Асимптотическое поведение решения задачи кручения радиально-неоднородной трансверсально-изотропной сферической оболочки

Введение. В современной инженерной практике широко используются неоднородные тонкостенные конструкции. Сложная природа явлений, возникающих при деформации неоднородных конструкций, приводит к созданию многих прикладных теорий, каждая из которых построена на основе определенной системы гипотез. Несмотря на существование целого ряда прикладных теорий слоистых оболочек, области их применимости мало изучены. Сам факт существования различных прикладных теорий для слоистых оболочек ставит задачу их критического анализа на основе строгого математического подхода. Вопросы, связанные с изучением напряженно-деформированного состояния для слоистых конструкций, могут быть корректно решены только в рамках теории упругости. Вместе с этим требуется дальнейшее развитие методов решения трехмерных задач неоднородных оболочек, наиболее адекватно учитывающих и механическую, и геометрическую структуру.

В статье изучается задача кручения радиально-неоднородной трансверсально-изотропной сферической оболочки.

Постановка задачи. Рассмотрим задачу кручения радиально-неоднородного трансверсальноизотропного сферического слоя. Обозначим через Г = { r е [ r 1 , r₂ ] ; 0е [ 0 1 , 0 2 ] ; фе [ 0,2 л ] } область, занятую оболочкой ( r , 0 , ф - сферические координаты). Будем считать, что модули сдвига

G = G ( r ) , G 1 = G 1 ( r ) - произвольные положительные кусочно-непрерывные функции переменной r .

Уравнения равновесия в перемещениях при отсутствии массовых сил имеет вид [1]

д д r

G 1

[^ ( д r

—

u _.

^r )

+ g (^

ф

r

_v д r

u

-=• r )

+.

g (ди.

' ф

_v д0 ²

ди _ф        cos 2 0

+ ^fctg0--”^и ф д0       sin 0 J

= 0 .

Здесь и _ф = и _ф ( r ; 0 ) - компонента вектора смещения.

Предположим, что лицевые поверхности свободны от напряжений

о r ф

/ х ( ди

= G -^{( r} > [1 5^

u

^r )

=о, r = rs

а на конических поверхностях (торцах)

O

= G ( r ) (du.

r

( 56

^

^{- u} . ctg ⁶

= Дr ) , ( s = 1,2 ) ,

6=6 s

где f s ( r ) - достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям равновесия.

Решение (1) отыщем в виде и.(r;6) = u(r) m(6), где m(6) - решение уравнения Лежандра [2],

m" (6) + ctg6m' (6) +1 z2 - —\—V J V J V 4 sin2 6

После подстановки (4) в (1), (2) с учетом (5) имеем:

(

Gi (r) u(r)

V

—

^

^r 7

‘

+ 3G (r)

r

p( r )-u(r) 1

V           ^r 7

+

<

+

G(r)(9    2^ x rV4-z Hr)=°,

Gi (r) u'(r)

V

—

u(rЛ

= 0.

(6), (7) представим в следующем виде

где

A u = <

-

r ²

G(r)

r

r = г

A u = Xu ,

Gi (r) u'(r)

V

-

^

^r 7

‘

-

3 rG1 (r) G(r)

(

u (r)-

V

УМ ) ;

^r 7

G i ( ^r )^(u ' ( ^r )^-U( r ) V           ^r 7

= ° ^

X = 9 - z²

Введем гильбертово пространство H со скалярным произведением r2

( и , w ) H = J Guwdr .

r ₁

Лемма. Оператор A : H ^ H неотрицателен.

Доказательство. После интегрирования по частям и учета условий (7) получаем r 2                             2

(A u, u) = ( G jf r)r ² dr > ° .

V ’ ,H J 1V \ dr r J r1

Из (9) вытекает доказательство утверждения леммы.

Ненулевые собственные значения оператора A Xk > °, Xk >^ при k ^да, множест во собственных функций {uk}”=° образует ортогональный базис пространства H, т. е.

r ₂

(^u k , ^u t ) н = d k 5 kt , d k = (^u k , ^u k ) h = J ^G ( ^r )^u k ( ^r ) ^dr ,                      ⁽¹⁰⁾

r ₁

и для всех ие H справедливо представление ck =

^(и , ^и к ) H d_k

X и Е ckи к, к=0

При этом X = X0 = 0 - собственное значение оператора A: H ^ H, и ему соответствует соб ственная функция и0(r)=r .

Выражение u фк (r, 0) = mk (0)и к (r)

считаем элементарным решением. Отметим, что

(1   „Л 2 о^

m ₀ = A sin 0 + B_o\ —sin 0 In ctg² — + ctg 0

V 2 V    2 JJ mk = AkP^ -1/2 ( cos 0) + BkQк -1/2 ( cos 0) , где zk = V9/4-X, ; P1 . . 1/2 (cos 0), Q1-1/2 (cos 0) - присоединенные функции Лежандра первого и второго рода, соответственно; Ak , Bk – произвольные постоянные.

Любое решение (1), удовлетворяющее граничным условиям (2), можно представить в виде uф(r, 0) = uф0 (r, 0) + Ё uфк (r,0) .

к =1

На основании (11)-(14) имеем

°0ф =-B0 + ЁGr)-ик (r)(mк (0)-mk (0)ctg0) , sin 0~

° r ф=Е G1 ( r) Uk (r ^^^ mk (0) .

^k =1         V              ^r J

Из (15), (16) видно, что постоянная A ₀ соответствует перемещению сферы как абсолютно твердого тела. Поэтому можно считать A 0 = 0 .

Докажем, что постоянная B ₀ при отсутствии внешних усилий на боковых поверхностях пропорциональна крутящим моментам M _кр напряжений, действующим в сечении 0 = const .

Отметим, что r2

M кр = ^{2 п sin} 2 ⁰ | ° 0ф r ² dr .

r ₁

Подставляя (15) в (17), получаем r2                                  X

^ ^r 2

А

M кр = ^{4 n} B 0 J r ^{2 G} ( r ) dr ^{+ 2 n si}n^{2 0} E f ^rG ( r )^u к ( r ) dr ( m к (⁰)

—

r ₁

к =1

m k (⁰) ctg ⁰ ) .

V r 1

J

Умножая обе части (6) на r ³ и интегрируя полученное в [ r 1 , r ₂ ] , имеем

/

^zk ^-

9 А ^r 2                            ^r 2       /          <

- I J ^rG ( ^r )^u к ( ^r ) dr = J ^{r3 G} 1 ( ^r ) ^u k ( ^r )

^{4 J} r                     r    V        ^V

r ₁

r ₁

V

^и к ^{( r} )

r

А А

‘

J J

₊ ^{3 G} 1 ( r ) r

v k ( r ) — ^^( r ) V            r j

dr .

С помощью интегрирования по частям и с использованием граничного условия (7) из (19) получаем r2

J rG (r )uk (r ) dr = 0.(20)

r ₁

После подстановки (20) в (18) получаем r2

M кр =-4nBo J r 2 G (r) dr .(21)

r ₁

Подставляя (15) в (3) и умножая скалярно на и t ( t = 1, 2, ... ) при учете условий (10), имеем

• 1    r2                          M

(m^-mk(о)c^L     Jf(r)uk(r)dr-         2A JrG(r)uk(r)dr.

s    d k r                      2 ⁿ a o d k sin и s r

Постоянные A_k , B_k определяются из системы (22).

Рассмотрим несколько частных случаев зависимости упругих характеристик от r .

Квадратичная зависимость. Допустим, у сферической оболочки малой толщины модули сдвига заданы в виде функций

G ( ^r ) = g o ^{r 2} ; G i ( ^r ) = g i ^{r 2} ,                                  ⁽²³⁾

где g ₀, g ₁ – постоянные.

С учетом зависимостей (23) из (6), (7) имеем

^	r 2 и"( r ) + 4 r и' ( r ) + ( r 2U' ( r )- r и( r ))| r = r	^ g o f L g 1 V = 0	9z2 1 4 4 " z J" 4
Общее решение (24) имеет вид:
	-f	3)	3
	и ( r ) = D 1 r V	2 J+ D 2 r "2 ,

u ( r ) = o,

где D₁ , D ₂ - произвольные постоянные, t =

25 g Г _z2_9 ) z .

⁴ g i I     ⁴ J

С помощью (26) удовлетворяя граничным условиям (25), относительно D1 и D2 получаем однородную линейную систему алгебраических уравнений. Из условия существования нетривиальных решений этой системы имеем характеристическое уравнение:

V

^{25 +} f ( 4 z - ⁹ ) g ¹            J

= 0 .

r „ A

1А r

Здесь s = — ln — - малый параметр, характеризующий толщину сферической оболочки.

V r i J

Проведем анализ корней уравнения (27).

Функция A ₁ ( z , s ) при c >  0 имеет две группы нулей со следующими асимптотическими свойствами:

• - первая состоит из нулей z ₀ = ±— ;

  – вторая состоит из счетного множества нулей:

z k = ±

g^- 25 +

V 4 4 g о V

—

Kk_ c 2

s 7

,

которые при s >  0 стремятся к бесконечности.

Определим перемещения и напряжения, соответствующие нулям z 0 =±— ,

( 1         (   .97

u ⁽⁾ ( r , 9 ) = D 0 r I -sin 9 In I ctg -1 + ctg 9 ,

V ²        V ² 7      7

о (1)=0   a(1) =

° r ф   ^u,  ^и 9ф

—

2 D ₀ g ₀ r ² sin² 9

.

Перемещения и напряжения, соответствующие второй группе нулей, имеют вид w u Ф2)(r; 9)=Er k=1

, —3/2

п k   ( п k ( r 77

--cos | — ln I -2- I

s

2 s

(п k ( r 77 + 5sin I —ln I I

w

° r ф = Z g i r ²

k =1

w

°2= £ g о r ²

k =1

V

— +

п ² k ² 7

^r 77

' 7

п k

2 s ²

। п k   ( r

² 5 sin I —ln I —

—

2 s V r 77

2 s V r 77

( A 7

. п k r sin — ln —

V 2 s

r

mk (9),

п k   ( п k ( r 77

— cos I — In I I

s

2 s V r 77

mk (9),

(mk (9) — mk (9) ctg9).

(29), (30) определяют внутреннее напряженно-деформированное состояние оболочки. Постоянная D ₀ , входящая в (29), (30), пропорциональна крутящему моменту M _кp напряжений, действующих в сечении 9 = const. Таким образом

M кp

—

^{4 п} g о ( ^r 25

—

r 5 )

^{1    D} 0 ^.

Для второй группы корней главный член вид

асимптотического решения уравнения (5) имеет

mk (9) = <

f 2,2 AT¹/⁴ g ^T k-

V ^{4 g} о 7

V sin 9

exp

в окрестности 9 = 9 ₁;

Г 2,2 V¹/ ⁴ g^XT

V ^{4 g} о 7

—

V

exp

V sin 9

V

п k g 1

^2sV g 0

A

A

;

;

в окрестности 9 = 9 2 .

Напряженное состояние, соответствующее второй группе решений, имеет характер пограничного слоя.

Из (32) видно, что в отличии от изотропной оболочки при фиксированных значениях k и при больших значениях g0 (сильная анизотропия) некоторые погранслойные решения не об-g1

ладают свойством затухания и могут проникать глубоко и существенно менять картину напряженно-деформированного состояния вдали от торцов [3-6].

Линейная зависимость. Допустим модули сдвига заданы в виде:

G ( r ) = g 0 r ; G 1 ( r ) = g 1 r ,                                       ⁽³³⁾

где g ₀, g ₁ – постоянные.

С учетом (33) из (6), (7) имеем

<

r ² u"( r ) + 3 r u' ( r ) + —I— — z²

_ g i V ⁴

^

3 u ( r ) = 0,

= 0.

¹ r = r s

Решение (34) имеет вид

u ( r ) = D ₃ r p ^{— 1} + D 4 r ^— p ^{+ 1 )} ,

где D 3 , D 4 - произвольные постоянные; p =

4 + 7 0 1 z 2 — ⁹

g 1 V      ⁴

.

С помощью (36) удовлетворяя граничным условиям (35), получаем характеристическое уравнение:

= 0 .

V

Уравнение (37) имеет две группы корней:

• - первая состоит из корней z ₀ = ±— , которые не зависят от £ ;

• – вторая состоит из счетного множества корней

4+ь-)

g ₁

z k = ±\ ⁹ I N ⁴ g 0 V

—

,

которые при £ >  0 стремятся к бесконечности.

Перемещение и напряжения, соответствующие корню z ₀ =±— , имеют вид

( 1        (    9^

u ⁽⁾ ( r , 9 ) = E 0 r I -sin 9 In I ctg -1 + ctg 9 ,

V ²       V     ² 7      7

^{О (1}- = ⁰ , °_Ф 9 =

—

2 E ₀ g ₀ r sin² 9

.

Формулы (39), (40) определяют внутреннее напряженно-деформированное состояние оболочки. Постоянная E ₀ пропорциональна крутящему моменту M _кp напряжений, действующих в сечении 9 = const, таким образом,

^M кр = ^—n g 0 ( ^r 2 ^{4 —} r 1 ⁴ ) ^E 0 .

Перемещение и напряжения, соответствующие второй группе корней, по своей структуре имеют вид (31) и соответствующее напряженное состояние имеет характер пограничного слоя.

Заключение. Решения, соответствующие корню z ₀ =±— , определяют внутреннее напряженно-деформированное состояние оболочки. Напряженное состояние, соответствующее второй группе корней, с порядком O ( с^{— 1} ) имеет характер пограничного слоя. В случае «сильной анизотропии» некоторые погранслойные решения не затухают, могут проникать достаточно глубоко и менять картину напряженно-деформированного состояния вдали от торцов.