Асимптотика решения бисингулярно возмущенной задачи Дирихле в кольце с квадратичным ростом на границе

Введение. По многочисленности и разнообразию приложений задача Дирихле для эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных занимает исключительное место в математике. К ней непосредственно сводятся: основная задача в гидродинамике - задача обтекания; задачи кручения и изгиба в теории упругости; в физике - определение температуры внутри пластинки при известных ее значениях на контуре, потенциал установившегося движения несжимаемой жидкости, электромагнитные и магнитные потенциалы, отыскание температуры теплового поля или потенциала электростатического поля в некоторой области при заданной температуре или потенциале на границе области и др. Явное решение этих задач построить в общем случае не удается, поэтому исследователи используют разные асимптотические методы. Случаи, когда в сингулярно возмущенных уравнениях соответствующее предельное уравнение имеет негладкое решение, по терминологии A.M. Ильина, называют бисингулярными. Ранее для построения асимптотики бисингулярно возмущенных задач в основном применялся метод сращивания (согласования) [1-5] либо другие методы, но не метод пограничных функций. Нами предлагается модификация метода пограничных функций, благодаря которой стало возможным построить асимптотику решения задачи Дирихле для бисингулярно возмущенных уравнений [69]. В данной работе исследуется задача Дирихле для бисингулярно возмущенного эллиптическо- го уравнения в кольце с квадратичным ростом на границе.

Постановка задачи. Исследуем задачу Дирихле еАи(р,ф,Е) - (р - a)2q(рфи(р,ф,Е) = f (р,ф,Е), (р,ф)е D                 (1)

и ( а, ф , Е ) = 0, и( в , ф , Е ) = 0,                                    (2)

где

0 <  Е « 1 - малый параметр,

д ²    1 д 1 д ²

++

др   р др р2 дф

- оператор Лапласа, f ( а , ф ,0) Ф 0,

∞

D = {(р,ф)| а < р < b,0 < ф< 2п},   f (рф Е) = £ ekfk (р,ф),   q (р,ф),   fk (р,ф) е CН( D), к=0

( р , ф ) е ( D ), q ( р , ф ) >  0; q ( р , ф ), f ( р , ф , Е ) - заданные функции, и( р , фЕ - искомая функция.

Решение задачи Дирихле (1)-(2) существует и единственно при 0 <  Е - const [10]. Нас интересует асимптотическое поведение решения задачи (1)-(2), когда Е ^ 0.

Турсунов Д.А.,               Асимптотика решения бисингулярно возмущенной задачи Дирихле

Эркебаев У.З.                                   в кольце с квадратичным ростом на границе

Отметим, что задача (1)-(2) по терминологии А.М. Ильина является бисингулярно возмущенной [1, 2]. Действительно, первая сингулярность очевидна, предельное уравнение не является дифференциальным уравнением

-( р - а )² q ( р , ф ) и ( рф ,0) = f рф и решение этого уравнения

и ( р , ф ,0) = — f > ( р , ф ) I ( р - а )² q ( р , ф )

не может удовлетворять граничным условиям (2). Чтобы показать вторую особенность (сингулярность), рассмотрим структуру внешнего разложения решения задачи (1)-(2), которое ищем в виде

∞

U ( рФ ^{, Е} ) = Z ^k ( рф ) , ^ ^ 0.                     ⁽³⁾

к = 0

Подставляя (3) в (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е , получим простую рекуррентную систему уравнений

• -( р - а )² q( р,ф ) и о ( р , ф ) = f > ( р , ф ), -( р - а )² q ( р , ф ) U k ( р , ф ) = f k ( р , ф ) - A U k -1 ( р , ф ), к е N .

Отсюда следует

• ^f ) ( рФ )       / fk ( рф ) ^-A u k - 1 ( рф ) , _х

и о ( р , ф )--- 2" , U k ( р , ф ) ---2 , k e N .

q ( рф )( р ^- a )                q ( рф )( р ^- a )

Так как f0(а,ф) ^ 0, поэтому uk (р,ф)е C(”) (D \{(аф)}), т.е. все эти функции uk(р, ф) имеют нарастающие особенности

U k ( р , ф ) = O ( 1I ( р - а ) ^{2 +} 4 ^k ) , k = 0, 1, 2,..., р ^ а .

А внешнее решение представимо в виде

U ( р , ф , е ) =

( р ^{- а} ) ²

∞

Z k=0

k

E v ( р - а )4 >

F k ( рФ ) , ^Е ^ ⁰,

где F k ( р , Ф ) е C ^М ( D ) , k = 0, 1, ... .

Следовательно, задача (1)-(2) является бисингулярной - коэффициенты ее внешнего разложения имеют нарастающие особенности, когда р ^ а . Кроме этого, ряд (4) теряет асимптотический характер при | р - а | <  е ¹¹⁴. Следует отметить, что квадратичный рост на границе существенно отличается от линейного роста [9], и эта особенность влияет на структуру асимптотического разложения решения, также выбор вспомогательного асимптотического ряда.

Основной результат. Справедлива

Теорема. Для решения задачи (1)-(2) при е ^ 0, справедливо асимптотическое разложение . х +- к ( х ГТ (b - р ) +^ 4ГТ (р - а и (р, ф, Е) = Z Е Vk (рф) + Z Ё£ z^  -Ф+ Z 4 Е Wk I  - -Ф k=0            k=0      V ЁЕ   ) k=-2       V Е где функции Vk(р,ф)е C(D), Wk(тф)е C(D1), Zk(П,Ф)е C(D2), т = (р-аУ^Ё, п = (b-p)I VE, D1 = {(т,ф)| 0 < т< +~, 0 < ф < 2п}, D2 = {(п, ф)| 0 < п < +^, 0 < ф < 2п}, причем w4m-2(т,ф) = O(11т2), W4m-1(Т, ф) = O(1|Т), W4m(Т,ф) = O(1/Т4), W4m+1(Т,ф) = O(1IT3) при Т^ +~, m = 0, 1,_, Zk(П,ф) = O(1Ieп) при п^+^.

Доказательство теоремы состоит из двух частей: построение формального асимптотического разложения решения (ФАРР) и обоснование этого ФАРР.

Построение ФАРР

ФАРР задачи (1)-(2) будем искать в виде и (р,Ф,Е) = V(р,ф,Е) + W(тфр) + Q (ПфЛ),(5)

+∞                          +∞+∞ где V (р,ф,Е ) = Z EkVk (р,Ф), W (Т,Ф, Р )= Z ^Wk (Т,Ф), Q (ПФ, Л) = Z ЛZk (ПФ), т= (р -k=0                               k=-2

а )I p , е = р ⁴, п = ( b - р ) Л , е = Л .

Математика

Классическое погранслойное решение Q(п,Ф,Л) устраняет невязку на внешней границы кольца р = b, и экспоненциально убывает вне пограничного слоя, а погранслойное решение W(тфц) устраняет невязку на внутренней границы кольца р = а, и степенным характером убывает вне по граничного слоя.

Учитывая граничное условие (2), имеем

W(0, ф , ц ) = - V ( а , Ф ,р\ Q(0 фХ = ^ ( ф , X ²),

∞ где фф,г) = -V(b,ф,г) - W((b - а)/ц, ф, ц), фф, г) = £ гфj (ф).

j = о

Подставляя соотношение (5) в равенство (1), получим гДV(р,Ф,г) - (р - a)2q(р,ф)Vфф,ё) = МфХ) - hф,Ф,е\ (р,ф)еD,

Ц ²

д ² W     ц д W     ц ²   д ² W

++∂τ(a +τμ) ∂τ (a +τμ) ∂ϕ

-т2q(a + тц,ф) W = h(a + тц,ф,Ц), (т,ф)е D1,

д ² Q - X д Q     X ² d ² Q

дп2 (b — nX)dn (b-nX) дф^

∂ Q

- ( c -цХ ) q ( b ~пЛф ) Q = 0, ( п , ф ) ^е D 2 ,

где W = W( т , ф , ц ), Q = Q ( П , Ф , Х ), c = b - a .

∞

По идее метода ввели вспомогательный асимптотический ряд h (р,ф,Е) = £ Ekhk (р,ф), ко- k=0

торый конкретизируем ниже.

Регулярное внешнее решение V рф , £ )

+∞

Учитывая V ( р , ф , г ) = £ E^kV_k ( р , ф ) , из соотношения (8) для функции v_k( р , ф ) получим к = 0

V 0 ( р , ф )= - f 0 ^{( рф )} - h 0 ^{( р} , ^{ф )} , V k ( рф )= - f k ^{( р} , ^{ф )-Д V} k -. ( ^{рф )-} h k ^{( р} , ^{ф )} , к ₆ N ( р ^- a ) q ( рф )                   ( р ^- a ) q ( рф )

Пустьgk(р,ф) = fk(р,ф) - ДVk-1(р,ф), k= 0, 1,..., v-1(р,ф) = 0, тогда Vk (р,ф)е Cн (D), когда h0 (рф ) =

^Ф q ( р , ф ) + [ ^ф q 0 ( ф )             ( q 0 ( ф )

g 0,о( ф ) q ( ф ) / х / х

, 2/ х— (р-a)q(р,ф), q0(ф)    )

+∞ hk(р,Ф)=gk,0(ф)+gk,1 (ф)(р-a)+(р-a)2Еhk,j(ф)(р-a)j,k = 1,2--, j=0

дgk (aф')                            дq(a,ф)

где gk,0(ф) = gk(а,ф), gk 1 (ф) =---------, q0Ф) = q0(а,ф), q1 (ф) = — ----, hk,j(ф) - пока неизвест-∂ρ                       ∂ρ ные функции.

Неизвестные функции h_k ,j ( ф выбираем так, чтобы h_kj -( ф ) е С [0, 2 п ] и выполнялись соотношения

При таком выборе функции h ( р , ф ,Е), получим

w j ( т , ф ) ^ 0 при т ^ + ~ , j = -2, -1, 0, 1, .„ .

g 0 ( р , Ф ) ^-

V 0 ( р , ф ) = -

' g 0,0 ( ф ) _v q 0 ( ф )

f g_sM - доiо(ф)q1(ф)) (р - a)) q (р,ф)( q 0 (Ф)       q 02 (ф) J )

(р - a )2 q (р,ф)

V k ( р , ф ) = -

g k ( р , ф ) ^- g k ,0 ( ф ) ^- g k ,1 ( ф )( р ^- a ) ( р - a ) ² q ( р , ф )

+∞

⁺ , х Е h k , j (^ Ф ⁾⁽ р ^- a ) ^j . ^{q (} Р ,^ф) j = 0

Турсунов Д.А., Эркебаев У.З.

+^

Таким образом, мы почти построили регулярное внешнее решение V ( р , ф , Е ) = Z Е^ _к ( р , ф ) к = 0

в области D , v_k ( р , ф ) e C ( ” ) ( D ) .

Погранслойное решение W( т,ф,ц )

^

Пусть q(р, ф) = Z qj (ф)(р - а)j , qj (ф) = j=0

djq(а ф)

+^

Z цк к=0

^д wk-1   2

^к—^- т ^{2 - т} q 0 wk - 2

д т ²

+^ к

=-2 ц к=1

, к ^{f д w}k - 3

( дт

+ ц

j ! д р j

2 2 А , ^д wk -3

, тогда соотношение (9) примет вид

д ф ² J

+^

+ g 0,0 + цтд 0,1 + Z ( gk ,0 + цтдк ,1)цк + к=1

+^    +^

^

g 0,0

+Z цТт j+2 qJWk-2-j + Z цк Z hj И+ + Z к=1 j=1                   к=1 j=0                  j=2 ^ q 0

g 0,1    g 0,0 ^q 1

q 0

q 0 ² J

q j - 1 ( ^тц ) j ,

где д к ,0 = д к ,0 ( ф ), д к ,1 = д к ,1 ( ф ), q j = q j ( ф ), W k = W k ( т , ф ), h_kj = hy ( ф ).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ц и учитывая граничное условие (6), получим рекуррентную систему задач

Lw-2 ^^-w2-т2q0w_2 = g00, (т,ф)еD1, w-2(0,ф)=0;

д т

Lw-1 = т3q W-2 + g01т-^w-2., (т,ф)еD1, w-1(0,ф)=0;(12)

’ дт к-1

Lw4к = p4к(т,ф) + Zhk-j,4jT4j+2, w4к(0,ф) = — Vk(а,ф), (т,ф)еD1, к = 0,1,2,...;(13)

j = 0

к - 1

Lw4к+1 = P4к+1(т,ф) + Zhk-j,4j+1т4j+3, w4к+1(0,ф) = 0, (т,ф)еD1, к = 0,1,2,...;(14)

j = 0

к - 1

Lw 4 к +2+s = P 4 к +2+s ( т , ф ) + т ⁵ g 1+ к ,s + Z h_k - j , ₄ j _{+ 2 + s} т ⁴j ^{+ 4 +} s , w 4 к +2+s (0, ф )=0, ( т , ф ) е D 1 , s = 0,1; к = 0,1,2,_; j = 0

< 4   s + 2  /+2          ,1 g 0,0      ,^f g 0,1    g 0,0 q 1 )     ] ₅₊2    д w^    д ² w₅_₂

где P s ( ^{т ,} ф ) =2 ^т j q j w s - j ⁺ — q s + 2 ⁺ —²---,i- q s + 1 ^т —.

j = 1               ( q 0         ( q 0      q 0 ² J J ^{д т} д ф ²

Докажем следующую вспомогательную лемму

Лемма 1. Пусть F(т)Ф(ф)е C(D1), q0(ф)>0. Тогда задача д z^тф) -т2q0 (ф)z(т,ф) = F(т)ф(ф), (т,ф)еD1, z(0,ф) = z0(ф)                 (16)

д т 2

имеет единственное решение z ( т , ф ) е C ” ( D 1 ).

Доказательство. Пусть t = 4q0 (ф)т, тогда задача (16) примет вид д z(t’^) -12z(t,ф) = F^tiS^^l, z(0,ф) = z0 (ф), (t,ф)e D1.                (17)

^д t                   qq 0 ( ф )

Ф ( ф )

, тогда относительно z 1 ( t ) получим задачу

Решение задачи (17) ищем в виде z ( t, фф = z 1 ( t ) , 4 q 0 ⁽ ф )

z f( t ) - t ² z 1 ( t ) = F ( t ) ’ z 1 ( 0 ) = z 1 ^0, t e ^{(0, +}^ ).

Как нам известно, однородное уравнение z ''( t ) - t ² z ( t ) = 0

Математика

имеет два независимых

решения z i ( t )= 4tl _1/4 ( t ² /2 ) , z 2 ( t )= V tK _1/4 ( t ² /2 ) , 1 ш( s ), K i/ ₄( s ) - модифи-

— 1 t ² / 2                           — t ² /2

цированные функции Бесселя [11]. Отметим, что z ₁( t )~ w e / V t , z ₂( t )~ n ee    / nt при

t ^ + ^ ; z ₁(0) = 0, z ₂( t ) = O (1) при t ^ 0; W ( z ₁, z ₂) = z ₁ z '₂- z ₂ z '₁ = -1.

Следовательно, решение задачи (17) имеет вид

. . z ⁰( ф )

z ⁽ t^ф = их" 2 ⁽ t ) - ^z 2 ⁽⁰⁾

Ф ( ф ) f                                    )

^z 2 ⁽ t Я F ^{( s} ) ^z 1 ^{( s} ) ^{ds + z} 1 ⁽ t ) J F ^{( s} ) ^z 2 ^{( s} ) ^ds , t = ⁴ q 0 ⁽ Ф ) ^Т .

. q 0 ⁽ Ф ) (      0                     t J

Лемма 1 доказана.

Следствие . Если F ( т ) = O( Т ), то z( т , ф ) = O( Т ²) при т ^ + ^ , k - const.

Действительно, если учитывать асимптотические поведения модифицированных функций

Бесселя, то получим

z (т) = O

f 1 .

т ^- 2 е ^{т 2 /2}

' + J s " 2 e — s ^{2 /2} s^kds = OL "2 - 2 ⁺ k J т                   I

= O(тк—2)

т ^ + ^ .

J

Существование и единственность решений краевых задач (11)-(15) следует из леммы 1. До кажем теперь следующую лемму.

Лемма 2. Пусть 0 < qо(ф)е C[0, 2л], функцииpj(т,ф)Е C(D1) разлагаются в асимптотические ряды

, X P j , j ( ф ) P j , j + 4 ( ф )         P j , j + 4 к ( ф )        - n т п a

P j ( ^{т ,} ф ) =----/ ⁺   нА ⁺ ... ⁺ --- ⁺ •"’ j = ⁰, ^{1 2}, ³, при ^т ^ ⁺ " .

т ^j          т ^j                т ^j

Тогда в области D 1 существуют решения уравнений ^{d 2} -^ф)  ₂                     .

—--т q0 (ф) wj (т, ф) = Pj (т,ф), j =0,1,2,3, дт которые разлагаются в асимптотические ряды w'j (т.ф ) = ]Ё wj+^. j = °.1-2.3. т^ +~-                 О»)

к = 0 ^т

При этом ряды (19) можно многократно почленно дифференцировать, и они являются ФАРР уравнений (18).

Доказательство . Нетрудно заметить, что дифференцируемость рядов (19) вытекает непосредственно из уравнений (18). ФАРР ищем в виде (19), где iW jk ( ф ) - пока неизвестные функции. Подставляя эти ряды (19) в уравнение (18) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях т , получим рекуррентные системы уравнений для i w j, _{+2+4 к} ( ф ), к = 0, 1, 2^:

^- i wj j ■+2 ⁽ ф ) q 0 ⁽ ф ) = Pj j ■ ( ф ),

(j'⁺²⁾⁽j' ⁺³⁾ i w jJ + ₂ ⁽ ф ^{) -} wv jj ++б ⁽ ф ) q б С ф ) = P j j ++4 ⁽ ф ), ^, (j' +2+4 к)(j' +3+4 к ) iW j,■ +2+4 к ( ф ) - i w jj +6+4 к ( ф ) q б ( ф ) = P jj +4+4 к ( ф ) и т.д. Отсюда однозначно определяются tv j _j ■ ₊ 2 _{+4 к} ( ф ), к = 0, 1, 2^:

tv jj +2 ( ф ) = - P jj ■ ( ф )/ q 0 ( ф ), 1W j, ■+2+4 к ( ф ) = -(P jj +4 к ( ф ) - (j' -2+4 к )( j '-1+4 к ) Wv jj --2+4 к ( ф ))/ q a ( ф ), к = 1, 2,_ .

Теперь оценим остаточные члены рядов (19)

(     \ ~ А       ^wj,j+2+4к (ф) • п 1 т rj (т,ф) = iwj (т,ф)- L —j+2+47—, j = 0,1,2,3,т ^ +“. к=0   т

Для остаточных членов получим следующие уравнения д rd т,ф) - т2q0 (ф)г- (тф) = O(1/тj+4(N+1)), j = 0, 1, 2, 3, т^ +~.

Учитывая следствие из леммы 1, мы получаем оценку для остаточных членов: г - ( т , ф ) = O ( 1/ т ^{j + 2 + 4 (} N ^{+ 1 )}) , j = 0, 1, 2, 3, т ^ + - .

Турсунов Д.А.,               Асимптотика решения бисингулярно возмущенной задачи Дирихле

Эркебаев У.З.                                   в кольце с квадратичным ростом на границе

Следовательно, (19) действительно являются асимптотическими разложениями решений уравнений (18). Лемма 2 доказана.

Докажем еще одну вспомогательную лемму, с помощью которой докажем соотношения w 4 к - ₂( т , ф ) = O (1/ т ²), w 4 к -1 ( т , ф ) = O (1/ т ), w 4 к ( т , ф ) = O (1/ т ⁴), w 4 к+1 ( т , ф ) = O (1/ т ³), т ^ + ~ , к = 0, 1,...

4 к + 2

Лемма 3. Пусть hk,j = - j qs+jw4к-s,s , qk = qk(ф), wtj■ = wtj■ (ф), дк = дк(a,ф). Тогда при т^ +~, s=1 справедливы равенства w4к+s (т,ф) = j w4к+s1 -s , s = 0, 1, 2, 3.                            (20)

j = 1     ^т

Доказательство. Применяя лемму 2, для уравнений (11)-(15) в случае к = 0, имеем w—2,4 к+2                     w—1,4 к+1                    ws ,4 к - s w-2 (т,ф) = j 4k+2 , w-1 (т,ф) = j 4£+1 , ws (Т,ф) = j 4к-s ’ s 0 1 2 3. к=0 Т                     к=0 Т                   к=1 т

Теперь в остальных уравнениях (13), (14) и (15), при к > 0, мы должны выбрать неизвестные функции h_kj ( ф ), так чтобы максимальная степень разложения правых частей равенств (13)-(15) по т не превышала второй степени, когда т ^ + ^ . Подробно рассмотрим один конкретный случай выбора функции h_k , ( ф ), остальные выбираются аналогичным образом. Рассмотрим правую часть равенства (13) в случае к = 1:

6-12

/ 4 V  j+2          .   g0,0     ,   g0,1   g0,0q1        6   °w3   ° w2. p4 (т,ф) = jТ qjw4-j + ----q6 +---” q5 Т A---a 2 + h1,0T j=1              ( q0      ( q0     q02 J J °тд

~ _6

= j к + 2 + Т2 j qjw4-j,j+ h1,0T2. 4 + 2                         ’’ к=0 Т

Учитывая, что h 1 ₀ = - j q_s w _{4 - s s} , получаем p ₄ ( т , ф ) = j 4 ^к _к + 2 . Применяя лемму 2, получа- s = 1         ’                                  к = 0 ^т

^ 'w’ ем разложение w4(т, ф)= j —. Докажем теперь справедливость (20) при s = 0. к=1 т

4 к + 2

Пусть для любого к е N справедливо соотношение (20) при h_k j ( ф ) = - j q_{s + j} - ( ф ) w _{4 к} - _{s s} ( ф ) .

s = 1

Тогда из равенства

k

^Lw 4( к +1) = Р 4( к+1) ^{( т , ф} ) ⁺ j h- к + 1 - j ,4 1 ^{т 4 j} + ^{2                           (21)}

j = 0

следует справедливость соотношения

/ 4 V w 4( к + 1),4 j ^w 4( к + 1) ^{( т ,} ф ^{) =} j     4 j    .

j = 1 ^т

Действительно, рассмотрим правую часть (21):

к                    4(к+1)+2                                      „ а л Л п +          т4j+2-  у  T-j+2О W         g0^n    + g2’1_ g0,0q1 л     ткк+6_ p4(к+1) (т,ф)+ j hk+1-j,4 1т    = j т qjw4(к+1)-j +      q4к+6 +           2   q4к+5 т j=0                    j=1                     ^ q 0          V q 0 q 0 J )

Я²w к                  ~ _r       4 к + 2                       к                  ~

_ ^{д w} 4 к + 3 ° ^w 4 к + 2              1-4 j + 2 _ V ^C 4 к + 2 , i                           i-4 j + 2 _ V ^C 4 к + 2

a        _ 2 ^{+ j h} k + 1 - j ,4 1 ^{т      j} 4 к + 2 ^{+ j} q s + j ^{( ф )} w 4 к - s , s ^{( ф ) + j} h- к + 1 - j ,4 1 ^{т      j} 4 к + 2 ^.

° ^т      ° ^ф j = 0                  к = 0 ^т s = 1                        j = 0                  к = 0 ^т

Применяя лемму 2 для (21), получим w4(к+1) (т,ф) = j 4(к+1),4j j=1    т j т ^ +~. Лемма 3 доказана.

Математика

Таким образом, нами определены все члены асимптотического ряда W ( т , ф,д ). Заметим, что все пограничные функции w k _-2( т , ф ), k = 0, 1,... вне пограничного слоя убывают степенным ростом

W 4 k-2 ( т , ф ) = O (1/ т ²), W 4 k -1 ( т , ф ) = O (1/ т ), W 4 k ( т , ф ) = O (1/ т ⁴), W 4 k +1 ( т , ф ) = O (1/ т ³), k = 0, 1,..., т ^ + ~ , т.е. V k : lim w_k ( т , ф ) = 0, k =- 2, - 1,0,1,...

т ^+^

При т = ( b - а )/ д и д ^ 0, справедливо разложение

+^

+^

W((b-a)/дфд) = £ ^Wk ((b-a)/д,ф) = £^wk (ф).

k =- 2

Действительно, когда т ^ + ^ имеем

k = 0

+^                  1 +^

£ ^w (тф )=—£ k=-2              д k=0

w - 2,4 k + 2 ^{( ф} )    1 у

_ 4 k+2   + ,, £ т Дk=0

w - 1,4 k + 1 ^{( ф} )

т ^{4 k + 1}

+^ ^W 0,4 k + 4 ^{( ф} )

^{+ £}     4 k + 4    ⁺ ...

k = 0    ^т

4 m у ^W 4 m ,4 k + 4 ^{( ф} ) ^{д £}    ^kk + 4

k = 0     ^т

^

+д4 m+1 £ k=0

^w 4 m + 1,4 k + 3 ^(ф )

_т 4 k + 3

^

+ д^{4 m + 2} £ k = 0

^W 4 m + 2,4 k + 2 ^{( ф )}

_т 4 k + 2

+

При т = ( b - a )/ д и д ⁴ = Е , получим

+^ _k ( b - a ) _k £ д W k I — ^, ф\ = £ ^Е к =- 2 l д ) k =0

^W - 2,4 k + 2 ( ф )    ^W - 1,4 k + 1 ^(ф )

/ 1        \ 4 k +2       / -I \4 k +1

(b - а)        (b - а)

^W 0,4 k + 3 ^{( ф )}

\4 k + 4 ( b - a )

+^

= £ ^E^v_к ( ф ) .

к = 0

Классическое погранслойное решение Q( n , ф , A )

Пусть q (р,ф ) = £ ё[j (ф)(b - р)j , qj (ф ) = (-1)j ^ q (b,ф) , Я/( b - Ат))~ А при A ^ 0, тогда из j=0                                   j !dp j уравнения (10) и условия (7) для функции zk(р, ф) имеем

£ А \ ^^zkfn,?) - A ^+А ^А-Йф 1 -(c-ЛА^ £ ,,.(ф)(,АУ£ A‘zt (,,ф) = 0, k=0 l   dn2           дп            дф2   )            j=0             k=0

( П , ф ) Е D 2 ,

£ Z k ( ^0, ф ) ^A k = £ ^ k ( ф ) ^A 2 k ^, lim Z k ( П ^, ф ) = ^0.

k = 0               k = 0              ⁿ ^ ⁺ “

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X, получим рекуррентную систему задач lz0 = д z0(п,ф) - c2q0 (ф)z0 (n ф) = 0, z0(0,ф) = уеСфХ дп

l^z 1 = c n ( cc[ 1 ( ф ) ^{- 2} q[ 0 ( ф ) ) ^z 0 ( n ^, ф ) + ^{д Z 0} П^ф ) ^{, z} 1 ^(0, ф )=^0,

k lzk=£ (c2 qj (ф )-2 cq j-1 (ф)+qj j=1

2 ( ф ) ) n j z k - j ( П ^, ф ) ^-n ^kq k - 2 ( ф ) ^z 0 ( п ^, ф ) +

^{д z} k - 1 ( п ^, ф ) ^{д 2 z} k - 2 ( п ^, ф )

дп

д ф ²

,

zk ( 0,ф) =

, Ут (ф) при k = 2m

0 при k = 2 m + 1, m e N

k =2,3,_

Дополнительно потребуем выполнения условий lim Zk (п,ф) = 0, k = 0, 1,_

7 ^+~

Как нам известно [1, 2], решения задач (22)-(24) существуют, единственны и экспоненциально убывают при п ^ + ” ,

Z 0 ( п , ф ) = У 0 ( ф ) e^^c^ ) , Z 1 ( п , ф ) = ( п ² С 1,2 ( ф ) + П Сц ( ф ) ) e^-nc^ ) ,

Турсунов Д.А., Эркебаев У.З.

z2k (ПР) = e^"q^ VW +1 n‘c2k,j (р)), -2k+1 П,Р) = e^"q^ ^ n ,2k«N, j=1

т.е. z k ( п , р ) = О (1/ е ⁿ ), c_kj( р ) — гладкие функции. Следовательно,

Q Щ . р , ^ ) = e "■" " "

1 ^ 2 k ( V k ( Р ) + P 2k ) ⁺ 1 ^ 2 k ^{+ 1} P 2 k + 1

n ^ + ~ ,

vk=0                         k=0

4 k4 где P2k = 1n jc2k, j (РЬ P2k+1 = 1 П jc2k+1,j (P).

j'=1

Обоснование ФАРР

Пусть R ( р , р , Е )  = U ( р , р , Е ) — U m ( р , р,Е ),  где   U m ( р , р,Е )  =   1 ^ ^kV k ( р , р ) + 1 ^ Z k ( П , Р )

k=0

4 m + 1

+ 1 ^wk(т,р), R(р,р,Е) - остаточный член. Тогда для R(р,р,Е) получим задачу k=—2

EA R( P , P,E ) - ( р -a )² q ( р , р ) R( р , р,Е ) = О ( E m ⁺¹), Е ^ 0, ( р , р ) е D , R ( а, р , ё ) = 0, R ( b , р ,е)=0._

Применяя принцип максимума, получаем оценку R( р , р , Е ) = O( E m ), Е ^ 0, в области D . Теорема доказана.

Заключение. Построено равномерное асимптотическое разложение по малому параметру решения задачи Дирихле для бисингулярно возмущенного линейного, неоднородного дифференциального уравнения в частных производных эллиптического типа второго порядка с двумя независимыми переменными в кольце с квадратичным ростом на границе. Для этого случая доказали применимость обобщенного метода пограничных функций. Полученный асимптотический ряд представляет собой ряд Пюйзо. Главный член асимптотического разложения решения имеет отрицательную дробную степень по малому параметру, что свойственно бисингулярно возмущенным уравнениям. Формальное асимптотическое разложение решения задачи Дирихле обосновано принципом максимума .