C1-аппроксимация решений эллиптических систем кусочно-гладкими отображениями

1.    Постановка задачи © Болучевская А.В., 2011

Задача аппроксимации функций различных классов и их производных является одной из важнейших и активно исследуемых областей математики. В данной работе, в частности, будет рассмотрена кусочно-гладкая аппроксимация решений эллиптических систем, заданных на нерегулярных треугольных сетках, а также аппроксимация дифференциалов таких решений.

Необходимо отметить, что особенно важным в подобных задачах является оценка погрешности аппроксимации производных, поскольку в подавляющем большинстве случаев эта погрешность зависит от формы треугольников сети (как правило, от максимального или минимального углов). Эта зависимость от углов треугольника в свою очередь сильно затрудняет построение сеток, поскольку присутствие «плохих» треугольников, чьи углы не удовлетворяют определенным условиям, может привести к отсутствию сходимости производных вообще.

Поэтому при изучении кусочно-гладких аппроксимаций решений эллиптических систем определенного вида возникла следующая задача. Проверить, верно ли, что погрешность аппроксимации дифференциалов таких отображений дифференциалами приближающих отображений зависит от углов треугольников сети, и, в случае утвердительного ответа, построить отображение, приближающее дифференциал, но с погрешностью, независящей от триангуляции.

Перейдем теперь к точным формулировкам.

Пусть D ⊂ R ² — область, в которой задана последовательность { P _m } _m ^∞ ₌₁ конечных наборов точек.

Для каждого такого набора рассмотрим его триангуляцию Tm [5, с. 32]. Для всякого треугольника S ∈ Tm определим длину dS максимальной его стороны. Положим dm = max dS.

S ∈ T m

Будем рассматривать такие наборы точек Pm и их триангуляции Tm , для которых dm ^ 0 при m ^ to

и

V e > 0 3 m ₀ G N : V m > m ₀ V x 6 D 3 a G P m такая, что | a — x | <  e. (2)

Условие (2) означает, что P _m является ε -сетью при всех достаточно больших m .

Пусть f(x): D ^ D*, D* C R2 — отображение вида f(x) = (U(x),V(x)), x = (x1 , x2), где U(x),V(x) G C2(D) являются решениями эллиптической системы уравнений [4, с. 176]

dV ^(x) = ^—a 2 ^(x) dU^(x)- dV ^(x) =^{a i (x)} dU^(x)-

а a 1 (x),a ₂ (x) G C 1 (D) , a 1 (x) • a ₂ (x) > 0 V x G D — условие эллиптичности.

Для всякого натурального m построим приближающее отображение fm (x): D ^ ^ D*, fm(x) = (Um(x), Vm(x)) такое, что Um(x), Vm(x) G C 1(D) и fm(a) = f (a) для любой точки a G Pm.

Для всякого x G D рассмотрим дифференциалы отображений f (x) и f _m (x) :

df ( x ) =

∂U эЕ(x)

dV

\ dV- (x) ∂x ₁

∂U aE(x)

dV

M <^x>

/

df m ( x ) =

∂U m 3x 1	(x)	∂U m ∂x 2	(x)
dV m ∂x 1	( x )	∂V m ∂x 2	( x )

Построим пример, который покажет, что при приближении отображения df отображением df m погрешность зависит от степени вырожденности треугольников сети.

Пример 1. Рассмотрим отображение f (x) = (U(x), V(x)) = (x2 — x2, 2xix2)

( или f (z) = z ² , z G C)

и область

D = { (x 1 , x ₂ ): 0 <  x 1 <  1, 0 <  x ₂ <  1 } .

Заметим, что это отображение удовлетворяет системе Коши — Римана, которая получается из системы (3) при a 1 (x) = 1,a ₂ (x) = 1 всюду в D .

Разделим область D на k одинаковых прямоугольников отрезками, параллельными оси абсцисс, и на n одинаковых прямоугольников отрезками, параллельными оси ординат. Построим триангуляцию, которая отображена на рисунке 1.

Рис. 1. Триангуляция в примере 1

В полученной триангуляции рассмотрим, например, треугольник с вершинами р ₀ = = (0, ¹ ),p i = ( 2n , 2г ),p 2 = ( П , ¹ ) (на рис.1 он закрашен черным цветом). Для данного треугольника по этим трем точкам построим приближающее кусочно-линейное отображение f m (x) .

Тогда в полученном треугольнике функции U m (x),V m (x) задаются уравнениями

1 k 3    11

^Um(x) = nx ¹ + (^n   2k) x ² 2n ⁺ 2k2¹

V m (x) = ² x i + ¹ x 2 Г . k n nk

Возьмем, например, внутреннюю точку треугольника P = ( 2П , 43 ) . Следовательно,

/ 1

3 2k 1

n

df (P ) = I n ₃

V 2k

и

/ 1 k     3

dfm(P) = dfm(x) = I П  2n2   2k kn

Тогда

e = y df (P) — df m (P ) y< - k

k

2n 2

+

1 2k

Ясно, что при n, к ^ то величина e стремится к нулю только если 42 ^ 0 . Таким образом, при k , равном, например, n ³ , дифференциал отображения f m не может аппроксимировать дифференциал отображения f .

Следовательно, возникает следующая задача. Для всякого S Е T m требуется построить матрицу A _m (x) , x Е S , аппроксимирующую df (x) , и оценить погрешность аппроксимации вида

e(S ) = sup || df (x) - A m (x) || .

x ∈ S

Предполагается, что эта погрешность не должна зависеть от степени вырожденности треугольников.

2.    Оценка погрешности

Пусть в D задана прямоугольная декартова система координат. Для всякого m рассмотрим треугольник S Е T m . Если l — направление наибольшей стороны треугольника, ϕ — меньший из двух углов между этой стороной и осью абсцисс и

K i (a i ,a 2 ,^)

a ₂ (x)cos^ a 1 (x)sin ² ^ + a ₂ (x)cos ² ^,

K 2 (a i ,« 2 ,^)

sin ^ a _i (x)sin ² ^ + a ₂ (x)cos ² ^’

К з (а 1 , a 2 , ^) = a i (x)K(a i , « 2 , ^),

K 4 (a i ,« 2 ,^) = - a i (x)a 2 (x)K 2 (a i , « 2 , ^),

K 5 (a i ,a 2 , ^)

1 a 2 (x)

K i (a i ,« 2 ,^),

К б (a i ,« 2 ,^) = a i (x)K i (a i ,« 2 ,^),

то верна следующая теорема.

Теорема 1. Если V x Е S элементы матрицы A m (x) = (a ij ) имеют следующий вид:

∂Um aii = K1(a1,a2,У) dl ∂Vm (x) + K2(«i ,«2,^) dl (x), ∂Um ai2 = Кз^Е^,1^) dl ∂Vm (x) + K4(«i ,«2,^) dl (x), ∂Um a2i = K5(a1,a2,У) dl (x) + Ki(«i ,«2,^) dl (x), ∂Um a22 = Кб^Е^,1^) dl (x) + K3(«i ,«2,^) ^l (x), то справедлива оценка: e(S) < Mi dm + M2 dm + M3(^i(dm) + li(dm)) + M4 (^2 (dm) + l2(dm)) где wi(t), w2(t) — модули непрерывности градиентов функций Um(x), Vm(x) соответ- ственно, dm                         dm li(dm) = d- 1 Ui(t)dt,  l2(dm) = d~ У ^2(t)dt m0                    m0 и a = a(ai,a2) > 0, в = в(ai,«2) > 0, d = dist(S, dD), Mi = Mi(ai,a2,U, d,diamD, ^), M2 = M2(ai, «2, V, d, diamD, ^), M3 = M3(«i, «2, ^), M4 = M4(«i, «2, ^)•

Доказательство. Для доказательства теоремы использовались идеи, предложенные в работе [3].

Обозначим вершины S как p 0 , p 1 , p 2 , так, чтобы точки p 0 и p 1 образовывали максимальную сторону.

Для всякого x G S имеем

U m (p i ) = U(p i ),

V m (p i ) = V(p i ),   i = 0, 1, 2.

Преобразуем систему координат путем переноса ее в точку p ₀ и поворота против часовой стрелки на угол ϕ следующим образом:

{

X 1 = (x 1 — x 1 ) cos ^ + (x ₂ — x 2 ) sin ^,

X2 = — (x1 — x1) sin ^ + (x2 — x0) cos ^, где (X1,X2) — новые координаты точки x, p0 = (x0,x0).

Тогда U(x) = U(x1(X1,X2),x2(X1,X2)) и коэффициенты матрицы Am(x) преобра- зуются к виду:

∂U m

^a 11

^a 21

∂X 1 ∂V m ∂X 1

(x)

(x)

где

a i2 =L i (a i ,a 2 ,^)

a 22 =L 3 (a i ,a 2 ,^)

∂U m ∂X 1 ∂U m ∂X 1

(x) + L 2 (a i ,a 2 ,^)

(x) + L i (a i ,a 2 ,^)

∂V m ∂X 1 ∂V m ∂X 1

(x)

(x)

L i (a i ,a 2 ,^)

L ₂ (a i ,a ₂ ,^)

sin ^ cos ^ (a 1 (x) — a ₂ (x)) a 1 (x)sin ² ^ + a ₂ (x)cos ² ^ ’

L s (a i ,a ₂ ,^)

a 1 (x)sin ² ^ + a ₂ (x)cos ² ^’ a 1 (x)a ₂ (x)

a 1 (x)sin ² ^ + a ₂ (x)cos ² ^

А система (3) примет вид:

∂V ∂X 1 ∂V ∂X 2

(x) = A 1 (x)

(x) = A 3 (x)

∂U ∂X 1 ∂U ∂X 1

(x) + A 2 (x)

(x) + A i (x)

∂U ∂X 2 ∂U ∂X 2

(x),

(x),

где

A 1 (x) = sin^ cos^ (a ₂ (x) — a 1 (x)), A ₂ (x) = a 1 (x)sin ² ^ + a ₂ (x)cos ² ^, A ₃ (x) = a 1 (x)cos ² ^ + a ₂ (x)sin ² ^.

Поскольку функции U(x), V(x), U _m (x), V _m (x) G C 1 (D) , то, согласно (4), получим

{

Um (Po) + (VUm(po),Pi - po) + (i(pi — Po) = U (po) + (VU (po ),pi — po) + Г1 (pi — po), Vm(Po) + (VVm(po),pi — po) + £2 (pi — po) = V (po) + (VV (po ), pi — po) + Г 2 (pi — po), где ri(pi - po), r;(Pi - Po), (;(Pi - Po), (;(Pi - Po) — остаточные члены.

Раскладывая векторы VUm(po) - VU(po), VVm(po) - VV(po), pi - po по базису, образованному в результате поворота системы координат, будем иметь f /dUm, , dU, , A,vl           (8Um, , 9U, , \,„(   ,,„,

(dx^(x) - ax^{(p o} >)^№ - ^{x) +} lax ; ^(x) - ax ; ^№ - X ² ) =

= ^r 1 ⁽P i ^- P o ) ^- ( 1 ⁽P i ^- P o ),

( ^д^ы   ^9V( Xi        ( ^9V(

Iax ; ^(x) - ax ; ^{(p o )} ) ^(X 1 - ^x) ⁺ lax ; ^(x) - ax ;^{: x} - ^x ) =

= r2(Pi - Po) - &(Pi - Po), где Pi = (x;,x;),i = 0,1, 2.

Поскольку x ; = x 2 = 0 и x ; = 0 , то при i = 1 получим

<	' dU m         dU        r ; (p ; - p o ) - ( 1 (p 1 - P o ) dx ; (P o ) dx ; (P o )=            x ;             ,                  ... dV m       dV       r ; (p ; - p o ) - f 2 (p ; - P o ) [ dx ; (P o ) dx ; (P o )=            x ;             -

Система (3) является эллиптической в D . Следовательно, дифференцируя первое уравнение системы по x _; , второе — по x _; и складывая уравнения, получим, что U (x) удовлетворяет следующему эллиптическому уравнению второго порядка [2, с. 11]

a _; (x)

∂ ² U          ∂ ² U ∂α 1 ∂U ∂α 2 ∂U

aX f ^{(x) + a} 2 ^(x) aX f ^{(x) +} aX X ^(x) aX X ^{(x) +} dX ; ^(x) ax ; ^(x) =^0-

Пусть t G [0,1] . Тогда получим

VU(po + t(x - Po)) - VU(po) = R(po + t(x - Po)), где, в силу эллиптичности (8), функция R(po + t(x - Po)) удовлетворяет условию

R(po + t(x - po)) < C;d a|t(x - po)|a, где C; = C1(a1, a;, U, d, diamD) [2, с. 297].

Полученное равенство умножим скалярно на вектор x - p _o и проинтегрируем по t . Тогда имеем

U(x) - U(p o ) = (V U(p o ),x

- P o ) + У ( R(P o + t(x - P o )),x - P o ^ dt-

Откуда, учитывая условие на | R(p _o + t(x - p _o )) | ,

α+1            α+1

|U(x) - U(po) - (VU(po),x - po> | < C;d-a '----p .    < C;d-a-S - a + 1          a + 1

Теперь через w _; (t) обозначим модуль непрерывности градиента функции U _m (x) . Так, V y ₁ ,y ₂ G D выполнено

|V U m (y ; ) -V U m (y ; ) | <  ^ ; ( | у ; - У ; | )-

Следовательно,

I € 1 (P 1 ^- P o ) l | P i ^- P o |

^|U m ⁽P 1 ^{) -} U m ⁽P 0 ⁾ - (V U m^ ), P i ^- P o } | | P i ^- P o |

< l i ^(d S ),

dS где k(ds) = d- J ui(t)dt.

d S ₀

Тогда из (7) получаем

∂U m ∂X 1

(P o )

-

∂U dXi(po)

<

| r 1 ⁽P 1 ^- P o ) | + ^(p l - p o l l d S             d S

α

< Cl d-a —S a + 1

⁺ l i ^(d S ).

Также, ввиду эллиптичности (8), для всех x Е S можем оценить

∂U

∂X 1

(x)

-

∂U

∂X 1

(P o ) <  C i d" ^a l x

-

P o | ^a <  Cd ' d

α

S ^.

Следовательно,

∂U

∂X 1

(x)

-

∂U m

∂X 1

(x)

<

∂U m

∂X 1

(x)

-

∂U m

∂X 1

⁽P o ) +

∂U m

∂X 1

(P o )

-

∂U

∂X 1

⁽P o ) +

+

∂U

∂X 1

(P o )

∂U

-

∂X 1

(x)

< ^ i ^(d S ) ⁺ l i ^(d S ) ⁺

a + 2

a+1

_{C 1 d} -α _{d S}α _.

Поскольку функция V(x) также удовлетворяет эллиптическому уравнению

1 / д2 ² V, х 1 , д2 ² V, х a 2 ^(x) dxE ^{(x) +} a i ^(x) "dxE ^{(x) +}

^∂ α¹2

∂x 1

(x) dV(x) +

∂ ¹ α1

∂x 2

∂V

(x)—^(x) = 0, ∂x 2

то, проведя аналогичные рассуждения и обозначая w ₂ (t) — модуль непрерывности градиента функции V m (x) , имеем

| < 2 ⁽P 1 ^- P o ) |

^IP 1 ^- P o |

< l ₂ (d _S ),

dS где

l 2 ^(d S ) = dT f y 2 ^(t)dt .

d S ₀

Таким образом, dV ( A dVm ( \        д A । Z A , в + 2 ri Л — в в dX1(x) - dXl(x) < ^2(ds) + l2(ds) + в + 1 C2d dSs, где C2 = C2(a1, a2, V, d, diamD) Обозначим a+2

q i = ^ i ^(d s ) ⁺ l i ^(d s ) +--TTC i d ^d s ^, a+1

в+2

^q 2 = Ш 2 ^(d S ) ⁺ l 2 ^(d S ) ⁺ в + 1 C 2 ^{d d} S .

Теперь из системы (6) и уже полученных оценок имеем:

dU / , ^dUm dX2 W - lL1(a1,a2,ф) dx (x) + L2 (a1,a2,

< L(al,a2,ф)|q1 + |L2(al,a2,ф)|q2, dV       /<           dUm, d^ (x) - I Lз(a1,a2,ф) dX1 (x) + Li (a1,a2, < |Lз(a1,a2,ф)|q1 + |L1(a1,a2,ф)|q2•

- »!<

ф)S^1)<

Отсюда, полагая, что || A || = (a ij ) = ^2 | a ij | , для всех x € S получим i,j

a + 2

II df(x) - Am(x) || < dm---7-i"C1d   (1 + |L1(a1, a2, ф) | + |L3(a1, a2, ф) |) + a + 1

в + 2

⁺ d m p + 1 ^C 2 d (^{1 + | L (a} 1 , ^a 2 , ф) ^{| + | L} 2 ^(a 1 , ^a 2 , ф) ^ ⁺

⁺ ( ^ 1 (d S ) ⁺ l 1 ^(d S ) ) ( 1 ^{+ | L} 1 ^(a 1 , ^a 2 , ф) ^{| + | L} 3 ^(a 1 , ^a 2 , ф) ^| ) ⁺

⁺ ( ^ 2 ⁽d S ) ⁺ l 2 ^(d S ) ) ( 1 ^{+ | L} 1 ^(a 1 , ^a 2 , ф) ^{| + | L} 2 ^(a 1 , ^a 2 , ф) ^ •

Учитывая монотонность функции

τ

T j _ш (t)dt,

получим

l 1 (d s ) <  l 1 (d m ), l 2 ^(d S ) <  l 2 ^(d m ).

Далее, обозначая

M 1 =

M 2 =

a + 2C1d a ( 1 + sup|L1(a1,a2,ф)| + вир^з(а1, a2, ф)| , a + 1             xEs                  xes в-+^C2d-e ( 1 + sup|L1(a1,a2,ф)| + sup^2(a1,a2,ф)| ) ,

P ^{+ 1}        \     x E S                  x E S

M 3 = 1 + sup ^| L 1 (a 1 ,a 2 ,ф) ^| + sup^a^ a 2 , ф) ^| ₅ x ∈ S                   x ∈ S

M 4 = 1 + sup ^| L 1 (a 1 , a 2 , ф) ^| + sup^^, a 2 , ф) ^| ₅

x ∈ S

x ∈ S

получаем требуемое.

Следствие 1. Пусть в области D с R2 задана последовательность {Pm}“=1 конечных наборов точек и их триангуляций Tm. Тогда, если выполнены условия (1), (2) и G сс D — произвольная компактно вложенная подобласть, то max e(S) = max sup || df (x) — Am(x) 11^ 0 при m ^ to.

S ∈ T m ,S ⊂ G        S ∈ T m ,S ⊂ G _{x ∈ S}             ^m

3.    Оценка погрешности для уравнения Бельтрами

Пусть теперь D — область в C , в которой задана последовательность { P _m } _m ^∞ ₌₁ конечных наборов точек и их триангуляций T m . Предположим также, что выполнены условия (1) и (2).

Пусть f (z) — определенная в D комплекснозначная функция вида f (z) = U(xx, X2) + iV(xi,X2), z = xi + ix2 E D,

U(X1,X2), V(xi,x2) E C2(D), удовлетворяющая уравнению Бельтрами [1, с. 80]

fz(z) = ^(z)fz (A где ^(z) — измеримая функция, |^(z)| < 1 п.в., ^(z) = ^1(x1,x2)+i^2(x1,x2), ^x(xx,X2), ^2(x1,x2) E C 1(D), z E D и fz z4 (f «+-H- 4

2 dXi fz (z) = 1 (f (z) -

2 dXi

То есть f — квазиконформное отображение с комплексным отклонением µ .

Для всякого m построим приближающую функцию fm(z) = Um(xi, x2)+iVm(xi, x2) такую, что Um(Xi,X2), Vm(xi,X2) E Ci(D) и fm(a) = f (a) для любой точки a E Pm.

Рассматривая f (z) как отображение (U(xi,x2), V(xi,x2)), обозначим df (z) =

∂U

—--(xi, x2) dXi dV ,

\ dX i ^{(X i} '^{X 2 )}

∂U

—--⁽xi ^,х 2 ) 0X 2

∂V dX2(xi ,X2)/

где

Заметим, что уравнение Бельтрами приводится к эллиптической системе

-

∂V               ∂U              ∂U

— (X i ,X ₂ ) = h i (X i ,X 24— (X i ,X 2 ) + h 2 (X i ,X 24— (X i ,X 2 ),

∂x ₁                     ∂x ₁                     ∂x ₂

∂V               ∂U              ∂U

— (X i ,X 2 ) = h 3 (x i ,X 24— (X i ,X 2 ) + h i ( x i ,X 2 )t;— (X i ,X 2 ),

∂x 2                    ∂x 1                    ∂x 2

h i (X i , X 2 )

h 2 (X i ,X 2 )

h 3 (X i ,X 2 )

__ 2^ i (X i ,X 2 ) _________

1 - ^ i (X i ,X 2 ) - M 2 (X i ,X 2 ) ,

1 + 2^ i (X i ,X 2 ) + ^ 2 (X i , X 2 ) + M 2 (X i , X 2 )

1 - ^ 2 (X i ,X 2 ) - ^ 2 (X i ,X 2 )

1 - 2^ i (X i , X 2 ) + ^ 2 (X i , X 2 ) + ^ 2 (X i ,X 2 )

1 - ^ i (X x ,X 2 ) - ^ 2 (X i ,X 2 )

Эта система является более общим случаем системы (3). Поэтому для f (z) справедливы те же выводы о невозможности аппроксимации df (z) дифференциалом отображения f _m (z) на сетках, не удовлетворяющих определенным условиям.

Следовательно, для всякого S E T _m требуется построить матрицу A _m (z) , z E S , аппроксимирующую df (z) с погрешностью вида

e(S) = sup || df (z) - Am(z) ||, z∈S независящей от степени вырожденности треугольника.

Пусть в D задана прямоугольная система координат. Тогда, если l — направление наибольшей стороны треугольника S, ϕ — меньший из двух углов между этой стороной и осью абсцисс и h1 (x1, x2)

K i (y,v) = cos v + -rz -----г sin v, ^h 2 ^(x 1 , ^x 2 )

K 2 ⁽^, V) = _h 2 ( x ¹ x 2 ) ^sin V,

К з (д, v ) = sin v

^^^^^^^^^r

h i (x i ,X 2 )

K 4 ⁽^, V) =

h 2 (x 1 , x 2 )

cos v,

—----- cos v, h2(x1 , x2)

K 5 (^^ =

- h 3 (x 1 ,X 2 ) sin V +

_h 2₁

(X 1 ,X 2 ) .

h 2 (x 1 , x 2 )

Sin V,

^K 6 ⁽^, V) =

h2(x1,x2) h3(X1,X2)cos V - Z—,-----7 cos V, h2 (x1, x2)

то верна следующая теорема.

Теорема 2. Пусть ^ z E S коэффициенты матрицы A _m (z) = (a ij ) имеют следующий вид:

an = K 1 (^, v )	m ∂l	■ (X 1 ,X 2 ) + K 2 (^, v )	m ∂l	■ (X 1 ,X 2 ),
a 12 = К з (^, V)	∂U m ∂l	■ (X 1 ,X 2 ) + K 4 (^, v)	∂V m ∂l	■ (X 1 ,X 2 ),
a 21 = K 5 (^, V)	∂U m ∂l	■ (X 1 ,X 2 ) + K 1 (^, v )	∂V m ∂l	■ (X 1 ,X 2 ),
a 22 = К б (^, v )	∂U m ∂l	■ (X 1 ,X 2 ) + К з (^, v )	∂V m ∂l	■ (X 1 ,X 2 ).

Тогда справедлива оценка

e(S) < Ml dm + M2 dm + M3^^i(dm) + l1(dm)) + M4 (^2 (dm) + ^(dm)), где w1(t),w2(t) — модули непрерывности градиентов функций Um(x1,x2),Vm(x1,x2) соответственно, dm dm y- [^2(t)dt dm

ll(dm) = d- I Wi(t)dt,  ^(dm) = m0

и a = a(^) > 0, в = в M > 0, d = dist(S, dD), M _i = M _i (^,U, d,diamD,^) , M 2 = = M ₂ (д, V, d, diamD, ^), M 3 = M ₃ (^, ^), M 4 = M 4 (^, ^) .

Доказательство. Производя поворот системы координат, аналогичный повороту, описанному в доказательстве теоремы 1, получаем, что (x _i ,x ₂ ) = (x _i (X _i ,X ₂ ),x ₂ (X _i ,X ₂ )) и система (9) примет тот же вид, что и система (6):

где

где

-

∂V               ∂U               ∂U dXi (xi,x2) = Ai(xi,x2) dX! (xi,x2) + A2(xi,x2) dX" (xi,x2),

∂V

∂X 2

A i (x i ,x ₂ )

А 2 (Х 1 ,Х 2 )

A 3 (x i ,X 2 )

∂U              ∂U

(x i ,X 2 ) = A a (x i ’X ₂ ) dx" (x i ’X 2 ) + A i (x i ’X 2 ) dx~ (x i ’X 2 ),

2^ _i (x _i , x ₂ ) sin 2^ - 2^ 2 (x _i , x ₂ ) cos 2^

1 - ^ i (x i ,x ₂ ) - ^ 2 (x i ,x ₂ )      ’

1 + ^ i (x i ,x ₂ ) + ^ 2 (x i ,x ₂ ) + 2^ i (x i ,x ₂ ) cos 2^ + 2^ ₂ (x i ,x ₂ ) sin 2^

1 - ^ 2 (x i ,x ₂ ) - ^ 2 (x i ,x ₂ )

1 + ^ i (x i , X 2 ) + ^ 2 (x i 5X 2 ) — ²^ i (x i ,x ₂ ) cos 2^ - 2^ 2 (x i ,x ₂ ) sin 2^

1 - ^ i (x i ,x ₂ ) - ^ 2 (x i ,x 2 )

А коэффициенты матрицы A m (z) также преобразуются к виду:

∂Um aii =       (xi’x2)’

∂X 1

a i2 = L i ⁽M’^⁾ lU m ^(x i ^,x 2 ) ⁺ L 2 ⁽M’^)iV m ^(x i ’^x 2 )’

∂Vm an = dX (xi’x2)’ a22 = L3(M’^) lUm(xl’x2) + Li (M’^)iXm(xl’x2)’

L i ⁽^’^⁾

L 2 ⁽^’^⁾

h i (x i ,X 2 )

h ₂ (x i ,x ₂ ) ’

h 2 (X 1 ,X 2 ) ’

,

.

L 3 ⁽M’^

= h 3 (x i ,X 2 )

-

h i (x i ’X 2 )

h 2 (x i ’X 2 )'

Далее, поступая как в доказательстве теоремы 1 и полагая

M _i =

M 2 =

a + 2

a + 1

в + 2

в + 1

C d ^{- α}

C 2 d ^{- β}

I 1 + sup | L i (^,^) | z ∈ S

(1 + sup | L i (^, pi z ∈ S

+ sup z ∈ S

+ sup z ∈ S

¹ Мм,и) , Мм,и) ,

M 3 = 1 + sup ^| L i (^, ^) ^| + sup ^| L 3 (^, ^) ^| ,

z ∈ S

z ∈ S

M4 = 1 + sup|Li(^, ^)| + sup^^, ^)|, z∈S               z∈S получаем требуемое.

Следствие 2. Пусть в области D с C задана последовательность {Pm}^=1 конечных наборов точек и их триангуляций Tm. Тогда, если выполнены условия (1), (2) и G сс D — произвольная компактно вложенная подобласть, то max e(S) = max sup II df (z) — Am(z) 11^ 0 при m ^ to. S∈Tm ,S⊂G        S∈Tm ,S⊂G z∈S             m

Пример 2. Пусть f _m (z) — дробно-линейное отображение вида

„ , , az + b ,         „ fm(z) =---—j,     a, b, c, d € C.

cz + d

Коэффициенты a, b, c, d несложно определить по известным значениям в трех точках, воспользовавшись равенствами (4).

Поскольку отображение f _m (z) — голоморфно, U m (x ₁ ,x ₂ ),V _m (x ₁ , x ₂ ) являются гармоническими функциями и удовлетворяют эллиптическому уравнению Лапласа. Следовательно, согласно [2, с. 297], имеем

^ i (d m ) <  N i d ^{- Y}d m ,

E 2 d. <  N-^d m ,

l i (d m ) <  N 1 d" , Y + 1

l 2 (d m ) <  NiT

d

τ

m

T + 1’

где N ₁ = N ₁ (U m , d, diamD), N 2 = N 2 (V _m , d, diamD),Y > 0, t > 0 .

Отсюда получим

e(Tm) < Ml dm + M2 dem + M3dm + M4dm, где M3 = M3(U, Um, p, d, diamD, ^), M4= M4(V, Vm, p, d, diamD, ^).

Это неравенство получается, если положить M 1 , M 2 такими же, как в теореме 2, и

M 3 =

^+| N i d ^Y ( 1 + sup | L i (p, ^) | + sup | L 3 (p,^)| )

Y +1             z E S            Z E S

M 4 =

^LZT N 2 d ^{- T}

T + 1

1 + sup ^| L i (p, ^) ¹ z ∈ S

+ sup z ∈ S

^| L 2 ⁽P^,^^)|^