Асимптотика решения бисингулярной задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

DOI:

Во многих областях науки сложные задачи описываются системами сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. Исследование асимптотического поведения решения сингулярно возмущенных задач сформировалось на основе фундаментальных работ А.Н. Тихонова [5; 6] и развивается в работах его учеников и многих других ученых. Вместе с тем проблема построения полных асимптотических разложений решений для некоторых классов сингулярно возмущенных задач до сих пор остается актуальной. Например, бисингулярные задачи [3; 4], в которых одна особенность связана с сингулярной зависимостью решения от малого параметра, а вторая – решение предельного уравнения имеет сингулярности.

Случаи, в которых бисингулярные задачи имеют явные решения, крайне редки. Даже для современных компьютеров определить поведение решения в пограничных (внутренних) слоях, при достаточно малых значениях параметра, – трудоемкая задача. Важным инструментом при исследовании поведений решений бисингулярных задач являются асимптотические методы. В свя- зи с этим в настоящее время интенсивно разрабатываются различные асимптотические методы. Нами тоже предлагается модификация метода пограничных функций Вишика – Люстерни-ка – Васильевой – Иманалиева [7; 8] для построения асимптотического разложения решения бисингулярных задач. Для оценки остаточных членов асимптотического ряда применяем метод дифференциальных неравенств [1].

Постановка задачи

Исследуем асимптотическое поведение решения бисингулярной задачи Коши

εYε′(x) + xmA(x)Yε(x) = F~ε(x), 0 < x < +∞,(1)

Yε(0)=Y0,(2)

где 0 <  ε – скалярный малый параметр, m ∈ N , F _ε ( x ), Y _ε ( x ), Y ⁰ ∈ Rⁿ , A ( x ) – положительная квадратная матрица-функция n -го порядка с собственными значениями 0 <  λ _{i 0}<  λ _i ( x ), λ _{i 0} – const, λ _i ( x ) ≠ λ _j ( x ), i ≠ j , i , j = 1, 2, ..., n при 0 ≤ x ; λ _i ( х ) = ∑ ^∞ λ _ijx^j , F ~ _ε ( x ) = ∑ ^∞ ε ^kF ~ _k ( x )

∞                                               j=0

~~

F_k ( x ) = ∑ x^jF_{kj .}

j = 0

При наложенных условиях на матрицу-функцию A ( x ) существует такая невырожденная квадратная матрица-функция B ( x ) порядка n , для которой имеет место равенство [2]

B–1(x)А(x)B(x) = D(x), где D(x) = diag{λ1(x), λ2(x), ..., λn(x)} – диагональная матрица-функция.

Применяя подстановку Y _ε ( x ) = B ( x ) Z _ε ( x ) к задаче (1)–(2), затем полученные равенства умножая слева на матрицу-фукцию B^{– 1}( x ), получаем

~

εZ'ε (x) + xmD(x)Zε(x) = Fε(x) + εB(x)Zε(x), 0 < x < +∞,(3)

Zε(0)=Z0,(4)

где F _ε ( x ) = B ^{- 1}( x ) F ~ _ε ( x ), B ~( x ) = B ^{- 1}( x ) B '( x ), Z ⁰ = B ^{- 1}(0) Y ⁰ .

Построение формального разложения

Асимптотическое разложение решения задачи (3), (4) ищем в виде as ∞∞

Zε(x) = ∑εkZk(x)+ ∑µkΠk(t),(5)

k=0

m + 1 где ε = µ , t = x / µ .

Равенство (3) запишем в виде

ε Z ' _ε ( x ) + x^mD ( x ) Z _ε ( x ) = F _ε ( x ) +ε B ^~( x ) Z _ε ( x ) + H _ε ( x ) - H _ε ( x ), 0 < x <+∞ , (6)

∞ где Н (x)= ∑ ε Hk (x) – пока неизвестный асимптотический ряд. ε      k=0

Подставляя (5) в (6), получим

Z ' k _{- 1}( x ) + x ^m D ( x ) Z _k ( x ) = F k ( x ) + B ( x ) Z _k _ , ( x ) - H k ( x ), k = 0,1,2,...            (7)

да /                                                 \                   да                           да

Х и ^k ( П ' k - m ( t ) + t m D ( ц / ) П k - m ( t ) ) =ц 6( ц 1 ) Х и k П k - m ( t ) + Х и ⁽ " ^{+ 1)} k H_t (Ш) . (8)

k = 0                                                 k = 0                k = 0

Из (7) имеем

Z k ( x ) = 4 m D "1 ( x ) ( G k ( x ) - H k ( x ) ) , k = 0,1,2,...

~ где Gk (x) = Fk (x) + B(x)Zk-1(x) - Z k-1 (x), Z-1(x) = 0 .

Неизвестные вектор-функции Н_k ( x ) подберем так, чтобы выполнялись условия:

• a)    Z_k g C ^да [0, +да ), k = 0,1,... ;

• б)    П k - _m ( t ) —— 0, t ——+да , k = 0,1,...

”

Пусть Hk (x) = Х xHk,j, тогда при Hk j = Gk j, Gk j = ~ Gkj)(0), j = 0,1,..., m - 1, j0                                             ,              ,, выполняется условие а). Остальные значения матрицы Нkj подберем при построении пограничных функций Пk(t).

да                   ~

Пусть D(цt) = Х (M-t)j Лj , B(цt) = Х (Цt) Bj , где Лj, Bj - постоянные квадрат-j=0

ные матрицы порядка n , в частности, Л 0 = diag { X ₀₁, X ₀₂,..., X ₀ n } - положительная, диагональная матрица. Тогда равенство (8) можно записать в виде:

да /                                             \ да k

Хи k (П^ - m (t) + tm Л 0 П k - m (t ))=mXm k Х ^Д k - m-j( t) - k=0                                        k=0

да        k                                   дада

-Хи k Х tm+,Л_1П k - m-j( t) +Хи(m+1) k Х (MtVHk ,j k=1   j=1                           k=0

Отсюда:

LП-m = П'-m (t) + tmЛ0П-m (t) = H0,0, t G (0,+») .(9)

ii

LП,-m =Х 1,’b,П-m-j(t)-Хtm +'ЛjП,"m-j(t) + H„t", i = 1,...,m, t g(0,+да).

j =1

( m + 1) k + m + i                              ( m + 1) k + m + i

L П (m+1) k+i = Х   tjB j П (m+1) k+i - j ( t ) - Х     Л j П (m+1) k+i - j ( t ) + j=1

k

+ Х t ⁽ m ^{1 11} ’ ^{+ i +} ” H . - - ,( m . 1) - + i + m , k e N ^u {0}, i = 0,1,..., m , t e (0, +» ).

s = 0

Равенство (4) порождает начальные условия

П 0 (0) = Z ⁰ - Z _o(0), П ( _m +1) k (0) = -Z k (0), П s (0) = 0, s ^ ( m + 1) k , k e N .            (12)

Как нам известно [2], задача Коши

Lw(t) = P(t), t e (0, +да), w(0) = w0, где w0, P(t) e Rn, P e C[0, +да) w0 - const, имеет единственное решение, представимое в виде tm+1                 tm+1                          sm+1

n Л 0             Л 0 tt          ----Л 0

w ( t ) = we^{m + 1} + e^{m + 1} j_o P ( s ) e^{m + 1} ds •

Справедлива следующая лемма.

Лемма 1. Пусть матрица-функции Qj(t) e [0, + да) разлагаются в асимптотические ряды да 1

Qj (t) = t    ^ (m+1)k+j Qj,(m+1)k+j, j = 0,1,—,m,   t ^+да k=0 t

Тогда в области [0, +да) существуют решения уравнений w'j(t) + tmЛ0wj(t) = Qj(t), j — 0,1,...,m, которые разлагаются в асимптотические ряды

_ 1       1. _ wj( t) — ;L ,(m+1) k+j wj,( m+1) k + j. j — 0,1,...,m, t • '" .(14)

t k = 0 t

При этом ряды (14) можно многократно почленно дифференцировать, и они являются асимптотическими разложениями решений уравнений (13).

Доказательство . Нетрудно заметить, что дифференцируемость рядов (14) вытекает непосредственно из уравнений (13). ФАРР ищем в виде (14), где w j ,( _{m +} 1) k ₊ j — пока неизвестные.

Подставляя ряды (14) в уравнение (13) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях т , получаем рекуррентные системы уравнении для w j- ( _m + 1) k ₊ j . Отсюда последовательно определяются все члены рядов (14). Далее оцениваются остаточные члены рядов (14). Таким образом, ряды (14) действительно являются асимптотическими разложениями решений уравнений (13).

( m + 1) k + m

Лемма2 . Пусть H k , j —   ^^^Л j + s - m ^П ( m + 1) k - s , s

, k = 0,1,…, j = m , m + 1, … Тогда при

s — 1

t ^ + да справедливы асимптотические разложения:

^П ( m + 1)( k - 1) + s ⁽ t ) ^— ^ ( _m + 1) j - _s ^П ( m + 1)( k - 1) + s ,( m + 1) j - s , t ^ ^+да , ^{s —} 0,¹,..., ^m ,   ^{k —} 0,¹,...

j — 1 t

Доказательство . Последовательно применяя лемму 1 для уравнений (8) и (9) при i = 1, 2,…, m – 1, получаем:

да 1

^П i - m ⁽ t ) ^— ^ ( _m + 1) j - i - 1 ^П i - m ,( m + 1) j - i - 1 , t ^ ^+да , i = 0, 1, —, ^{m -} 1.      ⁽15)

j — 1 t

В уравнениях (9) при i = m и (10) мы должны выбрать неизвестные матрицы H_{k , j} так, чтобы максимальная степень разложения правых частей равенств (9), (10) по t не превышала m при t ^ + да .

Из (9) при i = m имеем:

m

L П 0 = - E t m ^П^ t ) + t m H 0, m .                     (16)

j = 1

Учитывая асимптотические разложения (15) при

H0, n = Л1П-1,1 + Л2П-2,2 + ... +Л mП-m, m и применяя лемму 1 для уравнения (16), получаем:

/     1

П0(t) = E (m+1) j П0,(m+1) j, t > + / .

j = 1 t

Аналогично доказываются и остальные случаи.

Таким образом, нами определены все члены асимптотического ряда (3). Перейдем теперь к обоснованию этого асимптотического ряда.

Обоснование разложения k               (m + 1) k

Пусть Re,k(x)=Ze (x)—Ze, k(x), где Ze,k(x) = E^e Zj(x)+ E, цПj(t).

j = 0            j =- m

Тогда для остаточной функции получим задачу

eR‘ k (x) + xm A(x)Re k (x) = ek+1Ф(x, t, e), 0 < x < +/,Re,k (0) = 0, где Ф(x, t,е) = O(1), е > 0.

Для оценки применяем метод дифференциальных неравенств [1]. Пусть нижнее решение

U^H( x , e ) = -(1 + x ) p e ^k , верхнее решение U^B( x , e ) = (1 + x ) p e ^k , где 0 <  e <  e ₀< 1,

- 1

p = ec (e + xm (x +1)A(x))

+ 1 , c = ||Ф ( x , t , e||. Имеем:

lRe, k = eR ‘ k (x) + xmA (x) R6, k (x) - ek+1Ф( x, t, e) = 0,

lUH = -ek (e + xm (x +1)A(x))(p + e(e + xm (x +1)A(x))-1 Ф(x, t, e))< 0,lUB =ek(e + xm (x +1)A(x))(p -e(e + xm (x +1)A(x)) 1 Ф(x,t,e))> 0

то есть

lUH < lRr k < lUB, 0 < x < +/, e, k а для начального условия справедливы неравенства иН(0, e) = -pek< Rek(0) = 0

Отсюда [1],

- (1 + x)pe^k< R_ek(x) < (1 + x)pe^k, или R_ek(x) = O(e^k), e>0.

Следовательно, справедлива следующая теорема.

Теорема. Для решения бисингулярной задачи Коши (1), (2) при £^0 справедливо асимптотическое разложение (5).

Пример. Рассмотрим бисингулярную задачу Коши

£y '_£(x) + xy_£(x) = f (x ),0 < x<+^,                   (17)

y_E(0) = y⁰,                                              (18)

где функцияfx) e C”[0,~),fx) = f f_kx^k , f_k = f (^k)(0)/k!, f, * 0, y⁰ - const.

k=0

Как мы видим, при х = 0 нарушаются условия асимптотической устойчивости. Предельное уравнение (соответствующее невозмущенное)

–x ~y (x)+f(x)=0, имеет решение:

~⁽x) = f (x)/ x .                                   ⁽¹⁹⁾

Решение (19) имеет особенность в точке х = 0. Кроме того, это решение не удовлетворяет начальному условию (18). Поэтому задачу (17)(18) по терминологии А.М. Ильина можно называть бисингулярной [4].

Решение задачи (17), (18) будем искать в виде:

y(x, £) = f> kVk (x) + f> k П k (т),(20)

k=0

где т = х/g, g² = £.

Уравнение (17) запишем в виде

£y\ (x) + xy£ (x) = f (x) - j^£khk + j^£khk, k=0         k=0

Подставляя (20) в (21), имеем:

£^£k ddyx. + -^gk dkyW = -x.^£kVk(x)-T-^gknk-1(т)+f(x)-fykht + j^£kht. k=0     dx    k=0      dT        k=0           k=0                   k=0

Отсюда получаем:

м            юю

£f£ kdv^x) = -x f£kVt (x) + f (x)- f£ khfc,(22)

k=0     dx       k=0

“              ю fgkdnk-lgL-Tfgk П k-1(T)+f£ khk.(23)

k=0      dT        k=0

Из равенства (22) имеем:

^-xv°⁽x) + fx)^-hо = °; v’k—1(x) = ^-xv_k^(x)^{- h}_k, k^eN.

Отсюда следует, что v°(x) = f(x)- h°) / х; vk(x) = -(v’-1(x) + hk) / х,k e N.

И здесь мы неизвестные коэффициенты h_k выберем так, чтобы v_k(х) k = 0, 1, ... были гладкими:

h° = f°, hk = — v’k-1(0), k e N.

При таких значениях h_k мы получим:

v°^(x) = f^x)^-f>)/х; vk^(x) = ^-(v’k—1^(x)^-v’k—1^(0))/х,^{k e N.}

Следовательно, vk(х) e С”[6,+да) k = °, 1, ...

Из равенства (23) имеем:

d^2ka ’^ + тп2k-1(t) = hk, dK2,k(T) + тп2k (t) = °, k = °, 1 2,... dT

Учитывая условия (18), получим следующие задачи:

dn°(T) + ТП° (t) = °, n°(°) = y°-v°(°), dT dЛдДт),

+ Tn2k(t) = °, n2k(°) = —vk(°), k = 1, 2,...,(25)

dт dл2^-1(т)

---kT^1 + тп2k-1(t) = hk, n2k_i(°) = °.(26)

Задачи (24)–(26) имеют единственные решения, представимые в виде:

ⁿ° ^(т)=⁽у °^{- v}° ⁽°)^^-T2/2; ⁿ2 k ^(t)=^-vk⁽°)e^-T2'². k = i. 2. •••;

П 2 k-1 (t)=hke^{-T 2,2} Jes^2/2ds, k = °, 1,2,...

Для решения задач (24)-(26) при т ^ да справедливы соотношения:

П2k (т) = O( e^т2/2I, ^п2k-1^(т)= hk

(1    1     3

-+ + > +

<т т³т⁵

Л

, k = 0, 1, 2,...

Нами определены все члены формального асимптотического разложения (20).

Для обоснования этого формального разложения рассмотрим остаточную функцию k              2k

Rе,k(x) = Уе(x) - Уе,k(x), где Уs,k(x)= £еjvj(x)+ Е^jПj(т). j=°            j=-1

Для остаточного члена получим следующую задачу:

8R‘, k (x) + XR8, k (x) = -8 k + 1 v'k + 1 (x), 0 < X,                    (28)

R 8, k (0) = 0.                                       (29)

Задача (28)–(29) имеет единственное решение

x

RE,k(X) = -ske-x     Jv'k+1($)e$ / ds, и для него справедлива асимптотическая оценка R8 k(x) = О(8k), 8^0, 0 < x < +^. Эту же оценку можно получить и методом дифференциальных неравенств, как это было сделано выше.

Таким образом, для решения задачи Коши (17)–(18) справедливо разложение (20).

Заключение

Как показано выше, метод, предлагаемый нами, намного упрощает количество вычислений сравнительно других асимптотических методов, и оценка для остаточного члена асимптотического ряда получается точно. Мы доказали применимость метода пограничных функций для построения полных асимптотических разложений решений бисингулярных задач. Однако в бисингулярных задачах не все пограничные функции убывают экспоненциально, то есть некоторые пограничные функции могут убывать степенным характером. В данной работе исследовано и построено полное асимптотическое разложение решения бисингулярной задачи Коши для систем линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом доказано, что главный член асимптотического разложения имеет отрицательную дробную степень по малому параметру. Оценка для остаточной функции получена с помощью метода дифференциальных неравенств.