Асимптотическое поведение приближенного решения одномерной сингулярно возмущенной задачи Гольдштика
Автор: Павленко Вячеслав Николаевич, Деркунова Елена Анатольевна
Рубрика: Математика
Статья в выпуске: 4 т.15, 2023 года.
Бесплатный доступ
Рассматривается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывной по фазовой переменной нелинейностью, в правую часть которого включен малый параметр. Наряду с этим тот же параметр возникает в записи начальных условий. Это приводит к ситуации, когда исследуемая задача из классической переходит в разряд сингулярно возмущенных. Решить задачу в такой постановке, во-первых, представляется возможным, исходя из понятия точного решения, средствами теории уравнений с разрывными нелинейностями; во-вторых, как сингулярно возмущенную - методом построения асимптотики погранслойного типа. Поскольку точное решение терпит разрыв в начальной точке, что в физическом смысле не оправданно, то производится аппроксимация уравнения с целью получить приближенное сглаженное решение. Для него требуется определенная сходимость к точному решению при стремлении малого параметра к нулю. Уравнение со сглаженной правой частью дает решение в квадратурах. Затем доказывается близость его асимптотики к точному решению. Из экспоненциальной близости асимптотики к приближенному решению следует для последнего требуемое поведение.
Разрывные нелинейности, задача гольдштика, сингулярные возмущения, асимптотическое разложение, пограничные функции
Короткий адрес: https://sciup.org/147241257
IDR: 147241257 | УДК: 517.928 | DOI: 10.14529/mmph230402
The asymptotic behavior of the approximate solution of a one-dimensional singularly perturbed Goldshtik problem
The Cauchy problem is considered for an ordinary differential equation with discontinuous phase-variable nonlinearity, in the right part of which a small parameter is included. The same parameter occurs in the initial conditions, leading to the problem going from classical to singularly perturbed. It seems possible to solve the problem in such a formulation, firstly based on the concept of an exact solution, by means of the theory of equations with discontinuous nonlinearities; and secondly, being singularly perturbed, by the method of constructing asymptotics of the boundary layer type. Since the exact solution suffers a discontinuity at the starting point, which is not justified in the physical sense, the equation is approximated in order to obtain an approximate smoothed solution. It requires a convergence to the exact solution when the small parameter tends to zero. An equation with a smoothed right-hand side gives a solution in quadratures. Then the proximity of its asymptotic to the exact solution is proved. From the exponential proximity of the asymptotic to the approximate solution, the required behavior follows for the latter.
Список литературы Асимптотическое поведение приближенного решения одномерной сингулярно возмущенной задачи Гольдштика
- Goldshtik, M. Inviscid Separation in Steady Planar Flows / M. Goldshtik, F. Hussain // Fluid Dynamics Research. - 1998. - Vol. 23. - P. 235-266.
- The Solution with Internal Transition Layer of the Reaction-Diffusion Equation in Case of Discontinuous Reactive and Diffusive Terms / N.T. Levashova, N.N. Nefedov, O.A. Nikolaeva et al. // Math Meth Appl Sci. - 2018. - Vol. 41, Iss. 18. - P. 9203-9217.
- Нефедов, Н.Н. Асимптотическая устойчивость стационарного решения с внутренним переходным слоем задачи реакция-диффузия с разрывным реактивным слагаемым / Н.Н. Нефедов, Н.Т. Левашова, А.О. Орлов // ВМУ. Серия 3. Физика. Астрономия. Теоретическая и математическая физика. - 2018. - № 6. - С. 3-10.
- Нефедов, Н.Н. О периодическом внутреннем слое в задаче реакция-диффузия с источником модульно-кубического типа / Н.Н. Нефедов, Е.И. Никулин, А.О. Орлов // ЖВММФ. - 2020. - Т. 60, № 9. - С. 1513-1532.
- Левашова, Н.Т. Асимптотически устойчивые стационарные решения реакция-диффузия-адвекция с разрывными реактивным и адвективным слагаемыми / Н.Т. Левашова, Н.Н. Нефедов, О.А. Николаева // Дифференциальные уравнения. - 2020. - Т. 56, № 5. - С. 615-631.
- Васильева, А.Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. - М.: Высшая школа, 1990. - 207 с.
- Васильева, А.Б. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. - 106 с.
