Автоморфизмы колец вычетов колец целых круговых полей

∑im=-11αiζmi , где αi ∈ Z ∀i ∈{1,..., m -1} , то есть I(Q(ζm)) = ℤ[ζm] . В частности, при m = 4 имеем кольцо гауссовых целых. Мультипликативная структура этих колец известна лишь частично. В общем случае известны только подгруппы единиц конечного индекса. Поэтому нами изучается p m

pI ( Q ( ζ m ))

– кольцо вычетов по модулю p кольца целых кругового поля. В даль-

нейшем значения p и m полагаются простыми и различными. В отличие от I ( Q ( ζ _m )) эти кольца конечны, ввиду чего более удобны для изучения.

В [1] была также показана важность исследования колец вычетов абелевых полей (в особенности, круговых полей) для изучения центральных единиц целочисленных групповых колец ко- нечных групп.

В [1, 2] начато исследование мультипликативной структуры колец вычетов кольца целых круговых полей. В частности известно, что g

U ( I m ^p ) ≅ ∏ Z_p f _{- 1}, i = 1

где f = min{ j ≥ 1| p^f ≡ 1(mod m )} и fg = m - 1 . Однако, сам изоморфизм не установлен, ввиду чего мы, в общем случае, не знаем порождающих элементов.

Пусть ϕ – произвольный кольцевой автоморфизм I_m^p . Тогда образ произвольного элемента

I_m^p относительно ϕ можно представить в виде

^ m - 1       ^

ф ^ «£

V i = 1        )

m - 1 ∑ α _i ϕ ( ζ ) ⁱ i = 1

Тем самым автоморфизм однозначно определяется его образом ϕ ( ζ ) .

Вообще говоря, отображение ϕ : I_m^p → I_m^p будет автоморфизмом I_m^p в том, и только в том случае, когда ϕ согласовано с кольцевыми операциями, ord( ϕ ( ζ )) = m и ϕ ( ζ ), ϕ ( ζ )² ,… ϕ ( ζ ) ^{m - 1} линейно независимы.

Автоморфизмы вида ϕ ( ζ ) = ζ ^k , где k = {1,..., m - 1} , обозначим как ϕ _k . Такие автоморфизмы назовем целыми . Они образуют в Aut ( I_m^p ) подгруппу. Обозначим её MAut ( I_m^p ) .

Шпонько А.В. Автоморфизмы колец вычетов колец целых круговых полей

Легко показать, что если отображение у : x ^ x¹" , где x е I mp , r е N + является автоморфизмом, то уе (ф _р ) с MAut ( I mp ). Поэтому подгруппа _p ) играет особую роль в MAut ( I mp ), обозначим её через PAut ( I mp ), а лежащие в ней автоморфизмы назовем p -автоморфизмами.

В [3] было доказано, что для произвольной подгруппы A с PAut ( I mp ) множество устойчивых, относительно её действия, элементов

R ( A ) = xxе I mp I Vae A a ( x ) = x^

является подкольцом в I mp . Более того, различным подгруппам соответствует различные подкольца и если выполнено A с B с PAut ( I mp ), то R ( PAut ( I mp )) с R ( B ) с R ( A ). Ввиду обозначенных свойств получаем множество подколец, структура вложенности которых в точности соответствует структуре вложенности подгрупп PAut ( I mp ) (можно говорить об аналоге соответствия Галуа).

Обозначим для удобства R(PAut(Imp)) через RPm и перейдем к его более детальному рассмотрению. Сперва заметим, что RPm = xx е Imp | xp = x^ . Далее, найдем общий вид его элементов, характеризующим свойством которых является устойчивость к возведению в p -ю степень. Заме- тим, что m-1     Ap m-1          m-1

X «,? = X « p z i ^p = X « - z ^,p ,

V i = 1         )       i = 1                i = 1

что доказывается идентично аналогичному свойству полей характеристики p . Отсюда следует m-1

x = X aZ x е RPm ^ Vi, k е Z*m : j = kp(modm) ^ aj = ak , i=1

это означает попарное равенство коэффициентов ai для значений i, соответствующих одному смежному классу Z*m по

Его базис образован элементами

Х еP ^Z •                                (*)

где i е {1,..., g }, а P i - смежные классы Z m по < p ) . Стоит отметить идентичность данных базисов для значений p сравнимых по модулю m , что обусловливает схожесть строения соответствующих колец вычетов, выявленную ранее в ходе численного эксперимента [2].

Обозначим через f - мощность | PAut ( I mp )|. Очевидно f = | < p ) | в Z* _m . Отсюда видно, что для произвольного а е I mp справедливо a^p = a . Откуда, в частности, вытекает отсутствие в I mp нильпотентных элементов.

Рассмотрим функцию pf-1

P (x) =   П а( x) = x1+p+...+pf-1 = xp-1 , ае PAut (Imp)

ставящую в соответствие всякому элементу из I_m^p произведение всех его образов относительно p -автоморфизмов. Легко убедиться, что P ( x ) е RP m для любого x е I mp . Также легко показывается, что для любого x е RP m имеем P ( x ) = x . Откуда следует, что P : I mp ^ RP m является инъективным гомоморфизмом.

Поскольку P может быть сведено к возведению в степень, данное отображение сохраняет обратимость элемента. Обратимому элементу ставится в соответствие обратимый же, а необра-

Математика

тимому – необратимый. Это обуславливает интерес изучения U ( RP_m^p ) . Ввиду, как правило меньшей размерности RP_m^p , нежели I_m^p , его изучение может оказаться проще. Из результатов [1] следует

U ( RP m ^p ) ≅ ∏ _i ^g _{= 1} Z_p f _{- 1},                                   (2)

однако сам изоморфизм пока, в общем случае, неизвестен, поскольку нет метода нахождения порождающих этих циклических групп.

Рассмотрим тривиальные случаи. При g = 1 имеем кольцо RP_m ^p , изоморфное (обычному)

кольцу вычетов Z_p , строение которого хорошо известно. Если g = m - 1 , то RP_m^p совпадает со всем кольцом I_m^p .

Для простейшего нетривиального случая g = 2 удалось получить следующие результаты.

Теорема 1. Пусть g = 2 . θ ₁ , θ ₂ – базис RP_m^p вида (1). Тогда таблица умножения базисных элементов имеет вид:

θ1∗θ1 =-(a+1)θ1-aθ2 θ1 ∗ θ2 = θ2 ∗ θ1 = aθ1 + aθ2 , θ2 ∗θ2 = aθ1 - (a +1)θ2 , m+1

-

где a ∈ Z_p

4 m - ¹ I 4

, если m ≡

3(mod 4)

, если m ≡ 1(mod 4)

.

Доказательство. Заметим, что θ ₁ + θ ₂ = ∑ _i ^m ₌ ^- ₁ ¹ ζ ⁱ = - 1 . Также найдется ψ ∈ MAut ( I_m^p ) такое, что ψ ( θ ₁) = θ ₂ и ψ ( θ ₂) = θ ₁.

Пусть θ ₁ ∗ θ ₂ = a θ ₁ + b θ ₂ . Однако θ ₁ ∗ θ ₂ = θ ₂ ∗ θ ₁ = ψ ( θ ₁ ∗ θ ₂) = b θ ₁ + a θ ₂ . Откуда b = a и, следовательно, θ ₁ ∗ θ ₂ = a θ ₁ + a θ ₂ .

В свою очередь    θ ₁ ∗ θ ₁ + θ ₁ ∗ θ ₂ = θ ₁( θ ₁ + θ ₂) = - θ ₁ .   Откуда    θ ₁ ∗ θ ₁ = - θ ₁ - θ ₁ ∗ θ ₂ =

= ( a + 1) θ ₁ - a θ ₂ .

В заключение имеем θ ₂ ∗ θ ₂ = ψ ( θ ₁ ∗ θ ₁) = - a θ ₁ - ( a + 1) θ ₂ .

Теперь найдем значение a , для чего определим сумму коэффициентов разложения θ ₁ ∗ θ ₁ на базисные элементы, из предшествующих соображений равную - (2 a + 1) .

Поскольку θ1 = ∑if=-01ζpi , то f -1 f -1

f - 1       f - 1          f - 1 f - 1

θ 1 ∗ θ 1 = ∑ ζ ^pi ∑ ζ ^pj = ∑∑ ζ

p ⁱ + p ^j

.

i = 0       j = 0

i = 0 j = 0

Отметим, что каждое ζ ^{pi + pj} либо входит в качестве одного из f слагаемых в θ ₁ или θ ₂ (см. формулу (1)), либо в случае pⁱ + p^j ≡ 0(mod m ) дает нам 1 = - ( θ ₁ + θ ₂) .

В первом случае имеем f ² слагаемых вида ζ ^{p + pj} , каждое из которых входит в разложение вида (1) для θ ₁ либо θ ₂ . Поскольку θ ₁ и θ ₂ состоят каждое из f таких слагаемых, то искомая f ²

сумма есть _f = f , откуда находим a .

Второй случай возможен лишь при условии разрешимости уравнения p^x ≡ - 1(mod m ) , что равносильно четности ^m ₂ ^{- 1} и соответственно условию m ≡ 1(mod 4) . Причем для заданного i су-

Шпонько А.В.

ществует единственное значение j , такое что pi + pj ≡ 0(mod m) . Искомая сумма равна f2-f

- 2 f +       = - f - 1 , откуда выражаем a . Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть g = 2 . Тогда любой элемент x ∈ RP_m^p представим в виде x = α ₁ θ ₁ + α ₂ θ ₂ , где α ₁, α ₂ ∈ Z_p .

x∉U(RPmp) ⇔α2 =cα1 , где c ∈ Zp – один из корней уравнения

2 m - 1

c + c =      , если m ≡ 3(mod 4), m +1

m - 3

c + c 1 = 2-----, если m = 1(mod4), m +1

обязанного в этом случае иметь два различных корня.

Доказательство.

Для c ∈ Z_p справедливо ( θ ₁ + c θ ₂)( θ ₁ + c ^{- 1} θ ₂) = θ ₁ θ ₁ + ( c + c ^{- 1}) θ ₁ θ ₂ + θ ₂ θ ₂ = 2 a + 1 - ( c + c ^{- 1}) a , где a – из теоремы 1.

Значит θ ₁ + c θ ₂ ∈ U ( RP_m^p ) тогда, и только тогда, когда 2 a + 1 - ( c + c ^{- 1}) a ≠ 0 , что дает нам утверждение теоремы для элементов данного вида. Элементы вида d θ ₁ + k θ ₂ , где k ≠ 0 ∧ d ≠ 0 , можно свести к рассмотренному случаю домножением на d ^{- 1} , что никак не влияет на обратимость.

Обратимость остальных ненулевых элементов RP_m^p легко получить из теоремы 1. Из (2) следует наличие RP_m^p ровно 2 p - 1 необратимых элемента, откуда получаем необходимость существования корней у уравнения 2 a + 1 - ( c + c ^{- 1}) a = 0 . Теорема доказана.

Таким образом, довольно подробно исследован случай, когда размерность g = 2 . В настоящее время исследуются случаи большего значения g . Однако в силу того, что будут возникать уравнения более высоких степеней весьма проблематично найти такие же подробные описания колец RP_m^p для больших значений размерности g .

Теперь рассмотрим в качестве иллюстрации подкольца элементов устойчивых к p -автоморфизмам кольца вычетов 13 -кругового поля по модулю p = 41 . Заметим, что 41 ≡ 2(mod13) , а 2 – есть первообразный корень по модулю 13 . Соответственно g = 1 дает нам RP ₁ ⁴ ₃ ¹ ≅ Z ₄₁ и PAut ( I ₁⁴₃¹) = MAut ( I ₁⁴₃¹).

Перейдем к подгруппе 〈 ϕ ₄₁ 2 〉 = 〈 ϕ ₄ 〉 ⊂ PAut ( I_m^p ) . Имеем | ϕ ₄ : PAut ( I_m^p ) | = 2 , а, значит, соответствующие подкольцо R ( 〈 ϕ ₄ 〉 ) по сложению будет линейным пространством размерности 2 над Z ₄₁ . Его базисными элементами являются θ ₁ = ζ ₁₃ + ζ ₁₃ + ζ ₁₃ + ζ ₁₃ + ζ ₁₃ + ζ ₁₃ и 2      8      6      11      5      7

θ ₂ = ζ ₁₃ + ζ ₁₃ + ζ ₁₃ + ζ ₁₃ + ζ ₁₃ + ζ ₁₃ .

Единственным подкольцом размерности 3 , которое можно получить при помощи приведенных выше методов, будет R ( 〈 ϕ ₈ 〉 ) = 〈 x ∈ I ₁⁴₃¹ | x ⁸ = x 〉 . Его базисными элементами вида (1) будут θ ₁ = ζ ₁ ⁸ ₃ + ζ ₁ ¹ ₃ ² + ζ ₁ ⁵ ₃ + ζ ₁₃, θ ₂ = ζ ₁ ² ₃ + ζ ₁ ³ ₃ + ζ ₁ ¹ ₃ ¹ + ζ ₁¹₃⁰ и θ ₃ = ζ ₁ ⁴ ₃ + ζ ₁ ⁶ ₃ + ζ ₁ ⁹ ₃ + ζ ₁⁷₃. Попарно их перемножая, построим таблицу умножения:

θ ₁ ∗ θ ₁ =- 4 θ ₁ - 3 θ ₂ - 2 θ ₃,

θ ₁ ∗ θ ₂ = θ ₁ + 2 θ ₂ + θ ₃,

θ ₁ ∗ θ ₃ = 2 θ ₁ + θ ₂ + θ ₃, θ ₂ ∗ θ ₂ =- 2 θ ₁ - 4 θ ₂ - 3 θ ₃, θ ₂ ∗ θ ₃ = θ ₁ + θ ₂ + 2 θ ₃,

Математика

θ3 ∗θ3 =-3θ1-2θ2-4θ3, откуда видно наличие автоморфизмов подкольца ψ1 :θ1 →θ2 →θ3 →θ1 и ψ2 :θ1 →θ3 →θ2 →θ1 .

Нерассмотренными остались еще два собственных подкольца R ( 〈 ϕ ₄₁ 4 〉 ) = R ( 〈 ϕ ₃ 〉 ) и R ( 〈 ϕ ₄₁ 6 〉 ) = R ( 〈 ϕ ₁₂ 〉 ) размерностей 4 и 6 соответственно. Найденные подкольца образуют следующую структуру вложенности:

RP 1 ⁴ 3 ¹ ⊂ R ( 〈 ϕ 4 〉 ) ⊂ R ( 〈 ϕ 3 〉 ) ⊂ I 1 ⁴ 3 ¹,

RP 1 ⁴ 3 ¹ ⊂ R ( 〈 ϕ 4 〉 ) ⊂ R ( 〈 ϕ 12 〉 ) ⊂ I 1 ⁴ 3 ¹,

RP1431 ⊂R(〈ϕ8〉) ⊂R(〈ϕ12〉) ⊂I1431, что находится в полном соответствии с вложенностью соответствующих подгрупп PAut(I1431) .