Асимптотическое интегрирование линейной параболической задачи с высокочастотными коэффициентами в критическом случае

Автор: Гусаченко Валентин Васильевич, Левенштам Валерий Борисович

Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru

Статья в выпуске: 4 т.14, 2012 года.

Бесплатный доступ

Рассмотрен конкретный (иллюстративный) пример линейной параболической задачи с двумя независимыми переменными (x,t) и высокочастотными по времени t коэффициентами; соответствующая стационарная однородная усредненная задача при этом вырождена. С помощью методики, развитой недавно для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [1]), и метода пограничного слоя построена полная формальная асимптотика периодического по времени решения.

Параболическая задача, высокочастотные по времени коэффициенты, вырожденная усредненная задача, полная асимптотика периодического по времени решения

Короткий адрес: https://sciup.org/14318395

IDR: 14318395

Текст научной статьи Асимптотическое интегрирование линейной параболической задачи с высокочастотными коэффициентами в критическом случае

В работе [1] (см. также [2]) построены и обоснованы полные асимптотические разложения периодических решений линейных нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с высокочастотными коэффициентами, для которых стационарная формально усредненная задача имеет простое нулевое собственное значение. Важную роль при этом играет методика, развитая в работе [3], где рассматривались возмущения стационарных задач на спектре.

В данной работе методика [1] в сочетании с методом погранслоя [4] применена для построения формальной асимптотики решения конкретной параболической задачи второго порядка с двумя независимыми переменными (x, t) в полосе с высокочастотными по времени t коэффициентами. Соответствующая однородная стационарная формально усредненная задача вырождена. Представленная в работе методика, как видно из изложения ее на примере, применима к широкому классу высокочастотных параболических задач с вырождением.

Построим формальную асимптотику 2п-периодического по времени t решения задачи дУ = d dXx’t) + u(x, t) + шu(x, t) c°s x + u(x, t) x sin шt + c°s 2x + cos x cos wt;

< u(0, t ) = u(n, t ) = 0;                                                                            (1)

ju(x, t + 2n) = u(x, t), рассматриваемой в полосе (x, t) E [0, n] x R. Введем в рассмотрение оператор Aq с областью определения D(Aq) = {u E W^([0, п]) : u(0) = u(n) = 0}, действующий в L2([0, п]) по правилу Aqu = ^^ + u. Оператор Aq самосопряжен и его спектр имеет вид ct(Aq) = {1 — k2,k E N}, ao(x) = sinx — собственная функция оператора Aq, отвечающая собственному значению А = 0.

(с) 2012 Гусаченко В. В., Левенштам В. Б.

Из соотношений (cos x sin x, sin x) = 0 и (6 sin2x cos x x cos x, sin x) = 74 = 0 следует, что собственная функция a o (x) имеет обобщенную присоединенную функцию a i (x) относительно соответствующей тройки операторов A o , A i , A 2 (которые аналогичны одноименным конечномерным операторам из [1]), т. е. справедливо равенство A o a i (x) + A i a o (x) = 0, а уравнение A o z(x) + A i a i (x) + A 2 a o (x) = 0 не имеет решений.

Для построения искомой формальной асимптотики в окрестности точки x = 0 положим £ = x^, а в окрестности точки x = п сделаем замену п = (п — x) Vw. Тогда д 2 = , , д 2     д 2 = , , д 2

дх 2     ш д. 2 , дх 2     ш дп 2 .

Формальную асимптотику решения задачи (1) c учетом [1, 4] строим в виде

u(x,t) = ш 2 С -4 a o (x) + ш 2 D -4 a o (x)

+ ^X ш k [ u 2 k +1 ( x ) + w 2 k +1 (€) + w 2 k +1 ( n ) + C k - 2 a 0 ( x ) k = - 1

+ C k - 3 a i ( x ) + y 2 k +1 (x, T ) + z 1 k +1 (€, T ) + z 2 k +1 (n, T )]

+ X ш [u 2 k +2 (x) + w 1 k +2 (€) + W 2 k +2 (n) + D k - 2 a o (x) k = - 1

+ D k - 3 a i ( x ) + y 2 k +2 ( x , T ) + z 1 k +2 (€, T ) + z 2 k +2 (n, T ) , T = ^t-

Подставим ряд (2) в уравнение и граничные условия задачи (1) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ω , причем отдельно для регулярных и для погранслойных слагаемых. Равенство коэффициентов при старшей степени (ш 2 ) доставляет задачи:

f a-j^ = C - 4 x sin x sin T;    Г*^ = 0;       Г = 0;

I hy - i (x, T ) > = 0,                  [w - i (f iL ,. = 0,      [« (n) | , = =0,

' д' <■■) = д2z-1(g,T) _ дт            д.2;

(z - i ( ,T )) = 0;

z - i (€, T ) . , =0;

^li (0 ,T ) = 0,

' дz-1 (п,т) = д2 z-1 (п,т) _ дт            д.2

(z 2 i (n ,T )) = 0;

z2i (п,т iz2i (0,t ) = 0.

Таким образом, y -i (x,T) = C -4 xsinx cos t , z -i (^,T) = z -i (n,T) = w -i (^) = w -i (n) = 0.

Приравняем теперь регулярные слагаемые при следующей степени (ш3): ду 0 дХ’т ) = D -4 x sinx sin t. Отсюда y o (x,T) = D -4 xsinx cos t .

Для погранслойных слагаемых получим те же задачи, что и на предыдущем шаге.

Поэтому z 0 (^ ,T ) = z 0 (n ,T ) = w o (^) = w o ( n ) = 0.

Приравняем теперь регулярные слагаемые при степени ω:

dy i (x,T)

∂τ

+ 1 ) ( u -i (x) + y -i (x,T) +— C - 4 sin2x ) + C - 4 cos x sinx dx 2     7 \                       6           /

+1 u - i (x) + C - 3 a o (x) + C -4 a i (x) + y -i (x, t ) lx sin t.

Применяя к уравнению (3) операцию усреднения по τ, составим задачу d2u_i(x) .

дх 2   + u - i (x) = 0;

< u - 1 (0) = u - 1 (n) = 0;

i(u -1 (x), sin x) = 0.

Отсюда, u-i(x) = 0. Возвращаясь к (3), найдем y1 (х,т) = —C-3 sin xx cos т —

C -4 sin 2x x cos т + ^ C -4 sin x x 2 cos 2т 2C -4 cos x sin т.

Перейдем к погранслойным слагаемым при той же степени. Получим задачи:

I

д':т < _ n.

дё 2   =0;

w 1 -' : x = 0,

{ d 2 w 2 ( n )

∂η 2

w 2 (n) I

- = 0;

= 0. n = ^

Таким образом, w1 (£) = w2(n) = 0. Далее, dz 1(,,T) _ 924(1^_ дт =   дё2   ;

(z 1 (^ )) = 0;

z1^ ) 1 : x = 0;

^(0,т) = 2C -4 sin т,

' dz2 (п,т) = д2 z2 (n,T) _ дт          дп2   ;

(^(П )) = 0;

z 2 (п, т ) 1     . = 0;

^z 2 (0,т) = 2C -4 sin т.

Вернемся к этим задачам после нахождения коэффициента C - 4 .

Приравняем регулярные слагаемые при следующей степени (ш 2):

y2^ ’ —- = (+ 1^ fuo(x) + yo(x,т) +— D -4 sin2x^ + D -4 cos x sin x дт \dx2    / \                 6          /

+ ^u o (x) + D - 3 a o (x) + D -4 a 1 (x) + y o (x, т )) x sin т.

Применяя к уравнению (4) операцию усреднения по τ, получим задачу

+ .             ':

< u o (0) = u o (n) = 0;

4(u o (x), sin x) = 0.

Отсюда, u o (x) = 0. Возвращаясь к (4), с учетом условия h y 2 (x,т) i = 0, получим y 2 (x, т) = D - 3 sin x x cos т 6 D -4 sin 2x x cos т + 44 D -4 sin x x 2 cos 2т 2D -4 cos x sin т.

Перейдем к погранслойным слагаемым. Получим задачи:

( д2w2. Ю ∂ξ 2

I w 1 (€) 1,

  • -    = 0;

g = ^    0,

( д2 ш, 2 ( П ) ∂η 2

1 w 2 (n) 1

  • -    = 0;

= 0. n = ^

Таким образом, w 1 (^) = w 2 (n) = 0.

' дz 1 ( С,т ) = д 2 ^1^^),_ дт          дё 2 ;

< (4(£ )) = 0;

z 1 (€, т ) 1 s = ro = 0;

^z 1 (0,т) = 2D -4 sin т,

' 8z l ( n) = д2z2(п,т) _ дт          дп2   ;

( г 2 (п )) = 0;

z 2 (п, т ) 1 п = ^ = 0;

_z 2 (0,т) = 2D -4 sin т.

Вернемся к этим задачам после нахождения коэффициента D - 4 .

Приравняем теперь регулярные слагаемые при степени ω 0 :

ду 3 ( х , т ) = / 5 + Л /(x) + y i ( x,T ) + 1 C - 3 sin2x^ ∂τ        ∂x 2                          6

+ C - 3 a 0 (x) + C - 4 a 1 (x) + y - 1 (x, τ) cos x

+ u 1 (x) + C - 2 a 0 (x) + C - 3 a 1 (x) + y 1 (x, τ) x sinτ + cos 2x + cos x cosτ.

Применяя к уравнению (5) операцию усреднения по τ, составим задачу d dUX(x) + u1 (x) = — 6C-4 cos x sin 2x + C-4 x cos x — cos 2x; u1 (0) = u1 (π) = 0;

_ (u i (x), sin x) = 0.

Откуда, C = - 16 , u (x) = - 1 cos x + 2 x cos x + 4 x2 sin x + 1 cos 2x + 1 sin 3x, у ,   -4      7π ,   1           3           3π             7π              3 42π ,

16/ (-+i        f--i V2 )Л        16.   (- V2 +i V2 )f (- V2-i V2 )Д z11(ξ, τ) = - 7π  e - 2 +i 2  ξ+e - 2 -i 2 ξ  sinτ- 7πi  e - 2 +i 2 ξ-e - 2 -i 2 ξ cosτ

16/ (- ^ 2+ j^ 2f_ V 2_ -V 216.f -V 2+ xV 2f_ V 2_ -V 2

z 2 (η, τ) =      e - 2 + i 2 η +e - 2 - i 2 η   si+    i e 2 + i 2 η - e - 2 - i 2 η cosτ.

  • 1         7π                                      7π

Приравняем регулярные слагаемые при следующей степени (ω - 1 2 ):

∂y 4 (x, τ) ∂τ

+ 1    u 2 (x) + y 2 (x, τ) + 1 D - 3 sin 2x

∂x 2                          6

+ D - 3 a 0 (x) + D - 4 a 1 (x) + y 0 (x,τ) cosx

+ u 2 (x) + D - 2 a 0 (x) + D - 3 a 1 (x) + y 2 (x,τ) xsinτ.

Применяя к (6) операцию усреднения по τ , получим задачу d dUX^x) + u2(x) = — ID-4 cos x sin 2x + D-4 x cos x; u2(0) = u2(π) = 0;

, ( u 2 (x), sin x) = 0.

Отсюда, D - 4 = 0, u 2 (x) = z 2 1 (ξ, τ) = z 2 2 (η, τ) = 0.

В результате находим x sin x cos ωt 7π

u(x, t) =    ω 2 sinx + ω sinx +     sin 2x -

7π            7       21π

- cos x + x cos x + x 2 sin x + cos 2x +    sin 3x

3        3π         7π          3         42π

+  sin 2x -

+ 42

-

+7π

+ 82 1 + 567 π

sin x x cos ωt -

+e

η +e

-

π 504 π

-

206 2 504 π

-

23 3

504π sinx

sin 2x x cos ωt +    sin x x 2 cos 2ωt + cos x sin ωt

21π               7π                7π

sin ωt -

- e

cos ωt

η

sin ωt +

η

- e

η

cos ωt + . . .

Список литературы Асимптотическое интегрирование линейной параболической задачи с высокочастотными коэффициентами в критическом случае

  • До Н. Т., Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование системы дифференциальных уравнений с высокочастотными слагаемыми в критическом случае//Дифференц. уравнения.-2012.-Т. 48, № 8.-C. 1190-1192.
  • До Н. Т., Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование системы дифференциальных уравнений с большим параметром в критическом случае//Журн. вычислительной математики и мат. физики.-2011.-Т. 51, № 6.-C. 1043-1055.
  • Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений//Успехи мат. наук.-1960.-Т. 15, № 3.-C. 3-80.
  • Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром//Успехи мат. наук.-1957.-Т. 12, № 5.-C. 3-122.
Статья научная