Численное моделирование суточных колебаний инсоляции в идеализированной модели общей циркуляции атмосферы

Общая циркуляция атмосферы (ОЦА) определяет перенос тепла между низкими и высокими широтами и тем самым оказывает ключевое влияние на погоду и региональный климат [1] . Характеристики и временная эволюция ОЦА зависят от целого ряда факторов: вращения Земли, солнечного излучения, рельефа поверхности и многих других. Учет этих факторов необходим для прогноза погоды, вследствие чего используемые для этих целей математические модели чрезвычайно сложны [2 –4] . Большое количество параметров и настроек моделей, описывающих гидродинамические и термодинамические процессы, существенно затрудняет применение этих моделей (в полной постановке) для выявления механизмов формирования крупномасштабных зональных и меридиональных течений, волн различной природы [5, 6] . Для этого используются более простые модели с различной степенью идеализации [7, 8] . Очевидное подобие средней структуры ОЦА и распределения волновой активности на данных реанализа [9] , идеализированных полномасштабных моделей [10 –12] и лабораторной модели [13 –15] позволяет, по крайней мере в первом приближении, применять для моделирования ОЦА вращающийся конвективный слой с меридиональным перепадом температуры в определенной области управляющих параметров. В качестве примера успешного использования идеализированной лабораторной модели можно отметить выявление механизмов арктического потепления. Изменения в распределении температуры, интенсивности зональных течений и бароклинных волн в экспериментах и численных расчетах, реализованных в рамках лабораторной модели ОЦА в работе [15] , хорошо качественно согласуются с результатами, полученными при помощи климатических моделей [16, 17] и реанализа [18] . При этом относительная простота и небольшое количество параметров лабораторной модели ОЦА позволили выделить из возможных механизмов, ответственных за усиление потепления в Арктике, один, основанный на ослаблении и смещении полярной меридиональной ячейки. В работе [19] изучались трансформация ОЦА и средняя и пульсационная части меридионального теплопереноса при варьировании вращения. Ключевые результаты [19] , такие как зависимость числа меридиональных ячеек от скорости вращения, также хорошо согласуются с полномасштабным моделированием в приближении аквапланеты [10] .

Сезонные осцилляции инсоляции могут оказывать существенное влияние на характеристики ОЦА и бароклинных волн [11, 12] . Помимо относительно медленных сезонных осцилляций, инсоляция характеризуется быстрыми суточными осцилляциями. Источник тепла (освещаемая Солнцем область) движется по поверхности Земли в направлении, противоположном ее вращению. Известно, что суточные колебания оказывают сильное влияние на фазовые переходы, содержание влаги [20, 21] , интенсивность ветра [22] , конвекцию [23] . Также предполагается влияние суточных осцилляций на модуляцию амплитуды волн Россби в низких широтах [24] . Обзор литературы показывает, что важный вопрос о том, как суточные осцилляции влияют на формирование и динамику крупномасштабных атмосферных течений, не получил должного внимания и является открытым. Надо отметить, что формирование конвективных течений при наличии движущегося в зональном направлении источника тепла исследовалось в целом ряде работ (в том числе в исследованиях последнего времени), но только

Статья опубликована в открытом доступе по лицензии CC BY 4.0

для неподвижного слоя. Изначально решался вопрос о самой возможности развития зональной циркуляции в неподвижном цилиндрическом слое в случае вращающегося в лабораторной системе источника тепла. В экспериментах [25, 26] было продемонстрировано, что зональные течения действительно формируются, причем в противоположном по отношению к вращению источника тепла направлении. Численные расчеты [27] показали, что в зависимости от параметров (угловой скорости вращения источника тепла и интенсивности нагрева) возможно формирование зональных течений, как отстающих, так и опережающих источник.

В настоящей работе исследуется влияние суточных колебаний инсоляции на формирование и характеристики крупномасштабных течений при помощи численного аналога лабораторной модели ОЦА.

• 2.    Методы

Исследование выполнено на основе цифрового аналога лабораторной модели ОЦА. Подробное описание лабораторной модели, а также сравнение результатов лабораторных и численных исследований можно найти в [13, 15, 19] . Общая схема расчетной области представлена на рисунке 1а . Рабочим объемом является цилиндрический слой жидкости со свободной поверхностью, имеющий радиус R = 345 мм и высоту h = 30 мм. На нижней границе располагается кольцевой нагреватель шириной 25 мм. Расстояние от боковой цилиндрической стенки до внешней границы нагревателя составляет 40 мм. В качестве рабочей жидкости используется силиконовое масло PMS-5.

Рис. 1. Схема расчетной области: 1 , 3 , 4 – вращающиеся адиабатические стенки, условие прилипания; 2 – кольцевой нагреватель; 5 – свободная граница (теплообмен с воздухом), условие проскальзывания ( а ); распределение температуры T , [К] в области движущегося кольцевого нагревателя (показано цветом) и пример мгновенных течений вблизи свободной границы (линии тока) ( б )

Нестационарное течение несжимаемой жидкости моделируется в приближении Буссинеска во вращающейся системе отсчета уравнениями вида:

V-u =0, u+ + (u •V)u+(2Q x u+Q x Q x r) = — —p + vV2u—в(Т -T0)g,

— + (u-V)T = xV2T, ∂t где u — вектор относительной скорости (далее просто скорость), Ω — вектор угловой скорости вращения системы вокруг центральной оси, r — локальный радиус-вектор, p — давление, ρ — плотность, ν — кинематическая вязкость, β — коэффициент термического расширения, T — температура, T0 — характерная температура, g — ускорение свободного падения, χ — коэффициент температуропроводности.

На всех твердых стенках ставятся условия прилипания, на свободной границе — условие проскальзывания. Тепловой режим определяется мощностью нагревателя и холодильника. Для базового варианта теплопереноса значения мощности нагревателя и холодильника (свободной поверхности) равняются Q _h = 123 Вт. На нагревателе и холодильнике задается тепловой поток, который рассчитывается по заданной тепловой мощности и площади их поверхностей. Остальные твердые поверхности являются адиабатическими.

В серии расчетов моделируется локальный источник тепла на периферии, в области кольцевого нагревателя, движущийся во вращающейся системе отсчета против вращения слоя с угловой скоростью Ω (Рис. 1б ). Вращающийся локальный источник нагрева имитирует солнечное освещение. Плотность теплового потока от локального источника рассчитывается следующим образом:

q(^,t) = nQlocal max[0,sin(^ +^t)], Ah где Qlocal — тепловая мощность локального источника, Ah — площадь кольцевого нагревателя, ϕ — локальный азимутальный угол.

В работе рассматриваются два режима: с регулярными и нерегулярными бароклинными волнами [13, 19]. Соответствующие значения угловой скорости равняются 0.23 и 0.37 рад/с. В качестве безразмерных параметров для описания эффектов вращения обычно используется число Экмана:

Ek=ν/(Ωh2), и число Тейлора

Ta=4 Ω ² R ⁵ / ( hν ² ) .

Для режима регулярных волн управляющие параметры имеют значения: Ek = 0 . 025 , Ta= 1 . 4 · 10 ⁹ , а для режима нерегулярных волн — Ek= 0 . 015 , Ta= 3 . 6 · 10 ⁹ . Число Экмана характеризует толщину вязкого пограничного слоя у нижней границы модели. В рассматриваемых режимах толщина слоя составляет порядка 4 мм. Для каждого режима рассмотрены три конфигурации нагрева: азимутально однородный нагрев, движущийся локальный источник тепла и комбинированный нагрев, сочетающий азимутально однородный нагрев и движущийся локальный источник тепла. Суммарная мощность нагрева для всех конфигураций фиксированная и равная 123 Вт. Нагрев и охлаждение сбалансированы, таком образом полный поток тепла через все границы нулевой, и средняя по объему температура не меняется.

Начальным приближением для скорости жидкости служит скорость ее твердотельного вращения. Начальная температура жидкости считается однородной и принимается равной 20 ° C.

Дискретизация. Применяется неструктурированная расчетная сетка, состоящая из нескольких блоков со структурированной сеткой, образуемой шестигранными ячейками. Блоки выделяют области нагревателя и локализованного холодильника. В области холодильника используется пятиблочная структурированная сетка с центральным квадратом. Квадрат покрывается однородной структурированной сеткой. В вертикальном направлении сетка сгущается к верхней и нижней границам расчетной области и содержит N z узлов. Приблизительно можно сказать, что базовая расчетная сетка имеет следующую детализацию: 192 узла в радиальном направлении со сгущением к нагревателю и холодильнику, 260 узлов в тангенциальном направлении и 40 узлов в вертикальном направлении с коэффициентом сгущения к границам модели 1.05. Общее количество конечных объемов равняется 2.0 млн.

Шаг интегрирования по времени берется равным 0.1 с и в течение расчета остается постоянным. Для базового режима с периодом вращения 17 с максимальное число Куранта–Фридрихса–Леви (CFL), рассчитанное по относительной скорости, не превосходит 3.0, а в среднем по объему CFL = 0 . 2 ± 0 . 2 . Статистические характеристики находятся при помощи осреднения по времени и азимутальному направлению после выхода на статистически стационарный режим. Выход на режим занимает около 2000 c. Время осреднения составляет не менее 7200 с.

Численный алгоритм. Численные расчеты выполнены в пакете SigmaFlow; численный алгоритм базируется на методе конечного объема для пространственных уравнений гидродинамики на неструктурированной сетке. Аппроксимация конвективных и диффузионных членов уравнения количества движения осуществляется центрально-разностными схемами второго порядка. Связь между полями скорости и давления, обеспечивающая выполнение уравнения неразрывности, реализуется при помощи SIMPLE-подобной процедуры расщепления. Значения полей скорости и давления определяются в центрах конечных объемов. Для устранения осцилляций поля давления применяется подход Рхи–Чоу , заключающийся в специальной интерполяции вектора скорости на гранях конечных объемов. Интегрирование по времени уравнения движения производится методом Кранка–Николсон второго порядка точности. При этом неявно трактуются как вязкие, так и конвективные члены уравнения движения. Конвективные члены уравнения переноса энергии аппроксимируются противопоточной TVD схемой, нестационарное слагаемое уравнения на температуру — трехслойной схемой второго порядка. Поправка давления находится из соответствующего разностного уравнения алгебраическим многосеточным методом. Для ускорения расчетов применяется технология параллельных вычислений, основанная на декомпозиции расчетной области на несколько соприкасающихся подобластей.

Верификация и валидация. Верификация численной модели выполнена авторами ранее, см. работу [15] .

• 3.    Результаты

Влияние движущегося протяженного источника тепла на характеристики течений в лабораторной модели ОЦА изучалось для двух режимов: с квазирегулярными и нерегулярными бароклинными волнами. Структура средних и мгновенных течений во втором режиме наиболее близка к наблюдаемым в реальной атмосфере [15] , поэтому для краткости далее будем называть этот режим атмосферным. Таким образом, появляется возможность оценить влияние суточных колебаний температуры для различных волновых режимов. Режим со стационарным нагревом, подробно описанный в [15] , используем в качестве базового. Ограничимся кратким описанием основных особенностей, которые потребуются для сравнительного анализа. Средние и пульсационные характеристики течений для базового состояния, то есть стационарного нагрева, представлены на рисунках 2, 3а , 4а . Средняя меридиональная циркуляция состоит из аналогов трех основных атмосферных ячеек (Рис .2а ). Наиболее интенсивным является аналог ячейки Хэдли, расположенной вблизи области нагрева, затем на меньших радиусах находится аналог среднеширотной ячейки (ячейки Ферреля) и, наконец, около оси вращения формируется аналог полярной ячейки. В силу того, что область нагрева смещена от боковой стенки, рядом с ней возникает еще одна (дополнительная) ячейка, которая не представляет интереса для данной работы. Структура зональных течений

- -0.00086

- -0.00790

11 -0.01493

। 0.01320 ( a )

-0.00617

Рис. 2. Средняя меридиональная циркуляция (распределение функции тока, [м ² /с]) ( а ) и распределение средних зональных течений, [м/с] ( б ) в атмосферном режиме; штриховые линии – изолинии с отрицательными значениями, а

^ 0.5

( б )

0.00006

-0.00308

-0.00621

0.21

OJ

сплошные – изолинии с положительными значениями

Рис. 3. Среднее (по времени и зональной координате) распределение температуры ( T - T 0 ), [К] при стационарном нагреве ( a ); средние (по времени, зональной координате и высоте) радиальные профили температуры для различных конфигураций нагрева ( б ): st – стационарный, 50/50 – комбинация стационарного нагрева и движущегося источника, 100/0 – движущийся источник; атмосферный режим

Рис. 4. Распределения энергии пульсаций скорости, [м ² /с ² ] ( a ) и энергии пульсаций температуры, [К ² ] ( б ); атмосферный режим, стационарный нагрев

(во вращающейся системе отсчета) также качественно подобна структуре течений, наблюдаемых в атмосфере (Рис. 2б ). На периферии формируется течение, направленное против вращения слоя (антициклоническое), являющееся аналогом восточных ветров. На меньших радиусах появляется аналог западных ветров — течение, сонаправленное с вращением слоя (циклоническое). Скорость зональных течений V в модели ОЦА, как и в реальной атмосфере, растет с высотой z .

Среднее распределение температуры показано на рисунке 3а . Особенностью конвекции во вращающемся слое является наклонное расположение изотерм температуры. При этом практически везде, за исключением примыкающей к нагревателю области, температура растет с высотой, то есть формируется устойчивая стратификация. Пульсации меридиональной скорости обусловлены в первую очередь бароклинными волнами и обычно используются в качестве индикатора волновой активности (Рис. 4а ). Бароклинные волны образуются в области с наибольшим горизонтальным градиентом температуры, который смещен от области нагрева в сторону меньших радиусов (Рис. 3а ). Максимум волновой активности расположен в верхней части слоя, как и в реальной атмосфере, в которой наибольший уровень пульсаций меридиональной скорости наблюдается в верхних слоях тропосферы. Пульсации температуры, показанные на рисунке 4б , также обусловлены бароклинными волнами. Высокий уровень пульсаций температуры характеризует область бароклинных волн и наибольшего потока тепла.

Рассмотрим изменение средних и пульсационных характеристик течений при движущемся против направления вращения источнике тепла. На рисунке 3б видно, что среднее распределение температуры слабо зависит от конфигурации нагрева. Радиальные профили температуры (осредненные по времени, зональной координате и высоте) для стационарного, зонально симметричного нагревателя и движущегося локализованного нагревателя практически совпадают. В отличие от профилей температуры, переход к другой конфигурации нагрева приводит к количественным изменениям средних зональных течений, существенно зависящим от скорости вращения системы, но при этом их общая структура сохраняется. Переход от зонально однородного стационарного нагрева к движущемуся источнику в режиме квазирегулярных бароклинных волн сопровождается ослаблением зонального течения (аналога западных ветров) (Рис. 5а , б ), а в атмосферном режиме, наоборот, наблюдается усиление основного зонального течения и его смещение к периферии (Рис. 5в , г ). Однако описанные изменения относительно небольшие и не влияют на структуру течения в целом.

[ 0.001675 ( a )

0.001066

- 0.00045 8

--0.000151

- -0.000759

[ 0.001421 ( в ) 0.000685

--0.000052

I--0.000788

-0.001525

Рис. 5. Изменение в распределении зональных течений, [м/с] в случае движущегося источника тепла ( a , в ), средние (по высоте, зональной координате и времени) профили зональной скорости для трех конфигураций нагрева ( б , г ); режим квазирегулярных бароклинных волн ( а , б ), атмосферный режим ( в , г )

Результаты, касающиеся пульсационных характеристик, оказались неожиданными. Движущийся локализованный нагреватель сам по себе является источником возмущений, поэтому можно было предположить, что при его наличии произойдет существенный рост уровня пульсаций скорости. Однако, как показывают результаты расчетов, это не так. Средние (по высоте и зональной координате) профили энергии пульсаций скорости для трех конфигураций нагрева и для двух различных режимов течения представлены на рисунке 6. Хорошо видно, что уровень пульсаций в области бароклинных волн на средних радиусах слоя жидкости в случае локализованного источника тепла уменьшается в обоих режимах. При этом, как и в среднем течении, качественных изменений в распределении пульсаций не происходит. Однако это не означают, что переход к другой конфигурации нагрева не повлияет на мгновенные характеристики бароклинных волн.

Общепринятым подходом для демонстрации эволюции бароклинных волн является использование временных зависимостей профилей пульсаций меридиональной скорости (диаграмм Ховмеллера). Напомним, что бароклинные волны смещаются вместе с зональным течением и двигаются во вращающейся системе отсчета по направлению вращения. На рисунке 7 представлены профили пульсаций меридиональной скорости на верхней границе слоя, вдоль фиксированного радиального направления в плоскости время–радиус для двух рассмотренных волновых режимов и двух конфигураций нагрева на периферии. Хорошо видны качественные изменения в характеристиках бароклинных волн при переходе от квазирегулярного (Рис. 7а , б ) к атмосферному (Рис .7в , г ) режиму, чего нельзя сказать о влиянии конфигурации нагрева. Здесь, как и ранее для средних характеристик, видны некоторые заметные, но не принципиальные изменения. Так, для квазирегулярных волн, переход к движущемуся источнику тепла приводит к уменьшению фазовой скорости волн и увеличению их меридионального размера. Также заметны высокочастотные пульсации на периферии, вызванные движением источника тепла (Рис. 7б ). Изменения в характере бароклинных волн в атмосферном режиме еще менее заметны. Диаграммы Ховмеллера для азимутальных профилей (Рис. 8) иллюстрируют особенности бароклинных волн для двух режимов и показывают,

Рис. 6. Средние (по высоте и зональной координате) профили энергии пульсаций меридиональной скорости для трех конфигураций нагрева в режиме квазирегулярных бароклинных волн ( а ) и в атмосферном режиме ( б )

0.00625

0.00000

-0.00625

-0.01250

1.0

• ( б )

0.5 0.0

MWVH

0           500          1000         1500         2000         2500

t. с

• ( в )

0.00625 0.00000

-0.00625

-0.01250

• ( г )

0.00625 0.00000

-0.00625

-0.01250

Рис. 7. Диаграммы Ховмеллера пульсаций меридиональной скорости, [м/с] на верхней границе слоя для фиксированного азимутального угла ϕ в плоскости «время–радиус» при разных режимах течения и конфигурациях нагрева: режим квазирегулярных бароклинных волн ( a , б ); атмосферный режим ( в , г ); стационарный нагрев ( a , в ); движущийся локализованный источник ( б , г )

что относительно небольшая вариация угловой скорости принципиально влияет на динамику волн. Минимумы и максимумы на рисунке 8 соответствуют индивидуальным волновым структурам (вихрям). Длина и наклон линий, хорошо различимых для режима регулярных волн (Рис .8а , б ), характеризуют время жизни отдельных вихрей и их фазовую скорость. В атмосферном режиме (Рис .8в , г ) волновое движение носит более сложный характер. Также надо отметить, что в отличие от регулярного режима, время жизни волн в атмосферном режиме существенно ограничено: они успевают разрушиться еще до совершения полного оборота. При этом даже в режиме с регулярными волнами возможны заметные перестройки волновой структуры, сопровождающиеся изменением волнового числа (количества вихрей) и амплитуды волн. Что касается основного вопроса, а именно влияния смены конфигурации нагрева на формирование волн, то здесь сложно дать однозначный ответ. Качественный анализ не позволяет выделить существенных отличий между результатами для зонально однородного нагрева и нагрева движущимся источником, то есть в целом картина волнового движения не зависит от конфигурации нагрева.

Спектры энергии пульсаций меридиональной скорости, которые характеризуют энергию бароклинных волн, представлены на рисунке 9 для различных режимов и типов нагрева. Для построения спектров используется разложение пульсаций меридиональной скорости на азимутальные Фурье-моды [11 –13] , для всего статистически стационарного интервала времени. Спектры для обоих режимов показывают снижение уровня пульсаций при переходе к движущемуся источнику тепла. Максимум энергии в квазирегулярном режиме смещается в область более низких (крупных) пространственных мод, а в атмосферном режиме, наоборот, в сторону более высоких мод. На рисунках 7 и 8 можно отметить укрупнение размера структур, характеризующих бароклинные волны в квазирегулярном режиме и их уменьшение в атмосферном режиме, в случае с движущимся источником тепла. Относительно слабое влияние смены режима нагрева от стационарного зонально однородного к нестационарному локализованному объясняется тем, что возмущения обусловленные движением источника тепла локализованы как по пространству, так и по частоте. Это хорошо видно на распределениях энергии пульсаций в различных плоскостях: радиус–волновая мода (Рис. 10) и радиус–частота (Рис. 11) . Распределение локализованного нагрева характеризуется низшей модой m = 1 , поэтому можно ожидать, что при движении источника тепла будут генерироваться крупномасштабные моды. Действительно, это хорошо видно на рисунке 10, пульсации скорости,

t, с

( a )

[ 0.00613

--0.00236

--0.01084

--0.01933

( в )

0.00706

-0.00169

h 0.01043

и-0.01918

Рис. 8. Диаграммы Ховмеллера для пульсаций меридиональной скорости, [м/с] на верхней границе слоя для r/R ≈ 0.53 в плоскости «время–азимутальный угол»: режим квазирегулярных бароклинных волн ( а , б ), атмосферный режим ( в , г ), стационарный нагрев ( а , в ), движущийся локализованный источник ( б , г )

режимов при различных конфигурациях нагрева

вызванные движением источника тепла, описываются низшими пространственными модами (т = 1 и m = 2 ), которые расположены на периферии и практически не проникают в область бароклинных волн. Распределение пульсаций по частоте (Рис. 11) показывает, что частота воздействия на систему вследствие движения источника нагрева значительно выше частот, характерных для бароклинных волн, особенно в атмосферном режиме.

( б )

Рис. 10. Распределение энергии пульсаций меридиональной скорости, [м ² /с ² ] в плоскости «радиус–волновая мода»

при разных режимах течения: квазирегулярный ( a ), атмосферный ( б )

f, 1/c

f, 1/c

Рис. 11. Распределение энергии пульсаций меридиональной скорости, [м ² /с ² ] в плоскости «радиус–частота»:

квазирегулярный режим ( a ), атмосферный режим ( б )

• 4.    Заключение

Проведено численное исследование влияния суточных колебаний инсоляции на формирование и характеристики крупномасштабных течений при помощи численного аналога лабораторной модели ОЦА. Результаты оказались неожиданными. Так, переход от стационарного зонально однородного нагрева к нагреву движущимся источником тепла, моделирующим суточные осцилляции инсоляции, не привел к качественным изменениям в характеристиках среднего течения и в распределении пульсаций. Имеют место только количественные изменения скорости основного зонального течения (аналога западных ветров) и пульсаций меридиональной скорости. Показано, что среднее распределение температуры практически не зависит от конфигурации нагрева. Заслуживает внимания, что нагрев от движущегося источника тепла по-разному влияет на основную зональную циркуляцию в различных режимах бароклинных волн: в квазирегулярном режиме зональное течение ослабевает, а в атмосферном режиме, наоборот, усиливается. Однако величина этих отклонений от базового случая (зонально однородного нагрева) не превышает 15%. Предположение о том, что движущийся источник тепла приведет к дополнительным возмущениям и, как следствие, к росту энергии пульсаций, не подтвердилось. Напротив, энергия пульсаций меридиональной скорости, которая характеризует энергию бароклинных волн, в случае движущегося источника тепла уменьшается. Относительно слабое влияние смены режима нагрева (стационарного зонально однородного на нестационарный локализованный) объясняется тем, что возмущения, обусловленные движением источника тепла, ограничены как по пространству, так и по частоте. Низшие пространственные моды располагаются на периферии и практически не проникают в область формирования бароклинных волн, а частота воздействия движения источника тепла значительно выше частот, характеризующих бароклинные волны.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 22-61-00098),