → x и используя равенство (2.4), имеем

KXx.x) = V |La(x)|²= )" ' ') [ — L;;₊1(x)[La+1(x)]’ — La-?(x)[LS+1(x)]‘l Г in I (a I 1

(4.5)

V=0

= rOnnT+^^+l) [Ln+1(x)Ln(x) — Ln+1(x)Ln⁺¹(x)].

Сопоставляя (4.5) с (4.4), имеем

^|v^a(x)¹< c(a,A)

n

α

N

[IL))(x)Ln+1(x)| + |Ln⁺¹(x)La+1(x)|l ².            (4.6)

Далее, оценим многочлены Лагерра с помощью неравенства (2.6). Вначале заметим,

C1|A)(x)| ^ |A)+1(x)| < C2|A)(x)|, n = 1, 2,... , равномерно относительно x G [0, то). Поэтому в силу этого неравенства и (2.6) получаем

(|L^a(x)L^a+1(x)l) 2 < c(a)A)(x), 0 ^ x< то.                     (4.7)

Кроме того, из (1.1) при а > 0 также следует, что

A)⁺¹(x)A)+1 (x) ^ C(a) [A)(x)]², x > 0.                      (4.8)

Поэтому в этом случае

(|L;⁺¹(x)Ln;1 (x)|)2 < c(a)Aa(x).

(4.9)

Если — 1 < a С 0,

то в силу (2.5) имеем

La+1(x)

—^a—TLa+i(x) n + a + 1 ⁿ⁺

-

—^x—?La⁺¹(x). n+a+1 ⁿ

Следовательно,

(К⁺¹(x)Ln-l(x)i)²С

—TO7 |Ln⁺¹(x)Ln;₊1(x)| + x    |La⁺¹(x)|²

n+a+1 ^{n n}       n+a +1 ⁿ

.

(4.10)

Заметим, что

----^a----Aa⁺¹(x) С c(a)Aa(x), 0 С x < to. n+a+1 ^{n           n}

Поэтому

T-a     |Ln+1(x)Ln+1(x)| n+a + 1

С c(a)Aa (x).

(4.11)

Далее покажем, что при всех x > 0 справедливо неравенство

[ ^{x      |L}n^+1(x)|2l ^Сc^(a)(x)²An^{+1(x) С}c^(a)A^a(x).

n+a +1 ⁿ               n ^{n           n}

(4.12)

Воспользуемся формулой (2.1) и интегральной формулой Коши. Тогда при x > 0

имеем

i         _p x—t^n+a

।^Ln^{+1 (x)}। = 2П / (x - t)n+a+¹

t dt , x

γ

где y — замкнутый контур, охватывающий точку t = x.

Составим контур γ из отрезка

t = 5x/6 + iT (т-1 С т С Ti) и дуги окружности |t| = 7x/6, где т-i и Ti означают пересечения прямой t = 5x/6 + iT и окружности |t| = 7x/6. Будем иметь:

точки

L⁺¹ (x)|C 7 [ eH 12П J       x — — tу

γ

n+a

Пусть x ^ (12ln7)n. Тогда f----x----^ 7n a e-12 = eXp n+a+1

dt c

|x - t|

'(12ln 7)n

1 x             49              x

_ e 6 7^n+a+²= — 7n^+ae _V2 e 4 .

(4.13)

-

x1

" + 2

In----x---- n + a + 1

С c.

(4.14)

Из (4.13) и (4.14) находим

( , x , 1 ) ^|L^a+1(x^{)| С}ce^{4 С}cA^x), n+a+1 ^{n               n}

x > (12 In 7)n.

Отсюда следует оценка (4.12). Утверждение теоремы и (4.10)-(4.12). ▻

вытекает из (4.6),

(4.7), (4.9)

В качестве следствия теоремы 4.1 приведем следующее утверждение.

Теорема 4.2. Пусть a > —1, 0 < А < 1, 0 < 5 < 1, N = 1/6, x E [0, +to). Тогда

существует постоянная c(a, А) такая, что

^|ln,N^{(x)| С c(a,A)} (^n= ⁺ 1) ⁿ

^a<(x).