Базисность системы Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем

Пусть p(x) — изморымая на E функция. такая что 1 6 p(E) 6 p(E) < то. Здесь и далее символами p(M). p(M) будем обозначать ess infxGm p(x) ii esssupxGM p(x) соответственно. Пусть w(x) — неотрицательная почти всюду (п. в.) положительная суммируемая функция (вес). Через Lp(x) = Lp(x)(E) обозначим пространство измеримых функций f (x), удовлетворяющих условию j If (x)|p(x) w(x) dx < то.

E

Пространство LWx представляет собой линейное нормированное пространство, в котором одну из эквивалентных норм можно определить следующим равенством [1-3]:

kf ||p₀,_w(E)=inf А> 0: У

E

^{f (x)} λ

p(x)

w(x) dx 6 1

Отметим некоторые свойства, связанные с этими пространствами, которые понадобятся нам в дальнейшем.

• 1°. kfIU),w = ||fW^Vp0|U)-

• 2°. Для любых измеримых множеств A С B

kf llp(• ),w(A) 6 kfII©),w(B), так как f       f (x)      p(x)                 f       f (x)      p(x)

J kfkp_H,w(B)    ^{w(x) dx 6} / WPTW(B)    ^{w(x) dx} =¹

AB

3°. Почти дословно повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве леммы в [4], можно показать, f е LW(x)(E)

что если 1 6 p(x) 6 q(x) 6 q(E) < то, то для любой функции kf Ilp0,w 6 rWqkf llq(-),w, где

^w r p,q

1 --+ α

JE w(x) dx a*

f a(x) = q^ , a*(x) = p(x)

a(x) a(x) — 1

4°. Если p(x) > 1. x G M (нс исключая ii случай, когда. p(M ) = 1). то справедливо неравенство типа. Гёльдера для пространств Лебега, с переменным показателем [1, неравенство (8)]:

J If (x)||g(x)| dx 6 C(p,M ) • kf kp(C)(M ) • kgkpo()(M ), M

W pl) + РД) = 1- C (p,M ) 6 P(M + p(M - ⁴<^ЧР^СЗ C,C(a),C (a, в ), • • • здесь ii далее будут обозначаться положительные числа, зависящие лишь от указанных параметров, различные в разных местах.

Вопросы базисности классических ортогональных систем в пространствах Лебега, с переменным показателем исследовались в статьях [4-8]. Отметим, что наиболее важные результаты в этих пространствах в безвесовом случае связаны с условием Дини — Липшица.

|p(x) — P(y) I ln । ¹ । 6 C, (1)

|x-y| обнаруженным впервые в работах [4, 9]. В частности, в статье [4] было показано, что система Хаара образует базис в пространстве Лебега Lp(x)([0,1]) с переменным показателем p(x) тогда и только тогда, когда p(x) удовлетворяет условию (1). Аналогичный результат для двумерного случая был доказан в статье [8]. В упомянутых работах ба-зисность системы Хаара. рассматривалась относительно безвесовых пространств Лебега, с переменным показателем. В данной работе исследуется этот вопрос для пространств Лебега LW(x) с весом w(x), подчиняющимся определенным условиям (см. (12), (13)), одно из которых напоминает известное условие Макенхоупта. [3, 10, 11]

sup

B eB

|BBi / ^w(^x) B

dx

iB Ht

B

p _B-1 _dt

)

p B

< ∞ ,

где B — вссвозможиьic интервалы, а. рв = jbi Jb р ( Х dx) — среднее гармоническое p над B. Причина появления второго условия (см. (12)) связана с тем, что в нашем случае переменный показатель может также принимать и значения, равные 1.

• 2.    Система Хаара в LW^(x)

Функции Хаара {xk(x)}k=1 определяются на отрезке [0,1] следующим образом [12]:

Х1(х) = 1,

f0,

Xk (x) =   2^j/2,

—2j/2,

x / A k , x G ^A+ x G ^A-

где k = 2j + i, j = 0,1,.... i = 1,..., 2^j. a Ak — что двоичны! 1 интервал вида Ak = Aj = (ij, j), Ak — замыканиe интервала Ak, a A+, A- — соответственно правая и левая половины интервала Ak. Интервалы {Aj}²= 1 называются интервалами j-й пачки.

Ясно, что Xk € Lux = Lw^(x)([0,1]) для всякого сугшируемого веса w(x). Каждой функции f € LWx мы хотим поставить в соответствие ряд Фурье — Хаара:

∞ f ∼    ck χk ,

k=0

где Ck = Jq f (x)Xk(x) dx- Однако не при всяком весе w(x) для фл tikhiiii f € LpWx можно построить ряд Фурье. Поэтому на вес w(x) требуется наложить дополнительные условия, при которых станет возможным вычисление коэффициентов, т. е.

Уf(x)_xk(x)dx<«, ^k = 0,i,...

При k = 0 получаем требование

j f (x) dx <  to . о

Другими словами, вес w(x) должен быть таким, чтобы имело место вложение LWx С L¹.

Очевидно, что в этом случае будут выполнены неравенства в (4) и при k >  0.

Найдем условия на w(x), достаточные для f € L1 ([0,1]). Для этого разобьем отрезок E = [0,1] на миожества Ei = {x | p(x) = 1}. E2 = E \ Ei- Тогда jf(x)dx

E

= j f (x) dx + j f (x) dx. E1           E2

На вопрос о существовании первого интеграла отвечает следующая лемма.

Лемма. Функция f € LW⁽x^X(E) будет cvmmi труемой па E1 в том п только в том случае, если вес отграничен от нуля почти всюду на E1:

w(x) >  C1 (w) > 0 для по^т 1тп всех x € Ei.

C Достаточность сразу следует из соотношений j If (x)| dx 6

E1

1 Ci(w)

j |f (x)|w(x) dx =

E1

1 Ci(w)

Ci^ j^{I f ( x )} V^{) ( x} x ^{w ( x ) dx}

E1

j If (x)|^p(x^Xw(x) dx <  to .

E

Необходимость. Пусть

Mn = x €

Ei : П+Д 6 w(x)  0 для любого п. Рассмотрим функцию

, x G Mn, nµn га

1, x G D = E \ U Mn- n=1

Покажем, что f G LW(x)(E), но в то же время f / L1(E1). Имеем j If (x)|p(x) w(x) dx

E

w(x)

D

dx +

га

X/ n = 1Mn

----w(x) dx. nµ n

Интеграл справа в равенстве выше в силу суммируемости функции w(x) конечен. Рассмотрим сумму г 1 га г 1 1 га 1

/    ---w(x) dx <2--dx = / —z < то.

У np n            1 nn n        n ²

n=1 _Mn                n=1 _Mn             n=1

Таким образом, f G LW^(x)(E). С другой стороны, из соотношений

/ га ~  1         га 1

|f (x)| dx >  ^2   --- dx >  ^2 — dx = то

E1           n=1Mn n^n     n=1 n выводим, что f / Li(Ei). B

Легко показать, что при выполнении условия (6) будет справедливо следующее неравенство:

I If (x)| dx 6 C(w)kf ||p0,w(E).(7)

E1

Действительно, достаточно воспользоваться свойством 2°:

/ If(x)| dx 6 Дм [ If MHx) dx = тДkf k p( - ),w (E 1 ) 6 ТтДkf k p( - ),w (E)-

C1(w)                      Ci (w)C

E1

Перейдем теперь к рассмотрению второго интеграла из (5):

|f (x)| dx е2

= ^[w(x)] ^p(x) |f(x)|[w(x)] ^p(x) dx.

E 2

Применяя последовательно 4°, 1° и 2°, получим

I ^[w(x)]тел^{|f (x)|[w(x)]-}тел ^{dx 6} C ⁽p) • ||w71⁷)^f_pi^ ;E₂I w TtT ||_p0_i _ ; E 2 )

E 2

= C (p) • kf \U),w (E 2 )|w-pb || p 0 ( ^ ) (E2 ) 6 C (p) • kf \\p_Bw(E )|w"ТЛ | p 0 ( ^ ) (E 2 ).

Из (8) и (9) приходим к неравенству:

j |f (x)|dx 6 C (p) -kf k p_H,w (E) • |w" po | p0_H (E₂).                 1101

E 2

Из полученного неравенства видно, что для суммируемости f Е lWx"4E) нa E2 достаточно, чтобы llw-U') (E) < ^

Таким образом, получаем два условия на вес, которые обеспечивают существование рядов Фурье — Хаара в пространстве tiW^xx(E ):

1) w(x) > Ci(w) > 0. x Е Ei (п. в.).

2>llw-* U)(E>< ~-      _                               _     _

Множество весовых функций w(x), удовлетворяющих условиям 1) и 2), будем обо-зиачать через H(E,p).

Отметим, что при выполнении условий 1) и 2) из (7) и (10) имеем

У ^{|f (x)|} dx 6 C⁽p^,w) •kf ||p(•),_w.                                (11)

E

• 3.    Основной результат

В предыдущем пункте было показано, что при условиях 1), 2) каждому элементу f Е Lp(^x\E ) можно поставить в соответствие ряд Фурье (3). Возникает вопрос о том, в каких случаях указанный ряд будет сходиться к самой функции f. Ответ на это дает приведенная в этом пункте теорема.

Введем некоторые обозначения. Через B_v обозначим множество всех двоичных интервалов из пачек с номерами j >  v, а через BV^,p — такие двоичные интервалы Ak Е B_v, что p(Ak) = 1:

B v = {A j : j >  v,i = 1,..., 2^j},   B V ^,p = {A k Е B v : p(Ak ) = 1}.

Множество измеримых на E функций p(x) > 1, удовлетворяющих условию (1), будем обозначать символом P ^log(E).

Теорема. Пусть p(x) Е P^log(E). w(x) Е H(E,p). Тогда система Хаара будет базисом пространства LWx (E) если для некоторого v >  0 выполняются следующие условия:

sup bcbV’^p

i B / w^(x)

B

dx < C(w),

sup

BeB„ \bV^,p

IB J w(x) dx I

B

|B| у w(x) p(B) 1

B

x p(B) - 1

< C(p,w).

• <1 Покажем, что для любой функции f Е LW^(x)(E) последовательность частичных сумм

n

Sn(f )(x) = ^Ck Xk (x), Ck = k=0

У f (x) Xk (x) dx 0

сходится к <|>упкп1ш f в метрике пространства LWxx(E).  Для этого, как извест но [13, с. 215], достаточно показать выполнение следующих условий:

• а)    линейные операторы Sn(f ) равномерно ограничены на единичном шаре kf Hppyw 61 пространства Lpfx (E) т. с.

sup sup ^kS n (f I pe,w < то; (14) n k f \U),w 6 1

• b)    последовательность линейных операторов Sn(f ) сходится к тождественному оператору I(f ) для любой функции f G D, где D — некоторое множество, всюду плотное В LW^(x)(E).

Условие Ь) следует из утверждения 1 книги [12, с. 71] и того факта, что множество D, состоящее из кусочно-гладких функций, постоянных на интервалах с двоичнорациональными концами, всюду плотно в LW(x)(E).

Покажем равномерную ограниченность. Пусть f G L^PW^xx(E ) и

kf llp^.W 6 1.

Напомним прежде, что для сумм Фурье — Хаара справедлива формула [14, с. 21]

S n (f,x) =

\Ы^{f (t)} dt λ ns

x ∈ λ_ns

где X_ns. s = 1,...,n. — двоичные интервалы постоянства системы функций Хк-к = 1,..., n II

|A n _S| = ( j ^{1,  1 6} s ^{6 2i,}

(T j ,    2i + 1 6 s 6 n.

Формула (16) имеет смысл для любой функции f G Lpfx , поскольку для весов w(x) G H(E,p) как было показано вышс. имеет место вложение Lw С Li Ч<'рез ps обозначим минимум p(x) на замыкании интервала Xns. Тогда, используя (16), получаем

I =

j |S n (f,x)|^p(x)w(x) dx

E

n

= X s=1

λ ns

|S n (f,x)|^p(x)w(x) dx

=tj ^ if (t)dt s—1 \           \ ns         ns

p(x)

w(x) dx

XJ^J

f (t) dt

s—1

λ ns

λ ns

p(x) - p s +p s

w ( x ) dx.

Применяя неравенства (11) и (15), выводим следующее соотношение:

тЛг / ^{f (t) dt}

| λ _ns|

λ ns

p(x) - p s          _{1    p(x)-ps}                   p(x) - p s

| λ _ns| E

• 6 fIT y^(X) p s (C(p,w))^p(x)-ps. | λ ns |

Так как p(x) удовлетворяет условию Дини — Липшица (1), то

₁     p(x) - p s

| λ ns |

| λ ns |

C ln тптг

6 C 1 ,

(C(p,w))^p(x)-ps 6 C 2 (p,w).

Следовательно,

Й1Д / ^{f (t) dt}

| λ ns | λ ns

P(x) — P s

6 C(p,w').

Подставляя найденную оценку в (17), получим

I 6 C(p,w) X / -Ц [ f (t) dt «IAn_S| J

n

s=1

λ ns

λ ns

n

= C (p,w) УУ / w(x) dx • s=1

ns

p s

w ( x ) dx

йЧ / f (t) dt | λ _ns|

λ ns

p s

= C(p, w) ( X + X ) = C(p, w)( S i + S 2 ), s ∈ S    s ∈ S 2

W S = ^{{s :} ps = ^1} S = ^{{s :} Р. >  О-

Воспользовавшись условием (12) и неравенствами (11), (15), приходим к следующей оценке для первой суммы:

S i = УУ / w(x) dx •

S λ ns

| λ ns |

λ

f f (t) dt 6 X Л /w(x) dx • ns

S 1       _λ

ns

λ

ns

| f ( t )| dt

λ ns

(12)       „ f                  f        (ID

6 C^{( w)}^2 J ^{I f (t)|dt 6 C ( w )} J ^{I f (t)|dt 6 C ( w )} • ^{C (}p ^{,w )} • kf iip( - ),w ^S λ ns                    E

6 C 1 ( p, w ) .

Покажем теперь ограниченность второй суммы:

S ₂ =      / w(x) dx •

S 2 ns

| λ ns |

p s

J f (t) dt .

λ ns

Для этого отдельно рассмотрим второй множитель под знаком суммы

в (20). Применяя

неравенство Гёльдера и замечая, что

p s p ⁰ s

= ps — 1. получаем:

Й1Т / ^{f (t) dt} | λ _ns|

p s

λ ns

1 | λ ns |

| λ _ns|

(У w(t)f (t)| p ^s dt λ ns

■ j [w(t)]ps f(t)[w(t)] λns x 1 z                            ,

λ ns

^ps dt

p s

p s

= У w(t)f (t)| p ^s dt • λ ns

| λ ns |^ps

ps 0

= /^{w (t)}f^(tr d p

λ _ns

| λ ns | λ

λ ns

• (/ w(t)

λ _ns

p s ps - d_t

- 1

[ w(t)If (t)Vp= dt V ТгЦ [ w(t)

|λns | ns                              λns

ps - dt ^s

- 1

.

Учитывая полученное соотношение и условие (13), из (20) имеем:

ps - dt) ' ¹

S 2 6 X [ w(t)|f (t)\p s dt V—Ц- [ w(x) dx) V—Ц- / |λ ns |                          |λ ns |

S 2

λ ns                             λ ns                        λ ns

6 C(p,w) X [ w(t)lf(t)|^p s dt-

S 2 λ ns

Введем функцию h(t) = ps. t E Xns. Тогда, так как h(t) 6 p(t). в силу свойства 3° ii условия (15)

S 2 6

C(p,w) X / w(t)|f(t)|^h(t)

S 2

ns

dt 6 C (p, w)

j w(t)|f(t)|^h(t)

E

dt

yi-fl|h(t)         ^{f (t)}

= C mJ ^{w ( t )}kf W f^  dt

E

• 6 C (p,w) I wYMA^'M Ц^ ’ w fl-   dt

J                                         ’ Ilf llh( - ),W

E

6 C (p,w)(r Wp PE I w(t) f-   dt = CМУ^ .

J              Ilf llh( - ),w

Из (18), (19) и (21) следует равномерная ограниченность частичных сумм Фурье — Хаара на единичном шаре. B

Автор искренне благодарит И. И. Шарапудииова за. плодотворные беседы, результатом которых явилась настоящая работа.