Асимптотические свойства решений функционально-дифференциальной системы

Распространяется теорема Йосидзавы - Ла Салля об асимптотической устойчивости на системы функционально-дифференциальных уравнений общего вида.

Рассмотрим систему

x(t) = /(t,x(s)),            (1)

где a <  s < t, U R+, R* = [0,4-oo), f - функционал, непрерывный при t G Я+ и принимающий значения в R^ х : R_a -4 Rⁿ есть непрерывная функция, где R_Q = [a, t). Если а = —оо, то будем считать, что х : (—oo,t) -4 R^H Предположим, что функционал / локально Липшицев по х, т. е. для каждого т > 0 и каждого компакта Q С Rⁿ существует постоянная с, вообще говоря, зависящая от т и Q такая, что

|/(t,x('))-/(i,y())i

Vt £ [0,т], х,у : [а,г) -4 Q. (26) Введем обозначения;

|ж| ::= maxil^il, тё Яп; (За)

||0|'| ::= sup|0(t)| Vt € [а,&];       (36)

Rt_a = [to,oo).             (Зв)

Пусть t0 >  0 и начальная функция

Ф : [a, to] -+ Rⁿ непрерывна. Известно [1], что существует решение x(t, 1о,Ф) системы (1) на интервале [<о, /3), удовлетворяющее условию

x(t, to, Ф) = Ф(£), а < t < to- (4) Это решение может быть продолжено па интервале [а, 5), где /5 = оо или

Iimx(t,t₀,5) = со, t —> $.        (5)

Предположим, что / является достаточно гладким функционалом, для которого существует решение для каждой непрерывной начальной функции Ф. и что если решение остается ограниченным, то оно может быть продолжено на все значения положительной полуоси.

Определение 1 [1]. Непрерывный функционал

u(t,a:(s)), а < 8 < t, t € R+ (б)

называется функционалом Ляпунова, если:

• 1)    V(t,z(s)) непрерывен при t ё R^., где х : [a, t) ->R™ есть непрерывная функция;

• 2)    v(t, x(s)) локально Липшицев по ж;

• 3)    r(t,x(-)) ограничен снизу для ограни

ченных функций т (■);(7а)

4)Dv(t,x(-)) <0,(76)

где производная Du вдоль решения т(-) системы (1) определяется соотношением п^Мй=Ti^i^ab^Mll.

'          д-»о            At'

(8а) где жЧ) = <

x(s), если а < з < t Х^ ^г Kt,X^S - tY

если t < з < t + At.

Имеет место следующее предложение, являющееся аналогом теоремы Йосидзавы - Ла Салля для обыкновенной дифференциальной системы (1).

Теорема 1. Пусть:

• 1)    x(t) - ограниченное решение функциональ но - дифф ер енциальной с истемы (1)',

• 2)    u(t,x(^-)) есть функционал Ляпунова системы (1) такой, что

• D-u^t,x^ < —144(зс(£)),         (9а)

где Иф - положительно определенная функция относительно замкнутого множества Z С Rn, т. е. для любого компактного множества Q С Н^ и любого е > 0 существует щ > 0 такое, что где Nc(e,Z) - дополнение окрестности N(e,Z) множества Z;

• 3)    существует неотрицательная функция W2 ■ R+ X N ^ R+, где N открытая окрестность множества Z, такая, что для каждого компактного подмножества QcN

имеем:

• a)    Vai > 0, Зц > 0, W2(t,z) > д

ViEQn№^,Z);             (10)

• 6)    Vp >0, ЗЕ2 > 0, ИШ ж) <

Vr € QO^2,Z);                (И)

• в)    производная ДИФЧ, z(t)) ограничена сверху, т. е.

Зщ, DW^x^< Ci, х^ 6 Q. (12)

Тогда

x(t) —¥ Z,t -> +оо.

Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда для функциональнодифференциальной системы (1) существует решение z(i), не приближающееся к Z.

Имеем

3Q С R*, x(t) £ Q t £ R^, (14) где Q компактное множество. Кроме того, имеем

Зе > О, JV(2e, Z) П Q с М (15а)

3{тъ}, n —> со, p(x(n),Z) -е. (156) Обозначим М ::= Q П N(e,Z), где N\e,Z) -замыкание множества N (г, Z).

По условию теоремы для компактного множества М С N и числа £i > 0 всегда можно найти такие числа д и £2, что 0 < 2^2 < £1-

По условию (9) имеем

3{sfc}. 3k -> сю, р(т(зк),И) -> 0, к —>■ сю.

(16) Тогда

3{tfc}, 3{<тк)4к -^ оо,

<Тк -4- оо, к ~> оо,(17а)

p(z(tt),Z) = ei, p(x(ct),Z)= —

^

В силу условий теоремы

Иф(ж) >cb Vz eQnJV^Z), (96)

Зс, DWsttjXtt)) < с 3t € [сгк,4].    (18а)

Интегрируя неравенство (18а) в интервале от <7fc ДО t*, получим tv2(tfc,s(^)) - TV2(

< c(tk - ст*).

Так как lV2(tfc,x(tfc)) >р, И-^стк, л(<Тк)) < ^, (19) то получим

^<^2(4к,^))<^2(1к,^))-

-Й^ст^х^)) < c(tfc - crfc). (20) Окончательно имеем tk-ffk^^c-"1         (21)

По условию теоремы

Dv^t, х(-)) < -WT №)), t > tk, (22) где Wi является положительно определенной функцией относительно множества Z. В силу этого существует такое число ci, что v(t,x()) < v(to,) — J Wi(x(u))du <

к

< r(to, ^ф> " £ /¹⁷¹WW <   (²³)

< и(^£о,Ф) — 2J / ^ci^u ⁼ v(^£o,^) — -кцсгс

Переходя к пределу в (23) при к -* оо, получим, что v(f,x()) -4 оо. Это противоречит условию 3) определения 1 функционала Ляпунова. Теорема доказана.

Введем функции Kt : R₊ —У R+, которые обладают свойствами: .Ю(О) = 0, K,(t) > О, t > 0, Ki(t) строго возрастают с возрастанием t.

Из теоремы 1 вытекает

Теорема 2. Пусть:

• 1)    x(t) есть ограниченное решение системы (1);

• 2)    v(t,x(s)) - функционал Ляпунова для системы (1), удовлетворяющий условию

  Dv(t,x) < —Ki(]x|);

  
  
  
  

• 3)    существует неотрицательная локально липшицева функция W :

R₊ х R? -4 Л₊такая, что

K2(|z|)

• 4)    производная DW(t, x(t)) ограничена сверху для любой непрерывной функции х^, определенной на R+. Тогда

x(t) -* (0, ...,0), f —> оо. (26) Доказательство. Легко проверяется, что для множества Z = {0,..., 0}, N = Rⁿ выполнены условия теоремы 1. Значит все ограниченные решения системы (1) приближаются к Z = {0, ..., 0} при t —> оо. Доказательство теоремы 2 завершено.

Нетрудно видеть, что обыкновенная дифференциальная система x^t^f^x^)       (27)

является частным случаем функциональнодифференциальной системы (1).

Т. Йосидзава [3] и Ж. П. Ла Салль [2] доказали следующее предложение:

Теорема 3 (2-3]. Пусть v : R_ax Rⁿ -+ R¹ непрерывна, локально липшицева по х и ограничена снизу на каждом цилиндре R_a х Р с компактным основанием Р С Rⁿ,

Dv(t,x)< -^(х) <0.       (28)

Если |/(t,x)| ограничена для ограниченных |х|, то каждое ограниченное решение дифференциальной системы (27) стремится при t -4 Ч-оо к множеству Z = {х : IV(х) = 0}. Замечание. Производная в (28) определяется соотношением

D'u^x'} — lim/i^-I[v(t+/i, z + h,/(t, х))— (29)

—u(t,x)].

Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы 3. Обозначим TVi(x) = p^x,ZY где р(х, Z) есть расстояние от х до множества Z. Функция Wi(x) удовлетворяет условию Липшица

IWifx1) -И^(х2)| < (я1 -х2|.

Производная

DlV^x) = Пт i{IVi(x + V(t,x)) - IVi(i,x)} ограничена для ограниченных [т|, т. к.

|DWi(x)| < lim-^ |х4- hf(t,x) — х| = (30) h-+0

= №»)|.

Кроме того, функция Ид(х) удовлетворяет условиям (10)-(11), следовательно, условия теоремы 1 выполнены. Теорема 3 доказана.

Теорема Йосидзавы - Ла С алл я для дифференциальной системы является частным случаем теоремы 1 для функционально-дифференциальной системы.