Blow-up of the Solution to the Cauchy Problem for the Equation of Small Oscillations of an Absolutely Flexible Homogeneous Rod
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.28, 2026 года.
Бесплатный доступ
The Cauchy problem is studied for a nonlinear partial differential equation of Sobolev type (i.\,e., an equation not solved for the highest time derivative) that generalizes the equation of small oscillations of an absolutely flexible homogeneous rod. The problem is considered in the space of continuous functions defined on the entire real axis, for which limits exist at infinity. An explicit form of the classical solution to the corresponding linear homogeneous equation is obtained, and norm estimates for the operator-valued functions representing this solution are derived. An estimate for the norm of the solution to the Cauchy problem for the linear homogeneous equation is also given. The time interval of existence and uniqueness of a classical solution to the auxiliary Cauchy problem related to the original one is established, along with an estimate for the norm of this local solution. Conditions are found that ensure a correspondence between the classical solutions of the original and auxiliary Cauchy problems on a certain time interval. Moreover, conditions are examined under which the classical solution to the Cauchy problem blows up on a finite time interval.
Короткий адрес: https://sciup.org/143186295
IDS: 143186295 | УДК: 517.955+517.958 | DOI: 10.46698/c8669-9426-6840-b
Разрушение решения задачи Коши для уравнения малых колебаний абсолютно гибкого однородного стержня
В данной работе исследуется задача Коши для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных типа Соболева (т. е. уравнения, не разрешенного относительно старшей производной по времени), обобщающего уравнение малых колебаний абсолютно гибкого однородного стержня. Задача рассматривается в пространстве непрерывных функций, определенных на всей вещественной оси, для которых существуют пределы на бесконечности. Получена явная форма классического решения соответствующего линейного однородного уравнения, а также выведены оценки нормы для операторнозначных функций, представляющих это решение. Для задачи Коши линейного однородного уравнения также получена оценка нормы решения. Установлен временной интервал существования и единственности классического решения вспомогательной задачи Коши, связанной с исходной, а также оценка нормы этого локального решения. Найдены условия, обеспечивающие соответствие между классическими решениями исходной и вспомогательной задач Коши на определенном временном интервале. Кроме того, установлены условия, при которых классическое решение задачи Коши разрушается за конечное время.
