Численное решение сингулярно возмущенных краевых задач 4-го порядка

В данной работе рассматривается дифференциальное уравнение 4-го порядка с малым параметром при старшей производной:

Lu(x) = £[a(x)u"(x)] -[b(x)u'(x)] + c(x)u(x) = f(x),0

где a(x) > 0, b(x) > 0, c(x) > 0, с граничными условиями двух типов:

u (0) = u (1) = u "(0) = u "(1) = 0,(2)

u (0) = u (1) = u '(0) = u ‘(1) = 0.(3)

Задачи (1)-(2) и (1)-(3) встречаются в теории оболочек и упругости. ([1]-[3]). В работе [4] предложен алгоритм численного решения (1) на равномерной сетке, где для задачи (1)-(2) погрешность оценивается величиной h^3/2/ £². При £< h^3/4 этот алгоритм уже не гарантирует сходимость численного решения к точному. Поэтому при малых £ задачу нужно решать другим методом. Можно воспользоваться асимптотическим разложением [5], но при этом придется численно решать возникающие при разложении уравнения.

В данной работе предлагается алгоритм решения, основанный на применении специальной неравномерной разностной сетки, при этом оператор L аппроксимируется двумя способами:

• 1)    L заменяется на более удобный оператор, который расщепляется на два оператора, т.е. вместо одного уравнения (1) рассматривается система двух уравнений второго порядка. Этот способ легко реализуется для случая гладких коэффициентов a(x), b(x), c(x) ([6]).

• 2)    Методом интегральных тождеств L аппроксимируется на пятиточечном шаблоне. В этом случае коэффициенты могут быть разрывными [7].

1 Метод расщепления

Рассмотрим первый подход. Для задачи (1)-(2) имеем:

Lu(x) = L1 L2u -£a/x)u"(x) + bj(x)u'(x) = f (x), 0 < x< 1,(1.1)

где

L1 u ^ £a(x)u”(x) + £b2(x)u'-b(x)u,(1.2)

L 2 v ^ v" - b2 (x) v' - (c 2 (x) - b2 (x)) v,(1.3)

a1 (x) = (a (x)b₂(x))' - a(x)(c₂ (x) + b₂²(x)), b (x) = (a(x)b₂ (x))" - a(x)(c₂ (x) + b₂ (x))b₂ (x), b₂ (x) = b'(x) / b (x), c₂ (x) = c (x) / b (x).

Пусть u (x) — решение следующей задачи:

L₂L₁ u = f (x), u (0) = u (1) = й"(0) = u"(1) = 0.         (1.4)

Из асимптотического разложения (1) в работе [5] следует

| u'(x )| < M, |u"(x )| < Ms^-1, поэтому Lu - L₂L₁u< Ms. Пусть теперь u (x) — решение (1.4), а u(x) — решение (1), тогда L(u - u) < Ms и поэтому из асимптотического разложения u - u следует |u(x) - u (x)| < Ms . Таким образом, с точностью до s решение задачи (1)-(2) совпадает с решением задачи (1.4).

Аппроксимируя операторы L₁ и L₂ разностными операторами Л₁ и

Л2 на неравномерной сетке xt, i = 0,...,N получаем следующий конечно разностный аналог задачи (1)-(2):

лi =

2sa, | ui₊₁- ui hi+ hi-1 (    hi

ui^-ui-1 hi-1

b2,i⁽ui+1^-

ui-1)

- biui = vi, u₁= u_N = 0,

(1.5)

Л

I

^2sa (v+1^-v v^-v .-1 hi⁺hi-1 (    hi          hi-1

b2

^-~2~ ⁽v+1 ^-v-1 ) I ^{- (}c2i^{+ b} 2 i )vi = f ,

(1.6)

V0 = Vn = 0,  hi = x,+1 - x„  i = 0,..., N.

Теорема 1. Пусть c₂(x) + b2(x) > 0, тогда верна оценка:

|ui -u(xi)| >M(h²+ s + Ri|,                         (1.7)

где ui — решение Л₁Л₂u = f (xi), u(x) — решение (1)-(2), Ri — погрешность аппроксимации уравнения (1.2) схемой (1.5).

Доказательство. Схема (1.6) при hi > 0.5b21 удовлетворяет принципу максимума, из которого следует:

| V - V(x )| < M (| V1 - V(М + |VN - V(xN )| + R1), где Ri1 — погрешность аппроксимации уравнения (1.2) схемой (1.6). Очевидно, что |Ri11 < Mh2, | vi - v(xi) + Ri11 < Ms, поэтому | vi - v(x, )| < M (h2 + s). Схема (1.5) также удовлетворяет принципу максимума и для погрешности ui - u(xi) верна оценка:

I ui- u (xD| < u1- u (М + uN - u ( xn )|+ |r,| + vi- v (xD| <

• < M |0.5h1²u"(^1) + 0.5hNuX^2)| + Ri | + h²+ s, ^1 e (x0,x,), ^2 e (xn__pxn).

Теорема доказана.

Неравномерную разностную сетку xi, i = 0,...,N построим с помощью отображения:

[х,(q),⁰< q< 0.5, x (q) = ^

[1 - x1 (1 - q), 0.5 < q< 1,

sq / xi( q)=

-----^,0< q< qo, p - q

(1.8)

(1.9)

1 - 2 xnz x0 +, ~ (q - q0), q0 < q <0.5, 1 - 2 q 0

p = (1 + s^a)q0, q0 e (0,1),0 < a< 0.5, удовлетворяющего следующим условиям:

• x(0) = 0, x(1) = 1, x(q) e C[0,1], — > 0, R< Mh², h,²u"(x,) < Mh².

dqiii

Теорема 2. Пусть b(x) e C⁴[0,1], a(x),c(x), f (x) e C²[0,1] и c₂ (x) + b2 (x) > 0, тогда имеет место оценка:

| ui - u (xi )| < M (h²+ s)

где u_t — решение (1.5)-(1.6) при x(q) определенном (1.8).

Доказательство. Так как b(x) e C4[0,1], c(x) e C2[0,1] и c2 (x) + b2 (x) > 0, то v(x) e C4 [0,1] и | v(n) (x)| < M при n < 4 , где v(xt) — решение задачи:

L 2 v = f (x), v (0) = v (1) = 0.

А для решения задачи:

L1 u = v (x), u (0) = u (1) = 0, верна оценка

Iu(n)(x)| < MI sn + s-n exp f--) + exp f) |, n < 4, n = min(0,2 - n), (1.10) I \ s J I s J J которая доказывается аналогично оценке для задачи su"- c2u = f (x), полученной в работе [8]. Для доказательства (1.9) достаточно показать

|Л’| <Mh²,|0.5hi²u(^)| <Mh².

Эти оценки доказываются так же, как и в работе [8]. Для этого нужно воспользоваться (1.10) и рассмотреть Ri и hi²u(^) отдельно при 0 < i< N /4 - 2, N /4 +1 < i< N / 2, а при i = N /4 -1, i = N /4 рассмотреть два случая: 1) s > h ; 2) s< h . Во всех случаях получаем Ri' | < Mh², 10.5hi²u(^)| < Mh²и значит из (1.10) следует (1.9). Теорема доказана.

Замечание. При s > h^2/5 целесообразно решать методом, изложенным в [4].

Теперь рассмотрим задачу (1)-(3). Имеем:

| и (x) - u (x )| < Ms², где и (x) — решение задачи (1.4) при граничных условиях (3). Аналогично теореме 2 доказывается следующая теорема.

Теорема 3. Пусть ui — решение (1.6)-(1.7) с соответствующими граничными условиями, и(x) — решение (1)-(3), тогда имеет место оценка

| ui - и (xi )| < M (h²+ s).

2 Метод интегральных тождеств

Во втором подходе оператор L аппроксимируем на неравномерной сетке xi, i = 0,...,N следующей разностной схемой, полученной с помощью метода интегральных тождеств [7]:

L^hu = (A^hux_x)_xx - (B^hu_x)_x + Chui = F^h,0 < i< N,

Ul - u,i         u,1 - ui 1                 z C n xl-1),

^ux = —J-----, ^ux =---r=---, hi = x+1 - x, hi = 0.5⁽x+1

h-          hC

Ah

Ch

s —

2 h x i

dx

x

a (x)

1x+1 dx

2 hc^!c (x)

1 x- v 7 7

,

, в

h

1 r dx h-1 z 1b⁽x),

1 xi'+1

Fh = 2h ! f (x)dx,

,

(2.1)

x+1

x

4-1

с краевыми условиями:

u_n= 0, u , + u, = 0, 0         ⁷ -1         1         ⁷

^uN = ⁰, ^uN-1 ^{+ u}N +1 = ^0;

(2.2)

(2.3)

^u 0 = ⁰, ^u -1 ^u1 = ⁰, ^un = ⁰, ^un-1   ^un +1 = 0.

При аппроксимации которых введены фиктивные точки x-1 =-x1, xN+1 = 2 - xN-1 вне интервала [0,1].

Для схемы (2.1) пока не удалось доказать аналитически равномерной сходимости численного решения к точному. Поэтому порядок равномерной сходимости находился численным экспериментом. Решение системы разностных уравнений (2.1) проводилось немонотонной прогонкой.

Применим вышеописанный численный алгоритм для решения линеаризованной задачи о продольно-поперечном изгибе упругой балки с заделанными концами под действием распределенной нагрузки P(x) [2]. Эту задачу можно выразить в соответствующих безразмерных координатах, используя характерную интенсивность нагрузки Q и относя длины к длине балки L , так что P(x) = Qp(x), 0 < x< 1, x = XIL. Прогиб балки U(X) относительно нейтральной оси удобно отнести к прогибу струны

T

QL / T, т. е. u(x) = —ЦС(x), где T — постоянное продольное усилие. QL²

Получающееся безразмерное уравнение и граничные условия имеют вид:

eu⁽⁴⁾- u" = p(x), 0 < x< 1, u (0) = u '(0) = u (1) = u '(1) = 0.

(2.4)

Малый параметр задачи e =

EI

TL²

где E — постоянный модуль упру-

гости, I — постоянный момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси, оценивает относительное значение жесткости изгиба в сравнении с продольным усилием. При p(x) = const = c^—1

точное решение имеет вид:

cu (x) = __] ^   (ex /   + e⁽x^-1)/) + x x

-

x —

e+1 e^4/— 1

(2.5)

В табл. 1–2 приводятся результаты расчетов по схеме (2.1) соответственно на равномерной и неравномерной сетке (1.8), где 5h = max|u,^A — u(x,)|, 3'1 = Vemax\uxgi, — u"(x,)|, uh — решение (2.1 )-(2.2) при h = 1 / 40, u(x) — точное решение (2.5).

Таблица 1

Таблица 2

Из этих таблиц видно, что на неравномерной сетке с уменьшением шага вдвое погрешности δ_h , δ_h/2 уменьшаются в 4 раза (т.е. точность o(h²)) и остаются теми же с уменьшением ε , т.е. достигается равномерная по малому параметру ε сходимость с точностью o(h²). Кроме этого, величина εu_x^h_xˆ применяемая для вычисления внутреннего напряжения на равномерной сетке вычисляется с погрешностью δ_h¹до 100%.

Заключение

В работе рассматривается дифференциальное уравнение 4-го порядка с малым параметром при старшей производной (1) с краевыми условиями двух видов. Предлагается алгоритм решения сингулярно возмущенной краевой задачи 4-го порядка, основанный на применении специальной неравномерной разностной сетки. Оператор L аппроксимируется двумя способами: 1) L заменяется на более удобный оператор, который расщепляется на два оператора, т.е. вместо одного уравнения (1) рассматривается система двух уравнений второго порядка (этот способ легко реализуется для случая гладких коэффициентов a(x), b(x), c(x) ([6])); 2) методом интегральных тождеств L аппроксимируется на пятиточечном шаблоне (в этом случае коэффициенты могут быть разрывными [7]).

При первом подходе доказаны впервые теоремы о равномерной сходимости по малому параметру на предложенной в работе неравномерной разностной сетке. При втором подходе порядок равномерной сходимости находился численным экспериментом. Решение системы разностных уравнений проводилось немонотонной прогонкой. Описанный численный алгоритм был применен для решения линеаризованной задачи о продольно-поперечном изгибе упругой балки с заделанными концами под действием распределенной нагрузки. Численным экспериментом показано, что достигается равномерная по малому параметру ε сходимость с точностью o(h²) на предложенной неравномерной разностной сетке (1.8).

Предложенные в данной работе алгоритмы решения сингулярно возмущенных краевых задач 4-го порядка могут быть применены для решения практических задач в теории оболочек и упругости, в том числе с разрывными коэффициентами.