Численное решение задачи чистого изгиба балки в рамках дилатационной теории упругости

Численное решение задачи чистого изгиба балки в рамках дилатационной теории упругости

Автор: Соляев Юрий Олегович, Лурье Сергей Альбертович, Волков Александр Владимирович

Журнал: Вычислительная механика сплошных сред @journal-icmm

Статья в выпуске: 2 т.10, 2017 года.

Бесплатный доступ

В работе представлены результаты численного решения задачи чистого изгиба балки в постановке дилатационной теории упругости. Используемая модель соответствует частному случаю среды с микроструктурой Миндлина, в которой присутствуют только свободные деформации изменения объема. Физическая трактовка модели связана с уточненным описанием напряженно-деформированного состояния пористых сред, в которых объемное содержание пор изменяется под действием приложенных внешних нагрузок. Рассматриваемая формулировка модели расширяется за счет учета поверхностных эффектов. Решение находится методом конечных элементов. Проводится анализ точности известного приближенного аналитического решения задачи чистого изгиба балки, построенного полуобратным методом Сен-Венана также в рамках дилатационной теории. Показано, что в численном решении, в отличие от аналитического, напряженное состояние балки трехмерно. Возникают самоуравновешенные нормальные и касательные напряжения, действующие в плоскости ее поперечного сечения. При этом все граничные условия по напряжениям на свободных поверхностях балки выполняются точно. Путем сопоставления результатов численного и аналитического моделирования выявлено, что аналитическое решение позволяет получать достаточно точные оценки при прогнозе влияния неклассических масштабных и поверхностных эффектов на эффективную жесткость и напряженное состояние пористых балок.

Еще

Микродилатационная теория упругости, пористые среды, чистый изгиб, метод конечных элементов, поверхностные эффекты

Короткий адрес: https://sciup.org/14320841

IDR: 14320841   |   УДК: 532.5   |   DOI: 10.7242/1999-6691/2017.10.2.12

Numerical solution of the beam pure bending problem in the framework of the theory of elastic materials with voids

The beam pure bending problem is solved numerically in the framework of the theory of elastic materials with voids, also called the elastic micro-dilatation theory. This theory describes a particular case of Mindlin’s type media with microstructure and contains only non-zero micro-dilatations. The physical meaning of the model involves a more comprehensive description of the stress-strain state of porous media, in which the volume pore fraction changes in response to applied external loads. In this paper we consider a generalized variant of the theory with surface effects. The finite element method is used to find a solution to the beam pure bending problem. The semi-inverse analytical micro-dilatation solution is compared with the FEM solution. It is shown that, unlike the analytical solution, in the FEM solution all the components of the stress-strain tensors are not equal to zero. There are also self-equilibrated normal stress components in the width direction and shear stress components in the cross section perpendicular to the neutral plane. In the numerical solution, all the stress boundary conditions are accurately satisfied on the free surfaces of the beam. Comparison of analytical and numerical simulation results shows that the analytical solution allows one to obtain sufficiently precise estimates to predict the influence of non-classical scale effects and surface effects on the effective stiffness and stress state of porous beams.

Еще

Список литературы Численное решение задачи чистого изгиба балки в рамках дилатационной теории упругости

  • Миндлин Р.Д. Микроструктура в линейной упругости//Механика. -1964. -№ 4. -С. 129-160.
  • Марков К.З. К теории упругости сред со свободной дилатацией частиц//Теоретическая и прикладная механика. -1974. -Т. 6, № 1. -С. 93-99.
  • Nunziato J.W., Cowin S.C. A nonlinear theory of elastic materials with voids//Arch. Rational Mech. Anal. -1979. -Vol. 72, no. 2. -P. 175-201.
  • Markov K.Z. On the dilatation theory of elasticity//ZAMM. -1981. -Vol. 61, no. 8. -P. 349-358.
  • Cowin S.C., Nunziato J.W. Linear elastic materials with voids//J. Elasticity. -1983. -Vol. 13, no. 2. -P. 125-147.
  • Markov K.Z. On a microstructural model of damage in solids//Int. J. Eng. Sci. -1995. -Vol. 33, no. 1. -P. 139-150.
  • Thurieau N., Kouitat Njiwa R., Taghite M. The local point interpolation-boundary element method (LPI-BEM) applied to the solution of mechanical 3D problem of a microdilatation medium//Eur. J. Mech. A-Solid. -2014. -Vol. 47. -P. 391-399.
  • Ciarletta M., Chiriţǎ S., Passarella F. Some results on the spatial behaviour in linear porous elasticity//Arch. Mech. -2005. -Vol. 57, no. 1. -P. 43-65.
  • Dell’Isola F., Batra R.C. Saint-Venant’s problem for porous linear elastic materials//J. Elasticity. -1997. -Vol. 47, no. 1. -P. 73-81.
  • Ieşan D., Scalia A. On the deformation of functionally graded porous elastic cylinders//J. Elasticity. -2007. -Vol. 87, no. 2. -P. 147-159.
  • Ghiba I. Semi-inverse solution for Saint-Venant’s problem in the theory of porous elastic materials//Eur. J. Mech. A-Solid. -2008. -Vol. 27, no. 6. -P. 1060-1074.
  • Cowin S.C. The stresses around a hole in a linear elastic material with voids//Q. J. Mechanics Appl. Math. -1984. -Vol. 37, no. 3. -P. 441-465.
  • Cowin S.C., Puri P. The classical pressure vessel problems for linear elastic materials with voids//J. Elasticity. -1983. -Vol. 13, no. 2. -P. 157-163.
  • Batra R.C., Yang J.S. Saint-Venant’s principle for linear elastic porous materials//J. Elasticity. -1995. -Vol. 39, no. 3. -P. 265-271.
  • Ieşan D. A theory of thermoelastic materials with voids//Acta Mechanica. -1986. -Vol. 60, no. 1. -P. 67-89.
  • Ieşan D. Some theorems in the theory of elastic-materials with voids//J. Elasticity. -1985. -Vol. 15, no. 2. -P. 215-224.
  • Chandrasekharaiah D.S., Cowin S.C. A complete solution for a unified system of field equations of thermoelasticity and poroelasticity//Acta Mechanica. -1993. -Vol. 99, no. 1. -P. 225-233.
  • Chandrasekharaiah D.S., Cowin S.C. Unified complete solutions for the theories of thermoelasticity and poroelasticity//J. Elasticity. -1989. -Vol. 21, no. 1. -P. 121-126.
  • Bîrsan M. A bending theory of porous thermoelastic plates//J. Therm. Stresses. -2003. -Vol. 26, no. 1. -P. 67-90.
  • Bîrsan M., Altenbach H. On the theory of porous elastic rods//Int. J. Solids Struct. -2011. -Vol. 48, no. 6. -P. 910-924.
  • Ciarletta M., Iovane G., Sumbatyan M.A. On stress analysis for cracks in elastic materials with voids//Int. J. Eng. Sci. -2003. -Vol. 41, no. 20. -P. 2447-2461.
  • Popuzin V., Pennisi M. Fast numerical method for crack problem in the porous elastic material//Meccanica. -2014. -Vol. 49, no. 9. -P. 2169-2179.
  • Scalia A. Contact problem for porous elastic strip//Int. J. Eng. Sci. -2002. -Vol. 40, no. 4. -P. 401-410.
  • Pompei A., Rigano A., Sumbatyan M.A. Contact problem for a rectangular punch on the porous elastic half-space//J. Elasticity. -2005. -Vol. 76, no. 1. -P. 1-19.
  • Chandrasekharaiah D.S. Effects of surface stresses and voids on rayleigh waves in an elastic solid//Int. J. Eng. Sci. -1987. -Vol. 25, no. 2. -P. 205-211.
  • Lurie S.A., Kalamkarov A.L. General theory of defects in continuous media//Int. J. Solids Struct. -2006. -Vol. 43, no. 1. -P. 91-111.
  • Lurie S.A., Kalamkarov A.L. General theory of continuous media with conserved dislocations//Int. J. Solids Struct. -2007. -Vol. 44, no. 22-23. -P. 7468-7485.
  • Лурье С.А., Белов П.А. Теория сред с сохраняющимися дислокациями. Частные случаи: среды Коссера и Аэро-Кувшинского, пористые среды, среды с «двойникованием»//Современные проблемы механики гетерогенных сред: Сб. науч. тр. -Изд-во ИПРИМ РАН, 2005. -С. 235-267.
  • Iovane G., Nasedkin A.V. Finite element analysis of static problems for elastic media with voids//Comput. Struct. -2005. -Vol. 84, no. 1-2. -P. 19-24.
  • Iovane G., Nasedkin A.V. Finite element dynamic analysis of anisotropic elastic solids with voids//Comput. Struct. -2009. -Vol. 87, no. 15-16. -P. 981-989.
  • Ramézani H., Steeb H., Jeong J. Analytical and numerical studies on Penalized Micro-Dilatation (PMD) theory: Macro-micro link concept//Eur. J. Mech. A-Solid. -2012. -Vol. 34. -P. 130-148.
  • Jeong J., Sardini P., Ramézani H., Siitari-Kauppi M., Steeb H. Modeling of the induced chemo-mechanical stress through porous cement mortar subjected to CO2: Enhanced micro-dilatation theory and 14C-PMMA method//Comp. Mater. Sci. -2013. -Vol. 69. -P. 466-480.
  • Jeong J., Ramézani H., Sardini P., Kondo D., Ponson L., Siitari-Kauppi M. Porous media modeling and micro-structurally motivated material moduli determination via the micro-dilatation theory//Eur. Phys. J. Spec. Top. -2015. -Vol. 224, no. 9. -P. 1805-1816.
  • Ramézani H., Jeong J. Non-linear elastic micro-dilatation theory: Matrix exponential function paradigm//Int. J. Solids Struct. -2015. -Vol. 67-68. -P. 1-26.
  • Thurieau N., Njiwa K.R., Taghite M. The local point interpolation-boundary element method (LPI-BEM) applied to the solution of mechanical 3D problem of a microdilatation medium//Eur. J. Mech. A-Solid. -2014. -Vol. 47. -P. 391-399.
  • Lakes R.S. Experimental microelasticity of two porous solids//Int. J. Solids Struct. -1986. -Vol. 22, no. 1. -P. 55-63.
  • Ieşan D. Second-order effects in the torsion of elastic materials with voids//ZAMM. -Vol. 85, no. 5. -P. 351-365.
  • Lazar M., Maugin G.A. On microcontinuum field theories: the Eshelby stress tensor and incompatibility conditions//Philos. Mag. -2007. -Vol. 87, no. 25. -P. 3853-3870.
  • Cowin S.C. A note on the problem of pure bending for linear elastic materials with voids//J. Elasticity. -1984. -Vol. 14, no. 2. -P. 227-233.
Еще
QR-код для установки приложения SciUp Наведите камеру и скачайте бесплатное приложение SciUp