Борнологии и естественное расширение классoв регулярных элементов в алгебрах операторов

В алгебре непрерывных линейных эндоморфизмов счетно-нормированного пространства рассматривается естественное расширение класса регулярных элементов и показано, что это расширение, которое называют классом квазирегулярных элементов, содержит компактные и другие возмущения некоторых обратимых элементов и проекторов. Квазирегулярные элементы имеют сравнительно простые спектральные свойства при дополнительных ограничениях на пространство.

Пусть E — полное отделимое линейное топологическое пространство и L(E ) — алгебра непрерывных линейных эндоморфизмов пространства E .

В случае ненормируемого локально выпуклого пространства E на L(E), как известно [1], не существует никакой стандартной топологии равномерной сходимости на ограниченных множествах, при которой операция умножения была бы непрерывна или множество обратимых элементов было бы открыто.

Непрерывность композиции операторов полезна в ряде случаев. Например, при построении спектральной теории, аналогичной теории банаховых алгебр, при построении голоморфного функционального исчисления и др. Чтобы обеспечить непрерывность указанной операции умножения, L(E ) наделяют либо псевдотопологией [2], либо борноло-гией ([3], с. 23–44).

В настоящей работе алгебры операторов наделяются борнологиями и в них описываются классы элементов, которые можно рассматривать как расширение известных классов регулярных (ограниченных) элементов этих алгебр (определения будут даны ниже). Показано, что расширенные классы так называемых квазирегулярных элементов содержат многие употребительные классы операторов и в некоторых случаях исчерпывают L(E) с точностью до диагональных операторов в некотором базисе. На примерах обсуждаются спектры этих операторов.

Для удобства читателей напомним отдельные факты из теории борнологических пространств (желающие могут подробнее ознакомиться в [3–7]).

Определение 1. Пусть во множестве Y выделена система подмножеств β , обладающая следующими свойствами:

• 1)    если A ∈ β и B ∈ β , то A ∪ B ∈ β ;

• 2)    если A ⊂ B и B ∈ β , то A ∈ β ;

• 3)    для каждой точки y ∈ Y одноэлементное множество { y } ∈ β .

Систему подмножеств β называют борнологией на Y . Элементы множества β называют ограниченными множествами.

Множество Y с заданной на нем борнологией β называют борнологическим простран ством и обозначают (Y, в). Возвращаясь к алгебре эндоморфизмов L(E) локально выпуклого пространства E , наделим L(E ) борнологией равностепенной непрерывности, т. е. в качестве ограниченных в L(E ) множеств возьмем множество всех равностепенно непрерывных подмножеств пространства L(E ).

Борнологическое пространство L(E ) с борнологией равностепенной непрерывности принято обозначать через Lec(E). Таким образом, множество M С Lec(E) является ограниченным в Lec(E) тогда и только тогда, когда для всякой окрестности V нуля в E множество Q A ^-1 (V) — окрестность нуля в E.

A ∈ M

Если топология в E определяется счетной системой полунорм ( | • k r ) r ^ N , то критерий ограниченности множества M в борнологическом пространстве Lec(E) можно сформулировать и в терминах полунорм k · k _r , r ∈ N.

Предложение 1. Множество M С Lec(E) ограничено в пространстве Lec(E) тогда и только тогда, когда существуют отображение п : N ^ N и функция C : N ^ R . такие, что sup ©kAxkr : kxkn(r) 6 1} 6 C(r) (r G N).

A ∈ M

Определение 2. Пусть Y — векторное пространство над полем C (или R). Говорят, что борнология β на Y согласуется с алгебраической структурой, если алгебраические операции в (Y, в) ограничены, т. е. переводят ограниченные множества в ограниченные. В этом случае говорят, что (Y, в) — векторное борнологическое пространство .

Пространство Lec(E) — векторное борнологическое пространство.

Определение 3. Говорят, что обобщенная последовательность { y λ } в векторном борнологическом пространстве (Y, в) сходится к y o G Y в смысле Макки (или борнологически ), если существует ограниченное множество B G в такое, что для всякого е >  0 существует A o такое, что (у \ — y o ) G еВ для всех A > A o .

Для пространства Lec(E) справедливо

Предложение 2. Обобщенная последовательность { Т д } д е л операторов T \ G L(E) сходится к T G L(E) в смысле Макки в Lec(E ) тогда и только тогда, когда существуют функции s : N ^ N и C : N ^ R . такие, что для любого е >  0 существует А о ( е ) такое, что

IT — тks(r),r 6 EC(r) (А > Ao, Vr G N), где IT||s,r = sup{|Tx|r : ||x||s 6 1}, T G L(E).

Функционалы k · k _s,r , s, r ∈ N, обладают следующими свойствами:

• 1)    0 6 || T | _r,_s 6 + to , T G L(E); если T = 0, то || T ||_s ,_r = 0 для любых s,r G N; если T = 0, то для любого r G N существует s(r) G N такое, что 0 < ||T ||_s( _r ) ,_r <  to ;

• 2)    HAT ||_s,_r = | A | kT ||_s,_r для любых A G C и s,r G N;

• 3)    ||T 1 + T 2 | s,r 6 ||Ti’|| s,r + IIT^ s.r для любых T 1 ,T 2 G L(E) V s,r G N;

• 4)    оператор T принадлежит Lec(E) тогда и только тогда, когда существуют отображения s : N ^ N и C : N ^ R . такие, что ||T H _s ( _r ) ,_r 6 C (r) для всех r G N.

Последнее следует из того, что если L(E _s , E _r ) — множество всех непрерывных линейных операторов, действующих из полунормированного пространства (E, | • | _s ) в по-лунормированное пространство (E, | • | _r ), то оператор T принадлежит L(E _s , E _r ) тогда и только тогда, когда k T k _s,r <  ∞ .

Определение 4. Алгебра R называется борнологической алгеброй , если R — векторное борнологическое пространство, в котором операция умножения R х R 3 (x, y) ^ xy G R ограничена.

Алгебра Lec(E) с композицией операторов в качестве умножения является борнологической алгеброй.

В работах ([3; с. 83], [6; с. 400], [4; с. 94], [7] и др.) продуктивно использовались понятия регулярного элемента кольца и регулярного спектра элемента кольца. Регулярные элементы кольца назывались также ограниченными (Ж. Аллен) или i-ограниченными (С. Варнер).

Определение 5. Элемент a борнологической алгебры R с единицей e называется регулярным , если резольвента R(A, а) определена и ограничена в окрестности бесконечности.

Из определения 5 непосредственно следует, что резольвента в окрестности бесконечности аналитична и представима рядом Неймана. Регулярность элемента a равносильна (см. [3; с. 83]) тому, что существует константа M > 0 такая, что множество {an/Mn}neN является ограниченным. Поэтому элемент T Е Lec(E) будет регулярным тогда и только тогда, когда существуют константа M и функция s : N ^ N такие, что kTnks(r),r 6 Mn (r Е N)                                 (1)

или k T n xk r 6 M n k x k s ( r ) для всех r Е N и x Е E. Регулярные элементы в пространстве Lec(E) можно охарактеризовать и с помощью спектрального радиуса

R(T ) = inf ЙН / T nU^ = inf {M > 0 : ( V n Е N ) k T ⁿ||_sM,_r 6 M ⁿ } r ∈ N n →∞

(см., напр., [13]). Для того, чтобы элемент T Е Lec(E) был регулярным, необходимо и достаточно, чтобы R(T ) <  го .

В [8] было предложено модифицировать известные характеристики целых функций и характеризовать операторы T Е L(E ) порядком e(T), где

e(T) = sup inf БЫ ln-Mnkjr r^N seN n -^ П ln П и типом nA,                  zf v - ln kAnks,r

a(T ) = sup inf lim---—, где e r (T ) = inf lim ----;-----.

_rGN s e N        n ^e r ^(T )                          s e N n -^ n ln n

Тогда, очевидно, для того, чтобы элемент T Е Lec(E) был регулярным, необходимо и достаточно, чтобы порядок e(T) был либо отрицательным, либо равным нулю при типе a(T) <  го .

Определение 6. (см. [3; с. 83]) Регулярным резольвентным множеством регулярного элемента a борнологической алгебры R с единицей называется множество всех таких комплексных чисел А, для которых резольвента R(A, а) существует и является регулярным элементом. Это множество будем обозначать p r (а). Регулярным спектром а называется дополнение регулярного резольвентного множества.

Регулярный спектр элемента а будем обозначать Sp _r ( а ).

Предложение 3. Регулярное резольвентное множество регулярного элемента P r (a ) — это наибольшее открытое множество, на котором резольвента локально ограничена.

P r (a) = inf {M : M >  0, { a n /M ⁿ } _neN — ограниченное множество} .

Регулярный спектр регулярного элемента компактен и не пуст.

Предложение 3 следует из двух тождеств:

^{( a -} s o ^- h) ¹ = (a ^- s o ) ^{1 -} (a ^- s o ) ² ((a ^- s o ) ^{1 —} h ¹ ) ^{1 ,} ((a — s o ) — h ^) = (a — s o )h(a — s o — h ) ^*

В определении 6 можно отказаться от регулярности элемента a ∈ R. В этом случае резольвентное регулярное множество p r (a) может оказаться пустым, но обязательно открытым множеством. Спектр Sp _r a — неограниченное замкнутое множество.

На регулярные элементы борнологической алгебры R переносится большая часть теории Гельфанда для банаховых алгебр. Строится функциональное исчисление Рисса — Данфорда. Если R — коммутативная борнологическая алгебра с единицей, то множество R _r регулярных элементов из R образует коммутативную подалгебру, для которой спектральный радиус является мультипликативной полунормой. Этот факт является ключевым к дальнейшему развитию теории.

В случае некоммутативности алгебры R (как в интересующем нас случае с алгеброй Lec(E)), берут бикоммутант регулярного элемента а, затем — регулярную часть этого бикоммутанта. Получают коммутативную борнологическую алгебру, состоящую из регулярных элементов. Регулярные спектры новой подалгебры сохраняют свои значения, и далее строится теория, аналогичная случаю R _r .

Отмеченные факты составляют суть работ [3] и [6]. По существу, в них выделен класс элементов алгебры R, спектр которых «достаточно хорош». Но можно расширить класс «хороших» элементов алгебры Lec(E).

Определение 7. Элемент T Е Lec(E) назовем квазирегулярным , если существуют отображения s : N ^ N и C : N ^ R ₊ такие, что ||T n ||_s( _r ) ,r 6 C n (r) для всех n Е N и r ∈ N (сравните с неравенством (1)).

Определение 8. Число A o назовем сильно регулярной точкой оператора T Е Lec(E), если в этой точке определена резольвента R(A o , T) = (A o I — T ) ^- 1 , которая является квазирегулярным элементом кольца Lec(E).

Как и для замкнутых операторов в банаховой ситуации, в кольце Lec(E) актуальным вопросом является регулярность бесконечности. Для регулярных элементов удобно принимать бесконечность за элемент регулярного резольвентного множества, так как в окрестности бесконечности резольвента определена и локально ограничена. Для не регулярных элементов кольца Lec(E) дадим

Определение 9. Бесконечность назовем сильно регулярной точкой оператора T ∈ Lec(E), если T является квазирегулярным элементом кольца Lec(E). Множество всех сильно регулярных точек оператора T Е Lec(E) будем обозначать через p _c (T ).

Определение 10. Дополнение C\p _c (T ) назовем ультраспектром оператора T . Ультраспектр оператора T будем обозначать через Sp _c (T). Очевидно, справедливы включения P r (T) С P c (T ) С p(T ), Sp(T) С Sp c (T) С Sp r (T).

Понятия квазирегулярной точки оператора и ультраспектра оператора были впервые введены для операторов, действующих в пространствах A R аналитических внутри круга {z : | z | <  R} функций, в работах [9], [11]. В [11] рассматривалось обобщенное функциональное исчисление в Lec(A R ). Многие идеи работ [9] и [11] послужили основой для дальнейших обобщений в работах [13–15] и других.

В приводимых ниже примерах рассматривается пространство AR всех функций, аналитических в круге {|z| < R} с топологией равномерной сходимости на компактах внутри этого круга. Эта топология счетно-нормированная и описывается, например, следующим набором норм:

^{k f} Ik = max ^|f (z)l , гДе r n ^{T R},

|z|6rn или

∞∞ ^{k f} Ik = X Ы^ГП , если ^{f (} z) = X a k z k • k =0                      k =0

Пусть оператор T E L ( A r ) . В дальнейшем будем рассматривать два способа конкретного задания оператора T :

• а)    оператор T определяется матрицей { s _nk } тейлоровских коэффициентов системы функций

∞

T (z k ) = ^snk z n ;

n =0

• б)    оператор T задается системой функций S k (z) = T(z k ).

Предложение 4 (см. [9] или [10]) . Точка A o E p c (T ) для некоторого T E L(A k ) тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки A o существует матрица {n nk (A) } , обратная матрице, задающей оператор AI — T, и по любому r < R найдется p(r) < R, c(r) <  го и 6(r) > 0 такие, что

∞

k (AI — T ) ^-1 k p ( r ) ,r = sup X Kk (A) | r ⁿ p ^-k 6 c(r) V A : | A — A o | 6 6(r). k

Для A o = го надо брать окрестность | A | >  6(r).

Предложение 5. Точка A o E p _r (T ) тогда и только тогда, когда для любого r < R существуют p(r) < R, 6 >  0 , c >  0 такие, что для всех A , удовлетворяющих неравенству | A — A o | 6 6, выполняется

∞ k 6 c.

sup^2 | n nk (X)Vrⁿp ^k n =o

Рассматриваемые примеры содержат описания операторов в функциональных про- странствах, имеющих реализации в стей

виде пространств К¨ете числовых последовательно-

l p ^{[ a} r,n ] — * £ — (к) ^:

_∞             1 _p

|ξn|parp,n n=1

= | ^ | _r <  го , r E N

с топологией, задаваемой системой полунорм ( | • | _r ), где 1 6 p 6 го , 0 6 a _r,n 6 a r+i,n , r, n ∈ N. В работе [16] показано, что в этих пространствах всегда имеется система ограниченных множеств, состоящая из p -эллипсоидов, и эта система является базой некоторой борнологии, которую иногда называют борнологией фон Неймана (см., напр., [4]). Естественно называть ее К¨ете-борнологией.

В заметке [17] показано, что имеется класс пространств К¨ете, в которых каждый оператор из L(E) с точностью до диагонального оператора в некотором базисе является или компактным возмущением проектора, либо тождественного оператора, или просто компактным оператором. Здесь компактность подразумевалась в каждом ассоциированном банаховом пространстве (это слабее компактности в E ).

Тем самым каждый оператор из L(E) с точностью до диагонального преобразования является квазирегулярным с достаточно «хорошими» спектральными свойствами, так как в нормированных пространствах спектр указанных операторов хорошо изучен.

Для счетно-нормированного пространства E покажем, что класс квазирегулярных операторов включает различные возмущения обратимых операторов и проекторов.

Предложение 6. Пусть для оператора T Е L(E) в счетно-нормированном пространстве E оператор T ² — T = R является квазирегулярным, т. е. имеется система полунорм ( k • ||r ) , задающая исходную топологию E, такая, что для любых r Е N существует C(r) > 0 , обеспечивающее неравенство | Re | r 6 C (r) | e | r при всех e Е E. Тогда T тоже квазирегулярен.

C Пространство E всегда можно считать наделенным топологией, задаваемой монотонной системой полунорм ( | • | _r ), т. е. для окрестностей нуля U r = { e Е E : | • | _r 6 1 } выполнены вложения U i D U 2 D ... D U r D U r +i D .... В силу непрерывности оператора T для любого r Е N существуют s(r) и B(r) > 0 такие, что | Te | _r 6 B(r) | e k s ( _r ) при всех e ∈ E. Покажем, что выполнено условие

( V r Е N)  ( 3 s(r))  ( 3 D(r) > 0)   V e Е E  | T n e | r 6 (D(r)HlelU r) .

Ввиду неравенства треугольника получаем

| T ² e | r 6 | (T ² — T )e | r + | Te | r 6 C (r) | e | r + B(r) | e k s ( r ) 6 D ² (r) | e k s ( r ) , e Е E.

Если доказано, что kTiekr 6 (D(r))i lleks(r), e Е E i 6 n - 1, то снова с использованием неравенства треугольника получаем kTnekr 6 k(Tn — Tn-1 )ekr + k(Tn—1 - Tn—2)e|r + ... + k(T2 - T)e|r + Mr n-2                       n-2

6 £(D(r)) - C(r)||elU ) 6 E(D(>')) ¹⁺¹H s_W i =0                          i =0

• 6 D r D r k e k s ( r ) 6 (D(r)) ⁿ|| e|| s       e е E.

D(r) — 1

Требуемое условие для степеней T доказано. В нем можно предполагать D(r) 6 D(r + 1), r ∈ N, чего, в случае необходимости, можно добиться увеличением этих констант.

Определим на E новую систему окрестностей нуля, полагая

∞

W1 = span ^J n=0

T ⁿ (D(1)) n ^{U 1 ,} ...^,

∞

Wr = span n=0

T ⁿ

(Dtr^) n U ^r ’-

(здесь в объединениях при n = 0 присутствует U r ). Легко заметить, что W _r D U r D W _s ( _r ) , согласно доказанному выше условию, так что (W r ) Г =1 — базис окрестностей нуля исходной топологии E . Если e Е ( DTr )) n U r , то DTe) Е (pT n + n +T U r , т. е. Te Е D(r)W r , а значит, обозначив ||| · ||| _r функционал Минковского множества W _r , имеем

||Te||r 6 D(r) ||e||r,   e Е E, что и требовалось доказать.

Аналогичными рассуждениями можно показать, что в произвольном локально выпуклом пространстве E класс квазирегулярных операторов включает в себя различные возмущения инволютивных изоморфизмов.

Для счетно-нормированных пространств К¨ете при различных дополнительных ограничениях на определяющую матрицу можно получить более детальную информацию, в частности, и о спектральных свойствах квазирегулярных операторов.

Пусть E = lp[ar,n], p > 1, и матрица [ar,n] удовлетворяет дополнительному условию ar,n I 0 (n To), r G N, ar+1,n которое называют правильностью в смысле Драгилева. В этом случае говорят также, что E имеет правильный канонический базис (ортов).

Пространства A R (A ^ ) в приведенных выше и ниже примерах изоморфны, очевидно, пространствам К¨ете последовательностей коэффициентов тэйлоровских разложений, определяемым правильными матрицами. При наличии правильного базиса ортов в пространстве Кете E , т. е. предполагая правильность матрицы [a _r,_n ], рассмотрим следующее условие разреженности этой матрицы

( V r) ( 3 s = s(r) )     lim a ^r,n a ^{s,n 1} = о.                          (2)

ⁿ ^“ a s,n a r,n-i

В [18] показано, что это условие является топологическим инвариантом и записывается в терминах так называемых относительных n-поперечников окрестностей нуля. Из него непосредственно следует ядерность пространства К¨ете.

Пусть T : E ^ E — линейный оператор с матрицей ((b ij )) в основном базисе пространства. Обозначим через J оператор, имеющий (в том же базисе) диагональную матрицу с элементами b jj по главной диагонали. При некоторых условиях оператор T разлагается в сумму вида

T = J + L, L G A(E), (3)

где A(E) — класс всех тех линейных операторов L : E ^ E, которые при любом r G N могут быть продолжены до компактного оператора L _r : E r ^ E r .

Теорема. Всякий оператор T : E ^ E, допускающий при любом r расширение до некоторого ограниченного оператора в E r , разлагается в сумму (3) тогда и только тогда, когда в E выполнено условие (2) .

• <1 Пусть T удовлетворяет условию теоремы ив E выполнено условие (2). Покажем, что T разлагается в сумму (3). Для этого надо доказать, что для оператора T ⁰ , который получется из T , если положить b jj = 0, j = 1, 2,..., при любом r G N выполняется условие:

∞ lim Elbin । — =0,                          (4)

n^“         ar,n / которое достаточно для T0 G A(E).

Для произвольного r выберем r i и r 2 так, чтобы r i <  r < r 2 и a ri,n a r,n - 1      _n ar-2n a r,n + 1 n             \

—— • — > 0, —— • — > 0 (n ^ oo). a r,n a r i ,n - 1            a r,n ^a r 2 ,n + 1

Это можно сделать на основании (2). С помощью тождественных преобразований и оценок, вытекающих из правильности базиса {en} (kenkp = ar,n), получаем kT0enkr ken kr

n — 1

∞

Е I b in l— + E I b in l =

i =1

a r,n

a r 1 ,n a r,n a r 1 ,n

i = n +1

∞

a r,n

n — 1

ar,i ar1 ,i ar1 ,n |bin | i=1      ar2n ar12n ar12i

∞ ar,i ar2,i ar2,n |bin | i=n+1      ar2n ar22n ar22i

max 1 6 i 6 n — 1

a r2n — 1

a r,n a r i ,n — 1

ar,i        |bin| ar ,i

¹ 1 =1

ar1 ,i ar1 ,n

∞

+

^a r 2 ,n max a r^ X Ib in l ^r 2 ,¹ a r,n ⁱ > ^{n+1 a} r 2 ,i i=n+1      a r 2 ,n

k T r i k ₊ a a           k^ 0  (T r i : E r i - E r i )

a r2n a r 2 2n +1

при n — го в силу выбора r 1 и r ₂ . Таким образом, T 0 удовлетворяет условию (4) и T разлагается в сумму (3).

Предположим теперь, что в E условие (2) не выполняется, т. е. существует r g такое, что для любого r выполняется

y_m a r o ,n a r,n—1 n^^ ^a r,n ^a r o ,n — 1

= а Г 0 > 0,

причем все а Г ⁰ 6 1, так как

a r o ,n ^a r,n — 1 6 1 a r2n a r 0 2n — 1

Построим непрерывное отображение пространства E в себя, которое удовлетворяет условию леммы и которое нельзя представить в виде (3).

Обозначим v r (r = r g + 1,r g + 2,...) последовательности, для которых

li_m a r o ,n a rn - 1 n ^ ^V r a r,n a r o ,n — 1

= a r > 0.

Кроме того, ν _r для удобства выберем такими, что

a r o ,n • a r,n — 1 >  _a r o a r2n    a r 0 2n — 1

-

ε r

для всех n Е v r , где e r (r = r g + 1, r g + 2,...) удовлетворяют неравенствам

<     < C 1     (c1 — некоторая константа).

ε _r

Последовательности ν r из натуральных чисел

(r = r g + 1, ...0) можно выбрать непересекающимися и состоящими одинаковой четности. Построим оператор B = T — I с помощью

такой матрицы ((bj)), у которой все элементы за исключением элементов выше главной ∞ диагонали bn+1n при n Е U vr равны нулю.

r = r o +1

Отличные от нуля элементы этой матрицы определим следующим образом: b _n— 1 _,n = а Г ⁰ а _г,_п а — П - 1 , n Е v r (r = r g + 1,...). Пусть € Е E произвольный элемент

∞

€ = E^ n e n - n =g

Согласно построению, для любого s > r0 справедлива оценка kB^ks 6 E KnlkBenks = E l^n|bn-i,nas,n-i = E E '- aaas,n-i n∈∪νr                n∈∪νr                       r n∈νr          r,n-1

αrr0       |ξn|as,n r6s     n∈νr

+ E E^ laro r>s n∈ν

a r,n a r 0 ,n - 1 a r 0 ,n a r,n - 1 a r 0 ,n a r 0 ,n - 1

a s,n - 1

6 fmax { a r ^o } + sup | " H k < k s = C s k ^ k s r 6 s          r>s α r ⁰ - ε r

А это и означает ограниченность построенного оператора в E _s . В то же время нетрудно убедиться, что оператор T = I + B нельзя представить в виде (3). Теорема доказана. B

Из спектральных свойств квазирегулярных проекторов в указанных пространствах вытекает

Следствие. В пространствах Кете, удовлетворяющих условию (2) , образы квазире-гулярных проекторов имеют базисы.

Примерами пространств аналитических функций, удовлетворяющих условию теоремы, являются пространства лакунарных степенных рядов A r ( v ), R 6 го , порождаемые последовательностями степеней (z n k ) _n k ^_v с ограничением на лакуны (пропуски)

ⁿ k +1

lim ----- > 1.

k →∞ ⁿ k

Как показано в [19] при более сильном ограничении nk lim ---- = 0

k →∞ n _k+1

в указанных пространствах A r ( v ) любой непрерывный оператор с точностью до диагонального оператора-множителя квазирегулярен.

В следующих примерах обсуждаются соотношения между упоминавшимися видами спектров операторов.

Пример 1. Пусть X k Е C(k Е N = { 0 } U N), оператор T задан системой функций

Sk(z) = Xkzk, где                        ___ lim kXk 6 1.

k →∞

Тогда T Е L(Ar), 0 < R 6 го. Резольвента R(X,T) определяется системой функций zk nk (z,X) = ----—.

λ - λ k

Спектр Sp(T), очевидно, задается следующим образом

Sp(T) = Л U { X :

lim \к k→∞  λ

- λ _k

> 1 } = Л U { X : lim V | X - Xk | < 1 } , k →∞

где Л = {Xk : к Е N}. Покажем, что Spc(T) = Л. Действительно, пусть Xo Е Л и тогда существует подпоследовательность λkj → λ0 . Следовательно, rk ρ-k                   rkj ρ-kj sup k(XI - T)- kr,p = sup sup----— > sup sup-----— = го,

|λ-λ0|6δ                         |λ-λ0|6δ k∈N |λ - λk|    |λ-λ0 |6δ j∈N |λkj - λ0| где r < R, r < p < R. А это и означает, что Ao G Spc(T).

Если lim | A k | = го , то го G Sp c (T). Следовательно, Sp c (T) \ Sp(T) = 0, T — нерегулярный оператор и, очевидно, Sp c (T) = Sp r (T ).

Пример 2. Оператор умножения на функцию в Ar, R 6 го, (Tf)(z) = ^o(z)f(z), где ^o(z) G Ar, порождается системой функций pk(z) = zk^o(z). Резольвента R(A, T) определяется системой функций zk

^{П к (} z'^{A )} = A - _w(z) •

Нетрудно проверить, что в этом случае Sp(T) = Spc(T) С Sp(T) = Spr(T). Если R = го, то, если ^o(z) не является многочленом, ее максимум модуля растет бесконечно быстрее, чем максимум модуля любого многочлена. Поэтому оператор T умножения на ^o(z) не является регулярным, Spr(T) = C. В частности, при ^o(z) = ez kT-1IU = X n! = ep.

Значит множество { e ^-p n T ^-n } — ограничено в пространстве L(AC p ), где AC p — банахово пространство всех аналитических в круге | z | < ρ функций с конечной нормой

∞∞

Ifkp = E^IPk - f (z) = Eak zk • k=0                 k=0

Следовательно, 0 G p c (T). Очевидно, ||T n k pp 6 M n для всех M > e ^p , поэтому p _c (T ) = { 0, го} . В случае, когда T — оператор умножения на z, p _c (T ) = {го} , p _r (T) = 0.

Пример 3. Оператор T , порожденный системой

, ,   ( mz2m+1, k = 2m + 1,      = skИ = | ^m+2,   k = 2 m    " G N принадлежит L(Ar), 0 < R < го. В этом случае

π k

кА) = {

λ-mz

λ - z ² z ^,

k = 2m + 1 k = 2m,

m ∈ N.

Отсюда легко получить, что

Sp(T) = N U {| A | < R ² } .

Sp r (T) = Sp(T) U {го} , Sp c = Sp r (T) U {| A | = R ² } .

Во всех известных примерах в пространствах L ( A r ) справедливо включение

Sp c (T) С Sp(T).

Доказать справедливость включения (5) в общем случае не удалось. Но при некоторых предположениях относительно оператора T было доказано, что пересечение Sp c (T) П Intp(T) первой категории в Intp(T) и связано с Frp(T) [12], т. е. если Sp c (T) и шире Sp(T), то Sp c (T) отличается от Sp(T) на достаточно редкое множество. В [12] были доказаны некоторые уточнения и расширение результатов из [11].

Подробнее о функциональном исчислении в пространствах и его приложениях см. в [10], [19] и др.