Асимптотическое интегрирование линейной параболической задачи с высокочастотными коэффициентами в критическом случае

В работе [1] (см. также [2]) построены и обоснованы полные асимптотические разложения периодических решений линейных нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с высокочастотными коэффициентами, для которых стационарная формально усредненная задача имеет простое нулевое собственное значение. Важную роль при этом играет методика, развитая в работе [3], где рассматривались возмущения стационарных задач на спектре.

В данной работе методика [1] в сочетании с методом погранслоя [4] применена для построения формальной асимптотики решения конкретной параболической задачи второго порядка с двумя независимыми переменными (x, t) в полосе с высокочастотными по времени t коэффициентами. Соответствующая однородная стационарная формально усредненная задача вырождена. Представленная в работе методика, как видно из изложения ее на примере, применима к широкому классу высокочастотных параболических задач с вырождением.

Построим формальную асимптотику 2п-периодического по времени t решения задачи дУ = d dXx’t) + u(x, t) + шu(x, t) c°s x + u(x, t) x sin шt + c°s 2x + cos x cos wt;

< u(0, t ) = u(n, t ) = 0;                                                                            (1)

ju(x, t + 2n) = u(x, t), рассматриваемой в полосе (x, t) E [0, n] x R. Введем в рассмотрение оператор Aq с областью определения D(Aq) = {u E W^([0, п]) : u(0) = u(n) = 0}, действующий в L2([0, п]) по правилу Aqu = ^^ + u. Оператор Aq самосопряжен и его спектр имеет вид ct(Aq) = {1 — k2,k E N}, ao(x) = sinx — собственная функция оператора Aq, отвечающая собственному значению А = 0.

(с) 2012 Гусаченко В. В., Левенштам В. Б.

Из соотношений (cos x sin x, sin x) = 0 и (6 sin2x cos x — x cos x, sin x) = 74 = 0 следует, что собственная функция a o (x) имеет обобщенную присоединенную функцию a i (x) относительно соответствующей тройки операторов A o , A i , A 2 (которые аналогичны одноименным конечномерным операторам из [1]), т. е. справедливо равенство A o a _i (x) + A _i a o (x) = 0, а уравнение A o z(x) + A _i a _i (x) + A ₂ a o (x) = 0 не имеет решений.

Для построения искомой формальной асимптотики в окрестности точки x = 0 положим £ = x^, а в окрестности точки x = п сделаем замену п = (п — x) Vw. Тогда д ² = , , д ²     д ² = , , д ²

дх ^{2     ш} д. ^{2 ,} дх ^{2     ш} дп ² .

Формальную асимптотику решения задачи (1) c учетом [1, 4] строим в виде

u(x,t) = ш ² С _-4 a o (x) + ш ² D _-4 a o (x)

∞

⁺ ^X ^ш k [ ^u 2 k +1 ^{( x ) + w} 2 k +1 ⁽€) ⁺ w ² k +1 ^{( n )} + C k - 2 a 0 ^{( x )} k = - 1

⁺ C k - 3 a i ^{( x ) +} y 2 k +1 ⁽x, ^T ) ^{+ z} 1 k +1 ⁽€, ^T ) ^{+ z} 2 k +1 ⁽n, ^T )]

∞

⁺ X ^ш [u 2 k +2 (x) + w 1 k +2 (€) + W 2 k +2 (n) + D k - 2 a o (x) k = - 1

⁺ D k - 3 a i ^{( x ) +} y 2 k +2 ^{( x} , ^T ) ^{+ z} 1 k +2 ⁽€, ^T ) ^{+ z} 2 k +2 ⁽n, ^T ) , ^T = ^t-

Подставим ряд (2) в уравнение и граничные условия задачи (1) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ω , причем отдельно для регулярных и для погранслойных слагаемых. Равенство коэффициентов при старшей степени (ш ² ) доставляет задачи:

f a-j^ = C - 4 x sin x sin T;    Г*^ = 0;       Г = 0;

I h^y - i (x, ^T ) > = 0,                  [w - i (f iL ,. = 0,      [« — (n⁾ | , = „ =0,

' д' <■■) = д2z-1(g,T) _ дт            д.2;

(z - i ⁽€ ^,T )) = 0;

^z - i ⁽€, ^{T )} . , =0;

^li ⁽0 ^,T ) = 0,

' дz-1 (п,т) = д2 z-1 (п,т) _ дт            д.2

(z ² i ⁽n ^,T )) = 0;

z2i (п,т iz2i (0,t ) = 0.

Таким образом, y _-i (x,T) = — C _-4 xsinx cos t , z -_i (^,T) = z -_i (n,T) = w -_i (^) = w -_i (n) = 0.

Приравняем теперь регулярные слагаемые при следующей степени (ш3): ^ду 0 дХ’^т ) = D _-4 x sinx sin t. Отсюда y o (x,T) = — D _-4 xsinx cos t .

Для погранслойных слагаемых получим те же задачи, что и на предыдущем шаге.

Поэтому z 0 ⁽^ ^,T ) = z 0 ⁽n ^,T ) = w o (^) = w o ⁽ n ) = 0.

Приравняем теперь регулярные слагаемые при степени ω:

dy i (x,T)

∂τ

+ 1 ) ( u _-i (x) + y _-i (x,T) +— C - 4 sin2x ) + C - 4 cos x sinx dx ²     7 \                       6           /

+1 u - i (x) + C - 3 a o (x) + C _-4 a _i (x) + y _-i (x, t ) lx sin t.

Применяя к уравнению (3) операцию усреднения по τ, составим задачу d2u_i(x) .

_дх 2   + u - i (x) = 0;

< u - 1 (0) = u - 1 (n) = 0;

_i(u _-1 (x), sin x) = 0.

Отсюда, u-i(x) = 0. Возвращаясь к (3), найдем y1 (х,т) = —C-3 sin xx cos т —

C _-4 sin 2x x cos т + ^ C _-4 sin x x ² cos 2т — 2C _-4 cos x sin т.

Перейдем к погранслойным слагаемым при той же степени. Получим задачи:

I

д':т < _ n.

дё ²   =⁰;

w ¹ -' _{: x} = ⁰,

{ d ² w 2 ( n )

∂η ²

w ^{2 (}n) I

- = 0;

= 0. n = ^

Таким образом, w1 (£) = w2(n) = 0. Далее, dz 1(,,T) _ 924(1^_ дт =   дё2   ;

(z ^{1 (}^ ^,т )) = 0;

z¹^ ) ¹ _{: x} = 0;

^(0,т) = 2C _-4 sin т,

' dz2 (п,т) = д2 z2 (n,T) _ дт          дп2   ;

(^⁽П ^,т )) = 0;

z ^{2 (}п, ^т ) ¹     . = 0;

^z ² (0,т) = — 2C _-4 sin т.

Вернемся к этим задачам после нахождения коэффициента C - 4 .

Приравняем регулярные слагаемые при следующей степени (ш 2):

y²^ ’ —- = (+ 1^ fuo(x) + yo(x,т) +— D _-4 sin2x^ + D _-4 cos x sin x дт \dx²    / \                 6          /

+ ^u o (x) + D - 3 a o (x) + D _-4 a ₁ (x) + y o (x, т )) x sin т.

Применяя к уравнению (4) операцию усреднения по τ, получим задачу

+ .             ':

< u o (0) = u o (n) = 0;

₄(u o (x), sin x) = 0.

Отсюда, u o (x) = 0. Возвращаясь к (4), с учетом условия h y 2 (x,т) i = 0, получим y ₂ (x, т) = — D - 3 sin x x cos т — 6 D _-4 sin 2x x cos т + 44 D _-4 sin x x ² cos 2т — 2D _-4 cos x sin т.

Перейдем к погранслойным слагаемым. Получим задачи:

( ^д2w2. Ю ∂ξ ²

I w ^{1 (}€) ¹,

• -    = 0;

g = ^    0,

( ^д2 ш, 2 ⁽ П ⁾ ∂η ²

1 w ^{2 (}n) ¹

• -    = 0;

= 0. n = ^

Таким образом, w ¹ (^) = w 2 (n) = 0.

' ^{дz 1 (} С,т ) = д ² ^¹^^),_ дт          дё ^{2 ;}

_< (4⁽£ ^,т )) = 0;

z ^{1 (}€, ^т ) ¹ _s = _ro = 0;

^z ¹ (0,т) = 2D _-4 sin т,

' 8z l ( n) = ^д2z2⁽п,т) _ дт          дп^{2   ;}

( ^{г 2 (}п ^,т )) = 0;

z ^{2 (}п, ^т ) ¹ п = ^ = 0;

_z 2 (0,т) = — 2D _-4 sin т.

Вернемся к этим задачам после нахождения коэффициента D _- 4 .

Приравняем теперь регулярные слагаемые при степени ω ⁰ :

^ду 3 ( ^х , ^т ) = / 5 + Л /(x) + y i ( _x,T ) + ¹ C - 3 sin2x^ ∂τ        ∂x ²                          6

+ C _- 3 a 0 (x) + C _- 4 a 1 (x) + y _- 1 (x, τ) cos x

+ u 1 (x) + C _- 2 a 0 (x) + C _- 3 a 1 (x) + y 1 (x, τ) x sinτ + cos 2x + cos x cosτ.

Применяя к уравнению (5) операцию усреднения по τ, составим задачу d dUX(x) + u1 (x) = — 6C-4 cos x sin 2x + C-4 x cos x — cos 2x; u1 (0) = u1 (π) = 0;

_ (u i (x), sin x) = 0.

Откуда, C = - 16 , u (x) = - 1 cos x + 2 x cos x + 4 x2 sin x + 1 cos 2x + 1 sin 3x, у ,   -4      7π ,   1           3           3π             7π              3 42π ,

16/ (-+i        f--i V2 )Л        16.   (- V2 +i V2 )f (- V2-i V2 )Д z11(ξ, τ) = - 7π  e - 2 +i 2  ξ+e - 2 -i 2 ξ  sinτ- 7πi  e - 2 +i 2 ξ-e - 2 -i 2 ξ cosτ

16/ (- ^ 2₊ j^ 2f_ V 2_ -V 216.f -V 2₊ xV 2f_ V 2_ -V 2

z 2 ₍η_, τ_{) =}      e - ₂ + i ₂ η ₊e - ₂ - i ₂ η   s_inτ _{+    i} e ₂ + i ₂ η _- e - ₂ - i ₂ η cosτ_.

• ¹         7π                                      7π

Приравняем регулярные слагаемые при следующей степени (ω ^{- 1 2} ):

∂y 4 (x, τ) ∂τ

^∂ + 1    u 2 (x) + y 2 (x, τ) + ¹ D - 3 sin 2x

∂x ²                          6

+ D - 3 a 0 (x) + D - 4 a 1 (x) + y 0 (x,τ) cosx

+ u 2 (x) + D - 2 a 0 (x) + D - 3 a 1 (x) + y 2 (x,τ) xsinτ.

Применяя к (6) операцию усреднения по τ , получим задачу d dUX^x) + u2(x) = — ID-4 cos x sin 2x + D-4 x cos x; u2(0) = u2(π) = 0;

, ( u ₂ (x), sin x) = 0.

Отсюда, D - 4 = 0, u 2 (x) = z ₂ ¹ (ξ, τ) = z ₂ ² (η, τ) = 0.

В результате находим x sin x cos ωt 7π

u(x, t) =    ω ² sinx + ω sinx +     sin 2x -

7π            7       21π

- cos x + x cos x + x ² sin x + cos 2x +    sin 3x

3        3π         7π          3         42π

+  sin 2x -

+ 42

-

7π

+7π

₊ 82 1 ₊ 567 π

sin x x cos ωt -

+e

η ₊e

-

π 504 ^π

-

206 ₂ 504 ^π

-

23 3

504π sinx

sin 2x x cos ωt +    sin x x ² cos 2ωt + cos x sin ωt

21π               7π                7π

sin ωt -

7π

- e

cos ωt

η

sin ωt +

7π

η

- e

η

cos ωt + . . .