Асимптотика решения одной задачи Валле-Пуссена с нестабильным спектром

Постановка задачи. Рассмотрим задачу Валле-Пуссена eY'(x) = A(x)Y(x) + F(x), x e[0,1],                                 (1)

BY (0) + B ₂ Y ( x 0 ) + B 3 Y (1) = Y ⁰ ,                              (2)

где 0 <  е - скалярный малый параметр, квадратная матрица-функция A(x ) размерности 3 x 3 с простым спектром,   F ( x)  =   f 1 ( x ) f₂(x ) f₃ ( x ))^T - известная вектор-функция,   A, F e C ^ [ 0,1 ] ,

Y0 = (y0 y0y0)T - заданный постоянный вектор, x0e(0,1), Y(x) = (yi(x) y2(x) y3(x))T - искомая вектор-функция, зависящая от скалярного малого параметра 8, а матрицы B 1, B2, B3 - диагональные матрицы вида:

B₁ = diag { 1,0,0 } , B₂ = diag { 0,1,0 } , B₃ = diag { 0,0,1 } , причем B 1 + B ₂+ B ₃= E ₃ - единичная матрица третьего порядка.

Пусть выполняется условие:

U 1 . Спектр Я ( x ) = { ^ ( x ), Л₂( x ), ^( x ) } матрицы-функции A ( x ) имеет вид:

Я ( x ) = { - x , x ₀ - x ,1 - x } .

Требуется построить равномерное асимптотическое разложение решения задачи Валле-Пуссена на отрезке x e [0,1] при стремлении малого параметра к нулю справа.

Отметим особенности задачи:

• -    присутствие малого параметра при производной;

• -    необратимость матрицы-функции A ( x ) в точках x = 0, x = x ₀ и x = 1.

По условию 8 - малый положительный параметр, асимптотика решения задачи (1)-(2) строится при стремлении малого параметра к нулю. Все входящие в задаче (1)-(2) матрицы-функции достаточно гладкие. Поэтому решение задачи (1)–(2) тоже должно быть достаточно гладким на рассматриваемом отрезке. Однако, если считать, что е = 0, то получим вырожденное уравнение:

A( x )Y ( x ) + F ( x ) = 0,                                      (3)

решение которого негладкое в точках x = 0, x = x ₀ и x = 1. В таких случаях задачу называют би-сингулярной [8].

Решение задачи . Для изложения сути основной идеи рассмотрим простой случай, когда матрица-функция A ( x ) чисто диагональная, т. е.

A ( x ) = diag { Я ₁ ( x ), Л2 ( x ), ^( x ) } .

Как всегда, сначала строим внешнее решение задачи, потому что оно дает нам возможность определить размерность слоев, т. е. преобразование.

Внешнее решение U ( x ) строим методом малого параметра:

U ( x ) = U ₀( x ) + 8 U ₁( x ) + ... + 8 n U n ( x ) + ...                              (4)

Подставляя ряд (4) в систему (1), имеем:

8 { U '₀( x ) + 8 U \( x ) + ... + 8 ⁿU ' n ( x ) + ...} = A ( x ){ U ₀( x ) + 8 U ₁( x ) + ... + 8 n U n ( x ) + ...} + F ( x ), по идее метода малого параметра получим

A ( x)U ₀( x ) + F ( x ) = 0, A ( x)U_n ( x ) = U ' n _{- 1}( x ), n e N , отсюда имеем:

U , ( x ) = - A ^{- 1} ( x ) F ( x ),   U_n ( x ) = A ^{- 1} ( x )U ' n _{- 1} ( x ), n e N .

В итоге нами формально определены все члены внешнего разложения. Внешнее решение также можем записать в скалярном виде:

u1 (x) = f1 (x) x-1 + 8u11 (x) x”3 + 82 u12 (x) x”5 + ^ + 8 kU1 k (x) x ( 2k+1) + ^ , u2 (x) = f2 (x)(x0 - x)-1 + 8u21(x)(x0 - x)—3 + — + 8ku2k (x)(x0 - x)-(2k+1) + —, u3(x) = f3 (x)(1 - x)-1 +8U31(x)(1 - x)-3 + —+ 8ku3k (x)(1 - x) (2k+1) + —, где uij eC”[0,1],i = 1,2,3; j e N.

Заметим, что внешнее решение (4) не удовлетворяет условиям Вале–Пуссена (2) и теряет асимптотический характер в окрестностях особых точек соответственно.

Однако здесь мы получаем информацию о масштабе внутреннего растяжения. Пусть x = цт , где ц = е . . Тогда u ₁ ( x ) примет вид

Математика

„ м 1     ,,^Uii(MT) . Ui2(MTL    ,uik(MT). x ui(T ) = — {f i( M T) +---5— +---5— + — +--^T" + —}.

MT         T     т         т

Ряд в фигурной скобке сходится и является асимптотическим рядом при т > 1. Поэтому в окрестности особой точки х = 0 растяжение координаты произведем по соотношению x = мт * Аналогично в окрестностях особых точек х = х ₀ и х = 1 соответственно: x ₀ - x = мп и i - x = M t .

Для построения асимптотического разложения решения задачи Валле-Пуссена, включающей точки x = 0, x = x ₀ и x = 1, используем метод обобщенных пограничных функций [9].

Уравнение (1) запишем в виде

8 Y '( x ) = A ( x)Y ( x ) + F ( x ) + H - H , x g [0, i],                        (5)

где H = H ₀ + 8 H_i + ... + 8 n H_n + ..., H n - пока неизвестные векторы H n = ( h 1, n h ₂ , n h ₃ , n )^T, n = 0,1,2...

Решение задачи (5), (2) будем искать в виде

Y ( x ) = £ 8^ ( x ) +1 £ у П k ( x ), k = 0            M k = 0

где U k ( x ) = ( u i, _k ( x ) u 2, k ( x ) u 3, k ( x ))^T, П k ( x ) = ( п k ( x ) П >, k ( x ) П k ( x ))^T.

Подставляя (6) в систему (5), имеем:

f да                    i да

8 £ 8 k U' k ( x ) + - £ M k П ' k ( x )

k k = 0             M k = 0

= A ( x ) f £ 8 k U k ( x ) + - £ M П k ( x ) К F ( x ) + H - H , x G [0,i]. k k = 0            M k = 0          7

Полученное равенство запишем в виде двух уравнений:

да                              да

8 £ 8^k U ' k ( x ) = A(x ) £ 8 ^kU k ( x ) + F ( x ) - H ,

k = 0

k = 0

да                        1           да м£ M П' k (x) = - A( x) £ Mk П k (x) + H.

k = 0             ^M      k = 0

Из (7) имеем

U ₀( x ) = - A ^{- i}( x )( F ( x ) - H ₀), здесь есть у нас возможность выбора постоянного вектора H 0 так, чтобы вектор U₀(x ) был достаточно гладким [9].

Пусть H 0 = (f . (0) f > ( x о ) f ; (1))^T, тогда U 0 G С [0,1].

Аналогично имеем:

U n ( x ) = A ^{- i}( x )( U ' n - i ( x ) + H n ), n g N, пусть H n = -( u' 1, n -1 (0) u' 2, n -1 ( x 0 ) u' 3, n -1 (1))^T, тогда U n g С” [0,1].

Таким образом, мы определили все члены рядов:

U ( x ) = £ 8 k U k ( x ) и H = £ 8 k H k .

k = 0

k = 0

да

Перейдем теперь к определению членов ряда £ M k П _k (x ). В уравнении (8) значение вектора k = 0

H нам известно. Учитывая условие Валле-Пуссена (2) для погранфункций, получаем следующие условия:

ⁿ i⁽⁰⁾ = m ⁽ J i ^{0 - u} i ( ⁰⁾⁾ ;   ⁿ 2^{( x} 0 ) = m ⁽ y 0 ^{- u}2^(x 0⁾⁾ ; ⁿ 3⁽ⁱ⁾ = m ⁽ y 0 ^{- u} 3⁽ⁱ⁾⁾ .

Отсюда имеем:

n i,0⁽⁰⁾ = ⁰ , П ц⁽⁰⁾ = y i ^{0 -} U i,0⁽⁰⁾ , n ,,2 n ⁽⁰⁾ = ⁰ , n i,2 n + i⁽⁰⁾ = ^- U i,n ⁽⁰⁾ ;

ⁿ 2,0 ^{( x} 0 ) = ⁰ , ⁿ 2,i^{( x} 0 ) = У 2 ^{- u} 2,0 ^{( x} 0 )» ^П 2,2 n ^{( x} 0 ) = ⁰ , ^П 2,2 n + i^{( x} 0 ) = ^{- U} 2, n ^{( x} 0 );

ⁿ 3,0 ⁽ⁱ⁾ = ⁰ , ⁿ 3,i⁽ⁱ⁾ = У 0 ^{- u} 3,0 ⁽ⁱ⁾ , ⁿ 3,2 n ⁽ⁱ⁾ = ⁰ , ⁿ 3,2 n + i⁽ⁱ⁾ = ^{- u} 3, n ⁽ⁱ⁾ , ^{n G} N ^.

Задача (8)-(9) расщепляется на три задачи относительно n _ik ( x ), п _{2 k} ( x ) и n _{3 k} ( x ) :

∞∞∞ иЕ ^п \, k (x) =E цкпх, к (X) + E f ^ к, к=0               И к=0

П1,о(О) = 0, пц(0) = у0 -uv(0), п^n(0) = 0, П1,2n+1(0) = -u,n(0), n e N;(11)

∞x-x ∞∞ иЕ ^п '2,к (x) =0 £ ИкП2,к (x) + £ И2kh2,к, к=0                  И  к=0

п2,0( X0) = 0 п2,1( x0) = У0 - u 2,0(X0), п2,2 n (x0) = 0 п2,2 n+1(x0) = -u 2, n (X0), n e N S

∞∞∞ иЕ Икп *з, к(x) =----E Икпз, к(x) + E И2 %, к • к=0               И к=0

пз,0(1) = 0, пз,1(1) = Уз0 -из,0(1), пз,2n(1) = 0, пз,2n+1(1) = -U3,n(1), n e N•(15)

Каждую из этих задач (10)–(11); (12)–(13); (14)–(15) можно рассматривать отдельно. Достаточно исследовать одну из этих трех задач, так как остальные исследуются аналогичным образом.

Рассмотрим задачу (10)-(11). Пусть x = ит , где И = S , , те [0, го ). Тогда получаем:

п ’1,0 (т) = -тп1,0 (т) + h1,0, т е [0, ^), п1,0 (0) = 0 , п'1,1(т) = -ГП1,1(Г), т е[0,го), П1,1(0) = У10 - U1,о(О), п'1,2n (т) = -тп1,0(т) + h1,n, т е[0, го), п1,2n (0) = 0 , п'1,2 n+1(т) = -ТП1,2 n+1(т), т е[0, Х)- п1,2 n+1(0) =-U1, n (0), n е N•

Решения задач (16)–(19) существуют и единственны. Кроме этого, решения задач (16) и (18) степенным характером O( τ ^–1) τ →∞ , а решения задач (17) и (19) экспоненциально убывают вне пограничных слоев соответственно [8, 9].

Для обоснования построенного формального асимптотического разложения рассмотрим остаточную функцию Rn(x) = Y(x)–Gn(x), где Rn(x) = (R1,n(x) R2,n(x) R3,n(x))T, Y(x) – решение задачи n                  1 2 n+1

(1)-(2), а G n ( x ) = E ^^к ( x ) + - E И ^к П к ( x ).

к = 0            ^И к = 0

Для остаточного члена получим следующую задачу:

s R'_n ( x ) = A(x ) R_n ( x ) + ^ n ^{+ 1} F ( x ), x e [0,1],

B_Y R n (0) + B 2 R n ( x 0 ) + В з R n (1) = 0, для решения, которой справедлива асимптотическая оценка [9]:

R_n ( x ) = O ( s ⁿ ), s ^ 0, V x e [0,1].

Мы искали решение задачи (1)–(2) в виде формального асимптотического ряда (6), определили все члены и оценили остаточный член этого ряда. На основании этого мы можем утверждать справедливость следующей теоремы:

Теорема . Для решения задачи Валле-Пуссена (1)–(2) на отрезке [0, 1] справедливо асимптотическое разложение n                  i 2 n + 1

Y ( x ) = E ^ ' и к ( x ) + - E И ^к П к ( x ) + O ( s n ), s ^ 0.

к = 0            И к = 0

Заключение. В статье исследована задача Валле-Пуссена для системы линейных неоднородных сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Особенность исследуемой нами задачи состоит в том, что спектр матрицы, являющейся коэффициентом линейной части системы, нестабилен в трех точках рассматриваемого отрезка. Обобщенным методом пограничных функций, т. е. модифицируя классический метод пограничных функций А.Б. Васильевой, построено полное равномерное асимптотическое разложение решения с любой степенью точности по малому параметру.