Целые функции экспоненциального типа с регулярным поведением на вещественной оси
Автор: Гайсин Ахтяр Магазович, Сергеева Дина Ильдаровна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.7, 2005 года.
Бесплатный доступ
Изучается поведение целых функций экспоненциального типа на вещественной оси, последовательности нулей которых имеют специальную плотность распределения.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318154
IDR: 14318154
Текст научной статьи Целые функции экспоненциального типа с регулярным поведением на вещественной оси
Пусть Q = { ш } — семейство полуинтервалов вида ш = [a, b). Через | ш | будем обозначать длину ω.
Всякая последовательность Л = { A n } (0 < A n f го ) порождает целочисленную считающую меру µ Λ :
ц л (ш) = 1, ш G Q.
λ n ∈ ω
Пусть ц г — считающая мера, порожденная последовательностью Г = { /../,, } (0 < ц п f го ). Тогда включение Л С Г означает, что ц л (ш) 6 Ц г (ш) для любого полуинтервала ш G Q. В этом случае говорят, что мера ц г мажорирует меру ц л -
Пусть последовательность Л = { A n } удовлетворяет условию
∞
X ;12
< го .
n=1 n
Тогда бесконечное произведение (произведение Вейерштрасса)
Q(z) =
Y О - D λ n ∈ Λ λ n
равномерно сходится на каждом компакте комплексной плоскости C и определяет целую функцию порядка р 6 2 [1]. Q — целая функция экспоненциального типа тогда и только тогда, когда последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность
D = lim . n →∞ λ n
При этом тип функции Q не превосходит πD ∗ , где D ∗ — усредненная верхняя плотность последовательности Л [2]:
t
D* = lim Nt), N (t) = [ nx) dx, n(t) = X 1.
t →∞ t x
0 X n 6 t
Имеет место
Теорема A [1, гл. I, § 2, п. 7]. Пусть последовательность Л имеет конечную плотность ст = lim X-n→∞ λn
Тогда для функции Q, заданной формулой (1) , верны утверждения:
-
1) для z = re1® (9 = 0, п) существует предел
lim ‘-^) | = „| sin9 | ;
r →∞ r
-
2) имеются число p > 0 и последовательность { r n } , 0 < r n f го , r n -^ ^ 1 при n ^ го , такие, что при любом е > 0
ln |Q(rei")| > [пст| sin 9| — е]г для rn — p 6 r 6 rn + p, n > N(е);
-
3) если дополнительно известно, что
- An+i — An > h> 0 (n > 1), (2)
то в качестве rn в 2) можно положить rn =
-
4) при условии (2)
lim n→∞
A n + A n+1
Pln λ n
(n > 1);
Q (A n )
= 0 .
При дополнительных требованиях на распределение точек последовательности Л можно получить более точные оценки (как сверху, так и снизу) для функции Q на вещественной оси. Такие оценки для функции
^
'Q = П (1 - ....
n=1 х7
хорошо известны. Приведем еще два результата из [3].
Теорема B (Пэли — Винер, 1934). Пусть 0 < A n f го , и
|An — n| 6 d < го.(3)
Тогда для функции
^ /2 \
Q(z) = П (1 - A2 )
(z = x + iy)
n=1
справедливы оценки
-
1) | xQ(x) | 6 const | x | 4d ;
-
2) для | x — A n | > e > 0 (n > 1)
| xQ(x) | > const | x | - 4d ( | x | > 1).
Теорема C (Б. Я. Левин, 1949). Если выполняется условие (3) , то
| Q(z) | 6 const (1 + | z | 4d ) e n | y | .
При условии inf | A n — A j | > 0
n=j
| Q 0 (A j ) | > const A - 4d (j > 1).
В статье обсуждается следующая более общая задача: при каких условиях на последовательность Л = { A n } существует целая функция P экспоненциального типа такая, что P (A n ) = 0, P (A n ) = 0 , и имеющая достаточно правильное поведение на вещественной оси?
§ 1. Специальные плотности распределения последовательности Л
Пусть L — класс положительных, непрерывных и возрастающих на [0, го ) функций. Через K обозначим подкласс функций h из класса L таких, что h(0) = 0 и h(t) = o(t) при t ^ го , hr ) ^ при t f . В частности, h(2t) 6 2h(t) (t > 0), h(t) 6 h(1)t при t > 1 .
Пусть Л = { A n } (0 < A n f го) — последовательность, имеющая конечную верхнюю плотность. K -плотностью последовательности Л назовем величину
G(K) = inf lim ^Mt)2, heki^^ h(t)
где w(t) = [t,t + h(t)) — полуинтервал, ^ д (ш) — число точек из Л , попавших в полуинтервал ω .
Через D(K ) обозначим точную нижнюю грань тех чисел a (0 6 a < го ) , для каждого из которых существует мера ^ р , мажорирующая ^ д , такая, что для некоторой функции h ∈ K
| M(t) — at | 6 h(t) (0 6 t < го ). (5)
Здесь Л = { A n } , Г = { ^ n } (0 < A n f го , 0 < ^ f го ), M (t) = P 1.
µ n 6t
Лемма. Величины D(K ) и G(K ) совпадают: D(K) = G(K) .
<1 Для любого a > D(K ) существует мера ^ p , мажорирующая ^ д , такая, что для некоторой функции h G K выполняется оценка (5). Положим h * (t) = Ah(t) (0 < A < го ) . Ясно, что h ∗ ∈ K . Учитывая (5), имеем
^ p ([t, t + h * (t))) = M(t + h * (t)) — M(t) 6 h(t + h * (t)) + h(t) + ah * (t) (t > 0).
Так как h G K , то h(2t) 6 2h(t) (t > 0) . Так как h * (t) = o(t) при t ^ го , то
^ r ([t,t + h * (t))) h * (t)
3h(t) 3
-
6 a + h*> = a + A, t > t 0 .
Но ^a(w) 6 №(w) для любого w Е Q . Следовательно, учитывая (4), получаем, что G(K) 6 а . Поскольку, a > D(K ) — любое, то G(K ) 6 D(K ) .
Убедимся, что G(K ) = D(K ) . Для любого b > G(K ) существует функция h Е K такая, что при t > t o
^ л (ш(t)) 6 bh(t), W(t) = [t,t + h(t)).
Положим t i = t o + h(t o ),t 2 = t i + h(t i ), ...,t n = t n -i + h(t n -i ) (n > 1) . Ясно, что
∞
[t o , го ) = JJ W i , W i = [t i , t i+i ).
i=0
Таким образом,
^ л (w i ) 6 b | W i | , | W i | = h i = h(t i ).
Расширим последовательность Л = { A n } до последовательности Г = { ^ n } (o < ^ n T
го ) путем добавления в каждый полуинтервал W i точек v n так, чтобы
1 0 . | ^ r (w i ) - b | w i || 6 1 (i > 0);
2 o . для любого n > 0
№
n
U *
i=o
n
— b X W i=o
6 1.
Для этого поступаем следующим образом. Пусть a = а — [а] ([а] — целая часть а) . Ясно, что 0 6 а < 1 . Учитывая (6), в каждый полуинтервал W i добавим, если это необходимо, конечное число попарно различных точек { v ji ) } k= i так, чтобы выполнялись условия:
-
а) v ( i / Л, j = 1, 2,..., k i , i > 0;
-
б) v ,') < v (i < ... < v^ ) , i > 0;
-
в) | ц л (w i ) + k i — b | w i || 6 1.
Если ^л(wi) = b|wi|, считаем, что ki = 0. Присоединяя к последовательности Л точки vji) (j = 1, 2,..., ki, i > 0), получим расширенную последовательность Г = {^n} (0 < цп T го). Из построения видно, что l^r(wi) — b|wi|| 6 1 (i > 0).
Последовательность Г не обязательно удовлетворяет условию 2 o . Поэтому уточним построение Г.
Выберем точки v j° (j = 1, 2,...,k o ), v^ ) (j = 1, 2,...,k i ) так, чтобы выполнялись равенства
^ r (w o ) = [b | w o | ], д г (ш х ) = [b | w i | ] + 1.
Тогда
№(wo U Wi) = b|wo| + b|wi| — ao + ai, где ao = {b|Wo|} (0 6 ao < 1), ai = 1 — {b|Wi|} (0 < ai 6 1) ({а} — дробная часть а, т. е. {а} = а — [а]). Если положить so = —ao, si = —ao + ai, то —1 6 so 6 0, —1 6 si 6 1. Теперь добьемся того, чтобы
^ r (W 2 ) =
J [b | W 2 | ] + 1, [b | W 2 | ],
если — 1 6 s 1 6 0; если 0 < s 1 6 1.
Тогда
№ (J ^i = b^ l^il + 52, i=0 i=0
где S 2 = s i + a 2 , а
( 1 — { b | - 2 |} , если — 1 6 s i 6 0;
[ —{ b | - 2 |} , если 0 < s i 6 1.
Видно, что — 1 6 S2 6 1. Продолжая построение по индукции, добьемся того, чтобы и \ [bl^n I] + 1
ЦГ ( Шп) — \ р । I-,
если — 1 6 s n -i 6 0; если 0 < s n - i 6 1.
Тогда
µ Γ
n и - i=0
n
— b^ Ы + sn i=0
где S n = S n - 1 + a n , а
( 1 — { b | - n |} , если — 1 6 s n -1 6 0;
[ —{ b | — n |} , если 0 < s n -1 6 1.
Тогда nn
№(|J -i) — b^ I Ш i |
= | S n | 6 1.
Таким образом, последовательность Г обладает свойством 2 0 . Убедимся, что
| M (t) — bt 6 H (t), H E K.
Действительно, пусть t E - n , т. е. t n 6 t < t n+1 , где t n = t n -1 + +h(t n -1 ) (n > 1) . Тогда
M (t) = M (t o )+ ^ r
n и - i=0
+ ^ p ([t n ,t)).
Следовательно, учитывая 2 0 , имеем
| M(t) — bt | 6 M (t o ) +
n - 1
ω i i=0
n
— b X M i=0
+ b(t — t n ) + ^ r ([t n , t))
§ 2. Применение
Пусть L и K классы функций, введенные выше,
< ∞
... -— h(x)ln h(x) h G K : lim x 'x xln hx)
Так, например, классу S принадлежат функции
h(x) = v x, h(x) = , h(x) = A + ee ) .
v 7 v v 7 ln(x + e) v 7 ln(x + e e )
В качестве примера применения леммы приведем следующий результат.
Теорема. Пусть Л = { A n } (0 < A n f то ) — последовательность, имеющая конечную S-плотность G(S). Тогда для любого ст > G(S) существует последовательность Г = i s n } (0 < s n f то ) , содержащая Л и имеющая плотность ст, такая, что целая функция экспоненциального типа πσ
-
х / „2 \
Q(z)=Ш1 - g)
обладает свойствами:
-
1) Q(A n ) = 0, Q (A n ) = 0 для любого A n G Л ;
-
2) существует H G S такая, что:
x ln |Q(x)| 6 AH(x)ln+ H—) + B; (8)
-
3) если Л(x) = £ 1 , и λ n 6x
Л(x + р) — Л(x) 6 ap + b +
^(x) ln + р + 1
(р > 0)
( у — любая неотрицательная неубывающая функция, определенная на луче [0, то ) , 1 6 ^(x) 6 cx ln + x + d) , то существует последовательность { r n } , 0 < r n f то , r n+1 — r n = O(H (r n )) при n ^ то , такая, что при x = r n
x ln |Q(x)| > -CH(x) ln+ H(x) — 2^(x) — P; (10)
4) если
lim i rnAn;t) dt< то n→∞ λn t то при условии (9)
ln
i
— n^ t) dt 6 MH (A n )ln +
Q (A n ) J t
λ n
H (A n )
+ 2^(A n ) + F ln A n + L (n > 1),
где n(A n ; t) — число точек A k = A n из отрезка { x : | x — A n | 6 t } .
Здесь все постоянные положительны, конечны и от переменных x и n не зависят.
C Доказательство теоремы основано на применении равенства G(S) = D(S ) , вытекающего из леммы.
Оценки (8), (10) установлены в [4, 5]. Оценка (11) доказывается при помощи тех же рассуждений, примененных к функции
Q n (A n )= Y fl - . в
Список литературы Целые функции экспоненциального типа с регулярным поведением на вещественной оси
- Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент.-М.: Наука, 1976.-536 с.
- Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения.-М.: ИЛ, 1955.-267 с.
- Redheffer R. M. Completeness of Sets of Complex Exponentials//Advances in Math.-1977.-V. 24.-P. 1-62.
- Сергеева Д. И. Оценка произведения Вейерштрасса на вещественной оси снизу//IV Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященная 95-летию БашГУ: Тезисы докладов. Ч. 1.-Уфа: Изд-во БашГУ, 2004.-С. 8.
- Сергеева Д. И. Оценка произведения Вейерштрасса с регулярным распределением нулей на вещественной оси//Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике: Сборник статей. Т. I. Математика.-Уфа: Изд-во БашГУ, 2004.-С. 193-206.