Характеризация конечномерных архимедовых векторных решеток

Статья посвящена условиям конечномерности архимедовых векторных решеток. Найдены три новые характеризации таких решеток. Первая описывает конечномерность векторной решетки A на языке ее универсального пополнения Au. Вторая утверждает, что векторная решетка конечномерна в том и только в том случае, когда выполнено одно из следующих двух условия: (а) всякий максимальный модулярный алгебраический идеал в Au равномерно полон; (б) Orth(A,Au)=Z(A,Au), где Orth(A,Au) векторная решетка всех ортоморфизмов из A в Au, а Z(A,Au) - подрешетка, состоящая из ортоморфизмов π, удовлетворяющих условию |π(x)|≤λ|x| (x∈A) при некотором положительном λ∈R. Хорошо известно, что всякая универсально полная векторная решетка представляется в виде C∞(X) для некоторого экстремально несвязного компакта X. Точку x∈X называют σ-изолированной, если пересечение любой последовательности окрестностей точки x является окрестностью точки x. Третья характеризация состоит в том, что векторная решетка A с универсальным расширением Au=C∞(X) конечномерна тогда и только тогда, когда каждая точка в X σ-изолирована. В качестве приложения получен положительный ответ на вопрос Брезара о существовании новых примеров алгебр, определяемых нулевыми произведениями.