Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Дирихле со слабой особой точкой

£ у ''( x ) + x ^a y '( x ) - y ( x ) = 0, 0 <  x <  1,                                (1)

y (0) = a , y (1) = b ,                                       (2)

где £ > 0 - малый параметр, a , b - const, a = m /( m + 1), m - фиксированное натуральное число.

Задача (1)-(2) при а = 1/2 рассмотрена в монографии Коула [1, с. 32] и с помощью метода сращивания построено асимптотическое решение до первого порядка по малому параметру, но без обоснования. В работе [2] методом структурного сращивания исследована задача (1)-(2) при а = 1/ m , m e N , y (0) = 0 и оценка для остаточного члена получена неточно. В работе [3] обобщенным методом пограничных функций исследована задача (1)-(2) при а = 1/2.

В данной работе мы обобщаем ранее рассмотренные случаи и предлагаем более оптимальный способ построения равномерного асимптотического разложения решения задачи (1)-(2) до любого порядка по малому параметру, чем в предыдущих работах.

Требуется построить полное асимптотическое разложение решения задачи (1)-(2) при £ ^ 0.

Основной результат. Рассмотрим внешнее асимптотическое разложение решения задачи (1)-(2), которое ищем в виде

У ⁽ х ) = У 0⁽ х ) ^{+ £} У 1⁽ х ) ^{+ £ 2} У 2⁽ х ) ⁺ ....                                 ⁽³⁾

После подстановки ряда (3) в уравнение (1) и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях малого параметра £ , учитывая граничное условие y (1) = b , получаем следующие задачи:

xaУ0 (х) - Ус(x) = 0,   у0(1) = b, xa У 'к(х)- Ук(x) = - У k-\(x X   yk(1) = 0, k = 1, 2, -

Отсюда определяем неизвестные функций y k ( x ):

я x ^e - s ^e ‘,"

У ₀( x ) = be ^{( x ) в}, где в = 1 - а =-----, — = m + 1, y _k ( x ) = - e ^e [e ^{в k 1 )} ds , k e N.

m + 1 в                       ^J1 s ^a

При x ^ 0 имеем:

-( x^e - 1)                           , _x                         X

У o ( x ) = be ^e       = O (1), y 0 ( x ) = O ( x ^-а ) , y 0 (x ) = O ( x^{1 а} ) , x ^ 0,

4 x^e .v -4 s^e ‘,"(_t.\               .

y 1 ( x ) = - e ^e J 1 e ^в 0 а ds = O ( x^-г“ ) , x ^ 0.

Методом математической индукции докажем, что yn (x) = O (x-n-1)(а+1)-2а), x ^ 0, Vn e N .

Действительно, при n = 1 верно: y 1 ( x ) = O ( x^-2 “ ), x ^ 0 .

Пусть при n = k справедливо соотношение: y _k ( x ) = O ( x ^{1 k - 1)( а + 1) - 2 а} ), x ^ 0, тогда при n = k + 1 имеем 11     1

x ^e        s ^e                 —X^й           ^

yk+1(x) = - ee J1 e в s-ayk4s)ds = - ee J1 sas 2а +ykk ^1)(«+1)+2 ds = O ( x - k-- ), x ^ 0, где yk e C“[0,1].

Следовательно, ряд (3) представим в виде

£

У ^{( x} )~ у 0 ( ^x ) ⁺ -^

( £ А               ( £ A n ^{- 1}

y 1^{(0)( x} ) ⁺1 I У 2^{(0)( x} ) ⁺ ... ⁺1 I    У п  V ^x ) ⁺ ...

x ^ 0,    (4)

I x1+a j                  I x1+а у где yk0) e C[0,1].

Очевидно, что ряд (3) или (4) является асимптотическим рядом на отрезке Q ( £ ) = [ £ ^ ,1], где 0 <  У <  jzp a = 2 m +T • Точку x = 0 называют слабой особой точкой уравнения (1).

Следовательно, задача (1)-(2) является бисингулярной [4].

В задаче (1)-(2) произведем замену, пусть y (x) = be(m+1)( m +'Tx-1) z (x),                                        (5)

где z ( x ) - новая неизвестная функция.

Тогда у'(x)=be(m+1)(m +1x-1) (-^ z(x)+z'(x) I, y (x)=be(m+1)(m+yx-1) ( —a+_ z(x)+-0_ z(x)+^_ z'(x) + z”(x) |, V x            j                     v x x x            j

У (0) = a = be -⁽ m ^{+ 1)} e ⁰ z (0) ^ z (0) = ae ^{m + 1} , y (1) = b = be ”⁽ m ^{+ 1)} e ^{m + 1} z (1) ^ z (1) = 1.

b

Подставляя (5) в задачу (1)-(2) с учетом этих соотношений, получаем:

( .       2 а 1 А „

£| z (x) +—z'(x) —z(x) + -_zz(x) I + x z'(x) = 0,(6)

V x x x j

z(0) = ^em+1, z(1) = 1.(7)

b

Отметим, что бисингулярность не исчезает, т. е. задача (6)-(7) тоже является бисингулярной.

Асимптотическое решение задачи будем искать в виде z (x) = z 0 (x) + П0 (t) + ^(z1 (x) + П1 (t)) +... + ^k (zk (x) + nk (t)) +...,(8)

где t = x I ^ m ^{+ 1} , £ = ^ ² m ^{+ 1} .

Подставляя (8) в (6), имеем

Турсунов Д.А., Алымкулов К., Азимов Б.А.

2 а 1 А

^Е /к I zк(x)+-zzк(x) —1+azk(x)+^azk(x) I+x Е ^zk(x)+ к=0   к x x           x )     к=0

∞

+ Е / ^{- 1}

к = 0

к

2           a//          ..2       А пк(t)+t^(t)+-/ пк(t) - -/ пк(t)+/п(t))=0.

Из граничных условий (2) имеем:

z 0 (1) = 1, Z k ( 1) = 0, П о (О) = ae m ^{+ 1} - z о (О), П о ( / / ) = 0, ^ (0) = - z_k (0), ^ ( / ) = 0, к е N , / = 1/ ^ m ^{+ 1} . (10) b

Из равенства (9) и (10) для z ₀( x ) получаем задачу:

x ^a z 0 ( x ) = 0,0 <  x <  1, z ₀(1) = 1.

Задача (11) имеет единственное решение z ₀( x ) = 1.

Пусть z_k ( x ) = 0, к е N . Тогда равенство (9) представимо в виде

∞

Е / ^{- 1}

к = 0

(                2„                   „² А

Пк (t) + t Пк (t) + ^Пк (t) - "^Пк (t) + ^Пк (t)    м,+ ', = 0- к         Г    t+aα+αα

Отсюда для пограничных функций п _к ( t ) имеем:

L n ( t ) = П ‘ ( t ) + t ^a n‘ ( t ) = 0,0 <  t <  / , п₀ (0) = ae m ^{+ 1} - 1, п₀ ( l ) = 0, ⁰ b

ra     ra           2

Ln1(t) =     + п^П0(t) - -n0(t),0 < t < /, П1(0) = 0, П1(//) = 0, t+α t+α      tα

П ( t ) = - -^ + ^a П 1 ( t ) - E П ’ ( t ) - ^ П 0 ( t ), 0 <  t <  / , П 2 (0) = 0, П 2 ( / ) = 0 , _t α _t + α      _t α      _t α

ra. 2 . . .        1

L n_k ( t ) = п^ П к - 1 ( t ) - -n k - 1 ( t ) - ^ П к - 2 ( t ),0 <  t <  / , П к (0) = 0, П к (l ) = 0, к = 3, 4, ... (15) _t + α        _t α        _t α

Решение задачи (12) имеет вид:

п 0'( t ) + t ^а п 0 ( t ) = 0 ^

^           1 11+а А                        1 11+“                                    ~ - 1 51+“ п0(t)e1+а      = 0 ^ п'0(t)e1+а    = c1 ^ п0(t) = c2 -c1 j^е 1+а   ds .

к             )

Учитывая граничные условия п ₀(0) = a e m ^{+ 1} - 1, п ₀( / / ) = 0, находим значения c i и c ₂:

П 0 ( / / ) = С 2 = 0 ^ c 2 = 0;

_ - 1 s1+a п0(0) = - c1 J^ e 1+a ds = bem+1 -1 ^ c1

-

^a m + 1 e ^m

b

ɶ

A-A = £"

e

_L 1+ a A ¹

s

^{1 + a} ds

к

Следовательно, п0( t) = I aem+1 -1А A f/i e ~ 1+^a51+0ds. к b ) Jt

Интегрируя по частям интеграл

J/e 1+aS ds, t ^ //, получим

*s*

Jl

1 „ 1 + a       1 - — t ^{1 + a}

1+a   ds = —e 1+a tα

(лa

1--i+

I

a (1 + 2 a ) 1 2(1 + a )

+ ... + ( - 1) "

n

—г— П ( k a + к - 1) + ... , t ^ / .

_t ^{n (1 + a} '. A              ’ J

Это означает, что функция Л 0 ( t ) экспоненциально убывает при t ^ / / , / ^ 0 .

При решении уравнения L п ₀ ( t ) = 0 мы заметили, что оно имеет два линейно независимых

ɶ

µ решения: 1 и Jt e

1 _s 1 + a

^{1 + a} ds . Не нарушая общности, линейно независимые решения уравнения

L п ₀( t ) = 0

можно представить в виде:

Y ( t ) = 1 - X ( t ), X ( t ) = A j f e ~ ^{1+ a} s ds , A j f e~ ^ s ds = 1.

Линейную независимость можно показать с помощью Якобиана:

J ( X ( t ), Y ( t )) = X ( t ) Y '( t ) - X '( t ) Y ( t ) = Ae" ^ t * 0, t e [0, f l ].

Причиной такого выбора линейно независимых решений являются соотношения: X (0) = 1, Y (0) = 0, X ( ц ) = 0, Y ( f l ) = 1 , которые понадобятся при построении функции Грина.

Так как X ( t ) = 1 - At + o ( t ), t ^ 0 ^ Y ( t ) = O ( t ), t ^ 0, то общее решение уравнения Lz ( t ) = 0 имеет вид z ( t ) = с ₁ Y ( t ) + с ₂ X ( t ), с ₁, с ₂ - const. Отсюда вытекает лемма.

Лемма. Краевая задача Lz ( t ) = 0, z (0) = z (fl ) = 0 имеет только нулевое решение.

Справедлива

Теорема 1. Краевая задача

Lz(t) = f (t), 0 < t < f, z(0) = 0, z(fl) = 0 имеет единственное решение, и оно представимо в виде z (t) = jf G (t, s) e "    f (s) ds, f-Y(t)X(s), 0 < t < s, где G(t, s) = ^                     - функция Грина, f (t) e C(0, fl],

[-Y(s)X(t), s < t < f, f (t) = O(t'), t ^ 0, у < 2; f (t) = O(t-в), t ^ fl,      < Д .

m + 1

Доказательство. Решение z(t) запишем в виде z (t) = J1( t) + J2( t), 1 s1+a                                 _            1 s1+a где J1(t) = -X(t)J0 Y(s)e1+a   f (s)ds, J2(t) = Y(t)J^X(s)e1+a   f(s)ds.

Покажем, что функции J ₁( t ) и J ₂( t ) удовлетворяют граничным условиям. Так как X( f l ) = 0 и Y (0) = 0, поэтому достаточно доказать, что J ₁( t ) ^ 0, t ^ 0 и J ₂( t ) ^ 0, t ^ f l.

• 1.    Рассмотрим функцию J ₁( t ). При t ^ 0 имеем | Y ( t )| <  ct , | f ( t )| <  ct ⁷ , поэтому _t ¹ s 1 + “

• 2.    Теперь рассмотрим J ₂( t ) при t ^ f l :

  I J 2 ( t )| <  c J

  
  

| J ₁ ( t )| <  c J 0 s^{1 Y} e ^{1 + a} ds <  ct ^{2 -Y} ^ 0, t ^ 0 .

¹ 1+ a    ¹ 1+ a              _                                              ,    ~

U.                 s           s                f                                                  ¹

^s^-a-pe ^{1 + a    1 + a}    ds = c J t s^{-a - e} ds = O ( t^{1-a - e} ) = O ( t m ^{+ 1 в} ), t ^ jf .

Поэтому решение z ( t ) удовлетворяет граничным условиям. Подставляя функцию z ( t ) в уравнение Lz ( t ) = f ( t ) при 0 <  t <  f l , получаем тождество. Теорема 1 доказана.

С помощью этой теоремы доказывается существование и единственность решений уравнений (13)-(15). При t ^ fl для функции пk(t) справедливы асимптотические разложения п2k-1(t)  O^ 12a+(3a-1)k ^, П2k (t)  O^ t(3a-1)k ^, k  i,2,...,t ^ fl  f

Кроме того, n _k ( t ) = O ( ^{m +} \H ^k ) , t ^ 0, k = 0,1,2,...

Таким образом мы доказали ограниченность функций n _k ( t ) на отрезке [0, f l ], когда f ^ 0 .

Теперь докажем, что ряд (8) является асимптотическим рядом на отрезке x e [0,1]. Для этого рассмотрим усеченный ряд

Турсунов Д.А., Алымкулов К., Азимов Б.А.

(2 m + 1) n

z ( x ) = 1 + у Ц ^к П_к ( t ) + R n ( x, E ).

к = 0

Подставляя (16) в задачу (1)-(2), и учитывая значения п _к ( t ), имеем:

(2         ( 1 1 а х) a„/z

^E I R n ^{( x, E} ) ⁺ a R ^Rn ^{( x, E} ) ⁺1 ^ a —1 + а I R n ^{( x} , ^E ) I^{+ x R}n ^{( x, E} ) = ^{E ф (} t , ^{u )}

V           x            V x x 7        7

Rn (0,E) = 0, Rn (1,E) = 0, где ф(t,u) = 11+аП(2m+1)n (t) t«n(2m+1)n (t) 12аП(2m+1)n-1(t) U 2аП(2m+1)n (t).

Из свойств функций п _к ( t ) следует, что Ф ( t , u ) = O (1), U ^ 0, t e [0, и ^- m ^{+ 1)} ]. Пусть

R n ( x , e ) = e ^{- m + 1)} m r ( x , E ), тогда задача (17)-(18) примет вид:

E r ''( x , e ) + x ^a r '( x , e ) - r ( x , e ) = e ^{( m + 1)} m x E n Ф ( t , u ), 0 <  x <  1, r (0, e ) = 0, r (1, e ) = 0.

Пусть M = max Ф ( t , u ), U ^ 0. Применяя теорему 26.4 [4], получаем: t e [0, U ]

|r ( x , e )| < E n Me ^{( m + 1)} m ^{+ 1 x} ^ R_n ( x , e )| <  E n M , £^ 0, x e [0,1].

Справедлива

Теорема 2. Для решения задачи (1)-(2) справедливо асимптотическое разложение

^

w

У ( x ) = be ⁽ m ^{+ 1)(} m -е -» 1 + у ^П ( t ) , u ^ 0.

V    к = 0

Пример. Пусть в задаче (1)-(2) а = 1/2. Тогда асимптотическое решение представимо в виде y (x) = be2( ^-1) (1 + п0( t) + un (t) +... + и3п3 (t) + R1 (x, e )), u^0, где t = x/и2, e = Н ,

( a П)(t) = I -e

V b

7 U 11A J e

² s 3/2 3

г

ɶ

t

_ɶ ds ■ A = J 0T V

e

² s 3/2 3

ɶ

2 3/2

г и            s

П 1 ( t ) = J ₀ G ( t , s ) e ³

-           2 s 3/2

П 2 ( t ) = J^ G ( t , s ) e ³

г

+ ---r

7 ^{- 1} ds

,

Г U         T ^s

^П 3⁽ t ) = J ₀ ^{G (} t , ^s ) ^{e 3}

G ( t , s ) =

V 2\ s'

---1-- г

V

3/2

[ YP

V 2V s ³

Y ( t ) X ( s ), 0 <  t <  s ,

Y ( s ) X ( t ), s <  t <  U ,

n o (s) —_Г П 0 (s) ds ,

2V s'        ss )

2           1 x)

П 1 ( s ) —_Г П 1 ( s )— n ₀( s ) ds ,

s 7

z х 2 х 1 z

^П 2^{( s} )Г ^П 2^{( s} ) ^П 1^{( s} ) ^ds ,

s

s

s

ɶ

ɶ

Y ( t ) = 1 - X ( t ), X ( t ) = A J U

• ²    s 3/2

• ³    ds ,

|R 1 ( x, E )| <  e M , 0 <  M - const, e -^0, x e [0,1].