Численное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода

Автор: Хубежты Шалва Соломонович

Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru

Статья в выпуске: 1 т.22, 2020 года.

Бесплатный доступ

В работе рассматривается один метод квадратур для численного решения гиперсингулярных интегральных уравнений на классе функций, неограниченных на концах интервала интегрирования. Для гиперсингулярного интеграла с весовой функцией p(x)=1/√(1-x2) строится квадратурная формула интерполяционного типа с применением нулей ортогонального многочлена Чебышева первого рода. Для регулярного интеграла используется квадратурная формула наивысшей степени точности с той же весовой функцией p(x). После дискретизации гиперсингулярного интегрального уравнения параметру сингулярности придаются значения корней многочлена Чебышева и, раскрывая неопределенности при совпадении значений узлов, получается система линейных алгебраических уравнений. Но, как оказалось, полученная система некорректная, т. е. не имеет единственного решения. Благодаря определенным дополнительным условиям, система становится корректной, и доказывается теорема о существовании и сходимости приближенного метода на некотором широком классе функций. Приводятся тестовые примеры, которые показывают, что построенная вычислительная схема удобна для реализации и эффективна для решения гиперсингулярных интегральных уравнений на классе функций, неограниченных на концах интервала интегрирования.

Еще

Гиперсингулярный интеграл, квадратурная формула, вычислительная схема, оценка погрешности

Короткий адрес: https://sciup.org/143170632

IDR: 143170632   |   DOI: 10.23671/VNC.2020.1.57607

Текст научной статьи Численное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода

Однако решение сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений возможно лишь в исключительных случаях, и основным аппаратом в прикладных задачах являются численные методы. В этом направлении должен отметить труды В. В. Иванова, И. К. Лифанова, Б. Г. Габдулхаева, Д. Г. Саникидзе, И. В. Бойкова и др. Но надо отметить, что и теория и методы численного решения гиперсингулярных интегральных уравнений разработаны в значительно меньшей степени, нежели соответствующая теория и методы для сингулярных интегральных уравнений. Среди работ, посвященных приближенным методам решения гиперсингулярных интегральных уравнений, можно отметить работы Б. Г. Габдулхаева [1], И. К. Лифанова [2], И. В. Бойкова [3, 4] и др.

Гиперсингулярное интегральное уравнение первого рода имеет вид

П /

-1

c^p dt+П / k(x,t)y ° (t) dt =f (x)

-1

где 1 < x < 1, k(x,t) и f (x ) — непрерывно дифференцируемые функции, y ° (t ) — неизвестная функция.

Гиперсингулярный интеграл

H (W ,x)= [ -^th dt (p > 2) J (t x)p

-1

понимается в смысле конечной части по Адамару [1]:

x—e1

П/                   f ^° (t)          Z ^° (t) Л + ^(x)

H(№),x)= lim -----— dt +    -----— dt-- >,

°’ 7       -°-    J  (t — X)P        J  (t — X)P       £P—1’ ч—1

где

Wx)

P 2 Jk)M

E ^ ° (x)

k!

k=°

E k [1 + ( 1) p k ] p k 1

В дальнейшем мы будем рассматривать гиперсингулярные интегральные уравнения первого рода в случае p = 2, т. е. уравнения вида где

П /

—1

y ° (t)

(t x) 2

dt +—У k(x,t)^ ° (t) dt = f (x),

—1

Z ^° (t)          r

/ --------tt dt = lim

J (t x) 2           -M-

—1

x-ε

/

—1

y ° (t) (t x) 2

dt +/ x+e

^ ° (t)

(t x) 2

dt -

2^ ° (x)

ε

В задачах механики и электродинамики чаще всего встречаются случаи, когда ^ ° (t)

имеет вид

^°(t) = V1 — t2 ^(t),   ^°(t) =          ^(t), v 1 — t2

^ ° (t) = \/r+I ^(t),  ^ ° (t) = \/r^.

1 t                 1+t

- t

^(t),

где ^(t) — достаточно гладкая функция на отрезке [ 1,1].

  • 2.    Квадратурные формулы для гиперсингулярных интегралов и вычислительная схема

Так как мы ищем решения уравнения (4) на классе функций, неограниченных на концах интервала интегрирования [ 1,1], т. е. вида ^ o (t) = ^ t2 ^(t), методом квадратур, то нам понадобятся квадратурные формулы для интеграла

1 _u _£(tL dx.

n J / 1 t 2 (t x) 2

-1

В работе [5] построена квадратурная формула для вышеуказанного гиперсингулярного интеграла, которая имеет вид

1 nJ А

-1

_   ^(t)

t 2 (t x) 2

n

dt« - e n k=1

( 1) k 1 У1 — x k

x x k

X

Г U n - i (x k )

x -

U n - i (x) +

x k

xU n-1 (x) - nT n

1 x 2

—] ^(X k ) (6)

где T n (x) = cos n arccos x, U n (x) = соответственно по весам p(x) = ^ нули многочлена T n (x).

sin(n+1) arccos x

1-x 2

— ортогональные многочлены Чебышева

1=2 и p(x) = V1 x 2 , x k = cos 2k2 - 1 n (k = 1, 2,..., n) —

Кроме этого, для регулярного интеграла мы будем использовать квадратурную формулу типа Гаусса [6, с. 132]

1         1                  1

-    /1    2 f (t) dt ~ n 52 f (x k ), x k = cos

П - 1 v1 t           n k=1

2k 1

π.

2n

Вычислительная схема для поиска решений уравнения (4) вида ^o(t) = ^ t2 ^(t), т. е. уравнения nJ А

-1

_WL_ dt + 1 [ t2 (t — x)2 nJ

-1

V1 - t 2

k(x, t)^(t) dt = f (x)

строится следующим образом: используя квадратурные формулы (6) и (7) и подставляя их в (8), получаем следующее дискретное уравнение:

n

1E n k=1

( 1) k yr—

(x x k ) 2

x 2 k

U n-1 (x k )   U n-1 (x) + (x x k )

xU n-1 (x) - nT n

1 x 2

—] v(xk )

1n

+ - E k(x, x k Ш) = f (x), (9) n k =1

где X k = cos 2k - 1 n (k = 1, 2,... , n).

Придавая параметру x последовательно значения x 1 ,x 2 ,•••, x n и раскрывая неопределенности при X j = X k (k = j) [7], получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных ^(x i ), ^(x 2 ), • • •, ^(x n ):

n

1Е n k=1, k=j

( 1) k 1V 1 x k \n       \ IT (              VjU U n-1 (x j ) - nTn(xj ) 1 / x

(               Un - 1 ( x k ) U n - 1 ( x j ) + (xj xk)         ..    2           ^(xk)

(x j -x k ) 2    L                                           1 x 2 J

+

- (n 2 - 1)(1 - x 2 ) + 3x 2 2n(1 - x 2 ) 2

1n

x) + nE k=1

k(x j ,x k >(x k ) = f (x j- ) (j = 1, 2,..., n).

Это и есть построенная вычислительная схема для уравнения (8).

Попытки численного решения системы (10) для некоторых тестовых задач не увенчались успехом. Численные результаты не сходились к точным решениям. И. В. Бойков подробно изучил данную проблему в работе [4]. Им установлено, что для существования и единственности решения уравнения (8) требуется выполнение следующих дополнительных условий:

П /

-1

V 1 - t 2

T o (t)^(t) dt = C o ,

1 /

-1

V-L^ T 1 (t>(t) dt = C 1 , 1 - t 2

где T o (t) и T 1 (t) — ортогональные многочлены Чебышева первого рода степени 0 и степени 1, а C o и C 1 — произвольные постоянные.

В работе [4, c. 458] указано, что «если f (x) — достаточно гладкая функция, то на классе функций вида (1 - t 2 ) -1/2 ^(t) оператор K o

KoVo = / z ^o(tL dt = f (x) I

J (t - x)2/

-1

имеет правый обратный оператор. Так как правый обратный оператор не единственный, то необходимо выделить конкретный правый оператор. Следовательно, для получения однозначного решения уравнения ( * ) нужно на него наложить дополнительные условия вида (11). При этих условиях и в предположении, что f(x) — достаточно гладкая функция, уравнение ( * ) однозначно разрешимо.

С учетом этого замечания построение и обоснование коллокационного метода и метода механических квадратур для приближенного решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода проводится на базе общей теории приближенных методов [8].»

С учетом дополнительных условий (11) получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:

-

n

k

(-1)

1- x

Un-1(xk) - Un-1(xj) + (xj - xk) xjUn-1(xj^2nTn(xj) v(xk) 1 xj k=j

-( n 2-1)(1-x 2 )+3 x2z \ I 1 V n' 7       ™ \       \           \                        „ -I

+ 2nTi —j—j V ( x j ) + 1 L k(x j ,x k Mx k ) = f(x j )> j = 2, 3,... ,n - i,

( j )                      k=1

n ^T To(xk)v(xk) = Co, k=1

n 52 T1(xk)v(xk) = C1, k=1

n

E

k =1

(x j - X k ) 2

k

X k = cos 2k—1 n, T o (t) = 1, T i (t) = t.

2n

Система (12) является системой линейных алгебраических уравнений порядка n х n относительно неизвестных ^(x i ), ^(x 2 ), ..., ^(x n ).

Решая систему (12), мы получаем численное решение уравнения (8) ^(t) в точках x i , x 2 , . . . , x n .

  • 3.    Обоснование вычислительной схемы и примеры

Справедлива следующая теорема (см. [3, 4]).

Теорема 1. Пусть в уравнении (8) с условиями (11) функции k(x,t) и f (x) на отрезке [ 1; 1] принадлежат классу H r (а) (г > 1) ( т. е. имеют непрерывные производные до порядка r 1 , а производная v (r) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 2 < а 5 1) и это уравнение с условиями (11) имеет единственное решение. Тогда система линейных алгебраических уравнений (12) также имеет единственное решение и справедлива оценка

ИО — Vn(t)| 5 O (n+ne)  (0 < e < а), где

S (t T T )      *■

X k = cos 2k—1П, 2n

T n (t) = cos n arccos t.

<1 Для доказательства введем пространство X (см. [3, 4]) функций x(t) = ^ t2 y(t), ^(t) € Hr (а) (а > 2) с нормой llx(t)|l = max И^| + max |y,(t)| + sup V (t1) V^t2)1

-1

||y(t)|= max |y(t)| + sup ^(t1) y^2'.

-1<t51           ti=t2 (t1 t2)e

Тогда гиперсингулярный оператор Hx отображает пространство X в пространство Y, причем |Hx|y 5 K|x|, K = lH||- После этого аналогично доказательствам в [4] на основе общей теории приближенных методов [8] доказывается указанная теорема. >

Приведем несколько тестовых примеров.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

  • — [ ,      • ,    \ dt +— /         (x + t)v(t) dt = x

П J V1 t2 (t x)2     nJ V1 t2

-1                              -1

с дополнительными условиями

  • 1    [ /7—^2 T0(t)V(t) dt = 1,   1 [         T1(t)V(t) dt = 0-

  • n J V1 — t2                  n J v1 — t2
  • -1                                   -1

Для этого уравнения k(x, t) = x+t, f (x) = x, Co = 1, Ci = 0. Точное решение ^(t) = 1. При n = 4 получаем следующие результаты: ^(xi) = 1, ^М) = 1, ^(xa) = 0,9999999, ^(x4) = 0,9999999.

Пример 2. Рассмотрим уравнение

  • — [ ,      , ^    dt +— /        (x + t)^(t) dt = -

  • П J V1-t2 (t — x)2    nJ Vf-t2
  • -1-1

с дополнительными условиями

  • 1    [To(t>(t) dt = 0, 1 [Ti(t>(t) dt = 1.

П J V1 - t2                  n J V1 - t2

-1-1

Здесь k(x,t) = x +1, f (x) = 2, Co = 0, C1 = 2. Точное решение ^(t) = t. При n = 4 получаем ^(xi) = 0,9238794, y(x2) = 0,3826835, y(xa) = -0,3826833, y(x4) = -0,9238797.

Пример 3. Рассмотрим уравнение

  • 1    / , 1            dt + 1 / , 1    (x + t)^(t) dt = 1 + x

П J VT-t2 (t - x)2     nJ VT-t2

  • -1-1

с дополнительными условиями

11 1 r 1     .1

П J VT-ti To|iMt) dt = 2, П У ..     . T1|iMt) dt = 0'

  • -1-1

Здесь k(x,t) = x+1, f (x) = 1 + 2, Co = 2, C1 = 0. Точное решение ^(t) = t2. При n = 4 получаем y(x1) = 0,8535533, y(x2) = 0,1464467, ^(xa) = 0,1464465, y(x4) = 0,85355534.

Во всех указанных примерах погрешность

|E(t)|= Mt) -^n(t)|10-6-

Она показывает, что вычислительная схема (12) удобна для реализации на ЭВМ и эффективна для решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода.

Список литературы Численное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода

  • Габдулхаев Б. Г., Шарипов Р. Н. Оптимизация квадратурных формул для сингулярных интегралов Коши и Адамара // Конструктивная теория функций. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1987. С. 3-48.
  • Вайникко Г. М., Лифанов И. К., Полтавский Л. Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. М.: "Янус-К", 2001. 508 с.
  • Бойков И. В., Бойкова А. И., Семов М. А. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода // Изв. вузов. Поволж. регион. Физ.-мат. науки. Математика. 2015. № 3(35). С. 11-27.
  • Бойков И. В., Бойкова А. И. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода с особенностями второго порядка // XIII Междунар. конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании" (Саранск, 12-16 июля 2017 г.). Саранск, 2017. С. 446-461.
  • Хубежты Ш. С., Плиева Л. Ю. О квадратурных формулах для гиперсингулярных интегралов на отрезке интегрирования // Аналит. и числ. методы моделирования естеств.-науч. и соц. проблем: Сб. статей IX Междунар. науч.-техн. конф. (28-31 октября 2014 г.). Пенза: Изд-во ПГУ, 2014. С. 54-59.
  • Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967. 500 с.
  • Хубежты Ш. С. О численном решении гиперсингулярных интегральных уравнений I рода с ядром Адамара // Мат. и компьютер. моделирование естеств.-науч. и соц. проблем: Материалы X Междунар. конф. молод. специалистов, аспирантов и студентов (23-27 мая 2016 г.). Пенза: Изд-во ПГУ, 2016. С. 83-92.
  • Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 720 с.
Еще
Статья научная