Асимптотика решения первой краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка параболического типа

Постановка задачи . В прямоугольнике рассмотрим первую краевую задачу [1, 2]:

d z ( t , x )     ₂ d z ( t , x )      ₂  , _x 6z ( t , x )     z X Z X Z-Z X Z X

s-- a ²-----7.— + s ² p ( t , x )------ - + q ( t , x ) z ( t , x ) = f ( t , x ),   ( t , x ) gQ ,

( dt         dx2  J             dx

z (0, x ) = ф (x ),   x g [0,1],

z(t,0) = Д1(t), z(t,1) = д,(t),  t g[0, T], где s - малый положительный параметр, 0< a - const, Q = {(t,x)|0 < t < T,0 < x < 1}, q, p, f g C " (Q), Фе C "[0,1], ^, д, g C "[0, T ], q (t, x) > 0: (t, x) gQ, ^(0) = ^1(0), ^(1) = ^,(0).

Требуется построить равномерное асимптотическое приближение первой краевой задачи (1)– (3), при s ^ 0.

Решение задачи (1)–(3) будем искать в виде рядов по степеням малого параметра [3–5]:

z (t , x ) = U ( t , x ) + V ( t , x ) + П 1 ( t , П 1 ) + П 2 ( t , П 2 ) + W 1 ( Т , П 1 ) + W 2 ( т , П 2 )            (4)

где t = 11 s , n 1 = x I X , n ₂ = (1 - x )/ X , X = V J .

Подставляя соотношение (4) в задачу (1)–(3), получаем следующие задачи:

дU(t,x)    ?d2U(t,x))    2 / хдU(t,x)     ....

s--a1------— 1 + s2p(t,x)-------- + q(t,x)U(t,x) = f (t,x), (t,x) gQ;(5)

( д t           дx2   Jд дV(t,x)     2 д2V(t,x)    2 / хдV(т,x)

--sa2------—- + s2p(t, x)-------- + q(t, x)V(t, x) = 0, (t, x) g Q1;          (6) дт           дx2д

₇ д ² n j ( t, n j )                             ₉дп j ( t, n j )     ₃          дп j ( t, n j )

a2----. 2     - q(t, nj )пj (t, nj ) = A----5-----+ AP(t, nj )---а------, (t, nj ) g Q2j;

дп2                                 д t              Jдn д Wj (T,n j)    2д 2Wj (T,n j)                            4         д Wj (т,п j)

——~-a2---a 2    + q(т,nj)Wj(т,nj) = A 'P(т,nj) — ---—, (т,nj) gQ3j, дт           дn2                                    дnj где           Q1 = {(t, x )|0 < т < ц-T, 0 < x < 1},           Q2 j = {Му )|0 < t < T, 0 < n, < A"1},

Q 3 j = {( т , П j )l 0 <  т <  T s ^-1, 0 < n j <  A"¹ }, j = 1,2.

Подставляя соотношение (4) в начальное условие (2), получаем:

^ ( x ) = U (0, x ) + V (0, x ) + П 1 (0, n 1 ) + П 2 (0, n 2 ) + W (0, n 1 ) + W 2 (0, П з ) ^

V (0, x) = ^( x) - U (0, x),(9)

Wj(0,nj) =-Пj(0,nj), j = 1,2.(10)

Теперь подставляя соотношение (4) в граничные условия (3), имеем:

_{M 1} ( t ) = U ( t , 0) + V ( t s ^-1 ,0) + П 1 ( t , 0) + П ₂ ( t , a ¹ ) + W 1 ( t s ^-1 ,0) + W ₂ ( t s ^-1 , A ^¹ ) , учитывая, что П ₂( t , A ^-1) = 0, W ₂( t s ^-1 , A ^-1) = 0 - условие для погранслойных функций, получаем:

П1( t ,0)=м t) - u (t ,0),(11)

W1(t,0) = -V (t,0),(12)

аналогично

^ 2 ( t ) = U ( t , 1) + V ( t s ^-1 ,1) + П ₂ ( t , 0) + W ₂ ( t s ^-1 ,0) ^

П1( t ,0) = ^2( t) - U (t ,0),(13)

Wi(t,0) = -V (t,1) .(14)

В результате мы получили шесть задач:

– из уравнения (5) методом малого параметра однозначно определяем U ( t , x );

• -    из (6) и (9) определяем V ( т , x );

• -    из (7), (11) и (13) определяем П j ( t , n j ), j = 1, 2;

• - из (8), (10), (12) и (14) определяем W j ( т , п , ), j = 1, 2.

Начнем с уравнения (5).

Лемма 1. Для решения U(t, x) уравнения (5) справедливо формальное асимптотическое раз- ложение

U ( t , x ) = ^Г s k u _k ( t , x ),                                        (15)

k =0

где U k g C ” ( Q ), k = 0,1,2,... - конкретизируются при доказательстве леммы 1.

Доказательство. Формально подставляя (15) в (5) и приравнивая коэффициенты при одина- ковых степенях е, имеем:

^u k ⁽ t , ^x ) =

—

1 q ( t , x )

^{д u} k -1 ⁽ t , ^x )

д t

f ( t , x ) ^u 0 ⁽ t , ^x ) =   2 A ,

q ( t , x )

- a

2 ^д 2 ^u k -1 ⁽ t , ^x )

д x ²

—

p t z . x ) a ^u k -i tM), k g n , u ₁₍ t , x ) , 0, q ( t , x )      д x                       ’

заметим, что u _k g C ” ( Q ), k = 0,1,2,.... Лемма 1 доказана.

Кожобеков К.Г., Шооруков А.А.,                   Асимптотика решения первой краевой задачи

Турсунов Д.А.                  для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения…

Перейдем к задаче (6), (9). Пусть

V ( т , X ) = ]^ s^kV _k ( т , X ),                                      (18)

k =0

где v _k ( т , x) - пока неизвестные функций.

Подставляя (18) в (6) и (9), имеем:

k дv_k ( т , X )      2 д V, ( т , X )    2V* j г х^- - j ^(т , ^X )   X" j г х         х п

^g  —-sa --—--+ g ^гP(x)-------^Д/р(x)vk-j(т,x) = 0, k=0   (   дт             dx2        j=o             dx      j=o

E sk Vk (0, x) = ф( x) - £ gkuk (0, x), k=0

где q j ( x ) = д ^j q (0, x )/ дт , q₀(x ) = q (0, x ), p j ( x ) = д ^j p (0, x )/ дт .

Отсюда следует, что

^(Px) + q0(x)V0(т,x) = 0 V0(0,x) = ф(x)-u0(0,x);(19)

дт дvk (т, x)      , ..

—k-----+ q 0 (x) vk (т,x) = дт

= a ^{2 д v}k -H ^ ^x ) + ^ ^т j _P j ^{( x} )   ^{k - j} -² ( , ) + ^ ^т j q j ^{( x} ) v k — j ^{( т} , ^x ), v k ^{(0, x} ) = _ u k ^{(0, x}^ k _e N .

Решение задачи (19) существует, единственно и представимо в виде: v ₀ ( т , x ) = ( ф ( x ) - u ₀ (0, x )) e ^{- q ( x ) т} .

Для v ₁( т , x ) имеем:

^{д v} l ⁽ т , ^x ) . z x z_ x 2 ^{д2 v} o^{( т} , ^x ) . _ Z X        X ZA X       ZA X

—ⁱ+ q ₀ ( x ) V i ( т , x ) = a ----+ т q ₁ ( x ) v ₀ ( т , x ), v 1 (0, x ) = - u 1 (0, x ).

дтд

Справедлива

Лемма 2 . Решение задачи

^v^Ii^) + q0 (x)V(т, x) = e"q0 (x)т (P0 (x) +... + Pn (x)тп ), (т, x) e Qi, V(0, x) = V0 (x), x e [0,1 ] дт                               x1

существует, единственно и представимо в виде

V ( т , x ) = e ^q 0 ^{( x ) r} V ⁰ ( x ) + e

f               T            n+ +1 )

--q0 (x '7  P0 (x)т + P1(x) —- + ... + Pn (x)----- где q0(x) > 0 x e[0,1], q0,pj,V0 e C”[0,1].

Доказательство . Уравнение

9 V ( т , x ) дт запишем в виде

q 0 ( x ) V( т , x ) = e ^q 0 ^{( x ) т} ( P 0 ( x ) + P 1 ( x ) т + ... + P _n ( x)T ) , ( т , x ) eQ 1 ,

(V(т,x)eq0(x)т ) ^ = (P0(x) + P1 (x)r +... + Pn(x)T ), полученное выражение интегрируем по т, учитывая начальное условие:

т

V(т,x)eq0(x)т -V0(x) = j(P0(x) +... + Pn(x)sn)ds  ^ V(т,x) = e"q0(x)тр0(x) + Pn+1,т(т,x)e"q0(x)т, где Pn+1т(т,x) = P0(x)т + P1(x)— +... + Pn(x)тп+1 /n +1. Лемма 2 доказана.

С помощью леммы 2 доказывается существование и единственность решений задач (20). Кроме этого, из леммы 2 следует, что эти решения экспоненциально стремятся к нулю при стремлении т к бесконечности, т. е.:

v k ( т ,x ) = O ( e q ⁰⁽ x ^{) т} ) , т ^ro , q ₀( x ) >  0: x e [0,1], k = 0,1,2,...

Перейдем к задачам (7), (11) и (13). Здесь две задачи относительно функций П1^ , 7 1 ) и П ₂(t , 7 ₂) — аналогичные, поэтому достаточно рассмотреть одну. Мы рассмотрим задачу относительно функций П 1 ( t , 7 1 ):

2 д 2 П1( t 7j)         All z. .   .2 5П] (t ,7)   ,)4 Z, х^П (t ,7)    z. z о a ---— q(t,71)П1(t,71) = 2---V—- + ^p(t,71)---1г—-,  (t,71) е^21, дП2                           ^t

П1 (t, 0) = ^1 (t) - U(t, 0), t e [0, T].(22)

Пусть

П1( t ,71)  L 2П k (t ,71),(23)

к =0 где п 1 _k (t , 7 1 ) — пока неизвестные функций, причем lim п 1 _k ( t , 7 1 ) = 0, t e [0, T ]. ,                                                                                                      7 1 >^z ,

Подставляя (23) в (21) и (22), имеем:

лк 2^{д П} 1, k ⁽ t , ⁷ 1 )         j z_A            x        ^+2 ^{d n} 1, k ⁽ t , ⁷ 1 )            j ( A^k-j k - j ⁽ t ^{, 7} 1 )

L2 a —r^l/(tПk-j(t>71) = L2  —^—+2 ^7^(t)—i, k=0   (       д71       j=0                    J  k=0     (    dt          j=0              dxJ

L ^Xк (t,0) = A(t) - L 22kuk(t,0), t e [0, T], к=0

. .    дjq(t,0)       , .    дjp(t,0)      , ., где qj(t)=———, p} (t) =      j , q0 (t) = q(t,0) • j       дп1      j       дп/

Отсюда для n 1, ₀( t, п 1 ) имеем:

^{д П} 10

a ---- к" - q 0 ( t ) п ю = 0, ( t, П 1 ) е^ 21 , П ю( t ,0) = р _х (t ) - u 0 ( t ,0), lim п ^( t, П 1 ) = 0, t e [0, T ].

дп                ,                                ,                                   П 1 >^z ’

Решение этой задачи можно представить в виде

4q 0 ⁽ t )

ⁿ l

П1,0( t ,П1) = ( ^1( t) - u 0( t ,0)) e   a

Для n _{1 k} (t , n 1 ), k e N имеем:

? д ² n 1 _k                                                         д п 1 _k - j _{- 2}( t, п ? )  д п 1 _{k - 2}( t , n 1 )

a -^г-q0(t)п1,k =Ln1jqy(t)п1,k-j(t,П1)+Ln\Pj(t)—^------+—^—L,(t,П1) e^21, дП1              j=1                      j=0               дx

П 12 k (t , 0) = - U k ( t , 0), П 12 k -1 ( t , 0) = 0, lim П 1 k ( t , П 1 ) = 0, t e [0, T ].

,                                 ,                      П1 ^да

Справедлива

Лемма 3. Решение задачи

2                        ^q 0 ⁽ t )

д П a -—q-q0(t)>n = e a (P1(t)71 +... + Pn(t)П1 ), (t,71)eQ21, дП1

n ( t ,0) = n ⁰ ( t ), lim n ( t , 7 1 ) = 0, t e [0, T ],

71 ^ro существует, единственно и представимо в виде

- ^° ( t ) 7 1           - ^° ( t ) 7 1

n( t ,71) = e   a n( t) + e   a    71 ( p1( t 7 +... + pn (t ))T]n ), где q0(t) > 0 t e[0,T], q0,pj,n° e Cro[0,T].

Лемма 3 доказывается прямым интегрированием, как и лемма 2.

Кожобеков К.Г., Шооруков А.А.,                   Асимптотика решения первой краевой задачи

Турсунов Д.А.                 для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения…

С помощью леммы 3 доказывается существование, единственность решений задач (24). Для решений задач (24) справедливы оценки:

n (t , n 1 ) = O e

' q 0 ⁽ t)

------П 1

, n 1 ^x , t g [0, T ], 0 <  a , 0 <  q ₀( t ).

Перейдем к задачам (8), (10), (12) и (14) для определения угловых погранслойных функций W j ( т , п j ) , j = 1, 2.

Здесь тоже достаточно рассмотреть одну из них, либо задачу для W₁( т , n ₁) , либо для W₂( т , n ₂) , второе исследуется аналогично. Рассмотрим задачу для W₁( т , n ₁) :

д W ( т , п )    2 d² W i( т , п )    , _XTT,z х       / x^ W( т , П )             х z-x

—я—L - a 2---я 2 1 + q (т,П1Ж(т,П1) + £ p (т,П1)—г---L = 0,  (т,П1) 6 Он, дт          5^1

W1(0,rK) = -П1(0,П1),  W1(t,0) = -V (т,0).(26)

Пусть

X ^Ст,П1) = ^ Zkw1.к(Т’П1), к=0

где w 1, _к ( т , п 1 ) - пока неизвестные функций.

Подставляя (27) в (25) и (26), получаем: д^    . д2 w_

—a       + q 0 w j = 0, У ,^) е^ з1 , j = 0,1;

дтдп

5w1,к    2 52 wк .         _ Z                         X   Z    X ~.

—--a — + q 0 ^w 1 к =^ф к ( ^w 1 к -1 , ^w 1 к-2 ,..., W 10 ^{, T ,} П 1 ^{),   ( т ,} П 1 ) 6^ 31 , ^к = ²,³,...

дт5п w1,к (0, П1) = -п1,к (0, П1), w1,2к (т,0) = -vk (t,0) w1,2к+1(т,0) = 0 к = 0Л> —, дn+mq(0,0)

где q =----------, 0 < q0 = q(0,0), Ф* - линейно зависят от предыдущих wXj (j

производных от т/1, полиномиально зависят от т, и щ•

Если ввести обозначение w1,к (т,п1) = e-q0тук (т,п1), то ew1, к (т,^1) _ _ а - q 0т            - q0т дУк (т,П1) . д2 w1, к (т,^1) _ - q 0т д" Ук (т,П1)

=  q0e    ук (т,Ч1) + e         _      ;      _ 2     = e         _ 2

дт                                 дт         дп^2

и рассматриваемая задача примет вид:

дУ_к     2 д²У_к                                        х Z     X                                     ZZXZXX

— -a —^ = Фк(У1 к-1,У1 к-2,...,У\0-т,П1)-   (тП1) е^з1, к = 0,1,...

дт       дп2           ,       ,,

Ук⁽⁰,П1) = ^-п1,к ⁽⁰,П1),У2к^(т,0)= ^-eq^'vk^(т,0), У2к+1^(т,0)= ⁰, ^к = 0,¹,... где Фj = 0, j = 0,1.

Решения задач (28), (29) существуют, единственны и представимы в виде [6]:

X                         тт

Ук (т, П1) = - j П1, к (0, ^) G (т, ^, П1) d^ + j Ук (t) H (П1, т -1) dt + j j Ф к (t, x) G (П1, x, т -1) dxdt, 0                          000

где

H (Л\-т) =

П1     _e~4a?

2 a 4пт^3/2

G (т, x ,П1) =

2 a 4пт

(    ( exp

(П^{- x)2}1

4a²т J

- exp

_ (П1 + x)  1

, 2          I

V    4 a²т  J J

У2 к ^(т) = ^-e^q°^тук^(т,⁰⁾, У2 к-1^(т) ^{= 0},  ^Фк ^(т-Пх) = ^Фк ( У1, к -1, У1, к-2,..., У1,0,^т, П1).

Отсюда следует, что функции w1,_к (т,п1) экспоненциально убывают при т + п1 ^^да•

Таким образом, нами построены все функции, входящие в правую часть равенства (4).

Обоснование. Оценим остаточный член разложения (4).

Пусть z(t, x) = zn (t, x) + R(t, x), где R(t, x) - остаточный член разложения, zn (t,x) = Un (t,x) + Vn (t, x) + П1,2n+1(t ,П1) +П2,2 n+1(t, n2 ) + W1,2 n+1(^,П1) + W2,2n+1UnU n                             n2

Un (t,x) = E ^uk(t,x)’ Vn (r’x) = E ekvk(т,x)’ Пj,2n+1(t,Пj) = E ^nj,k(t, Пj), k=0                       k=0

2 n+1

Wj,2n+1^{( T} nj ) = E ^wj,k^(r,Пj ) . k=0

Тогда для остаточного члена получим следующую задачу: 2nz, dR(t,x)     2 d R(t,x)      2  , XSR(t,x)     , x _, x        n+1x ,,

£--a2-----т— + £ 2p (t, x)------- + q (t, x) R (t, x) = O (e + ),  (t, x) eQ,(31)

(  dt          dx2   Jd

R(0,x) = O(£n+1),  xe[0,1], z(t,0) = z(t,1) = O(£n+1), t e[0,T], £^0.(32)

Применяя принцип максимума [7], получаем:

IR(t,x)| < max {q '(t,x)O(£n+1), O(£n+1)}. (t,x)eQ>

0<£<<1

Отсюда имеем:

R(t, x) = O(£ⁿ⁺¹),  (t, x) e Q, £ ^ 0.

Теорема. Для решения задачи (1)-(3) при стремлении малого параметра к нулю в области Q справедливо асимптотическое разложение

z(t,x) = Un (t,x) + Vn (t, x) + П1,2n+1(t,n1) + П2,2n+1(t, n2) + W12n+1(^,П1) + W2,2 n+1(^,n2) + O(£   ), где функции Un (t,x) = Ek=0 £kuk (t,x), Vn (T, x) = Ek=0 £kvk (T,x), П j ,2 n+1( t ,nj ) = E 2=01 2knj, k (t, nj ), Wj ,2 n+1(т,П, ) = Ek =+1 ^wj, k (T^nj ) определены выше.

Заключение. Нами построено полное равномерное асимптотическое разложение по малому параметру решения первой краевой задачи для сингулярно возмущенного линейного неоднородного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными параболического типа. Доказано, что полученное разложение действительно является асимптотическим решением поставленной задачи на всем прямоугольнике. Данная работа для нас является началом исследования бисингулярно возмущенных задач параболического типа, в следующих работах, ссылаясь на эту статью, мы будем исследовать только бисингуляр-ные случаи.

• 1.    Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: Наука, 1966. – 724 с.

• 2.    Zauderer, E. Partial Differential Equations of Applied Mathematics / E. Zauderer. – New York etc.: John Wiley & Sons, Inc. – 891 p.

• 3.    Алымкулов, К. Об одном методе построения асимптотических разложений бисингулярно возмущенных задач / К. Алымкулов, Д.А. Турсунов // Известия вузов. Математика. – 2016. – № 12. – С. 3–11.

• 4.    Вишик, М.И. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром / М.И. Вишик, Л.А. Люстерник // УМН. – Т. 12, вып. 5(77). – С. 3–122.

• 5.    Треногин, В.А. Развитие и приложение асимптотического метода Люстерника–Вишика / В.А. Треногин // УМН. – 1970, Т. 25, вып. 4(154). – С. 123–156.

• 6.    Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. – М.: Физ.-мат. лит., 2001. – 575 с.

• 7.    Protter, M.H. Maximum Principles in Differential Equations / M.H. Protter, H.F. Weinberger. – Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1967, 261 p.

Кожобеков К.Г., Шооруков А.А.,                   Асимптотика решения первой краевой задачи

Турсунов Д.А.                 для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения…

Поступила в редакцию 27 декабря 2021 г.

Турсунов Дилмурат Абдиллажанович – доктор физико-математических наук, директор ВШМОП, Ошский государственный университет, г. Ош, Кыргызская Республика, е-mail: , ORCID iD:

Bulletin of the South Ural State University Series “Mathematics. Mechanics. Physics” 2022, vol. 14, no. 1, pp. 27–34