Бигармоническая задача Неймана с двойной инволюцией

Введение . Краевые задачи, заданные в виде связи значений искомой функции в различных точках области или границы, принято называть задачами типа Бицадзе–Самарского или нелокальными задачами. Задача такого типа впервые была исследована в работе [1], а более подробно возникновение таких задач при математическом моделировании некоторых процессов в плазме изложено в [2]. Методы решения и приложения нелокальных краевых задач типа Бицадзе– Самарского к прикладным задачам различных отраслей науки изложены в [3]. Нелокальные краевые задачи для различных дифференциальных уравнений исследованы в работах [4–8]. Отметим, что, наверное, впервые краевые задачи с преобразованными аргументами в двумерном случае были рассмотрены D. Przeworska-Rolewicz в [9]. Нелокальные краевые задачи c инволюциями в n -мерном случае были изучены в работах [10, 11]. В [12] исследовалась задача Неймана для бигармонического уравнения с простой инволюцией. В работах [13, 14] для нелокального уравнения Пуассона и нелокального бигармонического уравнения изучены основные краевые задачи с отображениями вида S^k , где S – ортогональная матрица. Настоящая работа является продолжением исследований, приведенных в работе [12] в случае двойной инволюции.

Пусть Q = { x e R n :| x | < 1} - единичный шар в R n , n >  2, а 3Q = { x e R ⁿ :| x | = 1} - единичная сфера. Пусть также S 1 , S ₂ - две действительные коммутативные ортогональные n х n матрицы такие, что S^l l = I , l e N , i = 1,2, где 1 1 ,1 2 e N u { 0 } . Обозначим I = 1 2 1 1 и рассмотрим последовательность действительных чисел a ₀,..., a / _{1 —} 1 , a / 1 ,...,a ₂ / 1 -1 ,..., a ( i 2 -1) / 1 -1 ,..., a _{l - 1}, которую обозначаем через a . Если записать индекс суммирования i в форме i = ( i ₂, i 1 ) = i ₂ 1 1 + i 1 , где i k = 0,1,..., l k — 1, где k = 1,2, тогда компоненты a могут быть записаны в виде

a (0,0) ,..., a (0, / 1 —1) , a (1,0) ,..., a (1, / 1 —1) ,..., a ( 1 2 —2, / 1 —1) ,..., a ( 1 2 —1, / 1 —1) .

Ясно, что если 0 <  i <  I , то тогда i 1 = { i / / 1 } , i ₂ = [ i / / 1 ] , где [.] и {.} являются целыми и дробными частями числа соответственно. Далее последовательность a будем также рассматривать как вектор a = ( a ₀, a 1,..., a _{l — 1} ).

Замечание 1. Очевидно, что | x |² = ( S i S i x , x ) = ( S i x , S i x ) = | S i x |². Поэтому верны утверждения x eQ ^ S i x eQ и y edQ ^ S i y e dQ . Введем нелокальный оператор, образованный вектором a :

( / 2 — 1, / 1 — 1)

B a u ^{( x} ) = ^ a ( i ₂, / 1 ) u ( ^S 2 2 S 1 1 x ) ,

( ‘ 2 , ' 1 ) = 0

где x e dQ . Отметим, что в работах [15, 16] исследовались собственные функции для оператора Лапласа с двойной и множественной инволюцией.

Рассмотрим в Q следующую краевую задачу.

Задача Неймана. Найти функцию u(x) е C4 (Q) n C2 (3Q), удовлетворяющую бигармониче- скому уравнению

Д u ( x ) = f ( x ), x е Q

и нелокальным граничным условиям R ^д u

Ba ^

dQ

i \ п д ² u = ^h 0⁽ x ), Bc^ д n ²

= h 1 ( x ), x e3Q , dQ

где n - внешняя нормаль к единичной сфере dQ .

Вспомогательные утверждения. Для изучения приведенной выше задачи (1), (2) нам понадобятся некоторые вспомогательные утверждения. Введем функцию

( l 2 “I, l 1 ^{- 1)}

v ( x ) = B a u ( x ) = ^ a ( , 2 , _{; 1} ) u ( S 2 ² S ¹ x ),                          (3)

( i 2 , ⁱ 1 )= ⁰

где x eQ или x e3Q , а суммирование ведется в порядке возрастания по индексу i = ( i ₂, i 1 ) = i₂• 1 1 + i в следующем порядке

(0,0),...,(0, l i - 1),(1,0), . ,(1, l i - 1), _ ,( 1 2 - 2, l i - 1), . ,( 1 2 - 1, l i - 1).

Из равенства (3), учитывая, что S22 = Sl = I, легко заключить, что функции вида v(Sj2 S1j1 x), где j = 0,..., I -1, можно линейно выразить через функции u (S 22 S/1 x). Если рассмотреть следующие векторы порядка I tt

U ( x ) = ( u ( S i ² S i¹ x ) )          , V ( x ) = ( v ( S i ² S ¹ x ) )          ,                 (4)

v ^{2 1} Һ =0, . , l -1              V ^{2 1}     Һ =0, . , l -1

то эта зависимость имеет вид V ( x ) = ( a-)        U ( x ) и ее можно представить в матричном

, ^j , j =0,., 1 -1

виде

V ( x ) = A ₍ 2) U ( x ),

- соответствующая матрица порядка I х I . Нижний индекс у A ( ₂ )

озна-

чает, что матрица порождается двумя коммутативными инверсиями S ₁, S ₂ . Из (3) следует (5). Верно и обратное, поскольку первая строка (5) и есть (3).

Для описания свойств матрицы A(2) рассмотрим операцию сложения индексов коэффициен- тов матрицы в следующем смысле:

І © j = (І2, i1) © (j2, j1) = ((І2 + j2 mod 12), (i1 + j1mod l1)) , где (i2, i1) - это представление индекса i, как указано выше. Ясно, что © является коммутативной и ассоциативной операцией над iе {0,.,I-1}. Определим i Ө j = (i2 - j2 mod 12, i1 - j1 mod /1).

Например, если l 1 = 2, 1 ₂ = 3, то © (2,1) = (1,1) или © 5 = 3. Распространим операции © и © на все числа вида ( i ₂, i 1 ), полагая ( i ₂, i 1 ) = ( i ₂mod 1 ₂, i 1 mod l 1 ). Например, если l 1 = 2, 1 ₂ = 3, то (1, - 1) = (1,1) и (5, - 3) = (2,1).

Теорема 1. [15, теорема 1]. Матрица A ( ₂ ) из равенства (5) может быть представлена как

A^{2 _} ( a ! , ^j ) i , j =0, . , l -1 = ⁽ a^j © ¹ ) i , j =0, . , l -1 .                                      ⁽⁶⁾

Линейная комбинация матриц вида (6) является матрицей вида (6).

Нам будут необходимы следующие следствия из этой теоремы.

Следствие 1. Матрица A ( ₂ ) однозначно определяется своей первой строкой a = ( a ₀, . , a _{l - 1} ) .

Следствие 2. Матрица A ( ₂ ) имеет структуру матрицы, состоящей из 1 ₂ х 1 ₂ квадратных блоков, каждый из которых является матрицей размера l 1 х l 1 и типа A (1) .

Если представить вектор а в виде векторов a = ( a ₀ ,..., a 1 2 -1 ), где a j 2 = ( a j 2 ; 1 ,—, a ( j 2 _{+ 1} ) 1 1 -1 ) тоже вектор, и обозначить A^²^ = A (1) ( a j 2 ), тогда верно равенство

[ As) (1) A(1) А(12-1) к ”  A(1) A(2)(a) = A(1) ( Adi', A(l), • ■. A;;2-") - AS-1) (0) A(1) —  A(l2-2) . ■A<11)) (2) A(1) —         , где блочная матрица повторяет структуру матрицы A(1) размера 12 х 12.

Следствие 3. Транспонированная матрица A ₍ ^t ₂₎ ( a ) имеет структуру матрицы A ₍ ^t ₂₎ и, кроме того, A t 2) ( а ) = A (2) ( c ), где c = ( a ₍ _ j 2 ,-_Л) )₍ j 2 , _{7 1 )} =о,...,( i 2 -_{UH )}, а обе компоненты - j 2 и - j i берутся по mod l ₂ и mod l ₁ соответственно.

Теорема 2. [15, теорема 2]. Произведение матриц вида (6) является снова матрицей вида (6) и верно равенство A ( ₂ ) ( a ) A₂ ) ( d ) = A ( ₂ ) ( d ) A ( ₂ ) ( a ).

Следующая теорема дает представление о собственных векторах и собственных значениях матриц вида A ₍₂₎ из (6). Из [15, теорема 3] следует следующее утверждение.

Теорема 3. Собственные векторы матрицы A(2) (a) можно выбрать в виде ek = e(k2,k1) = (ek1,^k2ek1,—,Xk2 ek1 ) ’ ek1 = (1,^k1, —,Xk1 ) ’ i2n —                                                              i2n— где Xk1 = e  l1  - корень степени 11 из единицы, k1 = 0,-, 11 -1 и Xk2 = e  l2 - корень степени

1 ₂ из единицы, k ₂ = 0, — , 1 ₂ - 1.

Обозначим 1 k - 1 ( k 2’ k 1 ) = X k ² X k 1 . Тогда из теоремы 3 вытекает следующее утверждение.

Следствие 4. Собственный вектор матрицы A(2)(a) с номером k = (k2, k1) = 0,—, I -1, где k1 = 0, —, 11 -1, k2 = 0, —, 12 -1 можно представить в виде e‘=( 1С1-1 " j-X 21 j(12-,,.-,)’                      (7)

а собственное число, соответствующее этому собственному вектору, определяется из равенства 1 -1              ⁽ l 2 ^{- 1} , ^l 1 ^{- 1)}

j =0            ( j 2 , j 1 )=0

Замечание 2. Если положить Sj = S22 S1j1, то оператор Ba можно переписать в виде i-1

B a ( u )( x ) = £ a j U ( S ^jx ) .

j =0

Теорема 4. Пусть a • e k / 0 при k = 0, — , I - 1, где собственные вектора e _k находятся из (7).

Тогда существует матрица обратная к матрице A ₍₂₎ ( a ) и она имеет вид

A (21) ( a ) = j M diag ^{- 1} ( H 0 , — , ц^ ) M ,                           (9)

где M = ( e ₀, — , e _{l - 1} ) . Матрица M является симметричной и ортогональной.

Доказательство. Поскольку e _k – собственный вектор матрицы A ₍₂₎ ( a ) , то верно равенство A (2) ( a ) M = (11^ 0 , — , H i -1 e i -1 ) , и значит

A (2) ^{( a ) M diag (ц} 0 , ^— , ^ц І -1 ) = ( ^H 0 ^e 0 , ^— , ^ц 1 -1 ^e I -1 ) ^diag ( ^ц 0 , ^— , ^Ц -1 ) = ( ^e 0 , ^— , ^e l -1 ) = M .

Отсюда следует, что

A (2) ( a ) M diag ( и ¹, ^ , и ¹ 1 ) M = MM .

Пусть ej = e(j2 j1) и ei = e(i2 i1) - два разных столбца матрицы M, т. е. j * i. Тогда из (7), используя равенства X j2 X i2 =X j 2 _ i2 и X j X i1 = Xj1- i1, запишем e~ei = e(h Л)-e(i2,.) =(Xk2Xk1 V                     -(Xk2Xk1 У= j        (j 2,j1)              U2 Л/( k 2, ki)=0,_,( 12 _1,11-1) 1 i2 i1 )(k 2, k1)=0^.,( 12 _1,11 -1)

(12 -1, l1-1)                          (12 -1, l1 -1)                                     (12 -1, l1 -1)                       12 -1

= У  Xk 2 Xk1 Xk2 Xk1 = У (X,X/ )k2(XiXl)k1 = У  Xk 2 .Xk1 -=yXk2. yXk1.

J 2   j1  i 2   i1                  V  j 2  i 2 7   '  j1  i1f i—l       J 2- i 2  j1- i1             J 2- i 2 i—i

(k 2, k1)=0                        (k 2, k1)=0                                  (k 2, k1)=0                     k2 =0

Пусть j ₂ - i ₂ ^ 0, тогда X j 2 - i 2 ^ 1, и по простому комбинаторному тождеству находим

1 2 - 1 ,           X l ² .

V Xk2 . = ji2 j2 -i2    X k2=0              j2- i2

- = 0.

Если же j2 - i2 = 0, тогда Xj2 -i2 = 1, и значит, Ek2 -o Xk2 -i2 = 12 • Поэтому k^k [0 j * i e j •e i = E1 kj1 i = L   - -

.

k =0        b j = i

Матрица M симметрична. Действительно, поскольку X j ² = X j 2 и X ^{j 1} = X j , то

^M t = ( ^X j 2 ^X j ) ( i 2 , i 1 )=0, - ,( 1 2 -1, 1 1 -1) = ( ^{X j X j 1} ) ( i 2 , i 1 )=0, . ,( 1 2 -1, 1 1 -1) =

^{( j} 2 ^{, j} 1 ⁾ = ^0, — ^,( l 2 ^{- 1 1} 1 ^{- 1)                 ( j} 2 ^{, J} 1 ⁾ = ^0, — ^,( l 2 ^{- 1, l} 1 ^{- 1)}

= ( ^X j 2 ^X j 1 ) ⁽ i 2 , i^ ^{0 -}l 2 ^{- 1} , l 1 ^{- 1)} = ( ^{X j )} i , j =0, . , l -1 = ^M .

^{( j} 2 ^{, j} 1 )= ^0,- • ■^,( l 2 ^- 1 ¹ 1 ^{- 1)}

Отсюда следует, что i -я строка матрицы M имеет вид e t . Это означает, что

MM = (e, - e           = 1 1 .

i       , j=0 . , i -1

Используя полученное равенство, можно записать

A (2) ⁽ a ) I ^M diag - ¹ ( Ц o^, - ^, H i -1 ) ^M = 1¹ 1 = I .

Теорема доказана.

Теорема 5. Пусть матрица A ₍₂₎ ( a ) не особенная, тогда обратная к ней матрица имеет вид

A -^ a ) = ^A (2)^{( b ),} где

,    ¹V¹ k   • n

, I - 1.

bi = IE — j = ^{0, j}

Доказательство. Пусть матрица A (2) ( a ) обратима, тогда ее собственные числа, находимые из (8), отличны от нуля, т. е. ц _k * 0, и поэтому применима теорема 4. Обозначим элементы обратной матрицы как b = ( A^ ^( a ) )    при i , j = 0,..., I - 1. Тогда по формуле (9), используя сим-

• i ,    j

метричность M , найдем

1^.                            1 1-1 X k,-    1 1-11 k- j 1 1-1 X ik-j 1 I-11k - i bi,j =7(Mdiag (цo,.,Ui-1 )M). .=7E Xj =7E =7E— = 7E---.

• ¹                                i ^{, j    1} k =0 ^ц k         ¹ k =0 ^ц k     ¹ k =0 ^ц k     ¹ k =0 ^ц k

Если воспользоваться обозначением (11), то имеем b i , j = b j _ө i , где b j определяется из (11) .

Значит, по теореме 1 A -1 ( a ) = ( b ^J        = A 2)( b ). При i = 0 получаем первую строку

V)— ^{j ө} i, , j=0 . , l -1    V)—

A ₍₂₎ ( b ) , что доказывает равенство (11) . Теорема доказана.

Следствие 5. Нетрудно видеть, что согласно (10) и (11)

ℓ -1 ℓ -1 ⁱ         ℓ -1 ℓ -1             ℓ -1

b ⋅ e ^t k = ∑ ¹ ∑ ^{λ j} λ ⁱ k = ∑ ^{1 1} ∑ λ ⁱ j λ ⁱ k = ∑ ^{δ j , k} = ¹

.

i =0 ^ℓ j =0 ^µ j      j =0 ^µ j ^ℓ i =0           j =0 ^µ j    ^µ k

Кроме того, вектор b можно найти по формуле b = 1ℓµ-Μ, где µ- = (µk-1)k =0,…,ℓ-1. Будем считать, что a∗ = b .

Следствие 6. Если матрица A ₍₂₎ ( a ) не особенная, то собственные векторы матрицы A ₍ ^- ₂¹₎ ( a ) равны e _k , k = 0, … , ℓ - 1 , а собственные значения имеют вид µ _k ^{- 1}( a ) .

Задача Неймана. Сформулируем основной результат. Обозначим через G ₄( x , ξ ) функцию Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре [17] и Λ u = ∑ _k ⁿ _{= 1} x_ku_xk .

Теорема 6. Пусть h ₀ ∈ C ^{2 +ε} ( ∂Ω ) , h ₁ ∈ C ^{1 +ε} ( ∂Ω ) , f ∈ C ¹( Ω ) и a ⋅ e ^t _k ≠ 0 , c ⋅ e ^t _k ≠ 0 при k = 0, … , ℓ - 1 , где собственные векторы e _k находятся из (7). Тогда решение задачи Неймана (1), (2) существует и единственно с точностью до константы при выполнении условия

¹ h ξ ds - ¹ h ξ ds = ¹     | ξ |² - 1 f ( ξ ) d ξ .

µ0(a) ∫∂Ω 0( ) ξ µ0(c) ∫∂Ω 1( ) ξ 2∫Ω()

1 dt

Это решение можно представить в виде u ( x ) = ∫ v ( tx ), где

0 t

v ( x ) = ^{1 + | x |} B a ∗ v ˆ 0 ( x ) + ^{1 - | x |} Λ B a ∗ v ˆ 0 ( x ) - ^{1 - | x |} B c ∗ v ˆ 1 ( x ) + ¹     G 4 ( x , ξ )( Λ+ 4) f ( ξ ) d ξ , (13)

• 2               2                2

а функции vˆ0(x) , vˆ1(x) – гармонические в Ω и такие, что vˆ0 I ∂Ω =h0,vˆ1 I = h1 . ∂Ω∂Ω

Доказательство. Воспользуемся теоремой 5. Из нее вытекает следующее утверждение.

Лемма 1. Граничные условия (2) могут быть преобразованы к виду

∂ u

∂ n

_∂ 2 u

= B _{a ∗} h ₀ ( x ),   ₂

∂Ω            ∂ ⁿ

= B _{c ∗} h ₁ ( x ), x ∈ ∂Ω . ∂Ω

Доказательство. В начале предыдущего раздела было установлено, что (3) ⇔ (5). Обозначим вектор b , находимый по вектору a из следствия 5, как b = a ∗ . Тогда, в соответствии с обозначениями из (4),

V ( x ) = A (2) ( a ) U ( x ) ⇒ U ( x ) = A ( ^- 2 ¹ ) ( a ) V ( x ) = A (2) ( b ) V ( x ), откуда следует, что u ( x ) = B _{a ∗} v ( x ) и значит, v ( x ) = B _a u ( x ) ⇒ u ( x ) = B _{a ∗} v ( x ) . Поэтому

∂ u

∂ n

⁼ B a ∗ B a ^∂ u

∂Ω         ^{∂ n}

= B _{a ∗} h ₀( x ) , ∂Ω

_∂ 2 u

∂ n ²

=B B ∂2u c∗ c ∂n2 ∂Ω

= B _{c ∗} h ₁( x ) . ∂Ω

Лемма доказана.

В соответствии с леммой 1 задача Неймана (1)–(2) сводится к задаче Неймана (1)–(14). Да- лее, как показано в [18, 19], задача Неймана (1)–(14) преобразуется к задаче Дирихле ∆2v(x) = (Λ+ 4) f (x), x∈ Ω , vI = Ba∗h0(x), ∂v ∂Ω           ∂n

=Ba∗h0(x)+Bc∗h1(x), x∈ ∂Ω , ∂Ω причем решение u(x) задачи Неймана (1)–(14) существует, только если v(0) = 0 и это решение 1 dt имеет вид u(x) = ∫0 v(tx) t .

Лемма 2. Решение следующей нелокальной задачи Дирихле для уравнения Лапласа

∆ u = 0, x ∈ Ω , u I _∂Ω = B _a g ( x ), x ∈ ∂Ω                              (17)

записывается в виде u ( x ) = B _a u ˆ( x ) , где u ˆ( x ) – решение обычной задачи Дирихле

Д и = 0, x eQ , й\ d _Q= g ( x ), x edQ •

Доказательство. Обозначим ядро Пуассона задачи Дирихле (18) в шаре Q как

P(x, ^) = '       x w Jx-5 Г

•

С учетом замечания 1 имеем | S ^jx - S j 5 | = | S j ( x - 5 ) | = | S j ² S ₁ j¹ ( x - 5 ) | = | S 1 j ¹ ( x - 5 ) | = | x -5 |, а поэтому P ( S j x , S j 5 ) = P ( x, 5 ) • В силу [15, лемма 4.1] справедливо равенство j g ( S j 5 ) ds 5 = j g ( ^ ) ds 5 • Тогда решение задачи (17) записывается в виде

∂Ω

∂Ω

( l 2 ^- 1, ^l 1 ^{- 1)}

и(x) = j P(x,5)Bag© ds5 = X a(i2,q) j P(x,5)g(Si5) ds5 = dQ                              (i2, i1)=0

( 1 2 -1, 1 1 -1)                                                             ( 1 2 -1, 1 1 -1)

= X a ( i ₂ , i ₁ ) j ^P ( ^S i ^x , ^S i ⁵ ) g ( ^S i ⁵ ) ^ds 5 = X a ( i ₂ , i ₁ ) j ^P ( ^S i ^x , ^ ) g№ ^ds 5 = B a ^{u ( x} )•

(i2, i1)=0           dQ                                           (i2, i1)=0

Лемма доказана.

В силу [12, 20], поскольку h ₀ e C ^{2 +е} ( dQ ), h₁ e C ^{1 +e} ( dQ ), f e C ¹( Q ), то B a , h ₀ e C ^{2 +e} ( dQ ), B c * h₁ e C ^{1 +e} ( dQ ), а значит, решение задачи Дирихле (15)-(16) можно представить в форме

• 1 - | x |2                 1-|x|21г

V ( x ) = v 0 ( x ) + —-— Л v 0 ( x ) — V 1 ( x ) +— j G 4 ( x , 5 )( Л + 4) f ( 5 ) d 5 ,

• 2               2           w _n ^JQ

где v ₀( x ), v ₁( x ) - решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа при граничных условиях V ₀ l_dQ = B a * h ₀ ( x ), v ₁ |_dQ = B a * h ₀ ( x ) + B c * h ₁ ( x ), а G₄ ( x , 5 ) - функция Грина задачи Дирихле для би-гармонического уравнения в шаре [17]. В силу леммы 2

v0 (x) = Ba*V0 (x) , V1 (x) = Ba*V0 (x) + Bc*v (x) , где гармонические функции v0( x), ^( x) такие, что vJ, = h0, J, = h1. Поэтому функция v (x) ∂Ω         ∂Ω примет вид (13). Найдем значение v(0). Нетрудно видеть, что

⁽ l 2 ^{- 1} , ^l 1 ^{- 1)}

• ^v 0⁽⁰⁾ = B a * ^v 0^{( x} ) =    X a * ( i ₂ , 4) j ^P ( ⁰ , ⁵ ) ^h 0 ( ⁵ ) ^ds 5 =

⁽ i 2 , i 1 )= ⁰               dQ

• =    — j ^h 0 ( ⁵ ) ^ds 5 X a * ( i ₂ ,4) =^ a * ) j ^h 0 ( ⁵ ) ds 5 = —¹— j ^h 0 ( ⁵ ) ^ds 5 ,

Wn dQ            (i2,i1)=0              Wn dQ              ^°(a)®n dQ поскольку по формуле (8) имеем

1 -1              ( l 2 ^{- 1} , ^l 1 ^{- 1)}                             ( l 2 ^{- 1} , ^l 1 ^{- 1)}

M^a) = X a j ^ 0 = X a ( j 2 , j 1 ) ^ 0 ² ^ 0 = X a ( j 2 , j 1 )

j =0            ( j 2 , j 1 )=0                        ( j 2 , j 1 )=0

и по следствию 5 H0(a*) = b• e0 = 1/H0(a). Кроме того, Л(Ba*v0)(0) = 0, поскольку гармоническая функция ЛВa*v0(x) не имеет в своем разложении в окрестности нуля свободного члена. Аналогично найдем значение v1(0). Таким образом, находим v (°) = ^-А—кА (5) d% - ^Д- Lh (5) ds +—Jg4 (0,5)(Л+4) f (5) d 5.

• 2    ^( a ) ® n ^{JdQ       5} 2 ^(О т n ^{JdQ       5} w n ^Jq

В силу [12, лемма 3] справедливо равенство f g4 (0,5)(Л+4)f (5) d5 = f     5 'f (5) d5

• * Q                           *Q   4

и значит,

• v (0) = Д ( J h 0 ( 5 ) ds 5 — Д J h 1 ( 5 ) ds 5 + ¹J _n( 1 - 1 5 l² ) f ( 5 ) d 5 .

• ^{2 W} n ^ M^a) d^JQ        ⁵ M^c) d^JQ        ^{5 2 jQV       1}       )

Поэтому условие разрешимости v(0) = 0 задачи (15), (16), а значит, и задачи (1), (2) прини- мает вид (12). Само решение записывается в виде u

1 dt

( x ) = ∫ ₀ v ( tx ) _t

, где функция v ( x ) находится

из (13). Теорема доказана.