Асимптотика условно периодического решения дифференциального уравнения с большими высокочастотными слагаемыми

В настоящее время имеется довольно много работ, посвященных асимптотическому анализу дифференциальных уравнений, содержащих высокочастотные слагаемые, пропорциональные положительным степеням частоты (см., например, [1–7]). Данная работа относится к тому же направлению, примыкает к работам [6, 7] и посвящена построению и обоснованию полной асимптотики некоторого условно периодического решения системы нелинейных дифференциальных уравнений вида

[( n +1) / 2]

• ⁽n = £ ^ ⁽² j - ^1)/2 f 2j - 1 (x,X ^..^n^j ,wt ⁾ j = 1

[ n/ 2]

+ X w ^j f ₂ j (x,x, ..., x ^([n/2]-j) , wt )

j =0

с условно периодической по т = wt правой частью

n fj (zo,...,Zr ,т) = У^ [cjk1(zo, ...,Zr)cos(ak т) + Cjk2(zo ,...,Zr)sin(ak т)].      (2)

k =1

Здесь a k , k = 1,..., n , — произвольные вещественные числа. В данной работе изучаются также вопросы устойчивости и неустойчивости по Ляпунову указанного решения.

• (с) 2012 Ишмеев М. Р.

1.    Обоснование метода усреднения и исследование устойчивости

Пусть n, m — натуральные числа, ω — большой параметр, G — область в R m . Рассмотрим дифференциальное уравнение (1). Здесь вектор-функции cjki(zo,..., zr) со значениями в Rm заданы и непрерывны на множествах G х • ^ • х G. Предположим, что r+1

|а| = 1,..., max (2,n - [(n + 1)/2] + j, д'        ,- dz“1 ... д'

|a| = 1,...,max (2,n — [n/2] + j, a = (ai,... ,aq), которые удовлетворяют равномерному условию Липшица по zi, i = 0, ...,r. Пусть, кроме того, fj, j = 0, обладают нулевым средним по т (т. е. Cjki = 0 для всех j = 0, если ak = 0).

Мы рассматриваем задачу об условно периодических решениях уравнения (1). Напомним [8], что условно периодической называется почти периодическая функция с конечным частотным базисом. Под частотным базисом понимается рационально независимый набор чисел, в виде целочисленной комбинации которых можно представить любой показатель Фурье почти периодической функции.

Наряду с возмущенным уравнением (1) рассмотрим уравнение

y ⁽ⁿ⁾ = Ф (y.y,...,y ^([n/2])) ,

которое будем называть усредненным. Здесь

Ф (zo ,..

∂f _n

. Z o , . . . ,Z [ n/ 2] ,T) + — (z o ,т ) ^ n (z o ,т)

, df n - 2 ₍        , d^ n ₍            ,       df i       ,                       X д ^[(п+1)/2] ^n

+ dzi (zo,zi,T) дт "'?) + ...+ дz[(n+1)/2]-1 ^o,...,z[(n+1)/2]-1 ,т) дт[(n+i)/2]-i при нечетном n;

Ф (zo ,..

д [n/2]^n         \   dfn zo,...,z[n/2] + дт [n/2] (zo,T),T ) + д^ (zo,T) ^n (zo,T)

^дf n-2 ^ „ ^д^ П^           ,     ^дf 2                      ^{д [n/2] 1} ^ n

+ дz1 (zo,zi,T) дт (zo,T) + ... + дz[n/2]-1 ^o,...,z[n/2]-1,T) дт[n/2]-i при четном n. Символом ^n(zo,т) обозначено условно периодическое по т с нулевым средним решение уравнения -дтП" (zo ,т) = fn(zo, т). Предположим, что существует стационарное решение усредненного уравнения yo G G такое, что д^дт/П/^(Уo,т) £ G для любого т £ R, и, кроме того, уравнение дФ хд Ф          гп/21 дФ хпт7

=0

( yo , o ,..., o)

+ А— + • • • + A[n/2] ---AnE дzo     дz1                дz[n/2]

не имеет чисто мнимых корней.

Теорема 1. Существуют такие положительные числа w q и г о , что при w >  w q справедливы следующие утверждения:

• 1.    Уравнение (1) имеет единственное в шаре ||х — у о к с к ( r ) 6 г о условно периодическое решение x _ω , частотный базис которого содержится в частотном базисе f j , и при этом lim | х _ш — y o k c k( R ) = 0 , где k = [(n — 1)/2] .

• 2.    Если все решения уравнения (4) лежат в открытой левой комплексной полуплоскости, то решение x ω экспоненциально устойчиво.

• 3.    Если хоть одно решение уравнения (4) лежит в открытой правой комплексной полуплоскости, то решение x _ω неустойчиво.

• <1    Докажем утверждение 1. Как и в предыдущей работе [7] серией замен Крылова — Боголюбова придем от уравнения (1) к системе без больших слагаемых

ω →∞

x = x i + w ^-(n+1)/2 ^ n - i (x i , wt) + w ^-n/2 ^ n (x i , wt);

x j = x j +i + w ^-(n+i)/2 ^ n - 2 j - i (x i ,... ,x j +i ,wt) + w ^-n/2 ^ n - 2 j (x i ,... ,x j ₊i ,wt)

+ w ^-(n+i)/2 ^ 2 j +i (x i ,..., x j +i , wt) + w ^-n/2 ^ 2 j (x i ,..., x j +i , wt), j = 1,...,k; ( n - k )                    ( p - k )                           (p — k)

x k _+i    = v(x i , • • • ,x k _+i , wt) + в (x i , • •. ,x k _+i   , wt, w) + X o (x i , • • • ,x k +i , wt)      ⁽⁵⁾

+ B q (x i ,..., x k +i ,wt)x k +i + x(x i ,..., x k +i , x k +i ,wt, w)

n - k - i

+ ^ A i (x i ,... ,x k +i , wt, w)x ki +_i + w ^-n/2 C(x i ,... ,x k +i , wt)x kn - _i ^k) . i=2

Здесь ^ i (x i ,..., x i ) = ^ _io (x _i ,..., x _{i- i} ) + ^ i _i (x _i ,..., x _{i- i} )x i , + 0 = 0 , при нечетном n элементы x q , B q являются нулевыми, а x имеет вид

x(x i ,... ,x k +i ,z k +i , т, w) = x i (x i ,... ,x k +i ,T,w) + A i (x i ,..., x k +i ,T, w)z k +i .

Отметим, что X o (x i ,..., x k +i ,т) , x(x i ,... ,x k +i ,Z k +i ,T,w) , x i (x i ,... ,x k +i ,r, w) — век-тор-функции порядка m , а B q ( x i , ... ,x k +i ,T) , A i (x i ,... ,x k +i ,T, w) , C(x i ,... ,x k +i ,T) — квадратные матрицы-функции порядка m . Компоненты матриц A i , а также вектор-функций х о , X , X i , ^ i являются полиномами относительно компонент x s и x s , Z k +i , s >  2, соответственно, причем коэффициенты этих полиномов, как компоненты матриц B о , C и вектор-функций β , ϕ i , непрерывны, удовлетворяют равномерному условию Липшица по x i и почти периодичны по τ со вложенным в частотный базис f j частотным базисом. Кроме того, указанные коэффициенты или компоненты элементов в , X , X i , A i являются бесконечно малыми при ω → ∞ равномерно относительно своих переменных, а элементы £ i , ^ i , X q , B q , C имеют нулевые средние по т .

Разрешив последнее уравнение системы (5) относительно старшей производной, перепишем ее в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка dz dt

f (z, wt) + a(z, wt, w),

где z = (xi,... ,xn)T, f (z,T) = ^x2,... ,xn-i, [E —

w ^-n/2 C (x _i ,..

+X o (x i ,... ,x k +i ,T) + B q ( x i , ..

. ,x k +i ,T) ] ⁱ ( ^(x i ,...,x p +i ,T) . . , ^x k +i , ^{т ) x} k +2 )^ ,

а выражение a(z, т, ш) после этого очевидно. Наряду с возмущенной системой (6) рассмотрим усредненную систему dw

-dt = F (w),                                       (7)

где                                                                        T w = (wi, ...,Wn)T, F (w) = (w2,...,Wn-1, ^(wi, ...,Wp+1)) .

Очевидно, система (7) имеет стационарное решение w ⁰ = (y g , 0,... , 0) , причем матрица dF (w ⁰ ) не содержит чисто мнимых собственных чисел, так как уравнение (4) не имеет чисто мнимых корней.

Лемма 1. Пусть ^ G (0,1) . Тогда существуют положительные числа r ₁ , ш ₁ такие, что при ш > Ш 1 справедливы следующие утверждения:

• 1.    Система (8) в шаре ||z — w ⁰ ^c m ( r ) 6 П имеет единственное условно периодическое решение z ^ , частотный базис которого содержится в частотном базисе f + а, и при этом справедливо соотношение lim ||z ^ — w ⁰ |c m ( r ) = 0 .

• 2.    Если спектр матрицы dF (w ⁰ ) лежит в открытой левой комплексной полуплоскости, то решение z _ω экспоненциально устойчиво относительно ω и начальных условий.

• 3.    Если спектр матрицы dF (w ⁰ ) содержит хотя бы одну точку открытой правой комплексной полуплоскости, то решение z _ω неустойчиво.

ω →∞

Здесь C ^ ( R ) — обычное гёльдерово пространство заданных на оси t G R вектор-функ-ций со значениями в R ^mn .

C Заменой z = v + w0 уравнение (6) приведем к виду dt — Av = f (v + w0, шt) + a(v + w0, шt, ш) — Av = R(v, шt, ш),

где A = dF (w ⁰ ) . В силу отсутствия точек мнимой оси в спектре матрицы A система (8) эквивалентна интегральному уравнению (см., например, [8])

+ ^

v(t) =

G ( t — s)R(v,шs, w) ds = [T(v,ш)](t).

-∞

Здесь

G = J — Sdiag ^' J ' , ° ) ^{5 -1} ,     t< 0,

[S diag (0,etJ- )S-1,       t> 0, где S — невырожденная матрица такая, что

A = S diag(J-, J+ )S-1, а J∓ — матрицы жордановой формы, характеристические числа которых лежат в левой и, соответственно, правой открытой комплексной полуплоскости. Введем в рассмотрение отображение M : C^(R) x (0, +ro] ^ C^(R) такое, что M(v, w) = T(v,w) при ш < +ro и

+ ^

M (v, + ro ) = j G ( t — s) [( f (v + w ⁰ , s) ^ — Av ] ds.

-∞

Отображение M(v,ш) и его производная Фреше (DvM)(v,ш) непрерывны в точке (0, +го), при этом M(0, +го) = 0 и (DvM)(0, +го) = 0 — нуль-операторы. Применяя теорему о неявных отображениях, получим справедливость утверждения леммы для ограниченного решения. Докажем его почти периодичность. Пусть т — е-почти период вектор-функции f + а. Имеем

+ ∞

| v(t + т ) — v(t) ¹ = J G ( t + т

-∞

+ ∞

— s ) R ( v, ws, w ) ds —     G ( t — s ) R ( v, ws, w ) ds

-∞

— R ( v(s), ws, w)] ds

= j G ( t — s) ^ R ( v(s + т ) ,w ( s + т ),w )

-∞

= j G ( t — s) ff (w ⁰ + v ( s + т ) ,w ( s + т ) ) — f (w ⁰ + v(s), ws) — Av ( s + т )

-∞

+Av(s) + a(w ⁰ + v(s + т ), w(s + т ), w ) — a(w ⁰ + v(s), ws, w ) ds 6 I 1 + I 2 + I 3 .

Так как т — е -почти период f + а ив силу свойств функции Грина G

I 1 =

j G ( t — s) ff (w ⁰ + v(s + т ), w(s + т ) ) — f (w ⁰ + v(s + т ), ws )

-∞

+ a(w ⁰ + v(s + т ), w(s + т ), w ) — a(w ⁰ + v(s + т ), ws, w)] ds

6 / || G(t — s) | dssup f ( w ⁰ + v(s + т ),w(s + т ) ) + a(w ⁰ + v(s + т ),w(s + т ),w ) s ∈ R

-∞

—f (w0 + v(s + т), ws) — a(w0 + v(s + т), ws, w) | 6 —, где c — константа, γ — минимальная по модулю вещественная часть точек спектра, найдется ω0 такое, что для любого ω > ω0 справедливы оценки

+ ∞

^I 2 ⁼

J G ( t — s) ff (w ⁰ + v(s + т ), ws ) — f (w ⁰ + v(s), ws ) — Av ( s + т ) + Av(s) j ds

-∞

+ ∞

6 У G ( t — s) ff (w ⁰ + v(s + т ) ,ws) — f (w ⁰ + v(s),ws )

-∞

+ ∞

— F(w ⁰ + v(s + т ) ) + F(w ⁰ + v(s) )] ds + J | G(t — s) | ds

-∞ x sup F(w0 + v(s + т)) — F(w0 + v(s)) — Av(s + т) + Av(s) s∈R

+ ∞         1

6 j G ( t — s) j дд£(w⁰ + v(s) + 9(v ( s + т ) — v(s) ) ,ws )

-∞

— v(s) )) d9(v ( s + т )

— v ( s ) ds

— dF ( w ⁰ + v(s) + 9(v ( s + т ) dw

+ 2c sup γ s ∈ R

dF (w ⁰ + v(s) ) - A ( v(s + т ) dw

- v(s) ) + O ( (v(s + т ) - v(s)) 2 )

6 8 sup I v ( s + т ) - v ( s ) I + 8 sup I v ( s + т ) - v ( s ) I = 4 sup I v ( s + т ) - v ( s ) I ,

I 3 =

+∞ j G(t - s) [a(w0 + v(s + т), шs, ш) - a(w0 + v(s), шs, ш) ds

-∞

+∞ j 1№ - «)«

-∞

ds sup s ∈ R

a(w° + v(s + т ), шs, ш)

- a(w ⁰ + v(s), шs, ш)

2c

— sup

γ s ∈ R

^da ( w ⁰ + v(s) ∂z

, шs, ш^ (v(s + т )

- v(s) ) + O ( (v(s + т ) - v(s)) ² )

6 4 sup I v(s + т ) - v(s) I .

Учитывая формулы (9)–(12), получим sup Iv(t + т) - v(t)I 6 — + 8 sup Iv(t + т) - v(t)I,   sup I v(t + т) - v(t)I 6 —.

t e R                       Y ² t e R                      t e R                       Y

Значит т — 8c ⁵ -почти период v , а в силу произвольности с получаем почти периодичность v .

Пусть теперь { t m } — (f + а) -возвращающая последовательность, т. е.

sup f (v, ш(t + t m )) + a(v, ш(t + t m ), ш) - f (v, шt) - a(v, шt, ш) 6 C m ^ 0, m ^ TO , t ∈ R

Также как описано выше легко показать sup |v(t + т) - v(t)| 6 CCm ^ 0, m ^ to, t∈R                     γ

• т. е. t _m — v -возвращающая последовательность, поэтому, как известно [8], частотный базис v вложен в частотный базис f + a .

Таким образом, утверждение 1 леммы доказано. Утверждения 2, 3 доказаны в монографии В. Б. Левенштама [4, гл. 3, лемма 1.8]. B

Из леммы 1, с учетом вытекающего из первого уравнения (5) равенства

Х _ш = z ^1 + ш ^{( n +1) /} 2 ^ n - i (z ^ i ,шt)+ ш n/ ² У n ( z _ш1 ,шt ) ,

следует существование такого ш о > 0 , что при ш > ш о уравнение (1) имеет условно периодическое решение x _ω с указанным в теореме базисом частот, для которого выполняется, указанное в теореме предельное соотношение. Его единственность доказывается как и в предыдущей работе [2], с учетом того, что используемая там лемма 2 верна и для уравнений с ограниченными коэффициентами.

Докажем теперь утверждения 2, 3 теоремы 1. Перепишем теперь (6) в виде системы уравнений, у которой в левой части стоит неизвестная x и ее производные, а в правой — Xj. Применяя теорему о неявных функциях к первым к + 1 уравнениям системы, получаем, что существуют такие положительные числа ρ0, ρ1 , ω0, что при ω > ω0 каждому решению ш уравнения (1), удовлетворяющему условию |x(t) | 6 ро отвечает единственное решение z(t) системы (6), удовлетворяющее условию |zt(t)| 6 pi. При этом существуют такие положительные величины С1(ш) и С2 (ш), что для любых решений х1 и х2 уравнения (1) и соответствующих им решений zi и Z2 системы (6) выполняются оценки n—1

c i ^{( w ) | z} 2 ^{( t )} - ^z 1 ^{( t ) | 6} X j =0

f x ² — x ¹ 1 dt ^j

6 C 2 (^) | z 2 (t) — Z 1 (t) | .

Таким образом, утверждения 2 и 3 теоремы являются следствиями утверждений 2, 3 леммы 1. B

Замечание. Утверждения 2 и 3 доказанной теоремы верны и для рассмотренного в работе [2] класса систем.

2. Асимптотика условно периодического решения

Продолжим рассмотрение системы (1). Дополнительно к условиям § 1 будем предполагать, что вектор-функции f j имеют непрерывные производные по z o , Z 1 ,..., Z [ _n / 2] любого порядка. Асимптотику условно периодического решения x _ω , о котором говорится в теореме 1, будем искать в виде

• х . (t) = y o + X      u . + X i + v . (wt)],

  
  

i=1             i=n где Ui E Rm, v.(t) — условно периодические функции со значениями в Rm, с нулевым средним. Для нахождения коэффициентов асимптотики подставим ряд (14) в (1), разложим вектор-функции fj, j > 0, в случае нечетного n, и fj, j > 0, в случае четного n в ряды Тейлора по переменным z. с центром wj = (yo, 0,..., 0). Разложим fo в случае четного n в ряд Тейлора по переменным zo, Z1,..., Z[n/2] с центром w°j = (yo, 0,..., 0, ddT/n/2]n)• После этого приравняем коэффициенты в обеих частях полученного равенства при одинаковых степенях ω . Более подробно процесс построения описан в предыдущей работе. Обозначим s             s+n—1

x ^,s (t) = y o + X w ^—i/2 u . + X w - i/ ² v . ( wt )

i =1               i = n

Теорема 2. Для любого s = 0,1,... найдутся такие положительные числа cs, ws, что при ω > ωs , справедлива оценка kxw — x^,skc k (R)

C s Ш - ^(s+1)/2

где k = [(n — 1)/2]. Построение приближения x^,s при известном векторе yo сводится к нахождению условно периодических с нулевым средним решений s уравнений вида dy dτn

= q(T), где q(T) — известная условно периодическая с нулевым средним вектор- функция вида (2) и к решению s систем линейных алгебраических уравнений с единой невырожденной основной матрицей d^ZO(yo, 0,... , 0) и известными свободными членами.

C Доказательство практически полностью повторяет, приведенное в [7], доказательство теоремы 2. Отличие в том, что теперь мы разыскиваем ограниченное решение системы ii = Bu + f (u, t, ш).

А для него при достаточно больших ω , как мы уже видели в § 1, справедливо представление u(t) = f + ^ G ( t — s)f (u(s), s,w)ds = [R(u, ^)](t). Здесь

(-S diag (etJ+, 0)S 1, t< 0, [ S diag (0, etJ-) S-1,       t > 0, где S — невырожденная матрица такая, что G = Sdiag(J-, J+) S 1, a J^ — матрицы жордановой формы, характеристические числа которых лежат в левой и, соответственно, правой открытой комплексной полуплоскости. Оператор R(u, ш) обладает всеми необходимыми для продолжения доказательства свойствами. B

В заключении автор выражает благодарность своему научному руководителю Валерию Борисовичу Левенштаму за постановку задачи и внимание к работе.