Безусловные базисы в радиальных гильбертовых пространствах

Пусть H — гильбертово пространство целых функций, удовлетворяющее условиям:

• 1.    Пространство H — функциональное в том смысле, что точечные функционалы 6 _z : f ^ f (z) являются непрерывными при каждом z Е C.

• ^# Работа первого автора выполнена в рамках реализации программы развития научно-образовательного математического центра Приволжского федерального округа, дополнительное соглашение № 075-02-2020-1421/1 к соглашению № 075-02-2020-1421; работа второго автора выполнена при поддержке программы фундаментальных научных исследований, проект № 18-01-00095 А.

• 2.    Пространство H устойчиво относительно деления, т. е. если F Е H , F (z g ) = 0, то F(z)(z — z g ) ^-1 Е H . Из этого условия следует, в частности, что точечные функционалы отличны от нуля.

(с) 2020 Исаев К. П., Юлмухаметов Р. С.

Из условия 1 следует, что каждый функционал 6 _z порождается элементом k z (А) Е H в смысле 6 _z (f ) = (f (А), k z (А)). Функция k(A, z) = k z (А) называется воспроизводящим ядром пространства H . Через K (z) обозначим k(z,z). Тогда функция Бергмана пространства H — это ||5_z || H = (K (z)) 2 (cm. [1]).

Базис { e k , k = 1, 2,... } в гильбертовом пространстве называется безусловным базисом [2], если найдутся числа c, C > 0 такие, что для любого элемента x = 52^ =1 X k e k Е H выполняется соотношение

∞ c ^ Ick|2|ekII2 < k=1

∞ ckek k=1

• ²         re

< C^tAI2- k=1

В данной статье мы намерены изложить метод конструирования безусловных базисов в некоторых гильбертовых пространствах целых функций.

Эта задача восходит к двум тесно связанным между собой классическим задачам: представление функций посредством рядов экспонент и интерполяция целыми функциями. Представление функций посредством рядов экспонент активно развивалось А. Ф. Леонтьевым и его учениками, основные результаты и аналитические методы изложены в монографии [3]. Ю. Ф. Коробейником и его учениками развивались функционально аналитические методы, им создана теория абсолютно представляющих систем в локально выпуклых пространствах голоморфных функций, основные результаты этой теории изложены в работе [4]. В теории абсолютно представляющих систем естественным образом важное значение имеет степень тонкости топологии пространства. В работах [5, 6] доказаны теоремы о существовании представляющих систем экспонент в проективных и индуктивных пределах весовых пространств, в которых оператор дифференцирования действует непрерывно.

Дальнейшее продвижение в этой задаче в смысле тонкости топологии предполагает уже изучение нормированных пространств, т. е. конструирование (безусловных) базисов. Как оказалось, базисы из экспонент — явление редкое. Насколько известно авторам — это базисы в классическом пространстве L 2 ив пространствах Соболева L 2 [7], базисы в пространствах Смирнова [8] и Бергмана [9] на выпуклых многоугольниках. Соответственно, имеется ряд работ об отсутствии базисов из экспонент. Так на пространствах Смирнова и Бергмана на областях с гладкой границей базисов из экспонент не может быть (см. [10, 11]). Базисов из экспонент не бывает также и в весовых пространствах, когда весовая функция растет быстрее степенной функции [12] или сравнима со степенной [13].

В работах [14–16] показано отсутствие безусловных базисов из значений воспроизводящего ядра в классическом пространстве Бергмана и в пространствах Фока

F ^ =

< f Е H (C): If | ² := j | f(А) | ² е ^-2^^Л) dm(A)

< от

C с радиальными весами у, растущими быстрее |А|2. В работе [17] доказано отсутствие безусловных базисов из значений воспроизводящего ядра уже в пространствах с весами, удовлетворяющими условию (ln+ r)2 = o(y(r)), r ^ от, и с некоторой регулярностью роста. В этой же работе получен неожиданный результат о существовании безусловных базисов из значений воспроизводящего ядра в пространствах Фока Fϕα с весами уа(А) = (ln+ |А|)а при а Е (1;2]. В дальнейшем в статье [18] доказано существование безусловных базисов из значений воспроизводящего ядра в пространствах Фока с весами существенно более общего вида.

Далее будем использовать следующие обозначения. Запись A(x) ' B(x), x Е X, для положительных функций A, B означает, что для некоторых констант C, c > 0 для всех x Е X выполняются оценки cB (x) ^ A(x) ^ CB(x), символ A(x) у B (x), x Е X, (A(x) ^ B (x), x Е X); означает существование константы C >  0 такой, что A(x) ^ CB(x) (B x) ^ CA(x)).

Функциональное гильбертово пространство H будем называть радиальным , если для любого F Е H и у Е R функция F (ze i^ ) лежит в H , причем ||F(ze i^ ) = ||F||. Очевидно, что в радиальном гильбертовом пространстве K (ze i^ ) = K (z), z Е C, у Е R.

В данной работе мы рассматриваем абстрактные радиальные функциональные гильбертовы пространства, устойчивые относительно деления, и докажем два основных утверждения.

• 1.    Если H — радиальное функциональное гильбертово пространство, устойчивое относительно деления и допускающее безусловный базис из значений воспроизводящего ядра, то

• 2.    Если H — радиальное функциональное гильбертово пространство, устойчивое относительно деления, в котором полиномы полны и

• |zn|x eu(n), n Е N U{0},

z" . eu(n\ n Е N U{0}, где последовательность u(n) выпуклая, т. е.

u(n + 1) + u(n — 1) — 2u(n) >  0, n Е N

(cм. теорему 1).

где последовательность u(n) удовлетворяет условию

u(n + 1) + u(n — 1) — 2u(n) ^ n5, n Е N, для некоторого 6 > 0, то в пространстве H существует безусловный базис из значений воспроизводящего ядра (cм. теорему 5).

Второе утверждение доказывается по схеме работы [17] — на основе теоремы Бари. Результаты этой работы относительно пространств F _{V a} для а Е (1; 2) довольно просто следуют из второго утверждения.

1.    Геометрия радиальных гильбертовых пространств, допускающих безусловный базис из значений воспроизводящего ядра

Теорема 1. Если в радиальном функциональном гильбертовом пространстве H , устойчивом относительно деления и содержащем все мономы, существует безусловный базис из значений воспроизводящего ядра, то существует гладкая выпуклая функция u(x) на R такая, что

| z ⁿ |x e ^u(n) , n Е N U{ 0 } .

При этом

lim u ‘ (x) = lim u^x = + _TO . x ^ + ^       x ^ + ^ x

<1 Пусть система {k(A,z n ) } "=i является безусловным базисом в функциональном гильбертовом пространстве H и L _n — биортогональный базис. Поскольку мы предполагаем устойчивость относительно деления, то

-----L(A)----- n E N, A E C,

"( )    L‘(An)(A - An)’ где L — порождающая целая функция. Как известно,

" L k " 2 ^х K'    -

k E N,

и разложение функции F E H по этому базису имеет вид

∞

F (z) = E F (z k )L k (z) k=1

По определению безусловного базиса

"F II²

∞

E k=1

| F (z k ) | ² K(z k ) ‘

Значит,

∞

^            1         f r 2n

" z " " ^{2 х} E ■ ^{| 2}"K^ = / Kw d ^{n E N u {0)}'

k=1                  0

где ^(r) = 52| _z k | <_r 1 — считающая функция последовательности r k = | z k | , k E N, нумерованной по возрастанию. Гладкая выпуклая функция

∞

u(x) := In / e ^2xy d^e ) , x E R, J      K (e ^y )

-∞ удовлетворяет условиям теоремы 1.

Если предположить, что производная u‘(x) ограничена числом а, то при больших n имеем u(n) ^ 2an, т. е. "z"" -< e2an. Тогда для любого ряда Тейлора, сходящегося в круге B(0; b) с b > e3a по неравенству Коши для коэффициентов и неравенству треугольника для норм

∞ cnzn

"=k

∞∞

< El e n i" ² " " ^ Е^е- "“ ^ о,

"=k            "=k

к ^ то .

Тем самым, ряд сходится в норме пространства H и в силу полноты пространство H содержит все функции, аналитические в круге B(0; b). >

Не уменьшая общности, далее будем считать, что последовательность ln " z " " , n = 0,1,..., — возрастающая, выпуклая и ln " z ⁰ " = 0. Соответственно, будем считать, что u(t) (u(0) = 0 ) — кусочно-линейная неубывающая функция с изломами в целых неотрицательных точках такая, что

" z ⁿ " х e ^u(n) , n E N u{ 0 } .

Таким образом,

u(t) = u(n) + (u(n + 1) — u(n))(t — n), t E [n; n + 1], n E N U {0}, при этом u'+(n) = u—(n + 1) = u(n + 1) - u(n), n E N U {0}.

Поскольку

n(x) = sup(xt — u(t)) = sup sup (x(n + т ) — (u(n) + (u(n + 1) — u(n))r) t > 0                  n e N U{ 0 } T e [0;1]

= sup (xn — u(n) + sup (x — (u(n + 1) — u(n))T)) n e N U{ 0 }                   T G [0;1]

и внутренний супремум достигается на концах отрезка [0; 1], то

u(x) = sup (xn — u(n)), x E R. n e N u{ 0 }

Таким образом, сопряженная по Юнгу u(x) как верхняя огибающая последовательности линейных функций также будет кусочно линейной с изломами в точках x n = u(n) — u(n — 1) = u ‘+ (n — 1), n E N, или более подробно

'0,

1 • x — u(1),

x C xi = u(1) — u(0), xi C x C x2 = u(2) — u(1),

u(x) = < nx — u(n),     xn C x C xn+1 = u(n + 1) — u(n),

Производная функция u ‘ (x) будет функцией скачков с единичными скачками в этих точках x _n , n ∈ N, в частности,

u(x _n ) = x n n — u(n), u ‘ ₊ (x _n ) = n, n E N.                      (2)

Соответственно, u ‘ (ln r ) — функция скачков с единичными скачками в точках R _n = e x n . Выпуклость последовательности u(n) означает выполнение условия

u(n + 1) + u(n — 1) — 2u(n) >  0, n E N.

Мы будем рассматривать более сильное условие: для некоторого ст >  0

u(n + 1) + u(n — 1) — 2u(n) > ст, n E N, или u‘+(n + 1) — u+(n) > ст, n E N U {0}.

(A)

Теорема 2. Пусть K(A ) — функция Бергмана радиального функционального гильбертова пространства H , устойчивого относительно деления, в котором полиномы полны, и u(t ) — кусочно линейная функция такая, что

^zk|| х eu(k),   k E N U {0}, для которой выполняется условие (A). Тогда

K (A) x e ^{2u(ln |л|)} ,   Л E C.

<1 В условиях теоремы {| Zn^ , n = 0,1,... } образует ортонормированный базис. Следовательно,

^ A k z k k ^л k S      ■

“ Iz k I ²

^{K (z)} = E ||zk||2 ’ ^{Z E C} ‘

Докажем требуемое соотношение на критических окружностях | A | = R_n. Из формулы для K (z) имеем

^

K(Rn)R-2n|znII2 x SRn(k-n)e-2u(k)+2u(n), n e N k=0

Поскольку In R n = x n = u + (n — 1), то

R 2(k - n) e - 2u(k)+2u(n)    e 2(u(n) - u(k) - u + (n - 1)(n - k))

Пусть k ^ n. Для кусочно линейной функции u'+(n) = u(n + 1) — u(n)

и k-n-1                               k-n-1

u(k) — u(n) = ^2 (u(n + j + 1) — u(n + j)) = E u+(n + j)‘ j=0                                  j=0

По условию (A)

u‘+ (n + p) > u'+(n — 1) + (p + 1)a, n — 1,p = 0,1, 2,... , и, значит,

u(k) — u(n) > (k — n)u'+(n — 1) + ^(k — n)(k — n + 1)a, тем самым,

u(n) — u(k) — u + (n — 1)(n — k) C — ^(k — n)(k — n + 1)a, k ^ n.

Таким образом,

^

^

^2 Rn(k-n)e-2u(k)+2u(n) C ^ e-j(j+1)CT := C(a), n E N, k=n j=0

и

^ p2k           I p |2n

E ra <  C (a) Vnk, n E N.

^{I z} k II^{2                I z} n II²

k=n

Пусть k < n. Тогда

u(n) — u(k) — u' + (n — 1)(n — k)

n - k                                           n - k

= 52 (u(n — j+ 1) —u(n —j) — u+(n — 1)) = 52 (u+(n —j) — u+(n — 1)) • j=i                                              j=i

Поскольку

u'+(n - j) - u'+(n — 1) - -(j — 1)^,

то

u(n) — u(k) — u' + (n — 1)(n — k) — — ^(n — k)(n — k — 1)a,   k < n.

Таким образом,

n — 1

∞

52R n^(k—n) e - ^2u(k)+^2u(n) -52* j'j i" < c (^a),

n E N,

k=0

j=1

и

n - 1 E k=0

| R n | ^2k ^z k II²

Ы2 - ^C И | z n | ²

n E N.

Отсюда и из (4) следует соотношение

В силу соотношения (2)

тем самым,

K(^R n ) ^Il n;2 .  n E N.

_e ²u(l„R n ) _ RSL,  n e n ,

^Iz n ^{I 2}

K(R n ) x e ^{2u(ln R n )} ,    n E N.

Функция In K (e x ) — выпуклая и по доказанному

ln K (e x n ) — Const + 2u(x _n ), n E N.

Поскольку функция u(x) линейна между точками x _n , то это соотношение верно для всех x:

K (А) ^ e ²"^{(ln |Л|))} , Л E C.                                     (5)

С другой стороны, по определению функции Бергмана и по формуле (1)

K (Л) = sup |F > sup   ij ^^ = exp 2^ sup (n In | Л | — u(n))) = e ^2u(ln|A|) .

FEH IIFII² n e N U{ 0 } ^|A n ^{| 2} V n e N u{ 0 }                  /

Отсюда и из (5) следует утверждение теоремы 2. >

2. Конструкция безусловного базиса из значений воспроизводящего ядра

Введем обозначение

K (A,z) := k ^Л       «ЛА .

^|k(A,z^)|    KW)

Рассмотрим еще более сильное условие выпуклости: для некоторых 6 Е (0; 1), ст >  0

u(n + 1) + u(n — 1) — 2u(n) >  ст(п + 1) ⁵ ,   n Е N,

(B)

или u±(n + 1) — u±(n) > ст(п + 1)5, n Е N U {0}.

Выберем число q Е (0; 1) таким образом, чтобы последовательности x n и х П = x n + ln П чередовались:

0 < х ‘ 1 < x ₁ < х 2 < x ₂ < ...                                (6)

Это возможно, поскольку xn±1 — xn = u±(n) — u±(n — 1) > стп5, n Е N.

Теорема 3. Пусть H — радиальное функциональное гильбертово пространство, устойчивое относительно деления, в котором многочлены полны, и u(t) — кусочнолинейная функция такая, что

^zk|| х eu(k), k Е N U{0}, для которой выполняется условие (B). Тогда, если ^n Е [0; 2п], n Е N U {0}, qn = П, где q Е (0; 1) выбрано так, что выполняется условие (6), и Xn = qneu+(n-1)ewn, n Е N, то

ОО

E n=0

X n e - i^ n

^— K^(X, ^X n+1 )

< TO .

<1 В условиях теоремы система e k базис и

λ ^k

= И

, k = 0,1, 2,..., образует ортонормированный

X n e - i^ n

1W

^— K^(X, ^X n+1 ) =

( e —Nn e¹____ ^{E X} 22±1 _e

V          V K (X n±i ) | z n Il) n    V K (X n±i )      ^z k ¹ ■

Отсюда по равенству Парсеваля

X n e - i^ n

^— K ^(X, ^X n±1 )

| X n±1 | n      ²         1 ^E | X n±1 | ^2k

VKraiz n | ⁺ K(X n±1 ) 2=n Iz k I ²

Лемма 1. Пусть N = N (ст, 6) такое, что при n ^ N выполняется неравенство — In q n±1 ^ 2 n ⁵ . Тогда для n ^ N имеет место оценка

^{1 E} | ^X n±1 | 2k р /    q ²      p-2an ^j A

K(x"±1)£ izkI2 ' C1 6)U+1)2 + e л k=n

< По теореме 2

1       | X n±1 | ^2k

K (X n±1 ) Iz k | ²

q^k ^e 2(ku + (n) - u(k) - u(ln q n +i ±X n +i ))

n Е N U{ 0 } .

Поскольку функция и кусочно линейна, то по формулам (2)

u(ln q n₊i + X n₊i ) = u(x n₊i ) + u - (x n₊i )ln q n₊i

= Xn+i(n + 1) - u(n + 1) + u‘+(xn) ln qn+i = u+(n)(n + 1) - u(n + 1) + nIn qn+i, поэтому

1     l^n+il2k _ 2(k —n) 2(u(n+1H,(k) —u'+(n)(n+1—k))>

K (A n+i ) « z kl|² "  q ⁿ⁺ⁱ e                           ^, n "  N.

Пусть k ^ n + 1. По соотношению (3) при условии (B) имеем

u(k)-u(n + 1)= f u‘+(n+j) > f (u‘+(n) + a(n + 1)5) = (u‘+(n) + a(n + 1)5)(k-n-1), j=i следовательно,

1      lAn+11      , 2

K(An+i) «zkII²^ qⁿ⁺¹e                 ’ n ' N,

и

^1            |2k       „2      ^

^{f 1   lA}n+1^     ^qf   2^n-.'(k-n-1) _x q

^ K(An+1) IPII2 4 (n +1)2Лe              C <” + D2 ■ k=n+i                              k=n+i

Рассмотрим k C n - 1. Заметим, что n-k

u(n + 1) - u(k) - u+(n)(n + 1 - k) = ^2(u(n - j + 1) - u(n - j) - u'+(n)) j=0

n-kn

= f (u+(n - j) - u+(n)) = - f (u+(n) - u+(s)), j=1

и по условию (B)

nn u‘+(n) - u‘+(s) = f (u‘+(p) - u+(p - 1)) > a f p5 ^ a(s + 1)5(n - s).

p=s+1

Функция (s +1)5(n - s) — вогнутая, значит минимальное значение на интервале [0; n - 1] достигается в концевых точках, поэтому u+(n) - u+(s) ^ an5, s = 0,1,...,n - 1.

Отсюда и из (10) получим

u(n + 1) - u(k) - u+(n)(n + 1 - k) C -an⁵(n - k).

Таким образом, для n ^ N в силу (8) выполняется оценка

^{1      |A}n+i^|2k , — 2(n—k)an⁵

n ^ N,

K(An+1) BzkB²^

значит,

1    ^f1|An+i|^2k

K(An+i) k=0 «zkB²

n-i

^ ^fe^—2(n^—k)an^jC C₂(a,S)e^-2^⁵.

k=0

Отсюда и из (9) следует утверждение леммы 1. >

Закончим доказательство теоремы 3. По определению функции Бергмана

|An+i[n     < 1

VK (An+i)hznb     , поэтому

_      |An+i|^{n      2}     _    |An+i|²ⁿ            1_v|An+i|^2k

VK^^Wn ||  <    K (An+i)hzn ||²   к (An+i) k= ^zk ||²

и по утверждению леммы 1 для достаточно больших n

|An+i^ VK (An+i)|zn|

< C⁽"-⁵⁾((mqT)2 ⁺        •

По соотношению (7) и из утверждения леммы 1 следует утверждение теоремы 3. >

Теорема 4. Пусть H — радиальное функциональное гильбертово пространство, устойчивое относительно деления, в котором многочлены полны, и u(t) — кусочнолинейная функция такая, что

\zk|| х eu(k), k G N U{0}, для которой выполняется условие (B), тогда, если ^n G [0;2п], qn = П, где q G (0; 1) выбрано так, что выполняется условие (6), и An = qneu+(n-i) ei^n, n G N, то система K(A, An), n G N, полна и минимальна в пространстве H.

<1 Функция ug(A) = uo(|A|) := n(ln |A|) — радиальная субгармоническая функция. Ассоциированная по Риссу мера µ этой функции просто считается в полярных координатах:

d^(rei^) = —Au₀(reiH dm(rei^) = — 2n                      2nr²

u'0(r) +—u0(lnr)^ rdrd^ = — du’(Inr)dy,

где dm(z) — мера Лебега. Через ^(t) обозначим ^-меру круга B(0,t). Тогда

^(t) = n’(ln t) = ^^ 1, t > 0.

Rn

Формула Йенсена для радиальной функции u становится очень простой:

|А|

u(ln |A|) = У ^tt-d.

Пусть Rn = exn = |A_n| и v(t) = R2 1, t > 0- Рассмотрим субгармоническую функцию

|A|

v(in^D = / v<^ •

Лемма 2. Имеет место соотношение

v(ln Rn) — n(ln Rn) ^ to, n ^ to, причем для любого a E (1+7; 1) и некоторой константы b > 0 v(ln Rn) — n(ln Rn) ^ b(ln Rn)^a, n E N.

<1 Поскольку последовательности Rn и Rn чередуются, то

v(t) — ^(t) = 1, Rn < t < Rn, n E N, и v(t) — ^(t) = 0 для остальных t > 0. Значит,

v(ln Rn)

,^^-

-

u

R_k

(ln Rn) = £/ dtt k=^1Rk

n

= у ln Rk =ln n.

R′      qn k=1     k

Отсюда вытекает первое соотношение леммы. Применив формулу Стирлинга, получим, что для некоторой постоянной a > 0

v(ln Rn) — u(ln Rn) ^ anlnn, n E N.

По условию (В)

nnn

Xn — X1 = y(xk — Xk-1) = у (^R+ (k — 1) — u+(k — 2)) >ст У(к — 1)⁵> 2^5-2ст(п — 1)⁵⁺¹.

k=2               k=2

Тем самым, для некоторой константы ag > 0

n ^ agxni⁺⁸ = ao(ln Rn)¹⁺⁵.

Отсюда и из (11) следует второе утверждение леммы 2. >

Продолжим доказательство теоремы 4. Рассмотрим целую функцию

^L(A) = П (1^— in), ^{Л E} C-n=1 ^{4        7}

По теореме 2 и лемме 2 в работе [19] функция L удовлетворяет соотношению

|L(A)I^ diSti^rev^(ln|Л|),   i E C,

1 + И где dist(i) = infnGN |i — in|. Если система K(i, in), n E N, не полна в пространстве H, то найдется целая функция F = gL E H. По теореме 2 должно выполняться соотношение

|F(i)| ^ eu(ln|Л|), i E C, значит, в силу оценки (12)

diSt^^l_Pv(ln |A|)   , »ln |A|)

λ∈C.

1+|i|^{e      4}

На окружностях |А| = Rn имеем dist(A) х 1 + |А|, поэтому должно быть ev(ln|Rn|) ^ e2(inRn), n Е N что противоречит первому соотношению леммы 2.

Докажем минимальность. Возьмем некоторое n, и пусть

^L(A)- ^V/ \k ArC ----— = 2 „lk^A , ^AE C. ^{A A}n

По неравенству Коши для k, таких что Rk ^ 2|A_n| и по теореме 2

1  Rp ^^R  R ^

По второму утверждению леммы 2

| lk | ^

¹   ^(xfc )+b(ln Rk )^a

Rk e                   ’ значит, по соотношению (2)

Vk| ^ ekxk

—u(k)-(k+1)xk +b^a

Следовательно,

Ilk|²||z^k||²^ e^-2xk^+2bxa = e^-2xk^(1-bx^a-1).

Поскольку a < 1, то

∞

E Hk|2^zkи2 < - k=0

и функция L(A)(A — An)^-1принадлежит пространству H. >

Теорема 5. Пусть H — радиальное функциональное гильбертово пространство, устойчивое относительно деления, в котором мономы z^k, k € N U {0}, полны, и u(t) — кусочно-линейная функция такая, что

HzkЦ х eu(k), k € N U{0}, для которой выполняется условие (B). Положим R'n = neu+(n-1), n € N, где q € (0; 1) выбрано так, что выполняется условие (6). Тогда для любого множества {^n }nrN С [0; 2п], значения воспроизводящего ядра K(A, Rnei^n), n € N, образуют безусловный базис в пространстве H .

<1 Утверждение теоремы следует из теоремы Бари (см. [20], [21, теорема 14, с. 81]) и теорем 3, 4. >