Базисность системы Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем
Автор: Магомед-Касумов Магомедрасул Грозбекович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.16, 2014 года.
Бесплатный доступ
Найдены достаточные условия, при которых система Хаара образует базис в весовых пространствах Лебега с переменным показателем.
Пространства лебега с переменным показателем, весовые пространства, система хаара базисность, условие макенхоупта, условие дини - липшица
Короткий адрес: https://sciup.org/14318468
IDR: 14318468
Текст научной статьи Базисность системы Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем
Пусть p(x) — изморымая на E функция. такая что 1 6 p(E) 6 p(E) < то. Здесь и далее символами p(M). p(M) будем обозначать ess infxGm p(x) ii esssupxGM p(x) соответственно. Пусть w(x) — неотрицательная почти всюду (п. в.) положительная суммируемая функция (вес). Через Lp(x) = Lp(x)(E) обозначим пространство измеримых функций f (x), удовлетворяющих условию j If (x)|p(x) w(x) dx < то.
E
Пространство LWx представляет собой линейное нормированное пространство, в котором одну из эквивалентных норм можно определить следующим равенством [1-3]:
kf ||p0,w(E)=inf А> 0: У
E
f (x) λ
p(x)
w(x) dx 6 1
Отметим некоторые свойства, связанные с этими пространствами, которые понадобятся нам в дальнейшем.
-
1°. kfIU),w = ||fWVp0|U)-
-
2°. Для любых измеримых множеств A С B
kf llp(• ),w(A) 6 kfII©),w(B), так как f f (x) p(x) f f (x) p(x)
J kfkpH,w(B) w(x) dx 6 / WPTW(B) w(x) dx =1
AB
3°. Почти дословно повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве леммы в [4], можно показать, f е LW(x)(E)
что если 1 6 p(x) 6 q(x) 6 q(E) < то, то для любой функции kf Ilp0,w 6 rWqkf llq(-),w, где
w r p,q
1 --+ α
JE w(x) dx a*
f a(x) = q^ , a*(x) = p(x)
a(x) a(x) — 1
4°. Если p(x) > 1. x G M (нс исключая ii случай, когда. p(M ) = 1). то справедливо неравенство типа. Гёльдера для пространств Лебега, с переменным показателем [1, неравенство (8)]:
J If (x)||g(x)| dx 6 C(p,M ) • kf kp(C)(M ) • kgkpo()(M ), M
W pl) + РД) = 1- C (p,M ) 6 P(M + p(M - 4<ЧРСЗ C,C(a),C (a, в ), • • • здесь ii далее будут обозначаться положительные числа, зависящие лишь от указанных параметров, различные в разных местах.
Вопросы базисности классических ортогональных систем в пространствах Лебега, с переменным показателем исследовались в статьях [4-8]. Отметим, что наиболее важные результаты в этих пространствах в безвесовом случае связаны с условием Дини — Липшица.
|p(x) — P(y) I ln । 1 । 6 C, (1)
|x-y| обнаруженным впервые в работах [4, 9]. В частности, в статье [4] было показано, что система Хаара образует базис в пространстве Лебега Lp(x)([0,1]) с переменным показателем p(x) тогда и только тогда, когда p(x) удовлетворяет условию (1). Аналогичный результат для двумерного случая был доказан в статье [8]. В упомянутых работах ба-зисность системы Хаара. рассматривалась относительно безвесовых пространств Лебега, с переменным показателем. В данной работе исследуется этот вопрос для пространств Лебега LW(x) с весом w(x), подчиняющимся определенным условиям (см. (12), (13)), одно из которых напоминает известное условие Макенхоупта. [3, 10, 11]
sup
B eB
|BBi / w(x) B
dx
iB Ht
B
p B-1 dt
)
p B
< ∞ ,
где B — вссвозможиьic интервалы, а. рв = jbi Jb р ( Х dx) — среднее гармоническое p над B. Причина появления второго условия (см. (12)) связана с тем, что в нашем случае переменный показатель может также принимать и значения, равные 1.
-
2. Система Хаара в LW(x)
Функции Хаара {xk(x)}k=1 определяются на отрезке [0,1] следующим образом [12]:
Х1(х) = 1,
f0,
Xk (x) = 2j/2,
—2j/2,
x / A k , x G A+ x G A-
где k = 2j + i, j = 0,1,.... i = 1,..., 2j. a Ak — что двоичны! 1 интервал вида Ak = Aj = (ij, j), Ak — замыканиe интервала Ak, a A+, A- — соответственно правая и левая половины интервала Ak. Интервалы {Aj}2= 1 называются интервалами j-й пачки.
Ясно, что Xk € Lux = Lw(x)([0,1]) для всякого сугшируемого веса w(x). Каждой функции f € LWx мы хотим поставить в соответствие ряд Фурье — Хаара:
∞ f ∼ ck χk ,
k=0
где Ck = Jq f (x)Xk(x) dx- Однако не при всяком весе w(x) для фл tikhiiii f € LpWx можно построить ряд Фурье. Поэтому на вес w(x) требуется наложить дополнительные условия, при которых станет возможным вычисление коэффициентов, т. е.
Уf(x)xk(x)dx<«, k = 0,i,...
При k = 0 получаем требование
j f (x) dx < to . о
Другими словами, вес w(x) должен быть таким, чтобы имело место вложение LWx С L1.
Очевидно, что в этом случае будут выполнены неравенства в (4) и при k > 0.
Найдем условия на w(x), достаточные для f € L1 ([0,1]). Для этого разобьем отрезок E = [0,1] на миожества Ei = {x | p(x) = 1}. E2 = E \ Ei- Тогда jf(x)dx
E
= j f (x) dx + j f (x) dx. E1 E2
На вопрос о существовании первого интеграла отвечает следующая лемма.
Лемма. Функция f € LW(xX(E) будет cvmmi труемой па E1 в том п только в том случае, если вес отграничен от нуля почти всюду на E1:
w(x) > C1 (w) > 0 для пот 1тп всех x € Ei.
C Достаточность сразу следует из соотношений j If (x)| dx 6
E1
1 Ci(w)
j |f (x)|w(x) dx =
E1
1 Ci(w)
Ci^ jI f ( x ) V) ( x x w ( x ) dx
E1
j If (x)|p(xXw(x) dx < to .
E
Необходимость. Пусть
Mn = x €
Ei : П+Д 6 w(x)
, x G Mn, nµn га
1, x G D = E \ U Mn- n=1
Покажем, что f G LW(x)(E), но в то же время f / L1(E1). Имеем j If (x)|p(x) w(x) dx
E
w(x)
D
dx +
га
X/ n = 1Mn
----w(x) dx. nµ n
Интеграл справа в равенстве выше в силу суммируемости функции w(x) конечен. Рассмотрим сумму г 1 га г 1 1 га 1
/ ---w(x) dx <2--dx = / —z < то.
У np n 1 nn n n 2
n=1 Mn n=1 Mn n=1
Таким образом, f G LW(x)(E). С другой стороны, из соотношений
/ га ~ 1 га 1
|f (x)| dx > ^2 --- dx > ^2 — dx = то
E1 n=1Mn n^n n=1 n выводим, что f / Li(Ei). B
Легко показать, что при выполнении условия (6) будет справедливо следующее неравенство:
I If (x)| dx 6 C(w)kf ||p0,w(E).(7)
E1
Действительно, достаточно воспользоваться свойством 2°:
/ If(x)| dx 6 Дм [ If MHx) dx = тДkf k p( - ),w (E 1 ) 6 ТтДkf k p( - ),w (E)-
C1(w) Ci (w)C
E1
Перейдем теперь к рассмотрению второго интеграла из (5):
|f (x)| dx е2
= ^[w(x)] p(x) |f(x)|[w(x)] p(x) dx.
E 2
Применяя последовательно 4°, 1° и 2°, получим
I [w(x)]тел|f (x)|[w(x)]-тел dx 6 C (p) • ||w717)fpi^ ;E2I w TtT ||p0i _ ; E 2 )
E 2
= C (p) • kf \U),w (E 2 )|w-pb || p 0 ( ^ ) (E2 ) 6 C (p) • kf \\pBw(E )|w"ТЛ | p 0 ( ^ ) (E 2 ).
Из (8) и (9) приходим к неравенству:
j |f (x)|dx 6 C (p) -kf k pH,w (E) • |w" po | p0H (E2). 1101
E 2
Из полученного неравенства видно, что для суммируемости f Е lWx"4E) нa E2 достаточно, чтобы llw-U') (E) < ^
Таким образом, получаем два условия на вес, которые обеспечивают существование рядов Фурье — Хаара в пространстве tiWxx(E ):
1) w(x) > Ci(w) > 0. x Е Ei (п. в.).
2>llw-* U)(E>< ~- _ _ _
Множество весовых функций w(x), удовлетворяющих условиям 1) и 2), будем обо-зиачать через H(E,p).
Отметим, что при выполнении условий 1) и 2) из (7) и (10) имеем
У |f (x)| dx 6 C(p,w) •kf ||p(•),w. (11)
E
-
3. Основной результат
В предыдущем пункте было показано, что при условиях 1), 2) каждому элементу f Е Lp(x\E ) можно поставить в соответствие ряд Фурье (3). Возникает вопрос о том, в каких случаях указанный ряд будет сходиться к самой функции f. Ответ на это дает приведенная в этом пункте теорема.
Введем некоторые обозначения. Через Bv обозначим множество всех двоичных интервалов из пачек с номерами j > v, а через BV,p — такие двоичные интервалы Ak Е Bv, что p(Ak) = 1:
B v = {A j : j > v,i = 1,..., 2j}, B V ,p = {A k Е B v : p(Ak ) = 1}.
Множество измеримых на E функций p(x) > 1, удовлетворяющих условию (1), будем обозначать символом P log(E).
Теорема. Пусть p(x) Е Plog(E). w(x) Е H(E,p). Тогда система Хаара будет базисом пространства LWx (E) если для некоторого v > 0 выполняются следующие условия:
sup bcbV’p
i B / w(x)
B
dx < C(w),
sup
BeB„ \bV,p
IB J w(x) dx I
B
|B| у w(x) p(B) 1
B
x p(B) - 1
< C(p,w).
-
<1 Покажем, что для любой функции f Е LW(x)(E) последовательность частичных сумм
n
Sn(f )(x) = ^Ck Xk (x), Ck = k=0
У f (x) Xk (x) dx 0
сходится к <|>упкп1ш f в метрике пространства LWxx(E). Для этого, как извест но [13, с. 215], достаточно показать выполнение следующих условий:
-
а) линейные операторы Sn(f ) равномерно ограничены на единичном шаре kf Hppyw 61 пространства Lpfx (E) т. с.
sup sup kS n (f I pe,w < то; (14) n k f \U),w 6 1
-
b) последовательность линейных операторов Sn(f ) сходится к тождественному оператору I(f ) для любой функции f G D, где D — некоторое множество, всюду плотное В LW(x)(E).
Условие Ь) следует из утверждения 1 книги [12, с. 71] и того факта, что множество D, состоящее из кусочно-гладких функций, постоянных на интервалах с двоичнорациональными концами, всюду плотно в LW(x)(E).
Покажем равномерную ограниченность. Пусть f G LPWxx(E ) и
kf llp^.W 6 1.
Напомним прежде, что для сумм Фурье — Хаара справедлива формула [14, с. 21]
S n (f,x) =
\Ыf (t) dt λ ns
x ∈ λns
где Xns. s = 1,...,n. — двоичные интервалы постоянства системы функций Хк-к = 1,..., n II
|A n S| = ( j 1, 1 6 s 6 2i,
(T j , 2i + 1 6 s 6 n.
Формула (16) имеет смысл для любой функции f G Lpfx , поскольку для весов w(x) G H(E,p) как было показано вышс. имеет место вложение Lw С Li Ч<'рез ps обозначим минимум p(x) на замыкании интервала Xns. Тогда, используя (16), получаем
I =
j |S n (f,x)|p(x)w(x) dx
E
n
= X s=1
λ ns
|S n (f,x)|p(x)w(x) dx
=tj ^ if (t)dt s—1 \ \ ns ns
p(x)
w(x) dx
XJ^J
f (t) dt
s—1
λ ns
λ ns
p(x) - p s +p s
w ( x ) dx.
Применяя неравенства (11) и (15), выводим следующее соотношение:
тЛг / f (t) dt
| λ ns|
λ ns
p(x) - p s 1 p(x)-ps p(x) - p s
| λ ns| E
-
6 fIT y(X) p s (C(p,w))p(x)-ps. | λ ns |
Так как p(x) удовлетворяет условию Дини — Липшица (1), то
1 p(x) - p s
| λ ns |
| λ ns |
C ln тптг
6 C 1 ,
(C(p,w))p(x)-ps 6 C 2 (p,w).
Следовательно,
Й1Д / f (t) dt
| λ ns | λ ns
P(x) — P s
6 C(p,w').
Подставляя найденную оценку в (17), получим
I 6 C(p,w) X / -Ц [ f (t) dt «IAnS| J
n
s=1
λ ns
λ ns
n
= C (p,w) УУ / w(x) dx • s=1
ns
p s
w ( x ) dx
йЧ / f (t) dt | λ ns|
λ ns
p s
= C(p, w) ( X + X ) = C(p, w)( S i + S 2 ), s ∈ S s ∈ S 2
W S = {s : ps = 1} S = {s : Р. > О-
Воспользовавшись условием (12) и неравенствами (11), (15), приходим к следующей оценке для первой суммы:
S i = УУ / w(x) dx •
S λ ns
| λ ns |
λ
f f (t) dt 6 X Л /w(x) dx • ns
S 1 λ
ns
λ
ns
| f ( t )| dt
λ ns
(12) „ f f (ID
6 C( w)^2 J I f (t)|dt 6 C ( w ) J I f (t)|dt 6 C ( w ) • C (p ,w ) • kf iip( - ),w S λ ns E
6 C 1 ( p, w ) .
Покажем теперь ограниченность второй суммы:
S 2 = / w(x) dx •
S 2 ns
| λ ns |
p s
J f (t) dt .
λ ns
Для этого отдельно рассмотрим второй множитель под знаком суммы
в (20). Применяя
неравенство Гёльдера и замечая, что
p s p 0 s
= ps — 1. получаем:
Й1Т / f (t) dt | λ ns|
p s
λ ns
1 | λ ns |
| λ ns|
(У w(t)f (t)| p s dt λ ns
■ j [w(t)]ps f(t)[w(t)] λns x 1 z ,
λ ns
ps dt
p s
p s
= У w(t)f (t)| p s dt • λ ns
| λ ns |ps
ps 0
= /w (t)f(tr d p
λ ns
| λ ns | λ
λ ns
• (/ w(t)
λ ns
p s ps - dt
- 1
[ w(t)If (t)Vp= dt V ТгЦ [ w(t)
|λns | ns λns
ps - dt s
- 1
.
Учитывая полученное соотношение и условие (13), из (20) имеем:
ps - dt) ' 1
S 2 6 X [ w(t)|f (t)\p s dt V—Ц- [ w(x) dx) V—Ц- / |λ ns | |λ ns |
S 2
λ ns λ ns λ ns
6 C(p,w) X [ w(t)lf(t)|p s dt-
S 2 λ ns
Введем функцию h(t) = ps. t E Xns. Тогда, так как h(t) 6 p(t). в силу свойства 3° ii условия (15)
S 2 6
C(p,w) X / w(t)|f(t)|h(t)
S 2
ns
dt 6 C (p, w)
j w(t)|f(t)|h(t)
E
dt
yi-fl|h(t) f (t)
= C mJ w ( t )kf W f^ dt
E
-
6 C (p,w) I wYMA^'M Ц^ ’ w fl- dt
J ’ Ilf llh( - ),W
E
6 C (p,w)(r Wp PE I w(t) f- dt = CМУ^ .
J Ilf llh( - ),w
Из (18), (19) и (21) следует равномерная ограниченность частичных сумм Фурье — Хаара на единичном шаре. B
Автор искренне благодарит И. И. Шарапудииова за. плодотворные беседы, результатом которых явилась настоящая работа.
Список литературы Базисность системы Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем
- Шарапудинов И. И. О топологии пространства $L^{p(t)([0,1])$//Мат. заметки.-1979.-Т. 26, № 4.-С. 613-632.
- Шарапудинов И. И. Некоторые вопросы теории приближений в пространствах Лебега с переменным показателем.-Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2012.-267 с.
- Diening L., Harjulehto P., Hasto P., Ruzicka M. Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents.-Berlin: Springer, 2011.-509 p.
- Шарапудинов И. И. О базисности системы Хаара в пространстве $L^p(t)([0,1])$ и принципе локализации в среднем//Мат. сб.-1986.-Т. 130(172), № 2(6).-С. 275-283.
- Шарапудинов И. И. Некоторые вопросы теории приближений в пространствах $L^p(x)$//Anal. Math.-2007.-Vol. 33, № 2.-P. 135-153.
- Izuki M. Wavelets and modular inequalities in variable $L^p$ spaces//Georgian Math. J.-2008.-Vol. 15, № 2.-P. 281-293.
- Izuki M. Wavelets and modular inequalities in variable $L^p$ spaces.-2007.-(Preprint).
- Магомед-Касумов М. Г. Сходимость прямоугольных сумм Фурье -Хаара в пространствах Лебега с переменным показателем $L^p(x,y)$//Изв. Сарат. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика.-2013.-Т. 13, № 1(2).-С. 76-81.
- Шарапудинов И. И. О равномерной ограниченности в $L^p$ $(p=p(x))$ некоторых семейств операторов свертки//Мат. заметки.-1996.-Т. 59, № 2.-С. 291-302.
- Diening L., Hasto P. Muckenhoupt weights in variable exponent spaces.-2008.-(Preprint).
- Cruz-Uribe D., Diening L., Hasto P. The maximal operator on weighted variable Lebesgue spaces//Fract. Calc. Appl. Anal.-2011.-Vol. 14, № 3.-P. 361-374.
- Кашин Б. С., Саакян А. А.Ортогональные ряды.-М.: Изд-во АФЦ, 1999.-560 с.
- Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ.-М.: Наука, 1967.-416 с.
- Соболь И. М. Многомерные квадратные формулы и функции Хаара.-М.: Наука, 1969.-288 с.