Численное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода

Однако решение сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений возможно лишь в исключительных случаях, и основным аппаратом в прикладных задачах являются численные методы. В этом направлении должен отметить труды В. В. Иванова, И. К. Лифанова, Б. Г. Габдулхаева, Д. Г. Саникидзе, И. В. Бойкова и др. Но надо отметить, что и теория и методы численного решения гиперсингулярных интегральных уравнений разработаны в значительно меньшей степени, нежели соответствующая теория и методы для сингулярных интегральных уравнений. Среди работ, посвященных приближенным методам решения гиперсингулярных интегральных уравнений, можно отметить работы Б. Г. Габдулхаева [1], И. К. Лифанова [2], И. В. Бойкова [3, 4] и др.

Гиперсингулярное интегральное уравнение первого рода имеет вид

П /

-1

c^p dt⁺П / ^k(x,t)y ° ^(t) dt =f (x)

-1

где — 1 < x < 1, k(x,t) и f (x ) — непрерывно дифференцируемые функции, y ° (t ) — неизвестная функция.

Гиперсингулярный интеграл

H (_W ,x)= [ -^th dt (p > 2) J (t — x)^p

-1

понимается в смысле конечной части по Адамару [1]:

x—e1

П/                   f ^° ^(t)          Z ^° ^(t) Л + ^^(x)

H(№),x)= lim -----— dt +    -----— dt-- >,

°’ 7       -°-    J  (t — X)P        J  (t — X)P       £P—1’ ч—1

где

Wx)

P ^{— 2} Jk)_M

E ^ ° ^(x)

k!

k=°

E k [1 + ( — 1) ^{p — k} ] p — k — 1

В дальнейшем мы будем рассматривать гиперсингулярные интегральные уравнения первого рода в случае p = 2, т. е. уравнения вида где

П /

—1

y ° ^(t)

(t — x) ²

dt +—У k(x,t)^ ° (t) dt = f (x),

—1

Z ^° ^(t)          r

/ --------tt dt = lim

J (t — x) ²           -M-

—1

x-ε

/

—1

y ° ^(t) (t — x) ²

dt +/ x+e

^ ° ^(t)

(t — x) ²

dt -

2^ ° (x)

ε

В задачах механики и электродинамики чаще всего встречаются случаи, когда ^ ° (t)

имеет вид

^°(t) = V1 — t2 ^(t),   ^°(t) =          ^(t), v 1 — t2

^ ° (t) = \/r⁺I ^(t),  ^ ° (t) = \/r^.

1 — t                 1+t

- t

^(t),

где ^(t) — достаточно гладкая функция на отрезке [ — 1,1].

• 2.    Квадратурные формулы для гиперсингулярных интегралов и вычислительная схема

Так как мы ищем решения уравнения (4) на классе функций, неограниченных на концах интервала интегрирования [ — 1,1], т. е. вида ^ o (t) = ^ t₂ ^(t), методом квадратур, то нам понадобятся квадратурные формулы для интеграла

1 _u _£(tL dx.

n J / 1 — t ² (t — x) ²

-1

В работе [5] построена квадратурная формула для вышеуказанного гиперсингулярного интеграла, которая имеет вид

1 nJ А

-1

_   ^^(t)

t 2 (t — x) ²

n

dt« - e n k=1

^{( — 1) k 1} У^{1 — x} k

x — x k

X

Г U n - i (x k )

x -

U n - i (x) +

x k

xU n-1 (x) - nT n

1 — x ²

—] ^(X k ) (6)

где T _n (x) = cos n arccos x, U _n (x) = соответственно по весам p(x) = ^ нули многочлена T _n (x).

sin(n+1) arccos x

1-x ²

— ортогональные многочлены Чебышева

1=2 и p(x) = V1 — x ² , x k = cos 2k2 ^{- 1} n (k = 1, 2,..., n) —

Кроме этого, для регулярного интеграла мы будем использовать квадратурную формулу типа Гаусса [6, с. 132]

1         1                  1

-    /1    2 ^{f (t) dt} ~ n 52 ^{f (x} k ), ^x k = ^cos

^П - ₁ v^{1 —} t           n k=1

2k — 1

π.

2n

Вычислительная схема для поиска решений уравнения (4) вида ^o(t) = ^ t2 ^(t), т. е. уравнения nJ А

-1

_WL_ dt + 1 [ t2 (t — x)2 nJ

-1

V1 - t ²

k(x, t)^(t) dt = f (x)

строится следующим образом: используя квадратурные формулы (6) и (7) и подставляя их в (8), получаем следующее дискретное уравнение:

n

1E n k=1

( — 1) ^k yr—

(x — x k ) ²

x ² _k

U n-1 ^(x k )   U n-1 ^{(x) + (x x} k ⁾

xU n-1 (x) - nT n

1 — x ²

—] v^(xk )

1n

+ - E k(x, x k Ш) = f (x), (9) n k =1

где X k = cos 2k ^{- 1} n (k = 1, 2,... , n).

Придавая параметру x последовательно значения x 1 ,x 2 ,•••, x n и раскрывая неопределенности при X j = X k (k = j) [7], получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных ^(x i ), ^(x 2 ), • • •, ^(x n ):

n

1Е n k=1, k=j

^{( 1) k 1}V ^{1 x} k \_n       \ IT (              VjU ^U n-1 ^(x j ^{) -} n^Tn^(xj ) 1 / x

(               ^Un - 1 ^{( x} k ) U n - 1 ^{( x} j ^{) + (x}j ^xk)         ..    2           ^^(xk)

(x j -x _k ) ²    L                                           1 — x 2 J

+

- (n ² - 1)(1 - x ² ) + 3x 2 2n(1 - x ² ) ²

1n

x) + nE k=1

k(x j ,x k >(x k ) = f (x j- ) (j = 1, 2,..., n).

Это и есть построенная вычислительная схема для уравнения (8).

Попытки численного решения системы (10) для некоторых тестовых задач не увенчались успехом. Численные результаты не сходились к точным решениям. И. В. Бойков подробно изучил данную проблему в работе [4]. Им установлено, что для существования и единственности решения уравнения (8) требуется выполнение следующих дополнительных условий:

П /

-1

V 1 - t ²

T o (t)^(t) dt = C o ,

1 /

-1

V-L^ T 1 (t>(t) dt = C 1 , 1 - t ²

где T o (t) и T 1 (t) — ортогональные многочлены Чебышева первого рода степени 0 и степени 1, а C o и C 1 — произвольные постоянные.

В работе [4, c. 458] указано, что «если f (x) — достаточно гладкая функция, то на классе функций вида (1 - t ² ) ^-1/2 ^(t) оператор K o

KoVo = / z ^o(tL dt = f (x) I

J (t - x)2/

-1

имеет правый обратный оператор. Так как правый обратный оператор не единственный, то необходимо выделить конкретный правый оператор. Следовательно, для получения однозначного решения уравнения ( * ) нужно на него наложить дополнительные условия вида (11). При этих условиях и в предположении, что f(x) — достаточно гладкая функция, уравнение ( * ) однозначно разрешимо.

С учетом этого замечания построение и обоснование коллокационного метода и метода механических квадратур для приближенного решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода проводится на базе общей теории приближенных методов [8].»

С учетом дополнительных условий (11) получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:

-

n

k

(-1)

1- x

Un-1(xk) - Un-1(xj) + (xj - xk) xjUn-1(xj^2nTn(xj) v(xk) 1 xj k=j

^-( n ^2-1)^(1-x 2 )+3 x²_z \ I 1 V n' 7       ™ \       \           \                        „ -I

⁺ 2nTi —j—j V ^{( x} j ) ^{+ 1} L ^k(x j ^,x k M^x k ) = ^f(x j )> j = ², ³,... ^{,n -} i,

⁽ j )                      k=1

n ^T To(xk)v(xk) = Co, k=1

n 52 T1(xk)v(xk) = C1, k=1

n

E

k =1

(x j - X k ) ²

k

X k = cos 2k—¹ n, T o (t) = 1, T i (t) = t.

2n

Система (12) является системой линейных алгебраических уравнений порядка n х n относительно неизвестных ^(x i ), ^(x 2 ), ..., ^(x n ).

Решая систему (12), мы получаем численное решение уравнения (8) ^(t) в точках x i , x 2 , . . . , x n .

• 3.    Обоснование вычислительной схемы и примеры

Справедлива следующая теорема (см. [3, 4]).

Теорема 1. Пусть в уравнении (8) с условиями (11) функции k(x,t) и f (x) на отрезке [ — 1; 1] принадлежат классу H r (а) (г > 1) ( т. е. имеют непрерывные производные до порядка r — 1 , а производная v ^(r) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 2 < а 5 1) и это уравнение с условиями (11) имеет единственное решение. Тогда система линейных алгебраических уравнений (12) также имеет единственное решение и справедлива оценка

ИО — Vn(t)| 5 O (n+ne)  (0 < e < а), где

S (t — T T )      *■

X k = cos 2k—¹П, 2n

T n (t) = cos n arccos t.

<1 Для доказательства введем пространство X (см. [3, 4]) функций x(t) = ^ t2 y(t), ^(t) € Hr (а) (а > 2) с нормой llx(t)|l = max И^| + max |y,(t)| + sup V (t1) V^t2)1

-1

||y^(t)|= max |y^{(t)| +} sup ^(t¹) y^²'.

^-1<^t51           ti=t2 ^(t1 ^—t2^)e

Тогда гиперсингулярный оператор Hx отображает пространство X в пространство Y, причем |Hx|y 5 K|x|, K = lH||- После этого аналогично доказательствам в [4] на основе общей теории приближенных методов [8] доказывается указанная теорема. >

Приведем несколько тестовых примеров.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

• — [ ,      • ,    \ dt +— /         (x + t)v(t) dt = x

П J V1 —t² (t — x)²     nJ V1 —t²

-1                              -1

с дополнительными условиями

• ¹    [ /7—^2 T0^(t)V^{(t) dt} = 1,   ¹ [         T1^(t)V^{(t) dt} = 0-

• n J V1 — t2                  n J v1 — t2

• -1                                   -1

Для этого уравнения k(x, t) = x+t, f (x) = x, Co = 1, Ci = 0. Точное решение ^(t) = 1. При n = 4 получаем следующие результаты: ^(xi) = 1, ^М) = 1, ^(xa) = 0,9999999, ^(x₄) = 0,9999999.

Пример 2. Рассмотрим уравнение

• — [ ,      , ^    dt +— /        (x + t)^(t) dt = -

• П J V1-t2 (t — x)2    nJ Vf-t2

• -1-1

с дополнительными условиями

• ¹    [To(t>(t) dt = 0, ¹ [Ti(t>(t) dt = 1.

П J V1 - t2                  n J V1 - t2

-1-1

Здесь k(x,t) = x +1, f (x) = 2, Co = 0, C1 = 2. Точное решение ^(t) = t. При n = 4 получаем ^(xi) = 0,9238794, y(x2) = 0,3826835, y(xa) = -0,3826833, y(x4) = -0,9238797.

Пример 3. Рассмотрим уравнение

• ¹    / , ¹            dt + ¹ / , ¹    (x + t)^(t) dt = 1 + x

П J VT-t2 (t - x)2     nJ VT-t2

• -1-1

с дополнительными условиями

11 1 r 1     .1

П J VT-ti ^To|iMt) dt = 2, П У ..     . ^T1|iMt) dt = ⁰'

• -1-1

Здесь k(x,t) = x+1, f (x) = 1 + 2, Co = 2, C1 = 0. Точное решение ^(t) = t². При n = 4 получаем y(x1) = 0,8535533, y(x₂) = 0,1464467, ^(xa) = 0,1464465, y(x₄) = 0,85355534.

Во всех указанных примерах погрешность

|E^(t)|= Mt) ^-^n^(t)|< ¹⁰-6-

Она показывает, что вычислительная схема (12) удобна для реализации на ЭВМ и эффективна для решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода.