Асимптотическое интегрирование линейной параболической задачи с высокочастотными коэффициентами в критическом случае
Автор: Гусаченко Валентин Васильевич, Левенштам Валерий Борисович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.14, 2012 года.
Бесплатный доступ
Рассмотрен конкретный (иллюстративный) пример линейной параболической задачи с двумя независимыми переменными (x,t) и высокочастотными по времени t коэффициентами; соответствующая стационарная однородная усредненная задача при этом вырождена. С помощью методики, развитой недавно для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [1]), и метода пограничного слоя построена полная формальная асимптотика периодического по времени решения.
Параболическая задача, высокочастотные по времени коэффициенты, вырожденная усредненная задача, полная асимптотика периодического по времени решения
Короткий адрес: https://sciup.org/14318395
IDR: 14318395
Текст научной статьи Асимптотическое интегрирование линейной параболической задачи с высокочастотными коэффициентами в критическом случае
В работе [1] (см. также [2]) построены и обоснованы полные асимптотические разложения периодических решений линейных нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с высокочастотными коэффициентами, для которых стационарная формально усредненная задача имеет простое нулевое собственное значение. Важную роль при этом играет методика, развитая в работе [3], где рассматривались возмущения стационарных задач на спектре.
В данной работе методика [1] в сочетании с методом погранслоя [4] применена для построения формальной асимптотики решения конкретной параболической задачи второго порядка с двумя независимыми переменными (x, t) в полосе с высокочастотными по времени t коэффициентами. Соответствующая однородная стационарная формально усредненная задача вырождена. Представленная в работе методика, как видно из изложения ее на примере, применима к широкому классу высокочастотных параболических задач с вырождением.
Построим формальную асимптотику 2п-периодического по времени t решения задачи дУ = d dXx’t) + u(x, t) + шu(x, t) c°s x + u(x, t) x sin шt + c°s 2x + cos x cos wt;
< u(0, t ) = u(n, t ) = 0; (1)
ju(x, t + 2n) = u(x, t), рассматриваемой в полосе (x, t) E [0, n] x R. Введем в рассмотрение оператор Aq с областью определения D(Aq) = {u E W^([0, п]) : u(0) = u(n) = 0}, действующий в L2([0, п]) по правилу Aqu = ^^ + u. Оператор Aq самосопряжен и его спектр имеет вид ct(Aq) = {1 — k2,k E N}, ao(x) = sinx — собственная функция оператора Aq, отвечающая собственному значению А = 0.
(с) 2012 Гусаченко В. В., Левенштам В. Б.
Из соотношений (cos x sin x, sin x) = 0 и (6 sin2x cos x — x cos x, sin x) = 74 = 0 следует, что собственная функция a o (x) имеет обобщенную присоединенную функцию a i (x) относительно соответствующей тройки операторов A o , A i , A 2 (которые аналогичны одноименным конечномерным операторам из [1]), т. е. справедливо равенство A o a i (x) + A i a o (x) = 0, а уравнение A o z(x) + A i a i (x) + A 2 a o (x) = 0 не имеет решений.
Для построения искомой формальной асимптотики в окрестности точки x = 0 положим £ = x^, а в окрестности точки x = п сделаем замену п = (п — x) Vw. Тогда д 2 = , , д 2 д 2 = , , д 2
дх 2 ш д. 2 , дх 2 ш дп 2 .
Формальную асимптотику решения задачи (1) c учетом [1, 4] строим в виде
u(x,t) = ш 2 С -4 a o (x) + ш 2 D -4 a o (x)
∞
+ ^X ш k [ u 2 k +1 ( x ) + w 2 k +1 (€) + w 2 k +1 ( n ) + C k - 2 a 0 ( x ) k = - 1
+ C k - 3 a i ( x ) + y 2 k +1 (x, T ) + z 1 k +1 (€, T ) + z 2 k +1 (n, T )]
∞
+ X ш [u 2 k +2 (x) + w 1 k +2 (€) + W 2 k +2 (n) + D k - 2 a o (x) k = - 1
+ D k - 3 a i ( x ) + y 2 k +2 ( x , T ) + z 1 k +2 (€, T ) + z 2 k +2 (n, T ) , T = ^t-
Подставим ряд (2) в уравнение и граничные условия задачи (1) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ω , причем отдельно для регулярных и для погранслойных слагаемых. Равенство коэффициентов при старшей степени (ш 2 ) доставляет задачи:
f a-j^ = C - 4 x sin x sin T; Г*^ = 0; Г = 0;
I hy - i (x, T ) > = 0, [w - i (f iL ,. = 0, [« — (n) | , = „ =0,
' д' <■■) = д2z-1(g,T) _ дт д.2;
(z - i (€ ,T )) = 0;
z - i (€, T ) . , =0;
^li (0 ,T ) = 0,
' дz-1 (п,т) = д2 z-1 (п,т) _ дт д.2
(z 2 i (n ,T )) = 0;
z2i (п,т iz2i (0,t ) = 0.
Таким образом, y -i (x,T) = — C -4 xsinx cos t , z -i (^,T) = z -i (n,T) = w -i (^) = w -i (n) = 0.
Приравняем теперь регулярные слагаемые при следующей степени (ш3): ду 0 дХ’т ) = D -4 x sinx sin t. Отсюда y o (x,T) = — D -4 xsinx cos t .
Для погранслойных слагаемых получим те же задачи, что и на предыдущем шаге.
Поэтому z 0 (^ ,T ) = z 0 (n ,T ) = w o (^) = w o ( n ) = 0.
Приравняем теперь регулярные слагаемые при степени ω:
dy i (x,T)
∂τ
+ 1 ) ( u -i (x) + y -i (x,T) +— C - 4 sin2x ) + C - 4 cos x sinx dx 2 7 \ 6 /
+1 u - i (x) + C - 3 a o (x) + C -4 a i (x) + y -i (x, t ) lx sin t.
Применяя к уравнению (3) операцию усреднения по τ, составим задачу d2u_i(x) .
дх 2 + u - i (x) = 0;
< u - 1 (0) = u - 1 (n) = 0;
i(u -1 (x), sin x) = 0.
Отсюда, u-i(x) = 0. Возвращаясь к (3), найдем y1 (х,т) = —C-3 sin xx cos т —
C -4 sin 2x x cos т + ^ C -4 sin x x 2 cos 2т — 2C -4 cos x sin т.
Перейдем к погранслойным слагаемым при той же степени. Получим задачи:
I
д':т < _ n.
дё 2 =0;
w 1 -' : x = 0,
{ d 2 w 2 ( n )
∂η 2
w 2 (n) I
- = 0;
= 0. n = ^
Таким образом, w1 (£) = w2(n) = 0. Далее, dz 1(,,T) _ 924(1^_ дт = дё2 ;
(z 1 (^ ,т )) = 0;
z1^ ) 1 : x = 0;
^(0,т) = 2C -4 sin т,
' dz2 (п,т) = д2 z2 (n,T) _ дт дп2 ;
(^(П ,т )) = 0;
z 2 (п, т ) 1 . = 0;
^z 2 (0,т) = — 2C -4 sin т.
Вернемся к этим задачам после нахождения коэффициента C - 4 .
Приравняем регулярные слагаемые при следующей степени (ш 2):
y2^ ’ —- = (+ 1^ fuo(x) + yo(x,т) +— D -4 sin2x^ + D -4 cos x sin x дт \dx2 / \ 6 /
+ ^u o (x) + D - 3 a o (x) + D -4 a 1 (x) + y o (x, т )) x sin т.
Применяя к уравнению (4) операцию усреднения по τ, получим задачу
+ . ':
< u o (0) = u o (n) = 0;
4(u o (x), sin x) = 0.
Отсюда, u o (x) = 0. Возвращаясь к (4), с учетом условия h y 2 (x,т) i = 0, получим y 2 (x, т) = — D - 3 sin x x cos т — 6 D -4 sin 2x x cos т + 44 D -4 sin x x 2 cos 2т — 2D -4 cos x sin т.
Перейдем к погранслойным слагаемым. Получим задачи:
( д2w2. Ю ∂ξ 2
I w 1 (€) 1,
-
- = 0;
g = ^ 0,
( д2 ш, 2 ( П ) ∂η 2
1 w 2 (n) 1
-
- = 0;
= 0. n = ^
Таким образом, w 1 (^) = w 2 (n) = 0.
' дz 1 ( С,т ) = д 2 ^1^^),_ дт дё 2 ;
< (4(£ ,т )) = 0;
z 1 (€, т ) 1 s = ro = 0;
^z 1 (0,т) = 2D -4 sin т,
' 8z
l
(
n
( г 2 (п ,т )) = 0;
z 2 (п, т ) 1 п = ^ = 0;
_z 2 (0,т) = — 2D -4 sin т.
Вернемся к этим задачам после нахождения коэффициента D - 4 .
Приравняем теперь регулярные слагаемые при степени ω 0 :
ду 3 ( х , т ) = / 5 + Л /(x) + y i ( x,T ) + 1 C - 3 sin2x^ ∂τ ∂x 2 6
+ C - 3 a 0 (x) + C - 4 a 1 (x) + y - 1 (x, τ) cos x
+ u 1 (x) + C - 2 a 0 (x) + C - 3 a 1 (x) + y 1 (x, τ) x sinτ + cos 2x + cos x cosτ.
Применяя к уравнению (5) операцию усреднения по τ, составим задачу d dUX(x) + u1 (x) = — 6C-4 cos x sin 2x + C-4 x cos x — cos 2x; u1 (0) = u1 (π) = 0;
_ (u i (x), sin x) = 0.
Откуда, C = - 16 , u (x) = - 1 cos x + 2 x cos x + 4 x2 sin x + 1 cos 2x + 1 sin 3x, у , -4 7π , 1 3 3π 7π 3 42π ,
16/ (-+i f--i V2 )Л 16. (- V2 +i V2 )f (- V2-i V2 )Д z11(ξ, τ) = - 7π e - 2 +i 2 ξ+e - 2 -i 2 ξ sinτ- 7πi e - 2 +i 2 ξ-e - 2 -i 2 ξ cosτ
16/ (- ^ 2+ j^ 2f_ V 2_ -V 216.f -V 2+ xV 2f_ V 2_ -V 2
z 2 (η, τ) = e - 2 + i 2 η +e - 2 - i 2 η sinτ + i e 2 + i 2 η - e - 2 - i 2 η cosτ.
-
1 7π 7π
Приравняем регулярные слагаемые при следующей степени (ω - 1 2 ):
∂y 4 (x, τ) ∂τ
∂ + 1 u 2 (x) + y 2 (x, τ) + 1 D - 3 sin 2x
∂x 2 6
+ D - 3 a 0 (x) + D - 4 a 1 (x) + y 0 (x,τ) cosx
+ u 2 (x) + D - 2 a 0 (x) + D - 3 a 1 (x) + y 2 (x,τ) xsinτ.
Применяя к (6) операцию усреднения по τ , получим задачу d dUX^x) + u2(x) = — ID-4 cos x sin 2x + D-4 x cos x; u2(0) = u2(π) = 0;
, ( u 2 (x), sin x) = 0.
Отсюда, D - 4 = 0, u 2 (x) = z 2 1 (ξ, τ) = z 2 2 (η, τ) = 0.
В результате находим x sin x cos ωt 7π
u(x, t) = ω 2 sinx + ω sinx + sin 2x -
7π 7 21π
- cos x + x cos x + x 2 sin x + cos 2x + sin 3x
3 3π 7π 3 42π
+ sin 2x -
+ 42
-
7π
+7π
+ 82 1 + 567 π
sin x x cos ωt -
+e
η +e
-
π 504 π
-
206 2 504 π
-
23 3
504π sinx
sin 2x x cos ωt + sin x x 2 cos 2ωt + cos x sin ωt
21π 7π 7π
sin ωt -
7π
- e
cos ωt
η
sin ωt +
7π
η
- e
η
cos ωt + . . .
Список литературы Асимптотическое интегрирование линейной параболической задачи с высокочастотными коэффициентами в критическом случае
- До Н. Т., Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование системы дифференциальных уравнений с высокочастотными слагаемыми в критическом случае//Дифференц. уравнения.-2012.-Т. 48, № 8.-C. 1190-1192.
- До Н. Т., Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование системы дифференциальных уравнений с большим параметром в критическом случае//Журн. вычислительной математики и мат. физики.-2011.-Т. 51, № 6.-C. 1043-1055.
- Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений//Успехи мат. наук.-1960.-Т. 15, № 3.-C. 3-80.
- Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром//Успехи мат. наук.-1957.-Т. 12, № 5.-C. 3-122.