Асимптотика решения краевой задачи о поперечной нелинейной электромагнитной волне

Построено асимптотическое решение краевой задачи для двух квазилинейных уравнений гиперболического типа, описывающих поведение поперечной электромагнитной волны (TEM-волны) в нелинейной сплошной среде, когда зависимость поляризации P от напряженности электрического поля E (физическая нелинейность) имеет вид P=ε0(χ1E+χ2E2+χ3E3), где χ1, χ2, χ3 - диэлектрические восприимчивости, ε0 - диэлектрическая проницаемость вакуума. Главный член асимптотики построен в двух случаях: (i) χ1=O(1), χ2→0, χ3=0 (анизотропная сплошная среда), (ii) χ1=O(1), χ2=0, χ3→0 (изотропная сплошная среда), хотя один из использованных методов построения асимптотики без труда переносится и на случай (iii) χ1=O(1), χ2→0, χ3→0. В случае (\textrm{i}) асимптотика при χ2→0 строится двумя способами. В первом варианте используется непосредственное разложение в ряд по малому параметру точного неявного решения краевой задачи с последующим численным построением явного решения на линиях уровня неявного решения (главного члена асимптотики неявного решения). Во втором варианте разложения в ряды по параметру проводятся на всех этапах, предшествующих построению точного неявного решения, что приводит к неявному решению, отличному от точного, но главный член асимптотики нового и прежнего решения совпадают. Эквивалентность двух указанных вариантов далеко неочевидна, в частности, точное неявное решение содержит гипергеометрическую функцию Гаусса, а асимптотическое неявное решение - функцию Бесселя. В случае (ii) асимптотику при χ3→0 возможно построить лишь вторым способом, проводя разложение по параметру на всех этапах построения неявного решения. Первый вариант конструирования асимптотики непременим, ввиду того, что точное неявное решение не удается построить. Для построения решения краевой задачи о поведении TEM-волн, как точного, так и асимптотического, использован метод годографа на основе закона сохранения для системы двух квазилинейных гиперболических уравнений типа 1+1 в частных производных первого порядка. Метод позволяет преобразовать систему квазилинейных уравнений в одно линейное уравнение в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами. Эффективность метода зависит от наличия явных соотношений, связывающих исходные переменные с инвариантами Римана, а также от наличия явного выражения для функции Римана - Грина линейного дифференциального уравнения. В случаях (i), (ii) указанные условия выполняются. Представленные результаты позволяют детально проследить эволюцию TEM-волн в нелинейных средах, например, коаксиальных волноводах или в распределенных идеальных линиях передач, в частности, определить момент времени (и пространственную координату) при котором возможно возникновение ударных электромагнитных волн.