Асимптотики решений уравнения 3-го порядка в окрестности иррегулярной особой точки
Автор: Коровина М.В., Матевосян О.А., Смирнов И.Н.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.26, 2024 года.
Бесплатный доступ
Статья посвящена построению равномерных асимптотик решений уравнения 3-го порядка с голоморфными коэффициентами с произвольной иррегулярной особенностью в пространстве функций экспоненциального роста. В общем виде задача построения асимптотик решений дифференциальных уравнений в окрестностях иррегулярных особых точек была сформулированна Пуанкаре в его статьях посвященных аналитической теории дифференциальных уравнений. Задача построения асимптотик для уравнений с вырождениями произвольного порядка в случае кратных корней решена только для некоторых частных случаев, например, когда уравнение имеет второй порядок. Основным методом решения задачи для уравнений с вырождениями старших порядков являются метод повторного квантования, основанный на преобразовании Лапласа - Бореля, который был создан для построения асимптотик решений дифференциальных уравнений в окрестности иррегулярных особых точек в случае, когда основной символ дифференциального оператора имеет кратные корни. Задача о построении асимптотик решений уравнений старших порядков значительно сложнее. Для ее решения применяется метод повторного квантования, который не потребовался при решении аналогичной задачи для уравнений 2-го порядка. Здесь решается модельная задача, которая является важным следующим шагом к решению общей проблемы сформулированной Пуанкаре, проблемы построения асимптотик решений в окрестности произвольной иррегулярной особой точки для уравнения произвольного порядка. Задача дальнейших исследований состоит в обобщении метода решения, изложенного в статье на уравнения произвольных порядков.
Асимптотики решений, уравнение 3-го порядка, иррегулярные особенности, ресургентный анализ, преобразование лапласа - бореля
Короткий адрес: https://sciup.org/143182361
IDR: 143182361 | УДК: 517.9 | DOI: 10.46698/h0288-6649-3374-o
Asymptotics of solutions to a third-order equation in a neighborhood of an irregular singular point
The article is devoted to the construction of uniform asymptotics of solutions to a 3rd order equation with holomorphic coefficients with an arbitrary irregular singularity in the space of functions of exponential growth. In general, the problem of constructing asymptotics of solutions of differential equations in the neighborhood of irregular singular points was formulated by Poincar\'e in his articles devoted to the analytical theory of differential equations. The problem of constructing asymptotics for equations with degeneracies of arbitrary order, in the case of multiple roots, has been solved only for some special cases, for example, when the equation is of second order. The main method for solving the problem for equations with degenerations of higher orders is the re-quantization method based on the Laplace--Borel transform, which was created to construct asymptotics of solutions of differential equations in the neighborhood of irregular singular points in the case when the main symbol of the differential operator has multiple roots. The problem of constructing asymptotics of solutions to higher order equations is much more complicated. To solve it, the re-quantization method is used, which was not required when solving a similar problem for 2nd order equations. Here we solve a model problem, which is an important next step towards solving the general problem formulated by Poincare, the problem of constructing asymptotics of solutions in the neighborhood of an arbitrary irregular singular point for an equation of arbitrary order. The problem of further research is to generalize the solution method outlined in the article to equations of arbitrary orders.
Список литературы Асимптотики решений уравнения 3-го порядка в окрестности иррегулярной особой точки
- Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах. Том. III. Математика. Теоретическая физика. Анализ математических и естественнонаучных работ Анри Пуанкаре. М.: Наука, 1974. 772 с.
- Найфэ А. Х. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с.
- Korovina M. V., Matevossian H. A. Uniform asymptotics of solutions of second-order differential equations with meromorphic coefficients in a neighborhood of singular points and their applications // Mathematics. 2022. Vol. 10, № 14. P. 2465. DOI: 10.3390/math10142465.
- Korovina M. V. Asymptotics of solutions of linear differential equations with holomorphic coefficients in the neighborhood of an infinitely distant point // Mathematics. 2020. Vol. 8, № 12. P. 2249. DOI: 10.3390/math8122249.
- Korovina M. V. Uniform asymptotics of solutions of the linear differential equations with holomorphic coefficients in a neighborhood of an infinitely distant point // Lobachevskii J. Math. 2023. Vol. 44, № 7. P. 2765-2780. DOI: 10.1134/s1995080223070260.
- Кац Д. С. Вычисление асимптотик решений уравнений с полиномиальными вырождениями коэффициентов // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. С. 1612-1617.
- Кондратьев В. А. Краевые задачи для параболических уравнений в замкнутых областях // Труды Моск. матем. о-ва. 1966. Т. 15. С. 400-451.
- Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Труды Моск. матем. о-ва. 1967. Т. 16. С. 209-292.
- Матевосян О. А. О решениях смешанных краевых задач для системы теории упругости в неограниченных областях // Изв. РАН. Сер. матем. 2003. Т. 67, № 5. С. 49-82. DOI: 10.4213/im451.
- Matevossian H. A. On the Steklov-type biharmonic problem in unbounded domains // Russian J. Math. Phys. 2018. Vol. 25, № 2. P. 271-276. DOI: 10.1134/S1061920818020115.
- Korovina M. V. Application of resurgent analysis to the construction of asymptotics of linear differential equations with degeneration in coefficients // J. Math. Sci. 2022. Vol. 257, № 1. P. 61-73. DOI: 10.1007/s10958-021-05470-8.
- Коровина М. В. Метод повторного квантования и его применения к построению асимптотик решений уравнений с вырождением // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52, № 1. С. 60-77.
- Korovina M. V., Matevossian H. A., Smirnov I. N. Uniform asymptotics of solutions of the wave operator with meromorphic coefficients // Applicable Analysis. 2023. Vol. 102, № 1. P. 239-252. DOI: 10.1080/00036811.2021.1949455.
- Matevossian H. A., Korovina M. V., Vestyak V. A. Asymptotic behavior of solutions of the cauchy problem for a hyperbolic equation with periodic coefficients (case: H0>0) // Mathematics. 2022. Vol. 10, № 16. P. 2963. DOI: 10.3390/math10162963.
- Matevossian H. A., Korovina M. V., Vestyak V. A. Asymptotic behavior of solutions of the Cauchy problem for a hyperbolic equation with periodic coefficients II // Axioms. 2022. Vol. 11, № 9. P. 473. DOI: 10.3390/axioms11090473.
- Matevossian H. A., Smirnov V. Yu. Behavior as t→∞ of solutions of a mixed problem for a hyperbolic equation with periodic coefficients on the semi-axis // Symmetry. 2023. Vol. 15, № 3. P. 777. DOI: 10.3390/sym15030777.
- Sternin B. Yu., Shatalov V. E. Borel-Laplace Transform and Asymptotic Theory. Introduction to Resurgent Analysis. Boca Raton, FL.: CRC Press, 1996.
- Коровина М. В. Асимптотики решений уравнений с высшими вырождениями // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 5. С. 710-722.
- Коровина М. В. Cуществование ресургентного решения для уравнений с вырождением высших порядков // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 3. С. 349-357.
- Ecalle J. Les Fonctions Resurgentes. Vol I, II, III. Paris.: Publ. Math. Orsay, 1981-1985.
- Korovina M., Smirnov I., Smirnov V. On a problem arising in application of the re-quantization method to construct asymptotics of solutions to linear differential equations with holomorphic coefficients at infinity // Math. Comput. Appl. 2019. Vol. 24, № 1. P. 16. DOI: 10.3390/mca24010016.
- Avsyankin O. Asymptotic behavior of solutions of integral equations with homogeneous kernels // Mathematics. 2022. Vol. 10, № 2. P. 180. DOI: 10.3390/math10020180.
