Численное решение задачи Стокса со свободной границей модифицированным методом проекции градиента
Автор: Пак Владимир Васильевич
Журнал: Вычислительная механика сплошных сред @journal-icmm
Статья в выпуске: 1 т.1, 2008 года.
Бесплатный доступ
В вариационной постановке решение уравнений Стокса сводится к минимизации функционала полной энергии на пространстве соленоидальных полей. В настоящей работе предлагается метод конечных элементов в сочетании с методом проекции градиента, позволяющий получить приближенное решение этой задачи путем безусловной минимизации квадратичного функционала в пространстве пониженной размерности, который ранее не использовался для решения задач подобного типа. Приводятся результаты численного решения ряда тестовых задач со свободной границей, показывающие преимущества разработанного метода по сравнению с методами штрафной функции и функции Лагранжа по точности, устойчивости и быстродействию.
Короткий адрес: https://sciup.org/14320418
IDR: 14320418
Numerical solution of the Stokes problem under free boundary by the modified projection gradient method
From a variational standpoint, the solution of Stokes equation is reduced to the constrained minimization of the total energy functional over the space of solenoidal fields. The paper presents the finite element method combined with the gradient projection method to obtain the approximate solution of this problem by the unconstrained minimization of the quadratic functional with a reduced number of unknown variables, which has not been previously used for solving such a problem. The numerical solutions of a few test free boundary problems are presented to reveal the advantages of the developed method over the penalty and Lagrangian methods with respect to the accuracy, stability, and computer speed.
Список литературы Численное решение задачи Стокса со свободной границей модифицированным методом проекции градиента
- Григорьев А.С., Шахмуралова З.Е. Теоретическое определение скоростей движения дневной поверхности при некоторых механизмах деформирования земной коры//Современные движения земной коры. -Тарту, 1973. -Вып. 5. -С. 595-603.
- Данилин Ю.М. О минимизации функции в задачах с ограничениями типа равенств//Кибернетика. -1971. -№ 2.-С. 88-95.
- Кобельков Г.М. О сведении краевой задачи для бигармонического уравнения к задаче типа Стокса//Докл. АН СССР. -1985.-Т. 283, № 1. -С. 539-542.
- Малевский А.В. Механика процесса образования астеносферного диапира//Численное моделирование и анализ геофизических процессов: Вычисл. сейсмология: вып. 20. -М.: Наука, 1987. -С. 52-60
- Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -Новосибирск: Наука, 1978. -536 с.
- Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. -М.: ИЛ, 1954. -863 с.
- Пак В.В. Численная модель двухфазной среды со слабосжимаемым скелетом и некоторые геофизические приложения//Дальневосточный математический журнал. -2007.-Т. 7, № 1-2. -С. 79-90.
- Пак В.В. Многотемпературная модель компакции магматического расплава в астеносфере (Численный подход)//Физика Земли. -2007. -№ 9. -С. 79-86.
- Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. -М.: Мир, 1981.-408 с.
- Тимухин Г.И. О построении некоторых схем приближенного решения уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости//Числ. методы механ. сплош. ср. -Новосибирск: Наука, 1972.-Т. 3, № 2. -C. 77-85.
- Han, Hou-de. An analysis of penalty nonconforming finite element method for Stokes equations//J. Comput. Math. -1986. -V. 4, № 2. -P. 164-172.
- Loewenherz D.S. and Lawrence C.J., The effect of viscosity stratification on the instability of a free surface flow at low Reynolds number//Phys. of fluids A 1. -1989. -V. 10. -P. 1686 -1693.
- Lukas D, Dostal Z. Optimal multigrid preconditioned semi-monotonic augmented Lagrangians applied to the Stokes problem//Numerical linear algebra with applications. -2007. -V. 14, № 9. -P. 741-750.
- Schmeling H.G., Alexander R., Marquari G. Finite deformation in and around a fluid sphere moving through a viscous medium: implications for diapic ascent.//Tectonophysics. -1988, -V. 149, № 1-2. -P. 17-34.
- Wieners C. Robust multigrid methods for nearly incompressible elasticity//Computing. -2000. -V. 64, № 4. -P. 289-306.
- Woidt W.D. Neugebauer H.J. Finite element models of density instability by means of bicubic spline interpolation//Phys. Earth and Planet. Inter. -1980. -V.21, № 2/3. -P. 176-180.
