Целые решения эллиптических уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Классическая теорема Коши–Ковалевской дает существование и единственность решения задачи Коши для дифференциального уравнения о частных производных с аналитическими коэффициентами. Однако существование решения гарантируется только в малом. Здесь будет изучаться задача Коши для одного узкого класса уравнений, но решение будет получено и целом. Решение в целом получается за счет того, что уравнение рассматривается в комплексном пространстве.

Постановка задачи

Рассмотрим целую гармоническую функцию U , удовлетворяющую условию

д U

д z

= 0.

z = 0

Пусть

U_z = ₀ = f (§,n ) , где £ = x + iy, П = X — iy, f - целая функция двух комплексных переменных. Будем изучать рост функции U в зависимости от переменной z . Фиксируем ξ и η , тогда в круге K(R): { z | <  R,$ = : . ,П = П о } радиуса R функцию U можно представить следующим образом:

U ( ^ , П , Z ) = —1- f I , f ⁽ '^,т ) _х F (1,1;1; — —Z 2-----) dTdt ,

4п ² Г Г ⁽ t ^— ^ ^{)( т —} П )      ^{2   (} t ^— ^ ^{)( т —} П )

^Г 1 ^г 2

где Г и Г - окружности | / | = R, Т = R , а F( 1 , 1 ;^;h) — гипергеометрическая функция Гаусса.

Покажем, что целая гармоническая функция U по переменной z имеет порядок, не превосходящий порядка целой функции U(ξ,η, 0 ) , а также, что и тип функции U по z не превосходит типа целой функции двух комплексных переменных U(ξ,η, 0 ) .

Доказательства основных теорем

Положим, M(f,R) = sup |f(^,n)|, ^ = R^i, n = Rni, z = Rzi 15| < R, M^R

Тогда из формулы (1) имеем

^U( ^ 1 Щ ,z 1 ) =

M(f,R) 2 ⁿ 2 ⁿ       q 1 ( Ф,У )      ,

4 n ^{2    J} ; (е ^ф - ^ i )(е ^ф - n i )

где

• F( 1 , 1 ; 2 ;

(e^{i ϕ}

z ₁

- ^ 1 )(в^{г ф}

)dψdϕ,

^- П 1 )

e ( ^ф + ^ )

f (Re ^{i φ} , Re ^{i ψ} ).

q. ( ф , ^ ) =----------

¹ M ( f , R )

Очевидно, имеем maxq (ф,^ ) <  1 . Функция

2π2π z.) - £ Ji ^ф^'

4 π _{0 0} ( e    ξ ₁ )( e    η ₁ )

1            z ²

• F (1,1;—;------) d^dф

,’2’ (еф -£>

Положим,

W(f) = maxv( ^ ,n z, K(1)

где К( 1) - круг z < 1 ,|, а ^ и η1 фиксированы. Из интегрального представления (1) для функции U следует, что имеет место оценка w (f) < V (8) Mif,!!8!,

M(f,R) , где V(ε) – константа, зависящая только от ε. Из (1) и (2) следует оценка

M(U,R) < V(8)M(f, R + 8)(3)

для

M(U,R) = maxU (^ ,щ, z\,

K(R)

Порядком и типом целой функции f называются следующие числа соответственно lnlnM(f,R)            lnM(f,R)

p = lim------—----, c = lim----—----

R —>-^     lnR             R—^    R^p

.

Ниже мы выразим порядок и тип функции U по переменному z через числа ρ и σ .

Из неравенства (3) имеем:

_Iimlnln M(U, R)< _Iim ln{ln V(8) + In M(f,R)}=

R—m In R      R—m         In R lnV(ε)

ln[ 1 +-------—---]

= jim_{lnlnM(f,R + 8)• ln(R + 8)₊^L   lnM(f,R + 8)^j_}=

^R—”    ln( R + 8)       ln R             ln R

= iimlnln M (f, R + 8 )= _p

^R—”    ln( R + 8 )

Таким образом, целая гармоническая функция U по переменной z имеет порядок, не превосходящий порядка целой функции U( ξ,η,0) . Аналогично можно показать, что и тип функции U по z не превосходит типа целой функции двух комплексных переменных U( ξ,η,0) . Следовательно, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Для всякой целой функции f (ξ,η ) существует целая гармоническая функция U,

∂U

=0.

z=0

удовлетворяющая условиям U I   = f (ξ,η), z=0              ∂z

Порядок и тип функции U по переменной z не превосходят порядка и типа функции f(ξ,η) =U(ξ,η,0).

Рассмотрим целое решение W уравнения

Δw+ λw = 0, λ= const .

Для всякой целой функции f (ξ,η ) существует целое решение W этого уравнения, удовлетворяющее условиям

।             ew

W I z=0 = f (ξ,η), ∂∂WZ

=0.

z=0

Причем это решение дается формулой

W(ξ,η, z) =U(ξ,η, z)

-

где u – гармоническая функция, а J₁– функция Бесселя. Из (6) имеем

max I w(ξ,η,z) ≤ max I u(ξ,η,z){1 + max ∫ 1

K(R)           K(R)             K(R) 2 ₀ Vt(1 - t)

∫

dt} .

Так как mJzI2m⋅Iλm⋅t m!(m + 1)!⋅4m ,

J1(z λt)=z λt ∑∞ (-1)

2 m=0

то имеем

Iλ⋅I^zI²

∞ ∑ m=0

m

m!⋅(m+1)!⋅4m

.

Поскольку то из (7) получим

¹m-

-

∫t 2 (1 - t) 2 dt

Γ( 12)Γ(m+ 12)

,

m!

M(W,R) ≤M(U,R) ⋅K( I λ,R) ,

полагая

M(W,R)=max I w(ξ,η,z),

K(R)

I λR2 ∞ Γ(1)Γ(m+1) I λK( I λ,R)=1+ λR ∑∞   2 2     2 (λR2)m.4 m=0 (m! ) (m + 1)! 4

Из (8) следует, что порядок функции W не превосходит наибольшего из порядков функции U и

K( λ,R) . Порядок функции K( λ,R) равен , поэтому имеем следующую теорему:

Теорема 2. Пусть W – целое решение уравнения (4), удовлетворяющее условию

д W дz z=0

= 0. Если

порядок функции W(ξ,η,0) равен ρ, то порядок W(ξ,η,z) по z не превосходит числа

pi = max( р, 2)

Замечание. Более общее уравнение с постоянными коэффициентами

Au + aux + buv + cu„ + yu = 0

xyz подстановкой

и = vexp[ - ^ ax + by + cz)]

сводится к уравнению

Av + [ Y — 1 (a 2 + b 2 + c 2 )]v = 0.

В этом случае в теореме число р-^ заменяется на число р2 = max( р,1) .

Порядок по z целых решений уравнения с постоянными коэффициентами не зависит от абсолютных величин коэффициентов c и Y и не превосходит р2, если С Ф 0, а если С = 0, но Y -1 (а2 + b2) Ф 0, то он не превосходит ρ1 . Величины коэффициентов а, в, с и γ влияют только на тип решения.

Заключение

Итак, в данной работе показано, что для всякой целой функции f (ξ,η ) существует некоторая гармоническая функция U, порядок и тип которой не превосходит порядка и типа функции двух комплексных переменных.