Асимптотика решения краевой задачи о поперечной нелинейной электромагнитной волне
Автор: Гетман В.А., Долгих Т.Ф., Жуков М.Ю.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.27, 2025 года.
Бесплатный доступ
Построено асимптотическое решение краевой задачи для двух квазилинейных уравнений гиперболического типа, описывающих поведение поперечной электромагнитной волны (TEM-волны) в нелинейной сплошной среде, когда зависимость поляризации P от напряженности электрического поля E (физическая нелинейность) имеет вид P=ε0(χ1E+χ2E2+χ3E3), где χ1, χ2, χ3 - диэлектрические восприимчивости, ε0 - диэлектрическая проницаемость вакуума. Главный член асимптотики построен в двух случаях: (i) χ1=O(1), χ2→0, χ3=0 (анизотропная сплошная среда), (ii) χ1=O(1), χ2=0, χ3→0 (изотропная сплошная среда), хотя один из использованных методов построения асимптотики без труда переносится и на случай (iii) χ1=O(1), χ2→0, χ3→0. В случае (\textrm{i}) асимптотика при χ2→0 строится двумя способами. В первом варианте используется непосредственное разложение в ряд по малому параметру точного неявного решения краевой задачи с последующим численным построением явного решения на линиях уровня неявного решения (главного члена асимптотики неявного решения). Во втором варианте разложения в ряды по параметру проводятся на всех этапах, предшествующих построению точного неявного решения, что приводит к неявному решению, отличному от точного, но главный член асимптотики нового и прежнего решения совпадают. Эквивалентность двух указанных вариантов далеко неочевидна, в частности, точное неявное решение содержит гипергеометрическую функцию Гаусса, а асимптотическое неявное решение - функцию Бесселя. В случае (ii) асимптотику при χ3→0 возможно построить лишь вторым способом, проводя разложение по параметру на всех этапах построения неявного решения. Первый вариант конструирования асимптотики непременим, ввиду того, что точное неявное решение не удается построить. Для построения решения краевой задачи о поведении TEM-волн, как точного, так и асимптотического, использован метод годографа на основе закона сохранения для системы двух квазилинейных гиперболических уравнений типа 1+1 в частных производных первого порядка. Метод позволяет преобразовать систему квазилинейных уравнений в одно линейное уравнение в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами. Эффективность метода зависит от наличия явных соотношений, связывающих исходные переменные с инвариантами Римана, а также от наличия явного выражения для функции Римана - Грина линейного дифференциального уравнения. В случаях (i), (ii) указанные условия выполняются. Представленные результаты позволяют детально проследить эволюцию TEM-волн в нелинейных средах, например, коаксиальных волноводах или в распределенных идеальных линиях передач, в частности, определить момент времени (и пространственную координату) при котором возможно возникновение ударных электромагнитных волн.
Системы квазилинейных гиперболических уравнений, инварианты Римана, функция Римана - Грина, метод годографа, асимптотические разложения
Короткий адрес: https://sciup.org/143185215
IDR: 143185215 | УДК: 514.743.48, 517.956.35, 517.955.8 | DOI: 10.46698/e7486-7095-0322-l
Asymptotics of the Solution of a Boundary Value Problem for Transverse Nonlinear Electromagnetic Wave
An asymptotic solution of the boundary value problem for two quasi-linear hyperbolic equations describing the behavior of a transverse electromagnetic wave (TEM wave) in a nonlinear continuous medium is constructed when the dependence of polarization P on the electric field strength E (physical nonlinearity) has the form P=ε0(χ1E+χ2E2+χ3E3), where χ1, χ2, χ3 are dielectric susceptibility and ε0 is the dielectric constant of vacuum. The main term of the asymptotics is constructed in two cases: (i) χ1=O(1), χ2→0, χ3=0 (anisotropic continuous medium), (ii) χ1=O(1), χ2=0, χ3→0 (isotropic continuous medium), although one of the methods used to construct the asymptotics is easily transferred to the case (iii) χ1=O(1), χ2→0, χ3→0. In the case of (i), the asymptotics for χ2→0 is constructed in two ways. In the first variant, the direct expansion in a series by a small parameter of the exact implicit solution of the boundary value problem is used with the subsequent numerical construction of the explicit solution on the lines of the level of the implicit solution (the main term of the asymptotics of the implicit solution). In the second variant, the expansion into series by parameter is carried out at all stages preceding the construction of an exact implicit solution, which leads to an implicit solution different from the exact one, but the main term of the asymptotics of the new and previous solutions coincide. The equivalence of these two options is far from obvious, in particular, the exact implicit solution contains the hypergeometric Gauss function, and the asymptotic implicit solution contains the Bessel function. In the case of (ii), the asymptotics at χ3→0 can be constructed only in the second way, by performing parameter decomposition at all stages of constructing an implicit solution. The first variant of constructing the asymptotics is indispensable to them, due to the fact that an exact implicit solution cannot be constructed. The hodograph method, based on the conservation law for a system of two quasi-linear hyperbolic equations of type 1+1 in partial derivatives of the first order, was used to construct a solution to the problem of the behavior of TEM waves , both exact and asymptotic. The method allows to transform a system of quasi-linear equations into one linear partial differential equation of the second order with variable coefficients. The effectiveness of the method depends on the presence of explicit relations connecting the initial variables with the Riemann invariants, as well as on the presence of an explicit expression for the Riemann-Green function of a linear differential equation. In cases (i), (ii) the specified conditions are valid. The presented results allow us to trace in detail the evolution of TEM waves in nonlinear media, for example, in coaxial waveguides or distributed ideal transmission lines, in particular, to determine the time (and spatial coordinate) at which the occurrence of shock electromagnetic waves is possible.
