Асимптотическое поведение функции комплексного переменного с параметром и нулями
Автор: Матанов Шерали Маматжанович
Журнал: Бюллетень науки и практики @bulletennauki
Рубрика: Физико-математические науки
Статья в выпуске: 11 т.8, 2022 года.
Бесплатный доступ
Исследование асимптотического поведения решений сингулярно возмущенных уравнений в комплексных областях сводится к исследованию интегралов от экспоненциальных функций комплексного переменного с параметром. Поставлена задача исследования асимптотического поведения таких функций. Функции в экспоненте имеют нули. Исследование таких функций затрудняется тем, что надо выделить из заданной области некоторую часть и выбрать пути интегрирования, которые обеспечивают ограниченность рассматриваемых функций по малому параметру. К таким интегралом не применим метод перевала. Для решения поставленной задачи применены линии уровня гармонических функций, порождаемые аналитическими функциями. Линиями уровней область в комплексной плоскости разделена на части. Выбраны пути интегрирования, обеспечивающие ограниченность интегралов по малому параметру. Выявлены погранслойные линии, области, где интегралы не имеют предела по малому параметру, но ограничены по модулю; регулярные области (интегралы имеют предел); сингулярные области (интегралы не ограничен). Все построения сопровождены соответствующими рисунками. В дальнейшем результаты данной работы можно использовать для теории сингулярно возмущенных уравнений в комплексной области.
Сингулярное возмущение, асимптотическое поведение, линия уровня, монотонность, путь интегрирование, ограниченность
Короткий адрес: https://sciup.org/14125978
IDR: 14125978 | УДК: 517.928 | DOI: 10.33619/2414-2948/84/02
Asymptotic behavior of a function of a complex variable with a parameter and zeros
The study of the asymptotic behavior of solutions of singularly perturbed equations in complex domains reduces to the study of integrals of exponential functions of a complex variable with a parameter. The problem is to study the asymptotic behavior of such functions. The functions in the exponent have zeros. The study of such functions is hampered by the fact that it is necessary to select a certain part from a given region and choose integration paths that ensure the boundedness of the considered functions with respect to a small parameter. The saddle point method is not applicable to such integrals. To solve the problem, the level lines of harmonic functions generated by analytic functions are applied. The level lines divide the area in the complex plane into parts. Integration paths are chosen that ensure boundedness of integrals with respect to a small parameter. Boundary-layer lines, areas where the integrals have no limit with respect to a small parameter, but are limited with respect to the modulus, are revealed; regular domains (integrals have a limit); singular regions (integrals are not limited). All constructions are accompanied by corresponding drawings. In the future, the results of this paper can be used for the theory of singularly perturbed equations in a complex domain.
Список литературы Асимптотическое поведение функции комплексного переменного с параметром и нулями
- Алыбаев К. С., Тампагаров К. Б. Метод погранслойных линий построения регулярно и сингулярных областей для линейных сингулярно возмущенных уравнений с аналитическими функциями // Естественные и математические науки в современном мире: сб. статей по материалам XLVII международной научно-практической конференции. №10 (45). Новосибирск, 2016. 59-66 с.
- Алыбаев К. С., Нарымбетов Т. К. Асимптотический анализ решений слабо нелинейных сингулярно возмущенных уравнений первого порядка в комплексных областях // Вестник Ошского государственного университета. 2020. №1. C. 96-103.
- Нарымбетов Т. К. Анализ исследований сингулярно возмущенных уравнений в комплексных областях // Вестник Ошского государственного университета. 2021. №1(1). C. 74-89.
- Алыбаев К. С., Матанов Ш. М. Геометрическая теория сингулярно возмущенного уравнения бернулли с точкой перевала // Наука. Образование. Техника. 2021. №3 (72). С. 40-50.
- Вазов В. Р. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. 464 с.
- Федорюк М. В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с.
