Численные эксперименты по методу идентификации линейных динамических систем при гармоническом сигнале
Автор: Мижидон Арсалан Дугарович, Мадаева Елена Андреевна
Журнал: Вестник Бурятского государственного университета. Философия @vestnik-bsu
Рубрика: Математическое моделирование
Статья в выпуске: 9, 2015 года.
Бесплатный доступ
В работе представлена численная реализация метода идентификации линейных стационарных динамических систем по входному синусоидальному сигналу. Идентификация матрицы системы сводится к построению и решению матричного линейного алгебраического уравнения, построение которого основано на сопоставлении представления решений задачи Коши в виде экспоненциального матричного ряда и результатов измерений фазовых координат системы при входном синусоидальном сигнале. Для реализации численных экспериментов было составлено программное обеспечение на языке Фортран.
Идентификация, активная идентификация, линейная система, задача коши, фундаментальная матрица, матричная экспонента, интерполирование
Короткий адрес: https://sciup.org/148183111
IDR: 148183111 | DOI: 10.18097/1994-0866-2015-0-9-76-82
Текст научной статьи Численные эксперименты по методу идентификации линейных динамических систем при гармоническом сигнале
Одним из основных этапов, реализующих технологии математического моделирования, является создание и идентификация математической модели, исследуемого объекта. При этом различают идентификацию в широком смысле – структурная идентификация, и в узком смысле – параметрическая идентификация.
Так, в работе [1] был предложен подход к идентификации линейных стационарных динами- ческих систем по результатам проведенных измерений фазовых координат системы на некотором промежутке времени. В статье [2], согласно данному подходу, был рассмотрен метод идентификации линейных динамических систем при синусоидальном воздействии.
В работе производится развитие метода, предложенного в [2] и проводится численный эксперимент идентификации некоторой линейной стационарной динамической системы по результатам измерений фазовых координат системы на некотором промежутке времени, при наложении на вход системы синусоидального сигнала.
-
1. Постановка задачи
-
2. Идентификация системы по синусоидальному сигналу
Будем предполагать подачу на вход исследуемой системы некоторого тестового сигнала. В качестве тестового воздействия рассматривается некоторый синусоидальный сигнал BSin( ro t ) , где B = diag { b 1 ,b 2,..., bn } - матрица амплитудных значений, ro = ( ro 1 ,...., ro n ) T - вектор частотных значений, накладываемый на вход x 0 = ( x 0 , x 0 ,..., x 0 ) T исследуемого объекта (процесса). Производя замеры реакции объекта на возмущение в моменты времени t , были получены значения состояния системы в моменты t , x ( t ) = ( x 1 ( t ), x 2( t ),..., x n ( t )) T , являющиеся функциями времени. Предполагается, что выходные переменные x ( t ) = ( x 1( t ), x 2( t ),..., x n ( t )) T являются решением стационарной динамической линейной неоднородной задачи:
x = Ax + BSin ( ro t ), x (0) = x 0. (1)
где x 0 = ( x ° ,x 0 ,..., x n ° ) T - начальное состояние объекта,
A - n -мерная квадратная матрица.
Задача параметрической идентификации сводится к отысканию матрицы A , которая обеспечивает в некотором смысле близость решений задачи (1) и экспериментальных данных.
Решение задачи (1), согласно формуле Коши [3], можно записать в виде:
x ( t ) = F ( t , 1 0) x 0 + J f ( t , t ) BSin( гот ) d T , (2)
t 0
где F ( t , т ) - фундаментальная матрица.
Проинтегрировав правую часть уравнения (1), и используя разложения фундаментальной матрицы F ( t , т ) в виде матричного ряда, функций Cos ( ro t ) и Sin ( ro t ) в ряд Тейлора, было получено следующее итоговое выражение для решения неоднородной системы вида (1) [2]:
, . о л о ( A 2 x 0 + A 2 CW - 1 b + CWb ) t2
x(t) = x0 + Ax01 + -------------------— + (A3x0 + A3 CW b + t3 (A2mx0 + A2mCW-1 b + (-1)m+1 CW2m-1 b) .
+ ACWb )— + ... + -t 2 m +
3! (2 m )!
( A 2 m + 1 x 0 + A 2 m + 1 CW-1 b + ( - 1) m + 1 ACW 2 m - 1 b ) 2 m + 1
(2 m + 1)!
Здесь b = ( b 1 ,...., b n ) T , W = diag { ro 1 , ro 2,..., ro n } , аматрица C удовлетворяет уравнению:
A 2 CW 2 + C = E .
С другой стороны, разложение решений системы (1) x ( t ) в ряд Тейлора в некоторой окрестности точки 1 0 имеет вид:
^ (i )Z. xi
x ( t ) = x - + £ x ( t 0 ) ( t - t 0 ) i = 1 i !
Сравним полученное выражение (3) с разложением решения неоднородной системы (1) x ( t )
в ряд Тейлора в некоторой окрестности точки t 0 = 0 (4). Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в (3) и (4) [2]:
x (1) (0) = Ax 0 ,
x (2 m ) (0) = A 2 m x 0 + A 2 m CW - 1 b + ( - 1) m + 1 CW 2 m - 1 b ,
_x(2 m +1) (0) = a 2 m+1 x0 + a 2 m+1cw-1 ь + (—1) m+1 acw 2 m-1 b = Ax(2 m) (0).
Отсюда получим следующую систему уравнений для нахождения матрицы A :
' Ax 0 = x (1) (0),
Ax (1) (0) = x (2) (0) - Wb ,
Ax (2 m - 1) (0) = x (2 m ) (0) + ( - 1) m W 2 m - 1 b , Ax (2 m ) (0) = x (2 m + 1) (0).
Таким образом, для нахождения матрицы системы (1) получили матричное алгебраическое уравнение относительно матрицы A
AX 0 = X 1 + W * , (6)
где матрицы X 0 и X 1 определяются следующим образом:
X 0 = ( x (0), x (1)(0)..., x ( n - 1)(0) ) , X 1 = ( x (1)(0), x (2)(0),..., x ( n ) (0) ) ,
W *
( 0, - Wb ,...,( - 1) mW 2 m 1 b ) , npu n = 2 m , m eN ;
( 0, - Wb ,...,( - 1) mW 2 m - 1 b ,0 ) , npu n = 2 m + 1, m eN .
Решив матричное алгебраическое уравнение (6), найдем
A = ( X 1 + W * )( X 0 )- 1.
Заметим, для построения матриц X 0 и X 1 будем использовать значения производных интерполяционных полиномов [1], вычисленные в точке t = 0.
В целом идентификация системы сводится к следующему:
-
1. проводится интерполирование входных данных [1];
-
2. строятся матрицы X 0 , X 1 , используя производные интерполяционных представлений, найденных на шаге 1, и по синусоидальному сигналу BSin( a t ) - матрица W * ;
-
3. решается уравнение (6).
Т.к. матрицы X 0 и X 1 будут найдены с некоторой погрешностью, то вместе с матричным уравнением (6), восстанавливающим матрицу A , рассматривается система:
(A +д A)(X0 +д X0) = (X1 + W * +д X1 +aW *), где дA, aX0, aX1 и aW* приращения соответствующих матриц. Тогда согласно [4] верно следующее утверждение об оценке относительной погрешности метода.
Утверждение. Пусть матрицы X0, X1, W* имеют приращения aX0, aX1 , aW* соответст венно и выполнено условие:
ЦДX0||||х0|р1 < 1, где ц = ||х0|| (X0)-1
Тогда оценка относительной погрешности идентифицируемой матрицы A удовлетворяет неравенству:
k A
A
Ц [ || a X1 + a W *|| + | a X0 | "
1 - ц |д X "II|| X "Iр [ I х - + W ’ll + I х "I )
Замечание. Для идентификации матрицы A системы (1) по уравнению (6) используются амплитудные и частотные характеристики входного сигнала. Из системы (5) можем получить матричное уравнение для нахождения матрицы системы (1), не включающее характеристики входного сигнала [2], вида: AX2m = X2m+1, где X2m = (x(0),x(2)(0)...,x(2n 2)(0)),
X 2 m + 1 = ( x ™(0), x (3^ (0),„, x (2 n - 1)(0) ) .
3. Численный эксперимент
Рассмотрим идентификацию линейной системы по заданному точному значению решений. Для этого в качестве идентифицируемой системы вида (1), рассмотрим систему, которая в реальном представлении описывается следующей системой дифференциальных уравнений с за-
|
данным начальным условием: |
|
' x 1 ( t ) А ( 3 - 4 0 2 Af x 1 ( t ) А ( Sin ( t ) А ( 4.97' |
|
x2 ( t ) 4 - 5 - 2 4 x ( t ) Sin (2 t ) 4.32 |
|
2 = • 2 + , x (0) = . (7) |
|
x ;( t ) 0 0 3 - 2 x 3( t ) 2 Sin ( t ) 1.86 |
|
( x 4( t ) J ( 0 0 2 - 1 Д x 4( t ) J ( 2 Sin (2 1 ) J ( 1.56 , |
Для задачи Коши (7) решение имеет вид:
|
x 1 ( t )' |
" ( 1,5 + 1 ) e + ( 1,25 + 1 ) e - t ' |
'- 1.5 3.5 0 - 1.28 а |
' Sin ( t ) a |
|||
|
x 2( t ) |
= |
( 1 + 1 ) e t + ( 1 + 1 ) e - t |
+ |
0 4 - 0.6 - 1.68 |
Cos ( t ) |
(8) |
|
x 3( t ) |
( 1,5 + 1 ) e t |
- 1 1 0.48 - 0.64 |
Sin (2 1 ) |
|||
|
x 4 ( t ) j |
( ( 1 + t ) e t j |
( 0 2 0.08 - 1.44 ? |
( Cos (2 1 ) y |
Используя точное аналитическое представление решения (8) вычислим производные до 4-го порядка включительно. Значение функции и производные при t = 0 представлены в таблице 1.
Таблица 1
|
j |
x j (0) |
x ( j 1) (0) |
x ( j 2) (0) |
x ( j 3) (0) |
x ( j 4) (0) |
|
1 |
4.97 |
0.75 |
4.37 |
7.75 |
-14.23 |
|
2 |
4.32 |
0.8 |
4.72 |
10.8 |
-20.88 |
|
3 |
1.86 |
2.46 |
5.06 |
1.66 |
-3.74 |
|
4 |
1.56 |
2.16 |
6.76 |
3.36 |
-16.04 |
Из таблицы 1 и неоднородной части системы (7) можем записать значения матриц X 0 и X 1 + W * :
|
' 4.97 |
0.75 |
4.37 |
7.75 a |
' 0.75 |
3.37 |
7.75 |
- 13.23 a |
||
|
X 0 = |
4.32 |
0.8 |
4.72 |
10.8 |
0.8 |
2.72 |
10.8 |
- 12.88 |
|
|
1.86 |
2.46 |
5.06 |
1.66 |
, X 1 + W * = |
2.46 |
3.06 |
1.66 |
- 1.74 |
|
|
( 1.56 |
2.16 |
6.76 |
3.36 J |
( 2.16 |
2.76 |
3.36 |
- 0.04 ? |
Используя (6) матрицу A получим вида:
|
' 3 4 |
- 3.999999 - 5 |
0 - 2 |
1.999999 4 |
|
|
.4 = |
||||
|
0 |
0 |
3 |
- 2 |
|
|
( 0 |
0 |
2 |
- 1 |
Данная матрица совпадает с исходной матрицей системы (7), так как для идентификации использовались производные до 4го порядка точных аналитических решений (8) (таблица 1).
|
t |
x 1( t ) |
x 2( t ) |
x 3( t ) |
x 4( t ) |
|
0.0 |
4.97 |
4.32 |
1.86 |
1.56 |
|
0.2 |
5.216815 |
4.587393 |
2.455224 |
2.130642 |
|
0.4 |
5.688296 |
5.110366 |
3.264548 |
2.984807 |
|
0.6 |
6.419644 |
5.926847 |
4.302613 |
4.118829 |
|
0.8 |
7.439683 |
7.050904 |
5.596578 |
5.5214 |
|
1 |
8.784953 |
8.48708 |
7.197332 |
7.189164 |
|
1.2 |
10.5163 |
10.24986 |
9.190789 |
9.144857 |
|
1.4 |
12.73632 |
12.38612 |
11.70842 |
11.45601 |
|
1.6 |
15.60607 |
14.99818 |
14.93652 |
14.25236 |
|
1.8 |
19.35987 |
18.26511 |
19.12431 |
17.74054 |
Таблица 2
Рассмотрим задачу идентификации матрицы согласно изложенному методу. Для этого, используя дискретные данные решения системы (7) (таблица 2), найдем интерполяционные полиномы Лагранжа [1] и их производные (таблица 3).
Ниже, в таблице 3 приведены производные до 4-го порядка интерполяционных полиномов при t = 0:
|
j |
Pj (0) |
P j (1) (0) |
P j (2) (0) |
P j (3) (0) |
Pj (4) (0) |
|
1 |
4.97 |
0.750057 |
4.368569 |
7.77105 |
-14.45088 |
|
2 |
4.32 |
0.79996 |
4.720996 |
10.78604 |
-20.75801 |
|
3 |
1.86 |
2.460005 |
5.059994 |
1.658043 |
-3.692948 |
|
4 |
1.56 |
2.159965 |
6.760901 |
3.347021 |
-15.91548 |
Таблица 3
Здесь Pj ( i ) (0) обозначает производную i -го порядка полинома Лагранжа, составленного по табличным значениям xj ( t ) (таблица 2) при t = 0 для всех i , j = 1,4 [1].
В соответствии таблице 3 значения матриц X 0
X 0
' 4.97
4.32
1.86
. 1.56
0.750057
0.799960
2.460005
2.159965
и X 1 представляются следующим образом:
4.368569
4.720996
5.059994
6.760901
7.771051
10.78604
1.658043
3.347021
,
Матрицу A согласно
X 1 =
A p =
|
' 0.750057 |
4.368569 |
7.771051 |
- 14.45088 ^ |
|
0.79996 |
4.720996 |
10.78604 |
- 20.75801 |
|
2.460005 |
5.059994 |
1.658043 |
- 3.692948 |
|
v 2.159965 |
6.760901 |
3.347021 |
- 15.91548 ; |
|
уле (6) получим в виде: 3.08 -4.096548 -0.030396 |
2.040963 |
||
|
3.994221 |
-4.993414 |
-1.995434 |
3.994701 |
|
-0.006458 |
-0.007625 |
3.001408 |
-2.002228 |
|
-0.03089 |
-0.036105 |
2.012262 |
-1.016214 |
.
.
|
Таблица 4 |
|||||
|
t |
x 1 ( t ) |
x 2( t ) |
x 3( t ) |
x 4( t ) |
|
|
0.0 |
4.970001 |
4.320001 |
1.860001 |
1.560001 |
|
|
0.2 |
5.216816 |
4.587394 |
2.455225 |
2.130643 |
|
|
0.4 |
5.688297 |
5.110367 |
3.264549 |
2.984808 |
|
|
0.6 |
6.419645 |
5.926848 |
4.302614 |
4.118830 |
|
|
0.8 |
7.439682 |
7.050903 |
5.596577 |
5.521399 |
|
|
1 |
8.784952 |
8.487079 |
7.197331 |
7.189163 |
|
|
1.2 |
10.5163 |
10.24986 |
9.190788 |
9.144856 |
|
|
1.4 |
12.73632 |
12.38612 |
11.70841 |
11.45601 |
|
|
1.6 |
15.60607 |
14.99818 |
14.93652 |
14.25236 |
|
|
1.8 |
19.35987 |
18.26511 |
19.12431 |
17.74054 |
|
Если же сделать допущение, что экспериментальные данные получены с некоторой погрешностью £ (таблица 4), тогда согласно предлагаемому подходу матрица А £ найдется в виде:
|
t |
x 1 ( t ) |
x 2( t ) |
x 3( t ) |
x 4( t ) |
|
0.0 |
4.970001 |
4.320001 |
1.860001 |
1.560001 |
|
0.2 |
5.216794 |
4.587374 |
2.455211 |
2.130626 |
|
0.4 |
5.687912 |
5.110089 |
3.264316 |
2.9846 |
|
0.6 |
6.417365 |
5.925244 |
4.301182 |
4.117638 |
|
0.8 |
7.432735 |
7.046525 |
5.59192 |
5.518198 |
|
1 |
8.76395 |
8.470778 |
7.183947 |
7.177012 |
|
1.2 |
10.47498 |
10.21771 |
9.163688 |
9.120893 |
|
1.4 |
12.6654 |
12.33016 |
11.66056 |
11.41404 |
|
1.6 |
15.49595 |
14.90804 |
14.86079 |
14.18464 |
|
1.8 |
19.20583 |
18.13332 |
19.01645 |
17.64201 |
Таблица 5
|
' 3.25413 |
- 4.297418 |
- 0.095888 |
2.128447 ' |
|
|
4.165789 |
- 5.194152 |
- 2.060879 |
4.082123 |
|
|
Af = |
||||
|
£ |
0.16514 |
- 0.193144 |
2.935939 |
- 1.914778 |
|
ч 0.140825 |
- 0.164804 |
1.946753 |
- 0.928708 , |
Решения системы с матрицей А £ представлены в таблице 5.
Таким образом, отклонение точных решений (таблицы 2) от решений (таблицы 5) имеют незначительную погрешность, вызванную способом нахождения производных и точностью табличных данных.
Заключение
Рассмотрена численная реализация метода идентификации линейных стационарных динамических систем по результатам проведенных измерений фазовых координат системы на некотором промежутке времени при входном синусоидальном сигнале. Идентификация согласно изложенному подходу позволяет восстановить исходную систему по заданным решениям некоторой задачи Коши. В общем случае, производя идентификацию по табличным данным некоторой Задачи Коши, получили отклон ения, связанные с точностью табличных данных и выбранного метода интерполяции полиномами Лагранжа.
Список литературы Численные эксперименты по методу идентификации линейных динамических систем при гармоническом сигнале
- Мижидон А.Д., Мадаева Е.А. Об одном подходе к идентификации линейных динамических систем//Вестник ВСГУТУ. -2014. -№ 3. -С. 5-12.
- Мижидон А.Д., Мадаева Е.А. Метод идентификации линейных динамических систем по входному синусоидальному воздействию//Научный вестник НГТУ. -2015. -№ 1. -С. 62-75.
- Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1974. -331 с.
