Целые функции экспоненциального типа с регулярным поведением на вещественной оси

Пусть Q = { ш } — семейство полуинтервалов вида ш = [a, b). Через | ш | будем обозначать длину ω.

Всякая последовательность Л = { A n } (0 < A n f го ) порождает целочисленную считающую меру µ Λ :

ц л (ш) =     1, ш G Q.

λ n ∈ ω

Пусть ц г — считающая мера, порожденная последовательностью Г = { /../,, } (0 < ц _п f го ). Тогда включение Л С Г означает, что ц л (ш) 6 Ц г (ш) для любого полуинтервала ш G Q. В этом случае говорят, что мера ц г мажорирует меру ц л -

Пусть последовательность Л = { A n } удовлетворяет условию

∞

X ;12

< го .

n=1 n

Тогда бесконечное произведение (произведение Вейерштрасса)

Q(z) =

Y О - D λ n ∈ Λ ^{λ n}

равномерно сходится на каждом компакте комплексной плоскости C и определяет целую функцию порядка р 6 2 [1]. Q — целая функция экспоненциального типа тогда и только тогда, когда последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность

D = lim . n →∞ λ _n

При этом тип функции Q не превосходит πD ^∗ , где D ^∗ — усредненная верхняя плотность последовательности Л [2]:

t

D* = lim Nt),     N (t) = [ nx) dx,    n(t) = X 1.

t →∞ t                 x

0                          X n 6 t

Имеет место

Теорема A [1, гл. I, § 2, п. 7]. Пусть последовательность Л имеет конечную плотность ст = lim X-n→∞ λn

Тогда для функции Q, заданной формулой (1) , верны утверждения:

• 1)    для z = re¹® (9 = 0, п) существует предел

lim ‘-^^{) |} = „| sin9 | ;

r →∞ r

• 2)    имеются число p >  0 и последовательность { r _n } , 0 <  r _n f го , r n -^ ^ 1 при n ^ го , такие, что при любом е > 0

ln |Q(rei")| > [пст| sin 9| — е]г для rn — p 6 r 6 rn + p, n > N(е);

• 3)    если дополнительно известно, что

• An+i — An > h> 0 (n > 1),                           (2)

то в качестве rn в 2) можно положить rn =

• 4)    при условии (2)

lim n→∞

^A n + ^A n+1

P^ln λ _n

(n > 1);

Q (A n )

= 0 .

При дополнительных требованиях на распределение точек последовательности Л можно получить более точные оценки (как сверху, так и снизу) для функции Q на вещественной оси. Такие оценки для функции

^

'Q          = П (1 - ....

n=1 х7

хорошо известны. Приведем еще два результата из [3].

Теорема B (Пэли — Винер, 1934). Пусть 0 < A n f го , и

|An — n| 6 d < го.(3)

Тогда для функции

^ /2 \

Q(z) = П (1 - A2 )

(z = x + iy)

n=1

справедливы оценки

• 1)    | xQ(x) | 6 const | x | ^4d ;

• 2)    для | x — A _n | > e > 0 (n >  1)

| xQ(x) | > const | x | ^{- 4d} ( | x | > 1).

Теорема C (Б. Я. Левин, 1949). Если выполняется условие (3) , то

| Q(z) | 6 const (1 + | z | ^4d ) e ^{n | y |} .

При условии inf | A n — A j | > 0

n=j

| Q 0 (A j ) | > const A ^{- 4d} (j > 1).

В статье обсуждается следующая более общая задача: при каких условиях на последовательность Л = { A n } существует целая функция P экспоненциального типа такая, что P (A n ) = 0, P (A n ) = 0 , и имеющая достаточно правильное поведение на вещественной оси?

§ 1. Специальные плотности распределения последовательности Л

Пусть L — класс положительных, непрерывных и возрастающих на [0, го ) функций. Через K обозначим подкласс функций h из класса L таких, что h(0) = 0 и h(t) = o(t) при t ^ го , hr ) ^ при t f . В частности, h(2t) 6 2h(t) (t > 0), h(t) 6 h(1)t при t >  1 .

Пусть Л = { A n } (0 < A n f го) — последовательность, имеющая конечную верхнюю плотность. K -плотностью последовательности Л назовем величину

G(K) = inf lim ^Mt)2, heki^^  h(t)

где w(t) = [t,t + h(t)) — полуинтервал, ^ д (ш) — число точек из Л , попавших в полуинтервал ω .

Через D(K ) обозначим точную нижнюю грань тех чисел a (0 6 a <  го ) , для каждого из которых существует мера ^ р , мажорирующая ^ д , такая, что для некоторой функции h ∈ K

| M(t) — at | 6 h(t)     (0 6 t <  го ).                              (5)

Здесь Л = { A n } , Г = { ^ n } (0 < A n f го , 0 <  ^ f го ), M (t) = P 1.

µ n 6t

Лемма. Величины D(K ) и G(K ) совпадают: D(K) = G(K) .

<1 Для любого a >  D(K ) существует мера ^ p , мажорирующая ^ д , такая, что для некоторой функции h G K выполняется оценка (5). Положим h * (t) = Ah(t) (0 < A <  го ) . Ясно, что h ^∗ ∈ K . Учитывая (5), имеем

^ p ([t, t + h * (t))) = M(t + h * (t)) — M(t) 6 h(t + h * (t)) + h(t) + ah * (t) (t > 0).

Так как h G K , то h(2t) 6 2h(t) (t > 0) . Так как h * (t) = o(t) при t ^ го , то

^ r ([t,t + h * (t))) h * (t)

3h(t)         3

• ⁶ a ⁺ h*> = a ⁺ A, t > t ^{0 .}

Но ^a(w) 6 №(w) для любого w Е Q . Следовательно, учитывая (4), получаем, что G(K) 6 а . Поскольку, a >  D(K ) — любое, то G(K ) 6 D(K ) .

Убедимся, что G(K ) = D(K ) . Для любого b >  G(K ) существует функция h Е K такая, что при t > t o

^ л (ш(t)) 6 bh(t), W(t) = [t,t + h(t)).

Положим t _i = t o + h(t o ),t ₂ = t i + h(t _i ), ...,t n = t _{n -i} + h(t _{n -i} ) (n >  1) . Ясно, что

∞

[t o , го ) = JJ W i , W i = [t i , t i+i ).

i=0

Таким образом,

^ л (w i ) 6 b | W i | ,    | W i | = h i = h(t i ).

Расширим последовательность Л = { A n } до последовательности Г = { ^ n } (o < ^ n T

го ) путем добавления в каждый полуинтервал W i точек v n так, чтобы

1 ⁰ . | ^ r (w i ) - b | w i || 6 1 (i > 0);

2 ^o . для любого n >  0

№

n

U *

i=o

n

— b X W i=o

6 1.

Для этого поступаем следующим образом. Пусть a = а — [а] ([а] — целая часть а) . Ясно, что 0 6 а <  1 . Учитывая (6), в каждый полуинтервал W i добавим, если это необходимо, конечное число попарно различных точек { v j^{i )} } k= i так, чтобы выполнялись условия:

• а)    v ^{( i} / Л, j = 1, 2,..., k i , i >  0;

• б)    v ,') <  v (i < ... < v^ ) , i >  0;

• в)    | ц л (w i ) + k i — b | w i || 6 1.

Если ^л(wi) = b|wi|, считаем, что ki = 0. Присоединяя к последовательности Л точки vji) (j = 1, 2,..., ki, i > 0), получим расширенную последовательность Г = {^n} (0 < цп T го). Из построения видно, что l^r(wi) — b|wi|| 6 1   (i > 0).

Последовательность Г не обязательно удовлетворяет условию 2 ^o . Поэтому уточним построение Г.

Выберем точки v j° (j = 1, 2,...,k o ), v^ ) (j = 1, 2,...,k _i ) так, чтобы выполнялись равенства

^ r (w o ) = [b | w o | ],      д г (ш х ) = [b | w i | ] + 1.

Тогда

№(wo U Wi) = b|wo| + b|wi| — ao + ai, где ao = {b|Wo|} (0 6 ao < 1), ai = 1 — {b|Wi|} (0 < ai 6 1) ({а} — дробная часть а, т. е. {а} = а — [а]). Если положить so = —ao, si = —ao + ai, то —1 6 so 6 0, —1 6 si 6 1. Теперь добьемся того, чтобы

^ r (W ₂ ) =

J ^[b | ^W 2 ^{| ] +} 1, [b | W 2 | ],

если — 1 6 s 1 6 0; если 0 < s 1 6 1.

Тогда

№ (J ^i = b^ l^il + 52, i=0          i=0

где S 2 = s i + a 2 , а

( 1 — { b | - ₂ |} , если — 1 6 s i 6 0;

[ —{ b | - ₂ |} ,      если 0 < s i 6 1.

Видно, что — 1 6 S2 6 1. Продолжая построение по индукции, добьемся того, чтобы и \       [bl^n I] + 1

ЦГ ⁽ Шп) — \ р ।    I-,

если — 1 6 s _{n -}i 6 0; если 0 < s n - i 6 1.

Тогда

µ Γ

n и - i=0

n

— b^ Ы + sn i=0

где S n = S n - 1 + a n , а

( 1 — { b | - _n |} , если — 1 6 s _{n -1} 6 0;

[ —{ b | — _n |} ,     если 0 < s _{n -1} 6 1.

Тогда nn

№(|J -i) — b^ I ^Ш i |

= | S n | 6 1.

Таким образом, последовательность Г обладает свойством 2 0 . Убедимся, что

| M (t) — bt 6 H (t), H E K.

Действительно, пусть t E - _n , т. е. t n 6 t < t n+1 , где t n = t _{n -1} + +h(t _{n -1} ) (n > 1) . Тогда

M (t) = M (t o )+ ^ r

n и - i=0

+ ^ p ([t n ,t)).

Следовательно, учитывая 2 0 , имеем

| M(t) — bt | 6 M (t o ) +

n - 1

ω i i=0

n

— b X M i=0

⁺ b^{(t —} t n ) ⁺ ^ r ^([t n , t))

§ 2. Применение

Пусть L и K классы функций, введенные выше,

< ∞

... -— h(x)ln h(x) h G K : lim x 'x xln hx)

Так, например, классу S принадлежат функции

h(x) = v x,   h(x) =          ,  h(x) = A    ⁺ e^{e )} .

^{v 7 v v 7}    ln(x + e)      ^{v 7}      ln(x + e e )

В качестве примера применения леммы приведем следующий результат.

Теорема. Пусть Л = { A n } (0 < A n f то ) — последовательность, имеющая конечную S-плотность G(S). Тогда для любого ст > G(S) существует последовательность Г = i s n } (0 < s n f то ) , содержащая Л и имеющая плотность ст, такая, что целая функция экспоненциального типа πσ

• ^х /      „2 \

Q^(z)=Ш¹ - g)

обладает свойствами:

• 1)    Q(A n ) = 0, Q (A n ) = 0 для любого A n G Л ;

• 2)    существует H G S такая, что:

x ln |Q(x)| 6 AH(x)ln+ H—) + B;                         (8)

• 3)    если Л(x) = £ 1 , и λ n 6x

  Л(x + р) — Л(x) 6 ap + b +

  
  

  ^(x) ln ⁺ р + 1

  
  

  (р > 0)

  
  
  
  

( у — любая неотрицательная неубывающая функция, определенная на луче [0, то ) , 1 6 ^(x) 6 cx ln ⁺ x + d) , то существует последовательность { r n } , 0 < r n f то , r n+1 — r n = O(H (r n )) при n ^ то , такая, что при x = r n

x ln |Q(x)| > -CH(x) ln+ H(x) — 2^(x) — P;                    (10)

4) если

lim i rnAn;t) dt< то n→∞ λn      t то при условии (9)

ln

i

—    n^  t) dt 6 MH (A n )_ln +

Q ^(A n )     J t

λ n

H (A n )

+ 2^(A n ) + F ln A n + L (n > 1),

где n(A n ; t) — число точек A k = A n из отрезка { x : | x — A _n | 6 t } .

Здесь все постоянные положительны, конечны и от переменных x и n не зависят.

C Доказательство теоремы основано на применении равенства G(S) = D(S ) , вытекающего из леммы.

Оценки (8), (10) установлены в [4, 5]. Оценка (11) доказывается при помощи тех же рассуждений, примененных к функции

Q n (A n )= Y fl -    . в