Банаховы пределы, банахова мера и свойства пространств интегрируемых функций
Автор: Дженжер Е.А., Сакбаев В.Ж.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.28, 2026 года.
Бесплатный доступ
Изучаются инвариантные относительно сдвига неотрицательные аддитивные функции множества на вещественной прямой, отличающиеся от меры Хаара отсутствием либо свойства счетной аддитивности, либо свойства -конечности. Определяемые банаховыми пределами банаховы меры на прямой конечно-аддитивны, неотрицательны и нормированы на единицу на всей прямой. Принимающая целые неотрицательные значения и значение +∞ считающая мера трансляционно инвариантна и счетно-аддитивна, но не является -конечной. Введены пространства Лебега Lp интегрируемых по трансляционно инвариантным мерам функций. Установлено отсутствие свойства сильной непрерывности унитарного представления группы сдвигов в гильбертовых пространствах квадратично интегрируемых по банаховой мере функций. Найдено инвариантное относительно сдвигов подпространство, сужение на которое унитарной группы сдвигов непрерывно в сильной операторной топологии. Установлено, что преобразование Фурье унитарно отображает подпространство сильной непрерывности на пространство функций, квадратично интегрируемых по считающей мере, но ортогональное дополнение подпространства непрерывности лежит в ядре преобразования Фурье.
Инвариантная мера, банахов предел, банахова мера, пространства Лебега, преобразование Фурье
Короткий адрес: https://sciup.org/143185855
IDR: 143185855 | УДК: 517.518.12 | DOI: 10.46698/p4223-2689-0800-t
Banach Limits, Banach Measure, and Properties of Spaces of Integrable Functions
We study shift-invariant nonnegative additive set functions on the real line that differ from the Haar measure by the absence of either the property of countable additivity or the property of -finiteness. The Banach measures on the real line defined by Banach limits are finitely additive, nonnegative, and normalized to unity on the entire line. A counting measure taking nonnegative integer values and the value +∞ is translation-invariant and countably additive, but is not -finite. Lebesgue spaces Lp of functions integrable with respect to translation-invariant measures are introduced. The absence of the strong continuity property of the unitary representation of the shift group in Hilbert spaces of functions square-integrable with respect to the Banach measure is established. A shift-invariant subspace is found, the restriction of the unitary shift group to which is continuous in strong operator theory. It is established that the Fourier transform unitarily maps the subspace of strong continuity onto the space of functions that are square-integrable with respect to the counting measure, but the orthogonal complement of the subspace of continuity lies in the kernel of the Fourier transform.
