Асимптотика решений сингулярно возмущенной задачи

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.928                                        

В работе рассматривается случай, когда нули собственных значений матрицы D(t) лежат в действительной оси. Случай, когда нули собственных значений лежат в комплексной плоскости рассматривались в работах [1–2, 4–6] и доказано что выполняется явление затягивания потери устойчивости решений сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений [5]. Цель исследования: доказать асимптотическую близость решений сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и соответствующих невозмущенных уравнений, в случае смены устойчивости на основе конкретного примера.

Материалы и методы исследования

Рассмотрим задачу

£ X ' ( t, £ ) = D ( t ) x(t , £ ) + £[h ( t ) + f ( t , x ( t , £ )) ]                                          (1)

X(t0 , £) = X° (£) , ||x0 (£)|| = const где 0 < £ — малый параметр, t e [t0, T] , f (t, X(t, £)) = colon (f (t, X(t, £)), f (t, X(t, £))) ,

h ( t ) = = colon (h 1 (t ), h ₂( t)) , D(t ) =

( 4 1 )

, 0 t . )

где 2 ( t ) = t - 1 , X (t , £ ) = colon ( X 1 ( t , £ ), X ₂( t , £ ) ) -

искомая неизвестная функция.

Для решения правой части поставленной задачи (1) требуется выполнение следующих условий:

U1. f ( t , x ) e Q ( H ) - пространство аналитических функций в области Н , f ( t ,0) = 0 ,

I f ( t,x ) - f ( t,x ) <  M x ~ - ~ , 0 <  M - некоторая постоянная.

U2. 2 ( t ) = t - 1 <  0 , 0 <  t <  1; 2 (1) = 0 ; 2 ( t ) = t - 1 >  0 , 1 <  t <  2.

Имеет место следующая теорема:

Теорема. Пусть выполнены условия U1-U2. Тогда V t e [ 0,2 ] решение задачи (1)-(2)

существует, единственно и для него справедлива оценка

||X ( t , £ )|| <  C £                                                      ⁽³⁾

где C - const .

Доказательство. Задачу (1)-(2) заменим интегральным уравнением

z

t

t

z

t

X ( t , £ ) = X ⁰

( £ )exp ¹ DD ( s ) ds + jexp ¹ J* D ( s ) ds [ h ( t ) + f ( t , x ( t , £ )) ] d I £ 0       J 0 I £ T       J

t

V

V

Для доказательства существования решения уравнения (4) применим метод последовательных приближений.

Последовательные приближения определим следующим образом:

X 0 ( t , £ ) = 0 ,

z

t

\

t

z

t

A

X n ( t , £ ) = X °

t   tt

^{( £} ) ^exp I £ J ^{D ( s} ) ^ds I⁺ j ^exp I £ J ^D ( ^s ) ^ds I • ^[ h ^{( t} ) ^{+ f ( t}

V

J

V

t

J

, ^X n - 1 ^{( т} , ^£ ) ^{) ] d T}

где x_n ( t , £ ) = colon ( x 1 _n ( t , £ ), x _{2 n} ( t , £ ) ) , n e N .

Далее будем считать, что t = tY + it2; t = t + T2 , где tj, t2, t , t2 — действительные переменные. Тогда получим t2            11

j 2(s)ds = j 2(s)ds = —- t = “[(t - 1) - 1] =   [(t 1 - 1) - t2 - 1] + it2 (t 1 - 1) , t0            0             2        22

u ⁽ t 1 , t 2 ) = ^Re j ^{2 (} s ) ^ds =T ^{[ ( t} 1 ^{- 1 ) 2 -} t 2 - ^{1 ]} =“ [ t 12 - ² t 1 - t 22 ] ,

0          22

& (t, , t ₂) = Im J Д 5 ) ds = t₂ ( t_x - 1) .

Справедливы оценки:

II A ( 1 1 , t ,)||

x ⁰( s )exp

Is

1 1 + it 2             Л

о          7

= O ( s ) ,

при u ( t j, t ₂) <  0 , где

D ( t ) =

< t - 1

I ⁰

A

t -1)

x 0(s) = colon (x10(s), x 0(s))   ,    ||A(tx, t2 )|| = colon ( Aj (tx, t2 )|,| A2 (tx, t2 )|)   . Поэтому будем

рассматривать замкнутую область H_o = {( t j; t ₂): u ( t_x , t₂ ) <  0 } (Рисунок 1).

Рисунок 1. Область H ₀ .

Если ( t j, t ₂ ) e H_o

то

0 ^x 1

1 t ¹ + it ²

^{( s )ex}p - R s — 1) ds S I

t_} + it-

! 2

= O ( s ).

\

Для того, чтобы последовательные приближения были ограниченными величинами, необходимо выполнение, условия u ( t_x , t ₂) — u ( т , T ) <  0 то есть путь интегрирования должен быть таким как убывающим от начальной точки до последней точки. Таким образом, путь интегрирования будем выбирать так, чтобы имело место неравенство

u ( t j, t ₂) <  u ( т , T )

от начальной точки до конечной точки (tj, t2). Это есть главное требование на выбор пути интегрирования для последовательных приближений. Для всех последовательных приближений путь интегрирования будет неизменным.

Пусть u(^, t2) = / ((t2 — 2^ — 12 )= 2/) где y — действительное число. Если y > 0 , то гиперболы будут расположены правее от особой критической линии u(tx, t2) = 0 . Если

— 1 <  / <  0 , то гиперболы будут расположены левее от особой критической линии u ( t_x , t₂ ) = 0. Если / = — 1 то гиперболы вырождаются на прямые t₂ = ± ( t j — 1 ) . Если / < — 1 , то гиперболы будет расположен верх (вниз) между двух прямых t₂ = ± ( t _x — 1 ) (Рисунок 2).

Рисунок 2. Расположения линий уровня в области H .

Для любой гиперболы  u (ty, t2) = у прямой  t2 = ty -1 или t2 =-ty +1 является асимптотой.

Для нас особый интерес представляют поведения решение на отрезке 1 <  ty <  2.

Пусть область H множество точек (ty, t2) ограничившим с левой стороны полу прямыми t2 = ±(tj — 1 + Js) (1 — V^ < tj < +®j с правой стороны ограничена полу прямыми t2 = ±(tj — 2)   (  2 < т <+да ). H = Hv оН2  , где   Hy = {t,t2):(ty,t2)e Hи t2 > 0}  ,

H 2 ={(t 1, t 2):(t 1, t 2)eHи t2 > 0}. Справедливо: Hy nH2 =[1,2] ; H1 , H2 — симметрично относительно действительной оси Ot и обе бесконечные области.

Решение задачи будем оценивать в замкнутой области H . Если пути интегрирования симметричны то сразу получим, оценку решения задачи в H . Таким образом, будем оценивать решение задачи в области H . Сначала определим убывающий путь интегрирование для замкнутой области H .

Пусть ( ty , t ₂ ) e Hy . Тогда t 1 ^{— 1} >  ⁰ , t 2 >  ^{0 ; ( t} 1 ^{— 1 ) +} t ₂ >  ty — 1 . Между двумя линиями уровня u ( ty , t ₂) = 0; u ( ty , t ₂) = —у при t₂ = 0 имеет место неравенство 1 >  ty — 1 >  1 — 2 y . Линия уровня u ( ty , t₂ ) = 0 равносильно равенству (ty — 1 ) ² — 1 2 = 1 или 1 2 — 2ty — 1 2 = 0, а также линии уровня u ( ty , t₂ ) = —y равносильны равенствам ( t j — 1 ) ² — t f = 1 — 2 y или 1 2 — 2ty — 1 2 =— 2 y . Между двумя линиями уровни лежат части искомой линии K .

Через Г обозначим множество точек гиперболы u ( ty , t ₂) = 0 на плоскости, а через Гу обозначим правую половину гиперболы u ( ty , t ₂) = 0 : Гу = Г n H_x . Две линии гиперболы u ( ty , t₂ ) = 0 и прямой ty + 1₂ = 2 пересекаются в единственной точке ( 2,0 ) :

Запишем в виде

(t1 - 1) — 12 =

^ t_x + 1₂ = 2

(t1 - 1)+ t2

или <

^{( t} 1 — ^{1 )-} t 2 = ¹

t l + t 2 = 2

Отсюда получим единственную точку пересечения двух линий (2,0). По вертикальной прямой точки гиперболы и(^, t2) = 0 лежат выше (не ниже) чем соответствующие точки прямой tj +12 = 2 . Поэтому для точек гиперболы имеет место неравенство (tt —1) +12 > 1. Таким образом, для точек гиперболы Г справедливо неравенство: из (^ — 1)2 — 12 = 1

получим ( t j — 1 ) — 1₂

⁽ t , ^— 1 ^{) +} 1 2

<  = 1 или

t — 1) —12 < 1. Отсюда tj — 2 < t2.

По вертикальной прямой точки гиперболы Г лежат выше ( не ниже), чем соответствующие точки прямой t j — 1₂ = 2 ( ( t j — 1 ) — 1₂ = 1); по горизонтальной прямой точки гиперболы Г лежат левее чем соответствующие точки прямой.

Таким образом рассмотрим прямую t2 = tx — 2 , по которой спускается + да (плюс бесконечность) до точки (т, т ), т2 = t2, т = t2 + 2 , (tj, t2) — конечная точка на области H. По прямой т2 = т — 2 от начальной точки (2,0) до ( т = +да , т2 = т — 2 = +да ) путь возрастающий. Нам нужен обратный путь. Следовательно, нужный нам путь будет убывающим. Далее от точки (т ,т ) = (ti + 2, t2) по горизонтальной прямой до точки (tj, t2). Это есть последний отрезок пути. l3 = {(т ,т ) :т2 = t2; t2 + 2 > т > tr}. Таким образом, путь интегрирования для l = l0 о 4 о l2 о l3, где

всех последовательных приближений будет неизменным:

l ₀ = I ⁰-^{1 —} 4 ] J ,

4 = {(т, О) т = т — 1 + 4s, 1 — 4s < т < +да /2 = {(т,т):т = т — 2, + да > т > t2 + 2}, h = {(т,т) т2 = t2,t2 + 2 > т > tj}.

Во всех выше указанных пути интегрировании условия (6) выполняется.

Из (5) оценим последовательных приближений на замкнутой области H .

t

t

t

Х [ j( t , s ) = x 0 ( s )exp -j z ( s ) ds + h^ ( r )exp — j 2 ( s ) ds d ^ .

I s        J 0         I s^       J

Здесь Re

j T ⁽ s ) ds = ¹ [ ^{( t} 1

0            ²

— 1 ) ² — 1 2 — 1 ] = и ( t i, t 2 ) <  0 при t , t ₂) e H_o = H о H₂ .

t

Поэтому A j ( t , s )| =

x 0 ( s )exp ¹ j T ( s ) ds  = O ( s ) при t , t ₂) e H .

I s 0       J

Остается оценивать

J

t                         It величины Ц (t, s) = j h\ (т)exp — j T(s)ds dr . Предположим, что |hj(т)| = O(!) при (tl, t2 )e H "0          l гт        J

t

t

Тогда |lj (t, s)| = O(1) j exp | — (и(ti, t2) — и(т, т ))||d^ , где l = k о 4 о l2 о l 1    v s                      J

3 .

1). Будем оценивать величины

Пусть

f exp | —( u ( t_x , t ₂) — u ( t , t ))r I d T •

V s                   J l0

t e [o,1 — 4s ]

.

Тогда

u ⁽ t i , t 2 ) ^— u ^{( t} i ^{, t} 2 ) = ^{1 [ ( t} 1 ^{— 1 ) 2 — ( t} i ^{— 1 ) 2} ] = ^{1 [( t} 1

—

T1)(t 1 + T1 — 2)] < 2 [(2t 1 — 2)(t 1 — T)] <

< — 4s (1 — T1

T - t j ) • Таким образом

t ₁

l ₀

----^{( т} 1

V s

—

t j ) d T = 4 s exp

J

Г ^ I

V Vs J

t ₁

^s 1 ^— exp

—

t 1

L      V vs jj

Получена окончательная оценка f exp | — (u(tj, t2) — u(t ,T ))| • IdT = O() •

V s                   J l0

2). Рассмотрим интеграл

f exp | —( u ( t j, t ₂) — u ( t , t ))r I d T •

Vs                   J l1

Здесь 4 = { ( т , т ) :1 u ^{( t} i ^{, t} 2 ) = ^{1 [( t} i ^— 1 )

—

2_—

f exp | — (u (t_l, t₂) — u (t

V s l1

f exp | — (u (tj, t₂) — u (t

Vs l1

+M

• j exp

—

1—V s     V b • lim    exp s ^0

2s

■ 2 — T1 — 1 + 4s }•

T22 — 1] = 2 [2(Т1 — 1)^ + s — 1] •

' i^,T 2

' i^,T 2

J

u (t i, t 2) ^

s

J

u(t₁,t₂)

sJ

X

X

Г u (tj, t₂) • dT = "v2 exp I —¹——

Vs

— 2s(t — 1) — s +1

I d T •

2s         J 1

•

Пусть b — const, 1 — 4s< b< +ot • Тогда

41 bb exp Г ^{u (}t 1, t 2)^{— u (}W 2) 2dT = ^exp Г <Л)²

•

s

^sJ

b

—2 4s (t1 — 1)—s+1

V

2s

J

• exp

^—24s (^^—1)—s+¹

b

V

2s

J

• d^ = — 42s exp | u(t 1, t²)

= s exp Г ^(^

Vs

•

•

s

exp f uMy-u^-^' V          £          J

_ exp f u(1,.12) - u (b,b -1 + ^) A V           £           J

= £0р (1)—о (1)] = о (Л).

exp

£ +1A

2£ J

—

exp

^{< — 2}^£ (b^—1) ^{— £}+¹

V

2£

J

Здесь оценка от величины b не зависит. Таким образом, получим оценку r exp I u(11,12) u(W 2) \ d^ = о ().

I V £ J e    I u(t{, t2 ) — u (T ,T ) A I

Теперь вычислим интеграл

I exp ^{1 2}---——— I-\dr\ где

12     V          £          J

1₂= {(t 1,1₂): + ®>т > 2,т₂= т — 2},

u^(t1,^t2) = 2 [^(t1^{—1)2 — T}22 ^—1]= 2 ^[(t1^{—1)2 —(t}1^{— 2)2 —1]} = ^T1 ^{— 2} .

t²+²       u (1., t,) — u (t ,T)

Пусть ^ > b > 0, b — const. Рассмотрим интеграл

| exp I ^v 1, ²⁷-----1 1, ²⁷ I. |d_r|. Здесь

b     V         £         J

T = T — 2, d^ = dT, dT = 2d-dT, u(Т ,T) = T — 2 •

Поэтому j exp ^ u(t 1,12) - u (W2)J. т = ^exp ^u^J j exp f^^Jd^ =

= —2^2£ exp

^{u (}t 1, ¹ 2)

£

I 2 — T

• expI       -

V 2£

12 +2

b

I u (ti, t₂) v 8£ exp I —¹——

V £

exp

2—b A

2£ J

—

I u (tj, t₂) — u (b, b — 2) exp I —-—=-----------

V          £

—

_I u(11,12) — u(12 + 2,12) exp I

£

= T8£[O (1) — O (1)] = O (£).

Таким образом, получена оценка f exp f u(1 p12)— u(T,,T2) I. d I = о(£).

1!     V          £          J

Остается вычислить интеграл

Г exp [ u⁽¹1,¹2)^{— u (т}1^,т 2)^A. d 1.

13     V          £          J

Здесь l3 ={(t1,T2 :T2 = 12,12 + 2 > T1 > 11 )},

u⁽¹1,¹2) ^—u^(T1^,T2) = 2 ^{[(t 1 — 1)2 — (Т1 — 1)2 ]}“ ^{—(t 1 — 1)(t}1^{— 11} ) •

Получен следующий интеграл j exp I — (u(t[, t2) — u (t ,T )| • dT - j exp I ■

13     V £                         J         13     V

—

^(t 1 ^— jX^^{— 1}1)

^£      J

• dv_t

Рассмотрим два случая:

• 1) . Пусть Vs< t_x -1. Здесь 0 < b — const:

j _expfu⁽t 1, t₂) u (w₂) у ^< j _exp 1₃      V             ^S             J           1₂+2

(t i— ^

s

—У \di\ =

O(s), при t_{ e (S;l\ O(4s), при t_x e [1 + ’

• 2) . Случай 1 — Vs< t[ < 1 + Vs . Тогда будем иметь

jexpf ^u(t 1,t²)  ^{u(T ,T}2) j_dT = O(1) J exp[—^{T1   1)2}

1.     V          s          J             12^2    V      s    J

I d^T1l

t 2 ⁺²      f

= O (1) j exp t1         V

s

^(t1

J

Пусть

T — 1

= s. Тогда 22s

T = 1 + V2ss , d^ = Sdds, т = ti, Si

t 1 ^{— 1}

42s

, т — t2 + 2, S2 —

t~2 + 1

42s ’

s 1                               +w

42s j exp (— s2 )ds < 242s j exp (— s2 )ds — 4444 .

^s 2

Рассмотрим l₃— {(т, t ): т —1₂, t₂ + 2 > т > t_x}. Пусть

T — {(tj, t₂) :1 — Vs< tj < 1,t2 —1\ — 1 + Vs},

T — {(t 1,12) :1 — Vs < 11 < 1,12 — 11 — 1 + Vs },

H10 — H 1\ T.

Заметим, что если (tj, t₂ )e H₀, то величина u(t_x, t₂) убывает по пути l₃. Если (tj, t₂ )e T

, то величина u (t_x, t₂) убывает по пути l₃при 1 < t_x< t₂ + 2 , возрастает по пути l₃при 1 > t_x > 1 — Vs . Это на оценки решения существенно не влияет. Пусть (tj, t₂) e T . Тогда будем иметь по пути l :

t1

j ^exp

12 +2

^{U (}t 1, t 2) ^{— U (T}1^,T 2)

s

t 1

• |d^ — j exp

^—J ^exp

12 +2

, 2 A

V

2s

J

12+2

dp + j exp

V

V

—

2s

2s

J

• d^ —

^dT .

J

1 < s , при 1 > т > tj > 1 — Vs ,

|t — 1 < Vs . Поэтому

t 1

j ^exp

V

2s

drx — O (4s),

j ^exp

12 +2

V

2s

J x 2 A

dT1 — O (4s).

J

+ю

Учтено, что интеграл Пуассона j exp (- s² )ds =    . В итоге получена оценка

0           '       2

। exp ( u (¹1>¹ 2)  ^u (W 2) 1. |d_r| = о_(;.).

lз     V          £          )

Для первого приближения  x₁ [(t, £)  справедлива оценка  |xj /1, £)| = O ( 4ё)  при

⁽¹1,¹2 ^)eH1 .

Таким образом, имеет место оценка, если (1_У, 1₂) е H, то

|xn( 1, £)| < C£ где 0 < c — cons1.

Аналогично оценка (8) верна для |^X21^{( 1}, ^£)| .

Рассмотрим прямую т₂= т - 2. Далее рассмотрим особую критическую линию.

u (1j, 1₂) = 0 или (1^ -1)²-12 = 1.

Особая критическая линия и прямая 1₂= 1_Y- 2 имеет единственную общую точку (2,0) (точка пересечения двух линий есть (2,0) ). Для точек особой критической линии принадлежащих на H справедливо неравенство (1_Г -1) +1₂ > 1. Поэтому для точек особой критической линии u(1_Х, 1₂) = 0 имеет место (1, -1)-1₂= у---у----< - = 1. Или (^ -1)-1₂< 1

⁽¹ j ^-1)+12    ¹

, 1j - 2 < 1₂. Таким образом, по горизонтали точки особой критической линии и(1_{, 1₂) = 0 лежит левее от соответствующей точки прямой 1₂= 1_Х - 2. По вертикали точки гиперболы и(1j, 1₂) = 0 лежит не ниже (выше), чем соответствующие точки прямой 1₂= 1_Х - 2.

Таким образом, оценка (8) имеет место для всех точек замкнутой области H . Аналогично для области H имеет место оценка (8).

Теперь рассмотрим сходимости последовательных приближений . Если (^, 12 )е H, то справедлива оценка

||x (1, £)|| < C£, 0 < c - cons1.

В дальнейшем, положительные постоянные величины, которые в рассуждениях существенной роли не играют, и поэтому обозначим одной той же буквой C . Тогда

IIX2 (1, £) - X 1 (1, £)|| < M JIX т, £)|| exp (u^ib^uhil²!¹. dT<

< MC £ J exp [ u (1',12) - u (T1,T) \ |dT <(C £ )2 .

i    v         £         )

Получим

JX2( 1, £) - X1( 1, £)|| <(C£)²

Далее, имеет место оценка

IIXn (t, s) - Xn-1 (t, £)|| < (c Vs )n, (n = 1,2,...)

Из (8)-(10) при условии CJs< 1 следует, что последовательность функций x_n (t, s) в области H равномерно сходится к некоторой функции x(t, s) е Q(H) , которая является решением (4). Единственность решения обеспечивается условием U1. Теорема доказано.

Результаты и обсуждения

Линии уровня u(t[, t₂) =-1 делят область Н_о на четыре части. Три из них соответствуют устойчивому интервалу собственных значений. Используя условия устойчивости, получить оценку решений задач (1)-(2) на этих трех областях, не является сложным. Особый интерес вызывает неустойчивый отрезок [1,2]. Поэтому решения задач (1)(2) оценим в области Н, которой обхватывает отрезок [1,2]. Выбираем пути интегрирования, учитывая условие (6), в итоге получим оценку решения задач (1)-(2).

Выводы

Случай, когда нули собственных значений лежат в действительной оси раньше не рассматривался. Потому что, не выполняется явление затягивание потери устойчивости [3]. Оказалось, что существует убывающие пути интегрирования, и переход к неустойчивому интервалу осуществляется бесконечно удаленной точке. Здесь используем понятие проективной геометрии о параллельных прямых.