Асинхронный электропривод антенны радиолокатора секторного обзора в режиме пульсирующего движения

Введение. Известно, что принцип действия радиолокационных станций заключается в облучении радиоволнами объекта и приеме отраженного от него сигнала. Генерируемый станцией электромагнитный импульс излучается антенной в каком-либо направлении. По задержке отраженного сигнала можно вычислить расстояние до объекта, а по положению антенны – направление на него. Ориентацию электромагнитного луча, формируемого антенной, можно изменить поворотом антенны в нужном направлении [1]. Во время работы антенна сканирует окружающее пространство по заданному закону в соответствии с текущим режимом. Согласно блок-схеме радиолокатора (рис. 1) источники питания обеспечивают электроэнергией все его блоки и узлы, устройство контроля управляет приемопередатчиком в соответствии с выбранным на пульте управления режимом работы. Вся получаемая информация отображается индикатором секторного обзора. В состав антенного блока входят два электропривода – азимута и угла места антенны, а также схемы управления ими.

В азимутальном приводе антенны радиолокатора для получения пульсирующего движения антенны обычно используются серийный электродвигатель постоянного тока и специальный редуктор [2]. Однако наличие редуктора вносит дополнительную погрешность в определение направления на объект и существенно снижает частоту сканирования.

Уменьшить данные недостатки и существенно расширить динамический диапазон работы можно с помощью привода, построенного на базе двухфазного асинхронного электродвигателя (АД), действующего непосредственно в режиме периодического движения за счет фазной модуляции питающих напряжений с прерыванием одного из них тогда, когда электромагнитный момент АД переходит через ноль [3].

Электроприводами периодического движения в разное время занимались как российские, так и зарубежные ученые. Большой вклад в эту область внесли В. И. Луковников [4], Б. А. Ивоботенко [5], С. А. Грачев [6; 7], Со Лин Аунг [8], С. А. Ткалич, Ф. А. Мамедов, М. Г. Чиликин, В. Я. Беспалов, В. А. Постников, А. П. Балкова, P. J. Lawrenson, M. R. Harris. Однако в их трудах не рассматривался пульсирующий режим работы асинхронного электропривода при потенциальной фазовой модуляции.

Рис. 1. Блок-схема радиолокационной станции секторного обзора

Теоретическая часть. При исследовании периодических режимов удобно представить электрическую машину в виде некой идеализированной обобщенной модели с двумя парами взаимоперпендикулярных обмоток - на первичном и вторичном элементах [9], что позволяет при определенных допущениях проанализировать наибольшее число различных типов АД, работающих в режиме пульсирующего движения.

Для данной модели возможны несколько вариантов записи системы описывающих ее дифференциальных уравнений. Наиболее просто анализируются уравнения, записанные в координатных осях а, в или d , q , жестко связанных со статором или ротором соответственно. Так, например, приведение к осям а, в позволяет существенно упростить математическое описание процессов, исключив периодические коэффициенты в уравнениях, описывающих электрическое состояние в статорных обмотках АД.

При общепринятых допущениях (магнитопровод машины не насыщен, магнитные потоки синусоидально распределены в пространстве, вихревые токи и краевые эффекты пренебрежимо малы) [10] модель обобщенного электродвигателя, работающего в режиме пульсирующего движения, в системе координат а, в описывается следующими дифференциальными уравнениями:

U^ (t) = i^ + L^ — + Madi^r-; αsαsαsαsα dtdt

U p s ( t ) = i p s R p S + L p s di e s - + M в d^ ;

dtdt

0 = i „ Л + L d- + dt

+Ma dd/ - ®(Mpips+Lipr);

0 = LR + Ldi ^ + Md' " + ^p r r r dt ^p dt

⁺ to ( ^M a i a s ⁺ L r i a r ) ;

M эм = kд ( Ma ias ip r — M в iв siar ) = (c ,d

= M l to dt , to,— ^н U dt

где U as ( t ), U p s ( t ), i as , i p s , i a r , i p r - напряжения и токи фазных обмоток; R _м, R p _s , R_r , L _{a s} , L p _s , L_r - активные сопротивления и полные индуктивности фазных обмоток; M _a, M _p - взаимоиндуктивности между статорными и роторными обмотками по координатным осям a, в; to - скорость изменения обобщенной координаты подвижного элемента; M э _м, M _н - обобщенные электромагнитное усилие и нагрузка; к _д - обобщенный силовой коэффициент.

Для угловых движений к _д = 1, а для прямолинейных к _д = п²/т²; где т - полюсное деление.

При реализации пульсирующего режима работы АД может быть использован в качестве управляемого источника пульсирующего перемещения или усилия в зависимости от того, осуществляется ли питание его обмоток от источника напряжения или тока [11].

Так, при потенциальном питании АД можно в системе уравнений (1) считать заданными фазные напряжения и неизвестным закон движения подвижного элемента двигателя, а при токовом питании - фазные токи и, соответственно, развиваемое двигателем электромагнитное усилие. Для азимутального привода антенны основным выходным параметром является закон движения, поэтому рассмотрим работу АД только при потенциальной модуляции фазных напряжений.

Очевидно, что система (1) является системой дифференциальных уравнений с нелинейными коэффициентами, точное аналитическое решение которой найти невозможно. Однако если частота пульсаций вала исполнительного двигателя Q не менее чем на порядок меньше циклической частоты питающей сети to_с (Q << to e ), то можно считать в первых четырех уравнениях системы to = const [7]. При этом уравнения становятся линейными, и аналитическое решение для токов при установившемся режиме работы можно найти, применяя теорему разложения [12] с учетом характеристических корней функций регулирования:

in ( t ) =

у у___________ q i ( P h ) a n ( P h ) e^Ph ___________ (2)

Ы h=1 (Ql (Ph ) det (A (Ph )) + det' (A (Ph )) Ql (an )) , где n принимает значения 1, 2, 3, 4; i1(t) = ias(t), i2(t) = = ips(t), iз(t) = iar(t), i4(t) = ipr(t) - фазные токи; qi(P), Ql(P) - операторные полиномы s-й и m-й степени питающих фазных напряжений Ul(P) = ql(P)/Ql(P), причем m > s; aln - минор l-го элемента n-го столбца операторного определителя первых четырех уравнений системы (1); det(A) - детерминант системы (1); Ph - корни полиномов Ql(P), det(A).

Система уравнений (2) позволяет путем простой подстановки возмущающего воздействия и параметров электрической машины определить фазные токи АД для различных частных случаев.

Пятое уравнение системы (1) - уравнение пульсирующего движения вторичного элемента АД - представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка. Обобщенная нагрузка на валу двигателя является здесь сложной функцией параметров нагрузки привода и его движения.

Наиболее часто на практике нагрузка электропривода антенны радиолокатора является совокупностью позиционных и инерционных сил, а также сил жидкостного и сухого трения:

d χ d χ

-L*-L н    -^мех dt 1 -“мех d^   ^ мехЛ 1 ■‘^тр, где Lмех - коэффициент инерционной составляющей; Rмех - коэффициент демпфирующей (жидкое трение) составляющей; Cмех - коэффициент позиционной составляющей; Mгр - коэффициент трения.

Пренебрегая составляющей сухого трения, которая может быть учтена, при необходимости, согласно исследованию [13] и с учетом системы (1) уравнение движения привода можно записать как d2 χdχ

Lмех , - + Rмех "Т + CмехХ = kд (Maiasiвr + M'вsiar ) ’ (3) dt dt где X = J®dt — обобщенная координата положения подвижного элемента.

Решение уравнения (3) можно найти, если разложить его правую часть в ряд Маклорена по степеням угловой скорости ω в окрестности точки ω = 0.

Ограничиваясь первыми двумя членами ряда Маклорена из-за его сильной сходимости [11], уравнение (3) преобразуем к виду

L мех ^ + R мех d X ^{+ C} мех Х = M эм ( ° ) ⁺ ^п ®  (4)

dt2         dt где Mэм(0) = Mп, Fдемпω = Mдемп – пусковая и демпфирующая составляющие электромагнитного момента соответственно.

Определив из системы уравнений (2) значения фазных токов и их производных и подставив найденные значения в уравнение (4), искомый закон движения подвижного элемента АД можно найти методом гармонического баланса [14].

Так, при фазовой потенциальной модуляции обмотки первичного элемента двигателя подключаются к источникам напряжений, аналитические выражения для которых в общем случае имеют вид

, x ^ 1 2 -^ sin((2k-1) ®t)

Uas ( t ) = Umi 1cos ( ®1 t ) д + S---\, ,----"

2 n k = i      2 k — 1

,

Uвs (t)= Um2 sin (®2t + Y) , где Um1, Um2, ω1, ω2, γ – амплитуды, угловые частоты и фазовый сдвиг питающих напряжений.

Тогда в соответствии с изложенной методикой решение первых четырех уравнений системы дифференциальных уравнений (1) во временной форме можно записать как in (t ) = U,

T 1 n sin ( ® 1 t ^{+ 8}1 n ) ⁺ V

+ ¹ S

T,nk sin (((2k — 1)Q — ®1) t + 82nk) + n k=1| +T3nk sin (((2k — 1)Q + ®i) t + 83nk)

+ (5)

+ Um 2T4n sin ( ®2t + Y + 84n ), где T1n, T2nk, T3nk, T4n и δ1n, δ2nk, δ3nk, δ4n – амплитуды и начальные фазы гармонических составляющих токов, определяемые параметрами электрической машины и функциями регулирования.

С учетом формулы (5) и Q = ® i -®₂ при to = 0 пусковой момент АД в режиме пульсирующего движения запишется как

M п = k д ( M a i as i e r — M в i es i^ ) =

O 1 ( cos ( Q t — y + ^X1 ) — cos ( ( ® 1 + ®₂

M α

1 »

z

П ^k =

ω1

) t + Y + ^2 )) +

®2) t — Y + ^з k) — cos ((2 k — 2) Qt + y + ^4 k

= ^k д

+O3k (cos (2kQt — Y + ^5k ) — COs(((2k — 1) Q + ®1 + ®2 ) t + Y + ^6k ))

^{— M} в

V

O4 (cos (Qt — y + x7)— cos ((®1 + ®2) t + y + x8)) +

1 ™

+---

П ^k = 1

V

Л

O5k (cos ((—(2k — 1) Q + ®1 + ®2) t + Y + ^9k) — cos ((2k — 2) Qt + y + хюk)) + +Обk (cos(2kQt — Y + ^11 k) — cos(((2k — 1) Q + ®1 + ®2 ) t + Y + ^12k ))

,

где O 1 , O 2 k , O 3 k , O 4 , O 5 k , O 6 k и λ 1 , λ 2 , λ 3k , λ 4k , λ 5k , λ 6k , λ 7 , λ 8 , λ 9k , λ 10k , λ 11k , λ 12k – амплитуды и начальные фазы гармонических составляющих пускового момента, зависящие от параметров электрической машины и питающих напряжений.

Так как для высокочастотных составляющих пускового момента электрическая машина является естественным фильтром нижних частот, то в дальнейшем для нахождения закона движения χ( t ) в выражении (6) достаточно учесть только низкочастотные составляющие, кратные частоте Ω. Тогда после тригонометрических преобразований получим

M _п = N 1 cos ( Q t + y + Ф 1 ) +

⁽ N 2 k ^cos ( ( ^{2 k — 2} ) ^Q t ⁺ Y ⁺ Ф 2 k )

да

+S k=1

V ⁺ N 3 k ^cos ( ^{2 k Q} t ⁺ Y ⁺ Ф з k )

где N 1 , N 2 k , N 3 k – коэффициенты, зависящие от параметров электрической машины и питающих напряжений; φ 1 , φ 2k , φ 3k – начальные фазы низкочастотных составляющих пускового момента.

Для определения демпфирующего момента необходимо найти первые производные токов по угловой скорости to :

^M демп = k д ® ( ^M a ( i 's i er ⁺ i as i e r ) ^{— M} в ( i ₽ s i a r ⁺ i e s i 'a. r ) ) -

Он так же, как и пусковой момент, содержит гармонические составляющие, кратные циклическим частотам питающей сети ю1, ®2 и частоте пульсаций Ω. Однако с учетом того, что весовой вклад периодических составляющих в общее значение демпфирующего момента не превышает 3 % [15], с достаточной степенью точности он может быть представлен только своей постоянной составляющей:

= ^k д ®

М демп

'Mа (P1 cos (5 ) + P, cos (52 )) -^-Me (P3 cos (53) + P4 cos (54 )), где P1, P2, P3, P4 и δ1, δ2, δ3, δ4 – коэффициенты и начальные фазы составляющих демпфирующего момента.

Тогда уравнение движения принимает вид d2χ

^L мех , ? ⁺ ( ^R мех dt ²

-

^ демп ) ^ + C мех Х = M п ,     (7)

и его решение запишется как

Х (t ) = Х1 sin (°t+ а1) + от

' У / 2 k sin ( ( ^{2 k - 2} ) ° t ^{+ а}2 k ) ⁺ Х 3 k sin ( ^{2 k} ° t ^{+ а}3 k ) , h = 1

где χ 1 , χ 2 k , χ 3 k , α 1 , α 2 k , α 3 k – амплитудные значения и начальные фазы гармонических составляющих закона движения подвижного элемента АД.

В свою очередь, амплитудные значения

N 22 k ( C мех - L мех ( 2 k - 2 ) 2 ° 2 ) +

Х 22 k = —--------------------"2---

( C мех - L мех ( 2 k - 2 ) 2 °² ) +

+ N 21 k ( R мех - ^ демп ) ( 2 k - 2 ) °

+ ( R мех - ^ демп ) 2 ( 2 k - 2 ) 2 ° 2 ,

N 31 k ( C мех - 4 L мех k 2 ° 2 ) ( C мех - 4 L мех k ²° 2 ) 2 +

- ^{2 N} 32 k ( ^R мех - ^ демп ) k ° + 4 ( R мех - ^ демп ) 2 k 2 ° 2 ’

N32k ( Cмех - 4Lмехk2°2 ) + ( Cмех - 4Lмехk2°2 )2 + +2 N31 k ( Rмех - ^демп ) k° +4 (Rмех - ^демп )2 k2°2 ’ а начальные фазы соответственно а1 = arctg —,   а2 k = arctg X2k-,   а3 k = arctg X3k-,

χ 12                   χ 22 k                  χ 32 k

^Х1 = V ^Х11 ^{+ Х}12 ,     ^Х 2 k = V ^Х 21 k ^{+ Х} 22 k

^Х3 k = V^X31 k ^{+ Х}32 k ,

где

N Ц = N 1 sin Ф 1 ; N 21 k = ^N 2 k sin Ф 2 k ; ^N 31 k = ^N 3 k sin Ф 3 k ;

N !2 = N 1 ^cos Ф 1 ; N 22 k = ^N 2 k cos Ф 2 k ; ^N 32 k = ^N 3 k cos Ф 3 k ^.

где

Х 11 =

Х 12 =

N 11 ( C мех - L мех °² ) - N 12 ( ^Rмех - ^ демп ) °

(c

( '-'мех

- L мех ° 2 ) 2 + ( R мех - / . ) 2 ° 2

N2 (Cмех — Lмех°2 ) + N11 (Rмех — ^демп )° мех

- L мех ° 2 ) 2 + ( R мех — / . ) 2 ° 2

N 21 k ( C мех - L мех ( 2 k - 2 ) 2 ° 2 ) -

Результаты сравнительного анализа. С целью проверки методики расчета и правильности полученных инженерных соотношений проведена их сравнительная оценка с результатами математического моделирования электропривода, выполненного на базе асинхронного двигателя АИР71А2 в программной среде MATLAB [16] (см. таблицу).

В качестве примера представлены токи обмотки статора АД (рис. 2), найденные согласно выражению (5) (кривая 1 ) и в результате математического моделирования (кривая 2 ), а также законы изменения электромагнитного момента М эм ( t ) и координаты положения подвижного элемента привода χ( t ) (рис. 3). Как видно, максимальное расхождение результатов не превышает 3 и 6 % соответственно, что говорит о правомочности применения методики расчета для определения выходных параметров асинхронных электроприводов с пульсирующим режимом работы.

Параметры исполнительного двигателя

Мощность, кВт	Номинальная частота вращения, об/мин	Номинальное напряжение, В	Номинальный ток, А	КПД	cos φ	Кратность пускового тока	Кратность максимального момента	Кратность пускового момента
0,75	2810	220	2	71	0,8	4,4	2,4	2,3

Момент инерции, кг∙м2	Число пар полюсов	Сопротивление взаи-моиндуктивности, Ом	Активное сопротивление обмотки статора, Ом	Активное сопротивление обмотки ротора, Ом	Сопротивление рассеяния обмотки статора, Ом	Сопротивление рассеяния обмотки ротора, Ом
2,1∙10–3	1	149,035	9,195	8,564	10,218	13,143

Рис. 2. Ток фазы i _αs( t ) асинхронного двигателя: 1 – результаты аналитического расчета; 2 – результаты математического моделирования

Рис. 3. Законы изменения: а – электромагнитного момента M _эм( t ); б – координаты подвижного элемента привода χ( t ); 1 – результаты аналитического расчета; 2 – результаты математического моделирования

Заключение. Полученные выражения являются теоретической основой для расчета и исследования электроприводов, работающих в режиме пульсирующего движения, и могут быть рекомендованы к применению при их разработке и анализе.