Биомеханическое обоснование преимуществ внутрикорневого магнитного фиксатора со сферической формой контактной поверхности

Фиксация полных съемных пластиночных протезов является одной из наиболее сложных проблем стоматологии, диктующей необходимость решения не только медицинских, но и биомеханических задач. По данным ВОЗ 20-25% пациентов не пользуются изготовленными съемными протезами по причине их недостаточно надежной фиксации, а также негативного психологического настроя пациентов к протезам. Поэтому поиск путей улучшения устойчивости зубных протезов, повышения их функциональных и эстетических качеств весьма актуален.

Одним из нетрадиционных, но прогрессивных подходов к данной проблеме является использование постоянного магнитного поля. Преимуществами применения постоянных магнитов для фиксации зубных протезов являются обеспечение жевательной, фонетической и других функций зубочелюстной системы, сокращение периода адаптации и психологический комфорт пациента. Современным направлением магнитодонтии является совершенствование механизма магнитной фиксации, разработка новых конструкций дентальных магнитных систем, отвечающих требованиям биологической совместимости и прочности.

Принятие нового решения по конструкции магнитного фиксатора протеза зубов нижней челюсти должно иметь четкие ожидаемые преимущества перед известными способами магнитной фиксации. Эти преимущества должны иметь теоретические и клинические обоснования.

К числу биомеханических критериев качества магнитного фиксатора можно отнести следующие:

• •    надежная фиксация протеза при приеме и пережевывании пищи;

• •    долговечность опорных корней, на которых фиксируется протез;

• •    удобное для пациента введение протеза и извлечение из полости рта.

Удобство использования зубочелюстного протеза на магнитных фиксаторах обеспечивается способом фиксации. По этому критерию различные варианты магнитных фиксаторов равноправны.

Надежность фиксации при приеме и пережевывании пищи определяется в целом качеством протеза, который должен обеспечивать контакт магнита и ферромагнитного штифта с минимальным зазором при пассивном и активном использовании протеза.

Долговечность опорных корней, в первую очередь, зависит от окклюзионной нагрузки и ее распределения в тканях корня и слое фосфат-цемента, скрепляющего штифт фиксатора с дентином корня. Этот критерий является наиболее важным при сравнении различных вариантов магнитных фиксаторов.

Преимущества магнитного фиксатора со сферической контактной парой выяснены по результатам исследований напряженного состояния корня зуба и пародонта при действии окклюзионной нагрузки.

Силы, действующие на штифт фиксатора со стороны магнитной головки при окклюзионной нагрузке

Магнитный внутрикорневой фиксатор (рис. 1) имеет два основных элемента: магнитный колпачок (1), жестко закрепленный в протезе, и ферромагнитный литой штифт (2), закрепленный в корне зуба фосфат-цементом. Детальное описание особенностей этого магнитного фиксатора приведено в [1].

Новая конструкция магнитного фиксатора приведена на рис. 2 и отличается от известных магнитных фиксаторов сферической формой поверхности контакта между магнитным колпачком и штифтом.

После фиксации протеза в полости рта между магнитным колпачком и штифтом возможно образование технологического зазора ( δ_o на рис. 3), обусловленного несоосностью колпачка и штифта. В идеальном случае изготовления протеза этот зазор равен нулю, но и в этом случае формирование зазора возможно за счет подвижности корня зуба при действии окклюзионной нагрузки и изменения конфигурации мягкой ткани (десны) и тела нижней челюсти. При действии окклюзионной нагрузки на протез величина зазора может изменяться. Негативное влияние зазора проявляется в смещении давления со стороны магнитного колпачка на край штифта и в увеличении напряжений в тканях корня и пародонте (количественные значения концентраторов вычислены и обсуждаются ниже).

В фиксаторе с плоской контактной парой технологический зазор δ_o не регулируется при фиксации протеза в полости рта. Изменение зазора при действии окклюзионных усилий возможно за счет деформаций периодонта, мягких тканей десны в области приложения силы и протеза (рис. 4). Компенсация начального зазора в принципе возможна, но маловероятна. Таким образом, в случае плоской поверхности контакта наиболее вероятным будет передача усилия со стороны магнитной головки на край штифта.

При сферической форме поверхности контакта технологический зазор δo частично или полностью устраняется при фиксации протеза в полости рта за счет относительных смещений магнитной головки и штифта. При окклюзионных нагрузках и неполном контакте возможны относительные смещения за счет деформаций мягких тканей. Эти смещения также направлены на восстановление максимальной площади контакта. В случае действия окклюзионной силы, направленной под углом к корню зуба, она будет распределяться между корнем зуба и мягкими тканями. Максимальное отклонение окклюзионной силы, действующей на корень, от длинной оси зуба можно регулировать выбором радиуса кривизны контактной поверхности. В общем случае контактная пара работает как сферический шарнир, ограничивающий боковое давление на штифт и опорный корень.

Расчетная схема для определения силы, действующей на корень зуба, приведена на рис. 5.

Рис. 1. Магнитный фиксатор с плоским контактом. 1 – магнитный колпачок, 2 – штифт.

Рис. 2. Магнитный фиксатор со сферической формой контактной поверхности.

1 – магнитный колпачок, 2 – штифт, 3 – поверхность контакта.

Рис. 3. Зазор между магнитным колпачком и штифтом.

Рис. 4. Образование зазора ψ при окклюзионной нагрузке .

Рассматривается случай предельного равновесия сил, действующих на протез. Со стороны штифта на протез действуют нормальные реакции N ₁ , N ₂ и силы сцепления F_{сц 1} и F_{сц 2} , имеющие максимальные значения, равные

Fi = fNi , F2 = fN2, где f - коэффициент трения, 6 = arctg(f) на рис. 5. Линия действия силы T направлена под углом к длинной оси зуба (и оси симметрии штифта). В случае предельного равновесия составляющая T1 силы T будет уравновешена реакциями штифта R1 и R2 . Вторая составляющая T2 или равна нулю, или уравновешена реакциями мягких тканей, распределенных по протезу. Предполагается, что реакции мягких тканей не влияют на величины реакций N1 , N 2 . Максимальное значение угла γ , определяющего линию действия силы T1 , определяется конфигурацией поперечного сечения протеза. Как видно из рис. 5, силы действуют на штифт по краям. Найдем численные значения этих сил в зависимости от угла γ , угла α (среднее значение угла касательной на контакте) и коэффициента трения из уравнений равновесия:

по оси x: T1 sin у + R2 cos(n/2 - а + 6)-R1 cos(n/2 - а - 6) = 0, по оси y : - T1 cos у + R2 sin(n /2 - а + 6) + R1 sin(n /2 - а - 6) = 0 .

Решение этих уравнений относительно неизвестных сил имеет вид:

R 1

T cos( n /2 - a + в + 9 — Y )

sin( n - 2 a )

R

T₁ cos( n /2 - a + в — 9 + Y )

sin( n - 2 a )

Рис. 6. Влияние формы контакта на равномерность передачи давления на штифт: a = 10^o (кружки), a = 15^o (квадраты), a = 20^o (треугольники).

На рис. 6 построена зависимость разности реакций R ₂ и R 1 в зависимости от угла y , задающего линию действия силы T 1 = 30 кг, при различных углах а и коэффициенте трения f = 0,1. Из этой зависимости следует, что увеличение угла а (или уменьшение радиуса кривизны контактной поверхности) способствует более равномерной нагрузке на штифт.

Напряжения, возникающие в корне зуба с магнитным фиксатором, существенно отличаются от напряжений в тканях здорового зуба [1]. Поэтому задача количественной оценки напряженного состояния в корне зуба и пародонте с учетом особенностей силового взаимодействия магнитной головки со штифтом является актуальной и рассматривается ниже.

Постановка и метод решения задачи о напряженно-деформированном состоянии корня зуба с магнитным фиксатором протеза зубного ряда

Определение напряженно-деформированного состояния корня зуба с магнитным фиксатором сводится к решению системы дифференциальных уравнений линейной теории упругости. Дифференциальная постановка задачи включает уравнения равновесия, обобщенный закон Гука, геометрические соотношения и граничные условия в перемещениях и силах:

^о , j + ft = ⁰

^ij = Cijklekl ’ eij = 2( ui, j + uj, i),                                            (1)

u\_r = 0,

Г _u

PI Г u = ° Un! ’ где oj , ej - компоненты тензора напряжений и линейного тензора деформаций, Cijkl -компоненты тензора упругости, ui - проекции вектора перемещений u , nj - проекции внешней единичной нормали к границе области, Pi - заданные поверхностные силы, i, j = 1,3.

Для применения метода конечных элементов [3] задача (1) приведена к вариационной постановке следующего вида. Найти и е K: joj (и)£у (v)dx = jPiv^dx, V v e K,

( ⁿ                     Г A                                    (2)

K = { v , e C ² (n\ i = 1,3, v i l r u = o}.

Приближенные решения задачи (2) получены с помощью метода конечных элементов. В расчетах использованы механические свойства материалов и тканей корня зуба, приведенные в таблице 1.

Толщина периодонтальной щели задавалась в интервале 0,12-0,25 мм с сужением к центру корня, толщина фосфат-цемента - 0,2 мм, размеры штифта приведены на рис. 2.

Рис. 7. Расчетная схема к задаче с осевой вертикальной нагрузкой .

Таблица 1.

Ткани и материалы	Модуль упругости, кг/мм2	Коэффициент Пуассона
Альвеола	2000	0,3
Губчатая кость	500	0,3
Периодонт	1	0,45
Цемент корня	1800	0,3
Мягкие ткани	0,05	0,3
Штифт	20000	0,3
Фосфат-цемент	2280	0,3
Дентин	1400	0,3

Таблица 2.

Ткани и материалы	Максимальное напряжение: max σi , кг/мм2	Среднее значение ( σi ) , кг/мм2	max σ k =        i σi
Фосфат-цемент	3,35	1,32	2,54
Дентин корня	1,38	0,77	1,80
Цемент корня	1,89	0,99	1,91
Периодонт	0,29	0,21	1,38
Альвеола	1,89	0,91	2,08

Рис. 8. Напряжения Мизеса в дентине и цементе при осевой вертикальной нагрузке T =30 кг .

Рис. 9. Напряжения Мизеса в периодонте при осевой вертикальной нагрузке T =30 кг .

Напряженно-деформированное состояние тканей корня зуба и пародонта при вертикальной осевой и смещенной нагрузках

Осевая нагрузка (линия действия силы совпадает с длинной осью зуба) является наиболее благоприятной по распределению напряжений в корне и пародонте. Задача для осевой нагрузки решена в осесимметричной постановке. В качестве эквивалентного напряжения, которое используется для оценки сложного напряженного состояния, принято напряжение Мизеса [4]. Расчетная схема к задаче показана на рис. 6.

Результаты вычислений приведены на рис. 7-9. Максимальные значения напряжений сведены в таблицу 2.

В фиксирующей прослойке фосфат-цемента возникает значительный концентратор напряжений k (рис. 9, таблица 2), что указывает на несовершенство формы штифта или неподходящие механические свойства фосфат-цемента. Отметим также значительный концентратор напряжений в цементе зуба. Напряжения в периодонте те же, что и для здорового зуба. В работе [2] приводится расчетное значение максимального напряжения 0,297 кг/мм² в периодонте здорового зуба при отсутствии резорбции стенки лунки под действием вертикальной силы 30 кг.

Совпадает и качественное описание распределения напряжений в периодонте по высоте корня зуба [2] с расчетными данными, представленными на рис. 8.

Основным недостатком магнитного фиксатора как биомеханической системы является неравномерное давление на корень зуба со стороны шляпки штифта (рис. 9). Эта особенность существенно отличает напряженное состояние корня зуба с фиксатором от напряженного состояния здорового зуба под действием окклюзионной нагрузки и требует ограничения силового воздействия на корень.

Расчет напряжений при смещенной вертикальной нагрузке (линия действия силы параллельна длинной оси зуба и проходит через край шляпки штифта) выполнен с допущением о плоско-деформированном состоянии (ПДС). Расчетная схема приведена на рис. 10. Допущение о ПДС является существенным, поэтому правомерность его применения проверена сравнением напряжений, найденных с помощью осесимметричной модели и модели ПДС, при действии осевой вертикальной нагрузки 30 кг. Результаты сравнений приведены в таблице 3. Как видно из сравнения, принятие допущения о ПДС приемлемо для анализа напряженного состояния тканей корня зуба, фиксирующего слоя фосфат-цемента и периодонта.

Результаты расчетов при смещенной вертикальной нагрузке приведены на рис. 11-13.

Как видно из рисунков, при смещении нагрузки на край штифта значительно увеличивается концентрация напряжений. Для сравнительного анализа максимальных напряжений Мизеса по тканям зуба, периодонту и фосфат-цементу результаты расчетов сведены в таблицу 4. Там же вычислено отношение n напряжений со смещенной нагрузкой к напряжениям при осевой нагрузке.

Как видно из таблицы 4, смещение нагрузки на край штифта увеличивает максимальные напряжения в фосфат-цементе, дентине и цементе корня примерно в 2,7 раза, в то время как в периодонте напряжения увеличиваются незначительно. Следовательно, передача сил от магнитной головки через штифт на ткани корня зуба биомеханически не совершенна и требует ограничения по направлению воспринимаемой корнем силы. Одним из подходов к решению этой задачи является применение штифта со сферическим контактом.

Рис. 10. Напряжения Мизеса в фосфат-цементе при осевой вертикальной нагрузке T =30 кг .

Таблица 3.

Ткани и материалы	Напряжение Мизеса: max σi , кг/мм2		Погрешность ПДС, %
	Осесимметричная модель	Модель ПДС
Фосфат-цемент	3,35	2,94	12,24
Дентин корня	1,38	1,41	2,17
Цемент корня	1,89	2,05	8,47
Периодонт	0,29	0,31	6,45

Таблица 4.

Материал	Напряжение Мизеса: max σi , кг/мм2		n
	Сила направлена вдоль оси корня	Сила смещена на край штифта
Фосфат-цемент	2,94	7,83	2,66
Дентин корня	1,41	3,80	2,69
Цемент корня	2,05	5,72	2,79
Периодонт	0,31	0,39	1,25

Рис. 11. Давление под шляпкой штифта на корень зуба .

Рис. 12. Расчетная конечно-элементная схема при действии вертикальной смещенной нагрузки.

Рис. 13. Напряжения Мизеса в дентине и цементе при смещенной вертикальной нагрузке T =30 кг.

Рис. 14. Напряжения Мизеса в периодонте при смещенной вертикальной нагрузке T =30 кг.

Рис. 15. Напряжения Мизеса в фосфат-цементе при смещенной вертикальной нагрузке T =30 кг.

Рис. 16. Максимальные напряжения Мизеса при угле у =0: фосфат-цемент (треугольники), дентин (квадраты), цемент (крестики), периодонт (кружки).

Таблица 5.

Материал	Напряжение Мизеса: max σi , кг/мм2
	Сферический контакт ( y = 0, а = 20 o )	Сила смещена на край штифта
Фосфат-цемент	4,18	7,83
Дентин	2,04	3,80
Цемент корня	3,02	5,72
Периодонт	0,32	0,39

Рис. 17. Максимальные напряжения Мизеса при угле γ = 6,3 град: фосфат-цемент (треугольники), дентин (квадраты), цемент (крестики), периодонт (кружки).

Напряженно-деформированное состояние тканей корня опорного зуба и пародонта при использовании магнитного фиксатора со сферическим контактом

В отличие от магнитного фиксатора с плоским контактом фиксатор со сферической формой контакта нагружает опорный корень зуба только силой T ₁ , являющейся частью окклюзионной нагрузки T (рис. 5). Для различных значений угла γ между линией действия силы T ₁ и длинной оси зуба исследовано влияние угла α (см. рис. 2) на напряжения в тканях зуба, периодонте и фосфат-цементе. Результаты расчетов приведены на рис. 14, 15.

Увеличение угла α (или уменьшение радиуса кривизны контактной поверхности) уменьшает максимальные напряжения в тканях зуба и фосфат-цементе. Однако при этом должны увеличиваться относительные смещения магнитной головки и штифта для закрытия начального зазора. В случае двух опорных корней относительные смещения могут оказаться несовместными, и преимущества сферической контактной поверхности могут быть утрачены.

Сравнение максимальных напряжений при смещенной осевой нагрузке (для плоского контакта) и для сферического контакта приведено в таблице 5.

Выводы

Из общих соображений следует, что применение сферической контактной поверхности в магнитном фиксаторе дает принципиальную возможность создания контактной пары, работающей подобно сферическому шарниру, нагружающему корень зуба силой, близкой к вертикальной силе.

Методами механики установлено, что сферический контакт действительно ограничивает боковую силу на корень, предохраняя тем самым ткани зуба от чрезмерных нагрузок. Показано, что увеличение кривизны контактной поверхности уменьшает опасные напряжения в тканях зуба и клеящем слое фосфат-цемента.

Таким образом, доказано, что основным ожидаемым преимуществом предлагаемой конструкции магнитного фиксатора является меньшая по сравнению с плоским контактом максимальная нагрузка на ткани зуба и фосфат-цемент. Это дает основание обоснованно говорить о целесообразности разработки и применения магнитных фиксаторов со сферической контактной поверхностью.