Асимптотическое разложение и асимптотическая формула для корня трансцендентного уравнения с параметром
Бесплатный доступ
Рассмотрено классическое конечное уравнение, содержащее параметр. При некотором условии на левую часть этого уравнения, после замены переменной она сводится к такому виду, что нетрудно провести классификацию случаев соотношений между составляющими ее частями. Каждый случай влечет за собой определенную ситуацию с существованием решения исследуемого уравнения, и показано, что оно может иметь, по сути, один и тот же стандартный вид. Для последнего приведен фундаментальный результат построения асимптотического разложения. Далее проводится доказательство формулы для вида коэффициентов искомого разложения, использующее индуктивный прием. Другой подход к поиску решения указанного уравнения связан с возможностью получения асимптотической формулы, с виду напоминающей бесконечную цепную дробь. Сначала естественным образом строятся рекуррентно приближения как последовательно уточняющиеся неравенства для решения, затем строго доказывается сходимость этих приближений. Поточечная сходимость отдельно четных и нечетных приближений вызвана их монотонностью и ограниченностью, а дополнительное условие непрерывной дифференцируемости входящих данных уравнения гарантирует и равномерную сходимость приближений к решению. В заключении приведен простой пример такой цепной дроби.
Трансцендентное уравнение, формула обращения лагранжа, асимптотическое разложение, асимптотическая формула, малый и большой параметры, признак вейерштрасса
Короткий адрес: https://sciup.org/147239237
IDR: 147239237 | УДК: 517.956.226 | DOI: 10.14529/mmph220401
Asymptotic decomposition and asymptotic formula for the root of the transcendental equation with a parameter
We consider the classic finite equation containing a parameter. Under a certain condition on the left side of this equation after replacing the variable it is reduced to the kind that it is not difficult to classify the interrelations between its constituent parts. Every case entails a certain situation with the existence of the solution of the equation under study, and it is shown that it can have, in essence, the same standard form. For the latter one fundamental result of the construction of the asymptotic decomposition is given. Next, the proof of formula for coefficients of the desired decomposition is presented using inductive technique. Another approach to finding a solution of the specified equation is associated with the possibility of obtaining an asymptotic formula in appearance resembling an infinite continued fraction. At first, approximations are naturally constructed recursively as consistently refined inequalities for the solution, and then, the convergence of these approximations is strictly proved. The pointwise convergence of separately even and odd approximations is related to their monotony and limitations, and the additional condition of continuous differentiability of the equation’s incoming data also guarantees uniform convergence of approximations to the solution. In conclusion, a simple example of such continued fraction is given.
Список литературы Асимптотическое разложение и асимптотическая формула для корня трансцендентного уравнения с параметром
- де Брёйн, Н.Г. Асимптотические методы в анализе / Н.Г. де Брёйн. - М.: изд-во иностранной литературы, 1961. - 247 с.
- Федорюк, М.В. Асимптотика, интегралы и ряды / М.В. Федорюк. - М.: Наука, 1987. - 544 с.
- Уиттекер, Э.Т. Курс современного анализа / Э.Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон. - М.: гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1963. - Ч. I. - 343 с.
