Асимптотика решения двухзонной двухточечной краевой задачи

Введение. Как нам известно, математическими моделями многих задач науки и техники являются обыкновенные дифференциальные уравнения с малыми параметрами при старшей производной [1–3]. Например, тесно связанные между собой два процесса можно описать с помощью обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка гу "£ (x)+p(x)у '£ (x)+q(x)у г (x) = f(x) x G (°, 0-

Первый процесс - распределение тепла в движущейся среде, зависящее только от x и не зависящее от времени. Здесь г описывает малую теплопроводность, а функция p ( x ) - скорость среды. Второй процесс – случайное блуждание частицы на рассматриваемом промежутке, здесь p ( x ) - средняя скорость движения, малая дисперсия обозначена через г [3].

Проведенные исследования и увеличение числа публикаций по теории возмущений доказывают, что дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной или сингулярно (бисингулярно) возмущенные дифференциальные уравнения составляют самостоятельную область математики, так как они представляют большой прикладной интерес, [1– 12].

Постановка задачи . Рассмотрим следующую двухточечную краевую задачу ^{е 4} у "г ^{( x} ) ^{+ x 2} p ^{( x} ) у ' г ^{( x} ) ^{- E} q ^{( x} ) У е ^{( x} ) = f ^{( x}), ^{x G} M,                  ⁽¹⁾

У е (°) = a , У е (1) = b ,                                      (2)

Турсунов Д.А., Асимптотика решения двухзонной Омаралиева Г.А. двухточечной краевой задачи где 0 < s <с 1, a, b - известные постоянные, 0 < p(x),0 < q(x), f (x) - бесконечно дифференцируемые известные функции при x e[0,1] , 0 < p(0) = p0, 0 < q(0) = q0, a y's(x) - искомая функция, зависящая от малого параметра ε.

Нам известно, что при s >  0 существует единственное решение двухточечной краевой задачи [3, с. 116]. От нас требуется построить полное асимптотическое приближение решения двухточечной краевой задачи с любой степенью точности при малом s , т. е. когда s ^ 0.

Особенности задачи . Уравнение (1) называется возмущенным, так как в нём присутствует малый параметр ε. Для начала определим особенности возмущенной задачи (1), (2).

Соответствующее невозмущенное уравнение ( ε = 0):

x ² p ( x ) y '( x ) = f ( x ), x e (0,1)

является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, поэтому в общем случае решение этого уравнения не может удовлетворить двум краевым условиям (2), т.е. возмущение является сингулярным – первая особенность.

Попробуем построить внешнее асимптотическое решение двухточечной краевой задачи (1), (2), которое будем искать в виде степенного ряда по малому параметру, т. е. в следующем виде:

Z s ⁽ x ) = z 0 ( x ) + ^S Z 1 ⁽x ) + ^s 2 z 2 ⁽ x ) + ... + £ⁿ 2 n ⁽ x ) + ...                        (3)

Подставляя (3) в двухточечную краевую задачу (1) и (2), имеем:

да                                 да                              да s4 ^ skz"k (x)+x2p(x) £ skz'k(x)- sq(x)5 skzk(x)=f(x), x e (0,1), k=0                      k=0                    k=0

z0 (1) + sz1(1) + s2 z2 (1) +... + snzn (1) +... = b или, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s , получим z"k-4 (x) + x2p(x)z'k (x) - q(x)zk-1(x) = f(x), x e (0,1), k e N0 = {0Д, 2,...}, z0(1) = 0, zk(1) = 0, k e N, где zs (x) = 0, s < 0.

При k = 0 имеем: x2p(x)z '0(x) = f (x), x e (0,1), z0(1) = b, интегрируя, получаем: z0 (x) = f f(s) ds + b^ z0(x) = O|   |, x ^ 0;

1 s ² p ( s )                     V ^x )

при k = 1 имеем: x2p(x)z\(x) = q(x)z0(x), x e (0,1), z1(1) = 0, xq(s)zn(s)                    1 ^

интегрируя, получаем: z 1 ( x ) = [ —-—⁰—- ds ^ z 1 ( x ) = O I    I , x ^ 0.

1 s ² p ( s )                   V x ² )

Методом математической индукции можно доказать, что z (x) = OI      I, x ^ 0.

^nx              n +1 ’

Поэтому ряд (3) представим в виде:

rz , X 1-ZX 1 s_, _x 1 f s |²~_z.       1 f s I n._/x

Zs (x) = -z0(x) +--z1(x) + —I — I z 2( x) + ••• + -HI zn (x) + .’.’ x       x x       x V x)            x V x)

где z ₀(1) = b , z_k (1) = 0, k e N , z m e C ^да (0,1), m e N ₀.

Заметим, что с ростом номера n растет и особенность в точке х = 0. Ряд (4) теряет свойство асимптотического ряда, когда x e (0, s ]. Эта особенность является второй.

Таким образом, рассматриваемая задача является бисингулярной [3].

Еще одна дополнительная особенность заключается в том, что в окрестности особой точки х = 0 существуют две погранслойные функции: одна из них экспоненциально убывает вне пограничного слоя, а вторая степенным образом убывает вне пограничного слоя.

Основной результат. Асимптотическое приближенное решение двухточечной краевой задачи (1), (2) будем искать в виде ys (x) = Vs (x) + Ws (t) + П ^(7),                                 (5)

где V _£ ( x ) = £ ^ k v_k ( x ), W _£ ( t ) = ¹ £ ^ k w_k ( t ), П _ц (т ) = £ ^п _к ( t ), x = £ t , x = ц³ т, J£ = ц.

к =0                     ^£ к =0                      к =0

Формально подставляя (5) в (1), имеем:

^£ V £ ^{( x} ) ^{+ x} 2 P ^{( x)V} £ ^{( x} ) ^- e q ^{( x}V ^{( x} ) = ^{f ( x} ) ^- H ^{( x}), ^{x e (0,1)}’ f W £ ( t ) + t ² P( £ t)W £ ( t ) - q( £ t)W e ( t ) = H e ( x ), t e (0, £ ^{- 1}), п '' ц ( т ) + ЦТ ² p ( ц³ т ) П ц ( т ) - q( Цт ) П _ц ( т ) = 0, т e (0, ц - ),

∞ где H£ (x) = V £к (hk,0 + hk,1 x), hk,0, hk,1 - пока неизвестные постоянные.

к =0

Подставляя (5) в граничные условия (2), получаем:

a = V£ (0) + W£ (0) + П ц (0),       b = V£ (1) + W£ (£-1) + П ц (ц~3), отсюда запишем

V £ (1) = b , W £ ( £ ^{- 1}) = 0,

П ц (0) = a - V _ц 2 (0) - W _ц 2 (0),         П ц ( ц ~³) ^ 0, ц ^ 0.

Из (6) и (9) при k = 0 имеем:

^{x 2} P ^{( x} ) ^v ' o ^{( x} ) = ^{f ( x} ) ^{- (} h 0,0 ⁺ h 0,1 ^x )’ ^{x e (0,1)}’ ^v 0 ⁽¹⁾ = ^b ,

„ xf(s) - (h0,0 + h0,1 s),   , интегрируя, получаем: v0(x) = I------------—ds + b .

1        s p ⁽ s )

.       ” f ^{( k} ) (0)

По условию задачи f e C [0,1] ^ f ( x ) = V-—— x ^k .

к =0    ^{k !}

Если h e,0 = f (0), h 0,1 = f '(0), то V q e C ” [0,1].

Из (6) и (9) при k = 1 имеем:

x2p(x)v '1(x) = q(x)Vq(x) - (h1,0 + hux), x e (0,1), V1(1) = 0, xq(s)vo(s)-(h1,o+ hus), интегрируя, получаем: v1(x) = I--------------,-----,— ds .

1           ^s P ^{( s} )

Пусть h 1,o = q (0) V q (0), h 1,1 = ( q '( x ) v o ( x ) + q ( x ) v 'o ( x ) )| x =o , тогда V 1 e C ” [0,1].

Аналогично определяя vk(x), к = 2,3,... из соотношения v"к-4(x)+x2p(x)v'к(x)- q(x)vk-1(x) = -(hk,o+ h1,1x), x e (0, D, получаем

x vk(x)=J

q ^{( s} ) v k -1 ^{( s} ) ^{- v}" к -4 ^{( s} ) ^{- (} h k ,o ⁺ h k ,1 ^s )

ds ,

^{s 2} p ^{( s} )

и здесь выбираем h_{k 0}, h_k1, к = 2,3,... так чтобы v_k e C ” [0,1], к = 2,3,..., т.е.

h k ,o = q (0) V k -1 (0) - v" к -4 (0),    h k ,1 = q '(0) V k -1 (0) + q (0) v ' к -1 (0) - v "' к -4 (0) .

Уравнение (7) запишем в виде t2p(£t)w'к (t) - q(£t)wk (t) = hk,o + hk,1£t - w"к-1(t), t e (0, £-1).

Учитывая условие (10), при k = 0 имеем

I       q(£t)    (A ho,o+ ho,1£t , m                  A w0( t)- 2 z . w0( t) = —2—’ te (0, £ ), w0(£ ) = 0 , t2 p (£t)           t2 p (£t)

интегрируя это уравнение, получаем:

- J  q(Es) ds hOO + ho^EJ    -1 s 2 p (Es )

’.—’— e ^E         d . .

J P ^{( e}J )

Докажем, что w _o ( t ) ограничена при t ^ 0.

t   q^(Es ) _&                        _ J   q ⁽ es )

- 1 s ² p⁽ E S )     t- h o,0 + h o 1 ^EJ    - I s ² P⁽ E S )

w o ⁽ t ) = e ^E              I ’₂     ’ e ^E

E - 1   J p ( ej )

ds

d . = - e ^E

J

^q'^E" ds ₁ s ² p ( E s )

r h o ,o + h o 1 ^E J ,

—’-----’--- d

_E-     q (.^EJ )

e

J

J ^qlE" ds

_{- 1} s ² p ( E s )

Г q(Es) ds ho,o + ho,1Et ,   ,-1 s2P(Es )   ho,0 + ho,1

’’+ eE’

q(Et)

r    q (es )  ,

J    ——ds

- 1 ^s P ^{( Es} )

+ e ^E

_E - 1

,                        - f    q^(Es ) ds

( ho,O + ho 1EJ )     11 s2P(Es),

—’------’----I e E

( q .)

w ₀ (O) =— и W) ( e ¹) = O, а также w ₀ e C ” [O, e 1 ]. q (O)      ^o'                       ^o

При k e N имеем:

w ' k ⁽ t ) ^-

q^{( E t} ) t ² P ( E t )

w k ⁽ t ) =

h k ,O ⁺ h k ,1 ^{E t -} w " k -1 ⁽ t ) t ² P ( E t )

, t e (O, e ¹), W k ( e 1 ) = O ,

интегрируя дифференциальное уравнение первого порядка с краевым условием, получаем:

}         )ds ,  ,         ,                             - J)

M    E-1 s 2 P (Es)   Г hk ,O + hk ,EJ - wk-1ф)    11 s2 P (Es)   ,    ,..

w_k ( t ) = e ^E          I —’-----4------------- e ^E          d . , k e N .

E - 1         J P ( ej )

Отсюда следует, что w_k (O) = ——---- k -l£2 , _w ( e ') = o и w_k e C ” [O, e '| .

k

Рассмотрим теперь задачу (8), (11). Задачу (8), (11) запишем в виде n"o(r) -qo^o(T) = O, т e (O, д-3),

n"k(t)-qonk(т)=фk(т’Дт’nk-1,nk-1’...’no’n'o)’ T e(o’д-3)’k eN’ no(O) = a - Vo(O) - Wo(O),        Пo(д_3) ^ O, д ^ O, n2 k (O) = - vk (O) - wk (O)’         П2 k (Д^3) ^ O’ Д ^ O’ k e N ’

П2k-1(O) = O’                     П2k-1(Д^3 ) ^ O’ Д ^ O’ k e N’ где функция Фk(т,^T,nkА,п'k-1,...,no,n'o) линейно зависит от переменных nk-1,п'k-1,...,no,n'o и полиномиально зависит от т и дт.

Решение задачи (12), (14) представимо в виде no(т) =(а - vo(O) - wo(O)) e-^q°T ’

Решения задач (13), (15) тоже существуют, единственны и экспоненциально убывают при т ^-да , ( д ^- 0):

n2 k(т) = -(vk(O) + wk(O)) e-^q°T+Pk(т’ дт)e-^q°T ’ n2 k-1 (t ) = P2 k-1(т’ дт) e-^°T ’ где Ps (т, дт) - полиномы, при т = 0: Ps (O,O) ^ O.

Таким образом, полностью определены функции VE (x), WE (t), Пд (т). Оценим остаточный член асимптотического приближения (5). Пусть n                in2

Уе (x) = E Ekvk (x) + - E Ekwk (t) + E ^Kk (t) + Rn,E (X)’ k=O           E k =O тогда подставляя (16) в задачу (1)–(2), получаем

£ ⁴ R"n, _E ( x ) + x ² p ( x ) R ' n, _£ ( x ) - £ q ( x ) R n, _£ ( x ) = £ ⁿ ■   " t . x e (0,1),                  (1)

R n, £ (0) = 0, R n, £ (1) = O ( e ^- q^ ' ^ц ), ц ^ 0                         (2)

где R_n , _£ ( x ) - остаточный член ряда,

^T = ц д ^{( x} ) v n ⁽ х ) + ц" n -3 ^{( x} ) + ц ³ v " n -2 ^{( x} ) + ц ⁵ v "  n -1 ^{( x} ) + ц ⁷ v" n ^{( x} ) + ц w" n ⁽ t ) +

^+Ф 2 n +1 ^{( T} , ц 3 ^Т , ^П 2 n ^{, П} '2 n , -^{, П} 0 , ^П ' 0 )•

Для задачи (1)–(2), применяя теорему 26.2 [3, с. 116], получаем оценку для остаточного члена:

| R_n , _£ ( x )| < £ ^{n - 1/2} c , 0 <  c - const.

Вывод. Нами построено полное асимптотическое приближение решения по малому параметру двухточечной краевой задачи на отрезке для линейного неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной. Исследованная задача отличается от ранее исследованных задач тем, что в окрестности левой граничной точки х = 0 существует двухслойный пограничный слой, также решение соответствующей невозмущенной задачи не является гладкой функцией. Поэтому одним классическим методом пограничных функций невозможно решить задачу. Сначала формальное асимптотическое приближение исследуемой задачи построили обобщенным и классическим методами пограничных функций, затем с помощью принципа максимума получили оценку для остаточной функции построенного ряда. Полученный ряд является асимптотическим в смысле Эрдей.