Бесконечно малые MG-деформации овалоида
Автор: Жуков Дмитрий Александрович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.15, 2013 года.
Бесплатный доступ
Рассмотрены бесконечно малые деформации замкнутой поверхности положительной гауссовой кривизны, при которых сохраняется поточечно грассманов образ поверхности, а вариация гауссовой кривизны задается как функция на поверхности.
Овалоид, грассманов образ, гауссова кривизна, бесконечно малые деформации, жесткость
Короткий адрес: https://sciup.org/14318420
IDR: 14318420
Текст научной статьи Бесконечно малые MG-деформации овалоида
В этой работе изучается поведение овалоида положительной гауссовой кривизны относительно бесконечно малых деформаций, при которых сохраняется поточечно грассманов образ поверхности, а вариация гауссовой кривизны задается как функция σ на поверхности. Сохранение грассманова образа — известное условие G-деформаций [1]. Задание вариации гауссовой кривизны как известной функции на поверхности напоминает нам о проблеме Минковского [2]. Поэтому такие деформации будем называть бесконечно малыми MG-деформациями.
Будем считать, что овалоид и векторное поле MG-деформации ~y принадлежат классу D 3 ,p , P> 2. 1 ^
Если векторное поле MG-деформации имеет только вид ~y = const, то будем говорить, что овалоид является жестким относительно бесконечно малых MG-деформаций.
В § 1 выводится уравнение бесконечно малой MG-деформации для поверхностей гауссовой кривизны K > k 0 > 0, k 0 = const, в трехмерном евклидовом пространстве. В § 2 проводится исследование решений уравнения бесконечно малых MG-деформаций для овалоида. Основной результат работы сформулирован в виде теоремы, которая доказывается в § 3.
Теорема. Для каждой функции σ существует единственная бесконечно малая MG -деформация овалоида положительной гауссовой кривизны, векторное поле деформаций которой определяется с точностью до постоянного вектора. Овалоид является жестким относительно бесконечно малых MG -деформаций тогда и только тогда, когда вариация гауссовой кривизны тождественно равна нулю (σ ≡ 0) .
1 Используются обозначения книги [3].
§ 1. Бесконечно малые MG-деформации
Рассмотрим поверхность S : ~ = ~(u 1 , u 2 ), (u 1 , u 2 ) E D, D — область.
Определение 1. Непрерывной по параметру t деформацией S t поверхности S называется непрерывное отображение любого промежутка, содержащего нуль, например [0,1], в банахово пространство C n (D) вектор-функций такое, что S o = S, а S t для любого 1 из рассматриваемого промежутка есть регулярная поверхность класса C n (D).
Определение 2. Если вектор-функция ~ t (u 1 , u 2 ), задающая поверхность S t , обладает частными производными порядка k :
∂ l ~r t
"д^Т, l = 1,2, ■ ■", k, каждая из которых есть непрерывное отображение рассматриваемого числового промежутка в Cn(D), то непрерывная деформация St называется деформацией класса Ck по параметру.
Определение 3. Функция
S^u^u 2 ) = dr t , l = 1, 2,..., k,
2l! dr t =0
называется l-й вариацией (по Рембсу ) радиус-вектора ~ = ~(u 1 , u 2 ) поверхности S при деформации S t .
Определение 4. Пусть S t — деформация поверхности S класса C k по параметру, k = 1, 2,..., го . S t называется бесконечно малой MG-деформацией поверхности S, если
6K = ст, 6~ = 0,
где ст — заданная функция на поверхности S , ст E D i ,p , p > 2.
Разложим радиус-вектор поверхности S t по степеням t: ~ t = ~ + 2(t5~ + t 2 52~ + ...), t E [0,1], где ~ = ~(u 1 , u 2 ) — радиус-вектор исходной поверхности. Обозначим 5~ = у — векторное поле деформации.
Наша задача: найти векторное поле у = ~(u 1 , u 2 ). Для этого нам понадобится преобразовать условия (1), таким образом, мы получим уравнение бесконечно малых MG-деформаций.
Будем рассматривать односвязные поверхности гауссовой кривизны K > k о > 0, k o = const.
Рассмотрим условие 6~ = 0:
V [8 1 ~,8 2 ~ ]\ 5[д 1 ~,д 2 ~ ] •| [8 1 ~, 8 2 ~] | - [8 1 ~,8 2 ~ ] • О( | [8 1 ~,8 2 ~ ] | )
ОП = О ,г„ ^ „ = -------------------------------5-------------------- = 0,
V | [д 1 ~, д 2 г ]|/ | [8 1 ~,8 2 ~] |2
где 8 j ~ = дд~ . Это условие выполняется тогда и только тогда, когда числитель равен нулю
5[д 1 Г, д 2 r ] • | [д 1 Г, д 2 r ] | — [d 1 r, д 2 г ] • 5( | [d 1 r, д 2 г ] | ) = 0. (2)
К тому же
О( | [d 1 r, 8 2 т ] | ) = 5 p [d 1 r, d 2 r ] 2 = 2 ([d 1 r, 8 2 т ] 2 ) 2 • 5([d 1 r, 8 2 т ] 2 )
2p[8 1 т, 8 2 т ] 2
• 2[8 1 т, 8 2 т ] • ([5(8 г r ),8 2 т ] + [8 1 т,5(8 2 т )])
| [8 1 т, 8 2 т ] |
([81т, 82т ], [81у, 82т ] + [81т, 82У]), и уравнение (2) принимает вид
([d i y , d 2 ~] + [d i ~, d 2 ~]) • | [d i ~, d 2 ~] | 2 - [d i ~, d 2 ~] • ([d i ~, d 2 ~], [d i ~, d 2 ~] + [d i ~, d 2 ~]) _ 0
| [d i ~, d 2 ~ ] | ‘
Это равенство справедливо тогда и только тогда, когда
([d i ~, d 2 ~] + [d i ~, d 2 ~]) • P i - [d i ~, d 2 ~] • P 2 _ 0,
где P i _ | [d i ~, d 2 ~] | 2 и P 2 _ ([d i ~, d 2 ~], [d i y,d 2 ~ ] + [d i ~, d 2 ~]) — скалярные величины. Умножая равенство (3) скалярно на d i ~, а затем на д 2 ~, находим (d i ~, d 2 ~, d i ~) _ 0 и (d i r, д 2 у, д 2 r) _ 0. Это означает, что векторы d i r, д 2 r, d i y, д 2 у компланарны.
Следовательно, ∂ 1 y, ∂ 2 y можно разложить по векторам ∂ 1 r, ∂ 2 r :
9$ _ a j d k r, j _1,2, (4)
где aj — некоторые скалярные функции от ( u 1 , u 2 ).
Продифференцируем первое равенство системы (4) по u 2 , а второе по u 1
{ d i2 y _ d 2 a i d i r + a l d i2 r + d 2 a 1 d 2 r + a 1 d 22 r, d 2i y _ d i a 2 d i r + a 2 dnr + d i a^r + a 2 d 2i r.
Используем деривационные формулы Гаусса d jk r _ r jk d i r + b jk n, j, к = 1, 2,
Jdi2y _ d2aidir + ai(r12dir + r12d2r + bi2n + d2a1d2r + a1(r22dir + Г22d2r + b22n), (d2iy _ dia2dir + a2(ri1 dir + r11d2r + bnn) + dia^r + a2(r21 dir + Г21 d2r + b2in), где bjk, j,k _ 1, 2, — коэффициенты второй квадратичной формы исходной поверхности. Так как di2y _ d2iy, то, приравняв коэффициенты при dir, d2r и n, получим систему d2ai + airi2 + air22 _ dia2 + a2rii + a2r21,
< д 2 a 2 + a i Г 22 + a 2 Г 22 _ dia 2 + a 2 r 21 + a^ i , (5)
^a^bi2 + a 2 b 22 _ a 2 b ii + a^ i .
Так как гауссова кривизна исходной поверхности S : K > к о > 0, к о _ const, то, вводя на S сопряженно изометрическую систему координат, в которой b 11 _ b 22 _ 0, b i2 _ 0, получим a 2 _ a 2 . Система (5) преобразуется в систему
Г d 2 a i - dia 2 _ ( a 2 - a i )r 2i + a 2 (r ii - г 22 ), (d2a 2 — dia 2 _ (a 2 — a 1 )Г 22 + a 2 (Г 21 — Г 22 ).
Теперь, следуя В. Т. Фоменко [2, с. 87], введем обозначения: U _ 2 (a 2 — a i ), V _ a 2 , П _ 2 (a 2 + a i ). Тогда a i _ П — U , a 2 _ П + U . Уравнения (6) принимают вид
(diU — d 2 V + 2Г 22 и + (r 2 1 — r 22 )v _ — d i n, (d 2 и + diV + 2Г 2 1 и + (r i 1 — r 22 )v _ d 2 n.
Таким образом, условие 6n _ 0 привело нас к системе (7).
Рассмотрим условие 5K = ст.
Пусть g = giig22 — g^, b = biib22 — b2_2 — дискриминанты первой и второй квадратичных форм исходной поверхности соответственно. Тогда K = g и b δb · g - b · δg
51g I = ст, -------g2------- = ст, отсюда следует равенство
5b — K • 5g = дст.
Проварьируем g и b :
5 g = 5 g ii • g 22 + g ii • 5 g 22 - 2g i2 • °g i2 ,
5b = 5b ii • b 22 + b ii • 5b 22 — 2b i2 • 5b i2 .
Вычислим вариации 5g jk и 5b jk , j, k = 1, 2, выражая их через a i , a 2 , a 2 , учитывая, что 5~ = ~, 5~ = 0, имеем
5g ii = 5(di~, di~) = (5(di~ ),di~) + (di~, 5(di~)) = 2(di~, di~) = 2(a^di~ + a 2 d 2 ~, di ~) = 2a^gn + 2a 2 g 2i ,
5g i2 = 5(di~, d 2 ~) = (5(di~), d 2 ~) + (di~, 5(d 2 ~)) = (di~, d 2 ~) + (d 2 ~, di~) = (aidi~ + a 2 d 2 ~, d 2~) + (a 2 di~ + a 2 d 2 ~, di~) = a^g i2 + a 2 g 22 + a 2 g ii + a^ i ,
5g 22 = 5(d 2 ~, d 2 ~) = (5(d 2 ~), d 2 ~) + (d 2 ~, 5(d 2 ~)) = 2(d 2 ~, d 2 ~)
= 2(a 2 di~ + a 2 d 2 ~, d 2 ~) = 2a 2 g i2 + 2a 2 g 22 .
Продифференцируем первое из уравнений (4) по u 1 , а второе — по u 2 :
di i~ = dia^di~ + aidi i~ + dia2 d2~ + a2 d2i~, d22~ = d2a2di~ + a2di2~ + d2a2 d2~ + a2 d22~.
Используя эти равенства, а также формулу d i2 ~ = d 2 a^di~ + a^d i2 ~ + d 2 a 2 d 2 ~ + a 2 d 22 ~, находим
5b ii = (5(di i r ),n) + (di i r,5n) = (di i y, n) = a i (di i r, n) + a 2 (d 2i r, n) = a^bn + a 2 b i2 ,
5b 22 = (5(d 22 r ),n) + (d 22 r, 5n) = (d 22 y, n) = a 2 (d i2 r, n) + a 2 (d 22 r, n) = a 2 b i2 + a 2 b 22 ,
5b i2 = (5(d i2 r ),n) + (d i2 r, 5n) = (d i2 y, n) = a i (d i2 Г, n) + a 2 (d 22 r, n) = a^b i2 + a 2 b 22 .
Учитывая, что b 11 = b 22 = 0, b i2 = 0, получаем 5b 11 = a^b ti , 5b 22 = a2^ i , 5^ 2 = a 2 b 11 .
Подставляя найденные вариации в (9), получаем
5g = 2g 22 (a^gn + a 2 g 2i) + 2gi i (a 2 g i2 + a 2 g 22) — 2g i2 (a^g i2 + a 2 g 22 + a 2 g ii + a 2 g 2i) ,
5b = a b 11 • b 22 + b 11 • a 2 2 b 11 — 2 b 12 • a 2 b 11 = b 1 b 1 a 1 1 + a 2 2 .
Подставляя эти выражения в (8), находим biibii (ai + a2) — 2Kg22 (a^gn + a2g2i) — 2Kgii (a2gi2 + a2g22) + 2Kgi2 (a^gi2 + a2g22 + a2gn + a2g2i) = gCT.
Перегруппировав это выражение, приводим его к виду
(a i + a 2 )(bn b ii - 2Kg) = ga,
отсюда имеем
( a 1 + a 2 ) = - ^.
Сделаем замену П = 2 (a 2 + a i ). Тогда уравнение (10) принимает вид
П =
σ
2к‘
Таким образом, система (1) привела нас к системе
' diU - d 2 V + 2г 22 и + (г 2 1 - г 22 ) v = -d i п ,
* d 2 U + diV + 2г 21 и + (г 11 - г 22 ) v = д 2 П, (12)
.П =
σ
2 K.
Благодаря третьему уравнению системы (12) функция П у нас фактически известна, так как K и a известные и заранее заданные функции, поэтому вместо функции П мы подставим в первые два уравнения системы (12) ее значение - 2 σ K . Получается система двух уравнений с двумя неизвестными U и V
Г д^и - d 2 V + 2^ и + (r 2i - ^)v = d i (^к) , [д 2 U + dlV + 2r 2i U + (r ii - r 22 ) V = - д 2 ( 2 K )•
Теперь, следуя И. Н. Векуа [3, с. 111], вводим в рассмотрение функцию w(z) = U + iV , где z = u 1 + iu 2 , (u1,u 2 ) G D, и записываем полученную систему в виде одного уравнения:
d z w + Aiw + Biw

где
A i = 4 (r ii - Г 22 + 2Г 22 ) - 4 (Г 21 - Г 22 - 2Г 21 ),
Bi = 4 (r22 - rl i + 2Г22) + 4 (r2i - r22 + 2ri2), dz w =2 (diw + id2w),
∂ z
σ
K

Преобразуем уравнение (13).
Сог ласн о d d i in qg v K.
ставляем w в
[3, с. 100] коэффициент A 1 может быть представлен в
Введем в рассмотрение функцию ги = w
(13) и, учитывая, что A i = dh in
d z w + B i ги =
g √ K
виде A i =
g √ K . Тогда
w=
w √ g √ K
Под-
, приводим уравнение (13) к виду

Решив уравнение (14), мы найдем функцию ги а значит, найдем U = Re { w(z) } , V = Im { w(z) } .
w g √ K,
отсюда вычислим w,
Зная U и V, с помощью формул а ^ = П — U , а ^ = П + U , а 2 = V и (11) получим а 1 , 2 2
а 1 , а 2 *
Система (4) является пфаффовой системой, причем условие интегрируемости пфаффовой системы выполняется тождественно, поэтому соотношение dy = d i ~du 1 + d 2 ydu 2 , является полным дифференциалом. Интегрируя его, находим вектор смещения MG-деформации ~y с точностью до постоянного вектора в силу односвязности поверхности.
Таким образом, задача нахождения вектора смещений бесконечно малых MG-деформаций эквивалентна решению уравнения (14), поэтому уравнение (14) будем называть комплексным уравнением бесконечно малых MG-деформаций поверхностей положительной гауссовой кривизны.
§ 2. Исследование решений уравнения бесконечно малых MG-деформаций овалоида
Общее решение неоднородного уравнения вида (14), следуя И. Н. Векуа [3, с. 130], будем искать в виде w = wo + w*, (15)
т. е. общее решение неоднородного уравнения вида (14) равно сумме общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.
Для того чтобы отыскать общее решение однородного уравнения dzwo + Biwo = 0, (16)
исследуем поведение функции w o на бесконечности.
Пусть S — овалоид положительной гауссовой кривизны. Выберем на овалоиде две диаметрально противоположные точки P i , P 2 , которые будем называть полюсами. С помощью стереографической проекции из полюса P i взаимно однозначно отобразим ова-лоид на плоскость (u 1 , u 2 ), при этом полюс P 2 отобразится в точку z = u 1 + iu 2 = 0, а полюс P 1 в точку z = u 1 + iu 2 = го .
Теперь с помощью стереографической проекции из полюса Р 2 взаимно однозначно отобразим овалоид на плоскость (^,п), при этом полюс P 1 отобразится в точку Z = Z + in = 0, а полюс P 2 в точку Z = ^ + in = го .
Таким образом, мы получили две карты (u 1 ,u 2 ) и (£,n)- Переход от одной карты на другую происходит при помощи конформного преобразования вида Z = Z •
Исследуем поведение решения однородного уравнения в окрестности точки z = го .
Для любого скалярного или векторного инварианта на овалоиде (обозначим его через s) справедливо следующее соотношение:
_ ds dZ + ds dZ
Так как Z = Z , Z = z , то Z z = d! = - - 2 , H = 0, к 1 ^ 0, s z = ds • ( - z 2 )=O( | z | - 2 ) при | z | ^ ro .
∂ ∂ ζ s ограничено, так как при | z | → ∞ ,
ds dZ ds dZ s z dZ dz d( dz ‘
Так как Z = 'Z , Z" = Z , то d z = 0, (^ 5 = dZ = — z 2 . Следовательно (учитывая, что s z ограничено), s g = || • ( — ^ = O (|z | - 2) при | z | ^ ro .
Изучим поведение dj ~, j = 1, 2, dz~ = 2 (di~ + id2~), dz~ = 2 (di~ - id2~).
Складывая эти два равенства, находим d i ~ = d z ~ + d z ~. Отсюда следует, что d i ~ O( | z | - 2 ) при | z | ^ го . Вычитая из первого равенства второе получим id 2 r = d z r — d z Отсюда следует, что д 2 Г = O( | z | - 2 ) при | z | ^ го .
II TsJ
Аналогично доказывается, что d j n = O( | z | - 2 ), d j y = O( | z | - 2 ), j = 1, 2.
Итак, частные производные радиус-вектора овалоида ведут себя как O( | z | - 2 ), поэтому коэффициенты первой квадратичной формы овалоида ведут себя как O( | z | - 4 ):
g j = (d i r,d j r) = O( | z | 2 )O( | z | 2 ) = O( | z | 4 ), i,j = 1, 2, | z | ^ го .
Тоже справедливо и для коэффициентов второй квадратичной формы овалоида: b ij = —(d i r,d j n) = O( | z | - 2 )O( | z | - 2 ) = O( | z | - 4 ), i,j = 1, 2, | z | ^ го .
Следовательно, g = giig22 — g?2 = O(|z|-4 )O(|z|-4) — (O(|z|-4 ))2 = O(|z|-8), b = bnb22 — b22 = O(IzI-4)O(IzI-4) — (O(IzI-4))2 = O(IzI-8), |zI ^ го,
K =b=°( 5^ = о (1)’ го
Исследуем поведение на бесконечности функций a i , a i , a 2 . Воспользуемся соотношениями 5Ьц = a i b ii + a i b i2 , Sb i2 = a i b i2 + a i b 22 • Так как
^b ii = — (diy,d1n) = O( | z | - 2 )O( | z | - 2 ) = O( | z | - 4 ),
Sb12 = —(diy,d2n) = O(|z|-2 )O(|z|-2) = O(|z|-4), bi i = b22 = 0, bi 2 = 0, то по правилу Крамера получаем
ai — |
Sb ii Sb i2 |
b i2 b 22 |
b 22 Sb ii |
O( | z | - 4 )O( | z | |
- 4 — = O(1), |
b |
= b |
O( | z | - 8 ) |
|||
b ii |
Sb ii |
||||
a i = |
b i2 |
Sb i2 |
_ bii 5b i2 |
_ O( | z | - 4 )O( | z | |
- 4 — = O(1). |
b |
b |
O( | z | - 8 ) |
Аналогично из соотношений Sb 22 = a 2 b i2 + a 2 b 22 , Sb 2i = a 2 b ii + a 2 b 2i получаем, что a 2 2 = O(1).
Из этого следует, что U = 2 (a 2 — a i ) = O(1), V = a i = O(1), следовательно, w =
U + iV = O(1). Тогда w = waJ gVK = O(1)O( | z | - 4 )O(1) = O( | z | - 4 ), | z | ^ го .
Исследуем ге * на бесконечности. Частное решение неоднородного уравнения вычисляется по формуле [3, с. 154]
w * =
— 1 JJ ^ i (z,Z,D)F (Z) d^dn — 1Ц ^ 2 (z,Z,D)F(Z) d^dn,
D
D
где Q1(z,Z) = ", ^(z.Z) — w∗
-
i e Vp+ + .-' e ^ i — e ^ 2
2П // [ 2(< - z) ( Re { F } + i Im { F } ) + 2(< - z)
D
( Re { F }- i Im { F }) d^dn
- - ПП D
еш1 Re{F} + ie^2 Im{F} ζ-z dξ dη.
Обозначив f (Z) — е ш 1 Re { F } + ie ^ 2 Im { F } , получаем w * — — П JJ D f—z d^ dn — T D f . Докажем, что f E L p, 2 , p > 2. Из [3, с. 139] известно, что | w j | 6 M p , следовательно, | e ^ j | 6 e M p , j — 1, 2. Отсюда следует е ш з — 0(1).
g √ K
F — ----- 2

g √ K
∂ z σ · K - σ · ∂ z K
K 2
0( | z | - ‘ )O( | z | - 2 )— O( | z | - 6 ).
Следовательно, f (Z) E L p, 6 , p > 2, поэтому можем считать, что f E L p, 2 , p > 2.
Таким образом, f удовлетворяет условию теоремы 1.24 из [3, c. 44], из которой 2-p следует, что вблизи бесконечности TDf убывает как |z| "Г", p > 2, т. е. w* — TDf — O(|z| p ), p > 2, |z| ^ го. Наконец, из формулы (15) следует, что wo — w*
— w — o( | z | pP ) — O( | z | 4 ) — o( | z | p ),
p > 2, | z | ^ го .
Из [3] известно, что B i E L p , 2 (D), p > 2, D — вся комплексная плоскость, но в явном виде это утверждение в [3] не доказывается, поэтому сформулируем его в виде леммы и приведем подробное доказательство.
Лемма. Коэффициент B i E L p , 2 (D) , p > 2 , D — вся комплексная плоскость.
C Коэффициент B i — — B [3, c. 323]. Из [3, c. 99] известно, что
— — 4(r zz . r z ) + 4(r z r cz),, — — 8(r z . r zz ),
^^ — 8(r z ,r zz ).
∂z
Так как D — вся комплексная плоскость, то ее конформные преобразования исчер-
пываются формулой Z — фz + p , причем ец
— фХ — 0.
Положим е — 0, Х — 1, ф — 1, ц — 0.
При конформном преобразовании Z — z :
r z — ~ z • Z z , r z — ~ Z • Z e , r z E — (~ z • Z e ) x — ~ Z C • Ze + ~ Z " Z e e -
Аналогично tee — rzE " Z"e " Zz, а+ — 4(rz .~e )— 4(rz Zz ,rZ Zz) — 4(rZ .4 )Zz Zz— а+Zz Zz.
а - — 4(r z ,~ e ) — 4(~ Z z ,~ Z e ) — 4(~,~ )Z E — а^^ 2 , а — |(а +2 — | а - | 2 ) — | (а +2 Z z 2 Z E — | а _ Z Z | 2 ) — | (а +2 — | а _ | 2 ) l Z E | 4 — a * |Z E | 4 .
"di" = 4(~ zz , r Z ) + 4(~ z ,r Zz ) = 4(~ zzZz G, ~ zG ) + 4(~ z C z ,~ zz • < 2 + r z • Gz )
7 2 7 2 7 d a + 7 2 + 7
= 4(r( Z ’rC ) Z Z Z Z + 4(rC,r( Z ) ZZ Z Z +4(rC,r( ) Z Z Z z Z = ^7 Z z Z z + a * Z z Gz ,
∂a
-d— = 8(r z , r z z ) = 8( rzZz , r z z • Z Z + rz • Zz z ) = 8( r Z , rZZ ) Z f + 8(r z , r z ) • GGz
∂a∗ -
= “^Zz + 2a* • ZZZzZ, ∂ζ z ∗ da — ^-7 7zX 72 z _ da* 72z
-д^- = 8(r z zz , r zz • GG) = 8(r<,r z z ) • Z z Z z = "dz"" • Z z Z z ‘
Тогда
1 / - da + + да _ da — I 2a _ — a — a —— 8a \ dz dz dz
8a * | Z z | 4
+
— 7 2I da * z 7 2 , + Z 7 1
I 2 a * Z z I zj7 G Z z + a * Z z Z zz ) ∗ z ∂ζ z ∗
7 da 7 - 7 7
— a * Z z Z z I ят Z z + 2a* GGz )
∗ ∂ζ z ∗
-
- 7 2 da * . 72z a * Zz dz Z z Z;
z
R Z z Z z
* I Z z | 4 ’
Г' ПА R - - 1 (9л — da- _ Л + da- _ Л — da*^
где B* 8a* ^a* dz a* dz a* dz.'
Так как при |z| ^ го имеем Z ^ 0, то B* = O(1), тД4 = O/H-s) = O(1), Zz = — 1^ = |zz| O/|z| )
O( | z | — 2 ), это означает, что B = O( | z | — 2 ) при | z | ^ го , следовательно, B i = O( | z | — 2 ) при | z | ^ го , и B 1 G L p, 2 (D), p > 2. B
Итак, функция ге д ограничена и является решением однородного уравнения (16), где B i G L p, 2 (D), p > 2 (в силу леммы). Так как ге д = O ^|z |""p"" ^, p> 2 при | z | ^ го , то ге д обращается в нуль в точке z = го .
Таким образом, ге д является обобщенной аналитической функцией, удовлетворяющей условию обобщенной теоремы Лиувилля [3, c. 128].
Из этой теоремы следует, что te g (z) = 0 всюду на плоскости D.
§ 3. Доказательство теоремы
Итак, мы показали, что te g (z) = 0 всюду на плоскости D. Тогда соотношение (15) имеет вид ге = ге * . Получается, что каждому ст соответствует единственное решение ге.
Функция г = ,w = >w* —, U = Re{г}, V = Im{г}, следовательно, а2 = Im{г}, gK gK а1 = П — U = — 2K — Не{г}, а2 = П + U = — 2K + Не{г}. Уравнения (4) принимают вид:
( d 2 y = ( — 2 K — Re { w } )d 1 r' + Im { w } d 2 r', ( d 2 ~ = Im { w } d1r' + ( — 2 K + Re { w } )d 2 r.
Так как рассматриваемая поверхность односвязна, то с помощью уравнений (17) можно найти поле смещений бесконечно малой MG-деформации, соответствующей конкретному ст, с точностью до постоянного вектора, интегрируя выражение dy = d i y du1 + d 2 y du 2 .
Таким образом, для каждого σ существует единственное поле бесконечно малой MG-деформации с точностью до постоянного вектора.
Докажем теперь, что овалоид является жестким относительно бесконечно малых MG-деформаций тогда и только тогда, когда ст = 0.
Пусть ст = 0. Тогда F = g ^ KK d z ( — ) = 0. Следовательно,
w * =
П Ц ^ i (z,Z,D)F (Z) ■■• - П Ц ^ 2 (z,Z,D)F(Z) ■■• = 0.
D
D
Тогда w =
w ∗
gK
= 0, и соотношения (17) принимают вид:
( d i ~ =0, I d 2 ~ =0.
Отсюда следует жесткость овалоида.
Пусть овалоид является жестким относительно бесконечно малых MG-деформаций, т. е. y = C = const. Тогда dy = d 1 ydu 1 + d 2 ~du 2 = 0. Следовательно, справедливы равенства (18). Тогда в силу соотношений (17) имеем
( ( — 2 — — Re { w } )d 1 ~ + Im { w } d 2 ~ = 0, [ Im { w } d 1 ~ + ( — 2 — + Re { w } )d 2 ~ = 0.
Умножая скалярно первое из этих равенств на — d i n, а второе — на — д 2 П, учитывая, что b 11 = b 22 = 0, b 12 = 0, получаем
( — 2 — — Re { w } = 0, |^— 2 — + Re { w } = 0.
Отсюда следует, что ст = 0.
Список литературы Бесконечно малые MG-деформации овалоида
- Фоменко В. Т., Бикчантаев И. А. Применение обобщенных аналитических функций на римановых поверхностях к исследованию G-деформаций двумерных поверхностей в $E^4$//Мат. сб.-1988.-Т. 136(178), \No4(8).-С. 561-573.
- Фоменко В. Т. О единственности решений проблем Кристоффеля и Минковского для овалоидов//Сб. науч. тр. по межвуз. программе "Университеты России -фундаментальные исследования".-Таганрог: Изд-во ТГПИ, 1998.-С. 73-95.
- Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции.-М.: Наука, 1988.-512 с.
- Климентов С. Б. О продолжении бесконечно малых изгибаний высших порядков односвязной поверхности положительной кривизны//Мат. заметки.-1984.-Т. 36, вып. 3.-С. 393-403.