Численные методы решения нелокальных краевых задач для обобщенных нагруженных уравнений Аллера

порядка. Одним из приложений этой теории является теория дифференциальных уравнений с дробными производными. Подробное описание применения дробного исчисления к различным областям науки и техники на современном этапе даны в монографиях [1–4].

Вопросы моделирования фильтрации и течения жидкости в трещиновато-пористых средах [5, 6], двухфазного течения в пористых средах с динамическим капиллярным давлением [7], переноса влаги [8, 9], движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах [10, 11], теплопроводности в двухтемпературных системах [12] и течения некоторых неньютоновских жидкостей [13] связаны с необходимостью исследования краевых задач для дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка псевдопараболического типа (уравнение Аллера) и более общего класса уравнений — уравнение типа Соболева [14].

В работе [15] предложены и исследованы математические модели водного режима в почвогрунтах с фрактальной структурой. В основе этих моделей лежат дифференциальные уравнения Аллера с дробной по времени производной. Для задачи Коши выписывается единственное представление решения.

Численным методам решения краевых задач для различных уравнений дробного порядка посвящены работы [16–27].

В данной работе рассматриваются нелокальные краевые задачи для нагруженных обобщенных уравнений Аллера с переменными коэффициентами и дробной производной Капуто. Основной результат работы заключается в доказательстве априорных оценок для решений задач как в дифференциальном, так и в разностном виде при различных соотношениях между порядками дробной производной Капуто ( α, β ). Полученные неравенства означают устойчивость решения относительно входных данных. В силу линейности рассматриваемых задач эти неравенства позволяют утверждать сходимость приближенного решения к точному (в предположении существования последнего в классе достаточно гладких функций). Подобные задачи возникают также в практике регулирования солевого режима почв, когда расслоение верхнего слоя достигается сливом слоя воды с поверхности затопленного на некоторое время участка [21, с. 233]. В работе [22] для описания движения примеси в потоке однородной жидкости используется дифференциальное уравнение дробного порядка. Если на поверхности поля имеется слой воды постоянной толщины h , то на верхней границе с учетом фрактальности почвенной среды следует задать условие

Эс Эс

DdX + ' ... = где c — концентрация соли в почвенном растворе, D — коэффициент диффузивности, A, h = const > 0.

Настоящая работа является непосредственным продолжением серии работ автора, посвященных разностным методам решения нелокальных краевых задач для обобщенных уравнений Аллера [23–27].

• 2.    Постановка нелокальной краевой задачи для нагруженного уравнения Аллера

В замкнутом прямоугольнике Q t = { (x, t) : 0 С x С l, 0 С t С T } рассмотрим нелокальную краевую задачу для нагруженного обобщенного уравнения Аллера:

∂       ∂u β ∂ ∂u         ∂u dotu = дХ V(x’t) дХ) + d0t дХ V(x) дХ/ + r(x t) дХ - q(x, t)u(x°,t^ + f(x’t)’

0 <  х < l, 0 < t С T,

П(0, t) = в11 (t)u(0, t) + ei2datu(0, t) - № (t), 0 С t С T,

-n(l,t)= e2i(t)u(l,t) + e22d0tu(l,t) - №(t), 0 С t С T,

u(x, 0) = uo(x), 0 С x С l, где

0 < co С k(x,t),n(x) С "i, в12,в22 = const > 0, Iei1(t)|, |e21(t)|, Hx,t)h |q(x,t)1, |kx(x,t)h |rx(x,t)| < c2, dYtu = r(i—Y) Jot u—Tyi dT — дробная производная в смысле Капуто порядка y, 0 < y < 1, а ^ в, xo — произвольное фиксированное число, n(x,t) = kux + d0t(n(x)ux), ci = const > 0, i = 0,1, 2.

Будем предполагать, что решение задачи (1)–(4) существует и обладает нужными по ходу изложения производными, а коэффициенты уравнения и граничных условий удовлетворяют необходимым по ходу изложения условиям гладкости, обеспечивающим нужный порядок аппроксимации разностной схемы.

По ходу изложения будем также использовать положительные постоянные числа M i , i = 1, 2,... , зависящие только от входных данных рассматриваемой задачи.

• 3.    Априорная оценка в дифференциальной форме

Для получения априорной оценки решения задачи (1)–(4) в дифференциальной форме умножим уравнение (1) скалярно на u :

(d&u, u) = (( ku x ) x , u) + (d O t (nU x ) x , u) + (ru x , u) - (qu(x o , t), u) + (f, u), (6) где скалярное произведение и норма имеют вид (a, b) = f ^ abdx , (a, a) = ||aH o , a , b — заданные на [0, l] функции.

Пользуясь неравенством Коши с ε , леммой 1 из [19], после несложных преобразований [27] с учетом

l

l

- qu(x , t), u =

-

J qu(xo,t)udx С "2 2 У ( u ² (xo,t)+ u ² ) dx

о

о

l

^С ^c ^{2 u} 2 ⁽xo^{,t) +} " 2 2 У u ² dx <  M i ^ u ^ 2 ⁺ E^c ² || u x || 2 0

из (6) находим ll

• ^{1    d} 0t ^{| u |} 0 ⁺ I ^ku X ^{dx +1} I n ^dOT ^(u x ^{) 2 dx} <  ^{u n(x,t)} i o ⁺ M 2 ^{| u |} 2 ^{+ E}M 3 ^{| u} x ^{| 2 + 1 || f || 2} . ⁽⁷⁾

Оценим первое слагаемое в правой части (7). Тогда получим

u(x,t)n(x,t)^ = u(l,t) ( № o (t) - e oi (t)u(l,t) - e oo d ^at u(l,t) )

+ u(0,t)(№i(t) - eiiu(0,t) - eiodatu(0,t)) < M4(№i + №2)

⁺ M 5 ^{| u |} _o ^{+ E}M 6 ^{| u} x ^| _o - ^” ^d o t u ^{2 (0}, t) ^- ^” ^d o t ^{u 2 (l}, t)-

Учитывая (8), из (7) находим l dat||ull2 + У ndet(ux)2 dx +||ux|l2 + в12д04u2(0,t)+ e22datu2(l,t) 0

^ ^M 7 |^{| u |} 0 ^{+ eM} 8 |^| u x |^| o ⁺ M 9 (|^{| f} il o ⁺ ^ ^{2 (t) +} ^ 2 ^(t) ) , ⁽⁹⁾

Выбирая e = 2 M 1^ , из (9) находим

l d0t |u|2+ / nC (ux)2 dx + |ux W0 + d0tu2(0,t) + ^tuHM) 0

^ M 10 ^{| u |} ₀ + M 11 ( ^{|| f} Wo ⁺ ^ 1 ^{(t) +} ^ 2 ^(t) ) , ⁽¹⁰⁾

Применяя к обеим частям неравенства (10) оператор дробного интегрирования D ₀ ^- _t ^α , получаем

|M0 + D 0 - t ^{( a - e )} | u x | 2 + D - ^a | u x | 0 + u ² (0,t)+ u ² (l,t)

^ M i2 D - ^a | u | 0 + M i3 ( D 0 t^a ( ! f | 0 + ^ 1 (t)+ ^ 2 (t) ) + | u 0 (x) | 2 ) . (11)

На основании [19, лемма 2] из (11) находим априорные оценки:

• 1)    в случае, когда α > β

|| u|l 0 + D -^^ ) || u x || 2 +     ' ' ^ M ( D^f || 0 + ^ 1 (t) + ^ 2 (t) ) + || u 0 (x) || 0 ) , (12)

• 2)    в случае, когда a = в

• 4.    Устойчивость и сходимость разностной схемы

Н| к . (0_Л + D 0 ,^a || u x || 2 <  ^M ( D 0 ,^a (|| f | 0 + ^M + ^(t) ) + || u 0 (x) ||'W-. (0 ,l ) ) .       (13)

где llu ^ W .i (0 1 ) = b u b o + 11^ x11 0 ’ M = ^const > 0 , зависящее только от входных данных (1)-(4), D 0t^Y и = г(^ Jo ( _t — UdT _{- Y} — дробный интеграл Римана — Лиувилля порядка Y , 0 <  y <  1 .

Теорема 1. Если k(x,t) G C ^{1 , 0} (Q_T ), n(x) € C 1 [0, l], r(x, t), q(x, t), f (x,t) € C(Q _T ), u(x,t) G C ^{2 , 1} (Q _T ) И C 1 ’ 1 (Q _T ), d at u(x.t) G C(Q _T ), d ^et u _xx (x,t) G C(Q _T ) и выполнены условия (5), тогда для решения задачи (1)-(4) справедливы априорные оценки (12) при a > в и (13) при a = в

Из априорных оценок (12), (13) следуют единственность и устойчивость решения по правой части и начальным данным.

Для решения задачи (1)–(4) применим метод конечных разностей. Построим монотонную схему второго порядка точности, содержащую односторонние производные, учитывающие знак r(x, t) . Для этого рассмотрим вместо уравнения (1) следующее уравнение с возмущенными коэффициентами [28, c. 170]:

d ^ u = K i (ku x ) x + d 0 _t (nu x ) x + ru x - q(x, t)u(x 0 , t) + f (x, t),              (14)

где к = 1+1 R , R = ⁰i⁵ hM — разностное число Рейнольдса.

На равномерной сетке ω h _τ исходной дифференциальной задаче (14), (2)–(4) поставим в соответствие разностную схему с порядком аппроксимации O(h ² + т ² ) при а = в и O(h ² + т ^{2—max{ a}'^{e }} ) при а = в :

△ j У = К ( ° i y X^x ⁺ A ,'/ .. ( Y i y x ) x ⁺ b - j a i yft

⁺ b + j ^a i +1 yH ^- d j (y ^ ^X - o ⁺ y io +l x + a ) ⁺ V j ’ ⁽¹⁵⁾

^K o a i y X^ ⁺ A j ⁽Y i y x, o ⁾ = A1 y O ^{a )} + O.5hd o (y^x-, + У^^ ) ⁺ AA^.,. , Уо ^- №, ⁽¹⁶⁾

• ^- ( ^K N ^a N уХл ^{+ A} 0 t j + _CT ⁽ Y N y x,N ) ) = A^N ^{+ 0} - ^5h dN (.Л? ^X ,.. ⁺ .С- . ^X , ,)

+ e22AOtj+CTyN - P-2,

y(x, 0) = uo(x), x € Wh,(18)

где

r(0,t) < 0, r(l,t) ^ 0, отметим, что условия (19) нужны для обеспечения порядка аппроксимации O(h2 + т2) разностной схемы (15)–(18), в12 = в12 + 0.5h,   ^1(tj+a) = ^1(tj+a) + 0.5h^O , в22 = в22 + 0.5h,  №(tj+a) = № (tj+a) + 0.5h^jN aj = k(xi-0.5 ,tj+a), Yi = n(xi-o.s),

j ₌ r⁽x, t j + a )

i      k(x,t j + a ) ’

V = f (xi/t j + a )

y ^{( a )} = ^y ^{j +1} + (1 - ^)y j , d j = q(x i ,t j + a ), a O ^{Y,a )} = a ^{1 Y} ,

r(x,t j + a ) = r ⁺ (x,t j + a )+ Г (x,t j + a ),    | r(x, t j + a ) | = r ⁺ (x,t j + „ ) - Г (x,t j + a ),

. + Л f A r ^{( X,t} j + a ^{) + | r(X,t} j + a ) |         .-^ f A ^{r ( x,t} j + a ) ^- H^x,t j + a ) |

(x, tj+a) —             ^              ^ 0, ' (x, tj+a) —             2

a^'^ = (l + a) ^{1- Y} - (l - 1 + a) ^{1- Y} ,    l >  1,

^{b ( Y}’^{a )} = 9 _    [ ⁽l ^{+ a) 2 Y} - ⁽l - ^{1 + a) 2 Y} 1 - 9 [ ⁽l ^{+ a) 1 Y + (}l - ^{1 + a) 1 Y} ] ’   l ^ 1’

2 Y2

о      (Y,a)( при j = 0, cO'   = aO' ';

'aOY’a) + b1Y,a),             s =0, при j > 0’ cSY,a)

, aSY,a) + bS+a) - bSY,a),  1 ^ s < j-

.a^ - bjY’a),          s =j, cSY,a) > 1^(s + ^ > 0,

- _ X i o +1 - x o x i o =      h

x _i ⁺ ₀

X o - X i o h

X i o ^ X o <  X i o +1 ’

^а = 1 - ^Y , при ^а = ^в и а = 0.5 , при ^а = ^в , ^o t j + _CT y = r ( 1 - Y ) E S =0 c j - " J s — дискретный аналог дробной производной Капуто порядка y , 0 <  y < 1 , [20] с порядком аппроксимации О(т ^{3- 7} ) при а = 1 — Y , и О(т ^{2- 7} ) при а = 0.5 . Введем скалярные произведения и норму:

г 1 \ h k    f0-5h,

[U, V] = 2^U i V i ^ , ^ = S, i =0                  lh’

i ^N’     (u,v] = \ ui vih, [u,u] = [^u2] = i = 0, N,               i=i

IМ1 2 -

Перепишем (15)–(18) в операторной форме:

^ 0 t j + _CT J = ^Л(/ j ■ "  )J "  + 5y + ^ф’ y(x, 0) = u o (x), x € Wh,

где

Л(t j . . j ' =

^лJ i " = ^{K (a}!L U ⁺ b ay^ ⁺ b ' a ' ' ^I J ⁽ " ^— d(y i' 0^{r ) x} i _O) ⁺ jtli x O) ’ < ^Л J 0 " = h ( ^K 0 a i y X" 0 ^{— e} Hk" ^{— 0} - ^{5 h}d o (u o " )^ ⁺ yS+i x + o )) ’

( " )       ²                     ( " )             ( " )                     ( " )            ( " )

/⁺J n = h ( ^K N a N J s -N - ^e 21 y N ^{— 0} - ^{5 h}d N (y i o x i o ⁺ J i o +i x + o) ) ’

i = 0, i = N,

5y = <

Ф = <

⁵J i = ^ 0 t j + _CT ⁽ YiJ x \

i = 1, N — 1,

5 У 0 = h^{2 (} ^ o’ j + . (7 i y x. 0 ) ^{— e} i2 ^ ^a _lj + , У 0 ) ,         i = 0,

_6+j N = 2 ( — A 0 t j ₊ , (Y N J x-N ) — Й 22 А 0% ₊ . J N ) ’ i = N’

V = Vi’

2                                jx

V = hWt j + ^ ⁾⁺⁰-⁵M) ’

-V ⁺ = h (■^M' 2 ⁽ t j + ^ ) ⁺⁰-^5hV N ) ’

i = 1, N — 1,

i = 0,

i = N.

„1

^K =      , 0 . 5 h | r | ’

^{1 +} k

„1

^{K 0} =        0 . 5 h | r o | ’

1 +

r o <  0,

K N =

1 + 0.5h|rN| ’ kN-0.5

r N ^ 0,

Г 0 = r(0, t j + a ) = r ^{j + CT} ^ 0’ r N = r(x N , t j + _CT ) = r^ ^ 0.

Умножим теперь (20) скалярно на у ^{( ст )} :

[^ 0 t ₃ + _CT J’J ^{( a)}] = ^( t j + . )y ^{( CT )} ’J ^{( CT)}] + \Уу, У^ + Ф’У ' .               (22)

Пользуясь леммой 1 из [20], первой разностной формулой Грина, неравенством Коши — Буняковского и ε -неравенством [28, c. 110], после некоторых преобразований c учетом

• ^— I' d f y i? ^x .o ⁺ y i o +i x ⁺ ) -y " ] = ^— ( y ⁽ 0 Ч ⁺ y i oY I ^x i )^{[ d}- J° ^] « 2 ( y O ) x i o ⁺ y « o+ i x i )

+ ₂ [ d.y ⁽ " ) ] ² < ( y ' , : ^{) x} i O, ) ² + ( y i" +i x + ) ² + N⁷ [ 1- ⁽ y " ' ) ² ] ' M i I[ y ⁽ " ) ]I 0 + -'M 2 1 y⁷ ) ] I. 0

из (22) находим

^ St„J [ y ] l i +A 0 ^S _{ij +} . I J x ] .2 + 1 y (" ll 2 <  M 3 | [ y ⁽ - ⁾ ] l i +-M x ^ y X" ) ] | 0 +M 5 ([ v ] l 0 +м 2 +м 2 ) ’ (23)

где ^{| [}y^{] |} i = ^{| [}y^] | ^{2 +} j 0 ⁺ j N •

I случай. Пусть а > в , тогда выбирая е = 2214 , из (23) получаем

А'. М2 + <,+Лух]1; + |[»Xu’]|O 5 M6 |у(" ', + MrMO + У + /2).

Перепишем (24) в другой форме:

A8tj„Ы|? 5 Ms |y" +l|', + MU [yj]|1 + M7(|[y]|0 + /2 + /2)-

На основании [25, лемма 4] из (25) получаем

|1У+1]lO 5 M(И Jm’x (|[^‘]lO + ц1 + Ц2))’

4            05j 5j 4z z где M = const > 0, не зависящая от h и т.

II случай. Пусть а = в , тогда перепишем (23) в следующем виде:

• △0tj+. | [у] |2 5 M1o Л' 'Л 2 + Mu |[yj]|2 + M7 (|И2 + У 2 + ц22),(27)

где W = Г'CW i_{(0 il )} ⁺ y O ⁺ y N • l [y^] I W I _{(O il )} = l ^[y^] l 0 ⁺ Гу - ^{] |;}-

На основании леммы 4 [25] из (27) получаем

• |[yj+1]|W2i(o,i)5 M (|[y0]| W2i(o,i)+0™. (|[^ ‘ ]10+ц;+ц)),

где M = const >  0 , не зависящая от h и т .

Теорема 2. Пусть выполнены условия (5), (19), тогда существует такое т о , что если т 5 Т о , то для решения разностной задачи (15)-(18) справедливы априорные оценки (26) при а > в и (28) при а = в

Из априорных оценок (26), (28) следуют единственность и устойчивость решения задачи (15)–(18) по начальным данным и правой части.

Исследуем вопрос о разрешимости задачи (15)–(18). Для этого рассмотрим однородную задачу ( у = 0 , Ц 1 = 0 , ц ; = 0 , u o (x) = 0 ), решение которой заведомо существует:

Aj У = ^K i ( a i y X^U ) ) x ^{+A e}t j _{+ CT} ( Y i y x ) x ^{+b -} j a i

⁺ b ⁺ j a i +i y X;^ ) - d ( y ^{( u} ) x - ⁺ У ⁽Д 1 ^х + о ) , ⁽²⁹⁾

• ^K o a i y X^{U + A} ot j + _CT (Y i y x, o ) = ^в 11 у О ^{и ) + 0}-^5hd o ( y ^{( u} ) x - o + y ^{( u} +i ^x + ) ⁺ /3 12 ^{A a}t j + _CT У о ,      ⁽³⁰⁾

• ^- ( ^K N a N y XN ^{+ A}o t j + _T ⁽ Y N y x, N ) ) = ^в 21 y N ⁺⁰ - ^{5 h}d N ( y ^{( u} ) x ^{- +} y ( ^u +1 x ⁺ ) ⁺ /3 ;; ^А^ + _Ст y N , ⁽³¹⁾

y(x, 0) = 0, x G U h .                                   (32)

Пусть y(x,t) — одно из решений однородной задачи (29)-(32). Из неравенства (26) следует, ^{что l [}y ^{j +1 ]}Ю ⁵ 0 , а ^{из (28) — l [}y ^{j +1}] ^l W i _{(O il )} ⁵ 0 , ^{но l [}y ^{j +1 ]} i o = ⁰ и ^{l [}y ^{j +1 ] l} W i _{(O il )} = ⁰ лишь при y = 0 , x G W h Поэтому из априорных оценок (26) при а > в , (28) при а = в следуют, что единственным решением однородной задачи (29)-(32) является y = 0 . Тем самым решение задачи (15)-(18) при любых у , Ц 1 , ц , u o (x) существует и единственно.

Таким образом, из априорных оценок (26) при а > в , (28) при а = в следуют существование, единственность и устойчивость решения задачи (15)–(18) по начальным данным и правой части.

Пусть u(x,t) — решение задачи (1)-(4), y(x i ,t j ) = y j — решение разностной задачи (15)–(18). Для оценки точности разностной схемы (15)–(18) рассмотрим разность z j = y j — u ^j , где u ^j = u(x i ,t j ) . Тогда, подставляя y = z + u в соотношения (15)-(18), получаем задачу для функции z :

^A ( )t j + _CT ^z = ^K j (a i z^) x ^{+ A} 0 t _{j + a} ( Y i z x ) x ⁺ bi j a i z^

⁺ b + j a i +1 Z^ ^— d j ( z^x^ + ^z^h^x t ₀ ) ^{+ ф}, ^{(33) K} 0 ^a 1 ^z X'" 0 ⁺ ^W j + _CT ⁽Y 1 z x, 0 ⁾ = L z r ⁺ °-^5hd 0 ( z i^ x i o ⁺ z io +l x + a ) ⁺ * '2 ^A i i/ j ..- z o ^{— V} 1 , ⁽³⁴⁾

• ^— ( ^k n a N z xN ⁺ Д, . _ ⁽Y N z x,N ) ) = Ду ⁺ °-⁵hd N ( z^ ^x a ⁺ 4^<+ 1 x ⁺ )

^{+ в} 22 ^A 0 / _/ . ^ ^z N ^{— V} 2 , ⁽³⁵⁾

z(x, °) = °, X G W h ,                                   (36)

где ф = O ( h ² + т ² ) , V 1 = O ( h ² + т ² ) , V ₂ = O ( h ² + т ² ) , при a = в , и Ф = O ( h ² + T ²-^max{ ^{a,e }} ) , ~ 1 = O ^ h ² +т 2 - max ( ^a,^e } ) , ~ 2 = O ^ h ² +т ^2- max { ^a,^e } ) , при a = в — погрешности аппроксимации дифференциальной задачи (1)–(4) разностной схемой (15)–(18) в классе решении u = u(x,t) задачи (1)-(4).

В случае, когда α > β , применяя априорную оценку (26) к решению задачи (33)–(36), получаем неравенство

I [ z ^{j +1} ] l ² <  M -max, ( l [ » j ‘ ] l 0 + v 1 ‘ ² + v 2 ‘ ² ) .                          (37)

0^J ^J где M = const > °, не зависящая от h и т.

В случае, когда a = в , применяя априорную оценку (28) к решению задачи (33)-(36), получаем неравенство

I^{[ z} j ^{+1 ]}I W ₂1 (0 ,1 ) <  M ₀™ (l ^[ ^ j^{V ]}1 о ^{+ v J} ' ^{2 + v} 2 ' ²) ,                      ⁽³⁸⁾

где M = const >  ° , не зависящая от h и т .

Из априорных оценок (37), (38) следует сходимость решения разностной задачи (15)-(18) к решению дифференциальной задачи (1)-(4) так, что существует такое т 0 , что при т ^ т 0 справедливы оценки:

• 1)    в случае, когда α > β

| ^[ y ^{j + 1} — u ^{j + 1 ]} | ₀ ^ M^h ² + т ^2-maxb ^{e }}) ;

• 2)    в случае, когда a = в

¹ [y ^{j +1} - u ^{j +1}] ^| w 2i (0 ,i ) ^ Mh ^{2 + т 2}) .

Замечание 1. Полученные в данной работе результаты справедливы и в случае, когда уравнение (1) имеет вид

∂        ∂u dmu =     k(x, t)

⁰ dx \ dx;

β ^{∂      ∂u}

+ dot     n(x)

^{0 t} dx\ dx J

∂u

+ r^t) dx

p

— 52 qs(x, t)u(Xs.t) + f (x, t), s=1

° < x < I, ° < t < T, если потребовать выполнения условия |qs| ^ С2.

Замечание 2. При построении алгоритма приближенного решения дифференциальной задачи (1)–(4) следует использовать метод параметрической прогонки [29, c. 131]. В виду того, что уравнение (1) содержит слагаемое q(x,t)u(x o , t) нарушается трехдиагональная структура матрицы коэффициентов разностной схемы (15)–(18) и использовать обычный метод прогонки не представляется возможным.

• 5.    Постановка нелокальной краевой задачи для нагруженного уравнения Аллера с оператором Бесселя

• 6.    Априорная оценка в дифференциальной форме

В замкнутом прямоугольнике Q t = { (x,t) : 0 С x С l, 0 С t С T } рассмотрим следующую нелокальную краевую задачу:

d^ u = — 0t    xm ∂u + r^’t) dx d /         du\    1 ,я d / m . du\ xmk(x, t)     + — дв — xmn(x) ∂x          ∂x    xm 0t ∂x        ∂x — q(x, t)u(xo, t) + f(x, t), 0 < x < l, 0 < t С T, (39) lim xmn(x, t) = 0, 0 С t С T, x→0 (40) —n(i, t) = = ei(t)u(l, t) + e2datu(l, t) — ^(t), 0 С t С T, (41) u(x, 0) = uo(x),   0 С x С l, (42) где 0 С m С 2, в2 = const > 0.

При x = 0 ставится условие ограниченности решения | u(0, t) | <  то , которое эквивалентно условию (40), равносильному в свою очередь тождеству П(0, t) = 0 [28, c. 173], если функции r(0, t) , k(0) , q(0, t) , f (0,t) конечны.

Уравнение Аллера с оператором Бесселя (39) возникает при переходе от трехмерного уравнения Аллера к цилиндрическим (сферическим) координатам в случае, когда решение u = u(r) не зависит ни от z , ни от у .

Получим априорную оценку методом энергетических неравенств, для этого умножим уравнение (39) скалярно на x m u :

( d 0 t u,x m u ) = (( x m ku x ) x ,u ) + ( d ^et ( x m nu x ) x ,u )

+ ( ru x ,x m u ) — ( qu(x o , t), x m u ) + ( f, x m u ) . (43)

После некоторых несложных преобразований с учетом ll

• — ( qu(x o , t), x m u ) = — j x m qu(x o , t)u dx = — u(x o ,t) j x m qudx

С

l

2 u ^{2 (}x o ,t)⁺ 21

С M i || x mm u || 2 + eM 2 ^| x mm u x || 0

из (43) находим

l

l

2 ^x mm u n 2 +2 j ^(x mm u x ) 2 dx + j

x ^m ku ² _x dx

^ x m un(x,t) | 0 + М з ^ х mm u |^{| 2} + eM 4 ^| x mm ux^ + 2 || x m f^.

Оценим первое слагаемое в правой части (44), тогда имеем xmun(x,t)|0 = lmu(l,t)n(l,t) = lmu(l,t)(^(t) - ei(t)u(l,t) — e2d0tu(l,t))

= l ^m u(l,t)p,(t) — l m u ² (l,t)e 1 (t) — l m e 2 u(l, t)d at u(l, t) l m β                  m            m

^ — d 0 t u ² (l,t) + M ₅ ^ x ² u ^ _o + eM s ^ X ² u x ^ _o + M 7 ^ ² (t).

Учитывая (45), из (44) находим

l dOt^xmm u|2 + j ndot(x mmUx )2 dx + ^xmmux ^ + e2datu2(l,t)

^ M s ^ x mm u |^{| 2} + EM g ^ X mm U x |^{| 2} + M io (^ x mm f |^{| 2} + ^ 2 (t) ) . (46)

Выбирая e = 2 M , из (46) получим

% || x m <  + [ t&x m U x ^{) 2} dx + ^ x m u x ll O + ■■ ( i,t)

< Mn U xm u | 0 + M i2 ( | x m f | 0 + ^ 2 (t) ) . (47)

Применяя к обеим частям неравенства (47) оператор дробного интегрирования D ₀ ^- _t , находим

|^{| x} m ^U |^{| 2 +} D -t^ ^{e )} |^{| x} ’m ^U x |^{| 2 +} D 0 t^a |^{| x}’mu x |^{| 2 +} u ^{2 (l,t)}

^ M 13 D o t^xmm u || 0 + M 14 ( D 0 ,“ (| x m f | 2 + ^ 2 (t) ) + | x mm u o | 2 ) . (48)

На основании [19, лемма 2] из (48) получаем априорные оценки:

• 1)    в случае, когда α > β

^{|| x} mm ^{u | 2 +} D O t^ ^{4 3}^ ^{|| x} mmu x ^ O ⁺ D 0 t^{a | x} mmu x ^ O

< M ( D o7(|| x mmf | 0 + ^ 2 (t) ) + | x mmU 0 (x) | 2 ) ; (49)

• 2)    в случае, когда a = в

• 7.    Устойчивость и сходимость разностной схемы

^{|| x} mm ^{u |} W ₂i (0 ,/ ) ⁺ D o t^ V xmmu x ^ O <  ^M ( D o ^- t^{a ( | x} mm^{f || 2 +} ^ 2 ^{(t) ) + || x} mm u o (x) H Wi (O ,Z ) ) , ⁽⁵⁰⁾ где ||x~ u ^ W 1 (o i ) = ||xm u ^ O + ||xm u x ^ O ’ M = ^const > 0 , зависящая только от входных данных задачи (39)–(42).

Теорема 3. Если k(x,t) Е C ^1,0 ( Qt ), n(x) Е C 1 [0, l], r(x, t), q(x, t), f (x,t) Е C (Q _T ), u(x,t) Е C 2 , 1 (Q T ) n C ^(Q t ), d a u(x,t) Е C ( Q t ), d 0 t U xx (x,t) Е C ( Q t ) и выполнены условия (5), тогда для решения задачи (39)-(42) справедливы априорные оценки (49) при a > в и (50) при a = в

Из априорной оценки (49) следуют единственность и устойчивость решения по правой части и начальным данным.

На равномерной сетке ωhτ дифференциальной задаче (39)–(42) поставим ответствие разностную схему порядка аппроксимации O(h2 + т2) при a = в со-

β и

O(h ² + т ^{2-max{ a,e }} ) при a = в :

_b - j

5 ^{Y i y} x,ⁱ) _x ⁺ -ml ^x

г

⁺ x m ( ^{x m} +o . 5 ^a i +1 y X^{a )} ) ^— d j ( y ^{( a )} x i o ⁺ y i.? . . ^J' ⁺ ) ⁺ ^ j ,

^K o a 1 y X? 0 ⁺ ^ o t _{j + CT} ⁽Y 1 y x, o ) = m+hi- ( A j y o ⁺ d o ( y^ x i o

( ? )

^K N a N y $ ,N

(x,t) Е W h^T ,

⁺ у?? . x-J) ^{— 2},

^A ot j + _CT ⁽Y N y x,N ) = /3 1 y ( ? ) ⁺⁰-^5hd N (y ⁽ o ? ^{) x} i o ⁺ y i ol 1 ^x+) ⁺ /² 2 ^A ot j + _CT y N ^— №, ⁽⁵³⁾

y(x, 0) = u o (x), x Е w h

где

/ 1 = K/ 1 (t j + . ),      2

0.5h j                                   j к в2 + 0.5h, /21 = — ^, /2 = к ^(tj+a) + 0.5hVN, m + 1 o                     N

K o = --

1+

0 . 5 h | r . |

^{( m +1) k j+}'

j + ?

—, если r 0

σ

< 0,

1                j +? \ о kn =--------тт;ес если rM > 0,

N 1 + o.6h|rN+CT| ,             N , kN-0.5

r = r ⁺ + r ,   | r | = r ⁺

r,

r ⁺ = 0.5 ( r + | r |) >  0, r

= 0.5 (r — | r

^ai — ^{k ( x} i — 0 . 5 ^,t j + a )>

Y i = n(x i - o . 5 ), b ± j =

± j + ?

Kiri J kj+-  ’

j J ^K i q ji ⁺ ? , d i = lq j ⁺ ? ,

i = 1, N — 1, j ϕ i = 0,N,         i

K i =

=

K i f ^{3 + a} , i = 1,N — 1, f i ^ ? ,    i = 0,N,

.={

0.5h, h,

i = 0, i = 1, N — 1,

1 + R i’

R i =

0.5h | r i | K i

k i - 0 . 5

_   _   m(m — 1)h ²

^{K i} = ⁺    24x 2     ,

i = 1, N — 1,

0.5hm k = 1 +--1—

i 0 . 5 hm ‘

¹ Г"

Найдем априорную оценку методом энергетических неравенств, (51)–(54) в операторном виде

для этого перепишем

K A ^a j _{+ CT} y = Л(t j + _Cт )y ⁽ ? ⁾ + 5y + Ф,

где

§y = <

л(t ^j )y ^a =

y(x, 0) = U 0 (x),

₌   (K i ,  x E W h ,     _

K = <                 K i = 1 +

1, x = 0, l,

^Sy i = ^m ^A et j + _CT ( x m - 0 . 6 ^{Y i} y ^x,ⁱ ) x ’ x _i

^ У 0 =

m ^{+ 1} Лв         A

0.5h ^{A 0} t j + " ^{(Y 1} y ^x’ ^{0 )}’

/⁺ y N =

~Л(t ^{j + a} )y ^{( a )}

^л y 0 ^{a )}

Л + y N

Умножим теперь (55)

где

m(m — 1)h ²

24x 2      ’

(x,t) E W h,T

x = 0,

h (^A o t j _{+ CT} ⁽ Y n y x,N ) ^{+ K e} 2 ^A 0 t j _{+ CT} У^ ’ ^x = l’

^Ki ( m ( a ) A I b / m       ( a ) A

= -^ (^x m- 0 . 5 a i y -,i ) ⁺ TN ( ^x m- 0 . 5 a i y X x _i                    x     x _i

⁺ x m ( ^x +0.5 a i +i y X^{a )} ) ^- d i ( y i ⁽ o ^{a )} x i o ⁺ y ⁽ o ^a +i x i ⁺ o ) ’

m + 1

0.5h

(        (a )

(^K o a i y X, 0

⁰-^5h Д ( ( a ) - , ( a ) +AA m +7 d 0 (y i o x i o ⁺ y i o +i x i + o) У

² /           ( a ) 7, ( a )

h (^kn a N y -N ⁺ №

^{+ 0}-^5hd N (y ⁽ ₀ ^{CT )} x i ₀ ⁺ y ⁽ _o ^a +i ^x+) ) ’

x

x

= 0,

= l,

V = V i ,

(x, t) E w h

Ф = <

ϕ

v

m + 1 _

0.5h №’

1 ~

x = 0,

+                 ''

x = l.

скалярно на x ^m y ^{( a )} :

(xA a _tHa. y,x m y ^{( CT}^ = ^(t j + a )y ^{( a )} ,x m y ^{( a )}]

+ («y.x m y ' ’)] +(Ф ,x ^m y ^{< a)}] ,

N

N

^(u,v] = ^u i v i H, ||u ] | 0 = 52 u i² ^

i =i

i =i

* -{

0.5h, i = 0, N, h, i = 0, N.

Пользуясь неравенством Коши с ε , после нетрудных преобразований из (57) получаем

(^K ’ ^{A a}t , + , ⁽ x m y )²] ⁺ ( ^Y - ^A t . ^{( x} m ² y - ) ² ] ⁺     . M ( x m » . ^K ’

^ M ₂1 H x ² y

x mm y? ]l ²) ^- (d(y ⁽ o ^{CT ) x} i o ⁺ yU i x + o) ’x m y ^{( a}^

(58) _а ⁽Y i y x, o ) )

⁺ ( ^x Nm - x N ) y N ( ^K N a N y Xx^aN ^{+ A} 0 t j + _CT ⁽Y N y x,N ) ) - ^x m 5 y 0 ^{CT )} ( ^K 0 ^a i y X‘^a 0 ^{+ A} 0 t j +,

⁺ ( v, ^x m y ^{( a )} ) ⁺ y^x m ^2 ^- (WN ^{- 0}-^5hd N yy -^ x x i _o ⁺ y ⁽ _o ^a +i ^x i ⁺) ^- /Mj y^ .

Рассмотрим третье, четвертое и шестое слагаемые в правой части (58):

( x N - x ^N ) y N ( ^K N a N y X^N + ^ot j _{+ T} (Y N y xN ) ) - x myX ^ X ( ^K o a 1 y ( ° o + A ^et j _{+ a} (Y i y x, o ) )

^{+ x N} y N (/* 2 - MN - 0.5hd N (y^x - + y ⁽ 0 +1 x + ) - ^^^ t -y N )

= ^(x m - x N ) y ( ^ ) [ ^ 2 - ²y N - ⁰-^5hd N ( y^x - o ⁺ ^+1 x 0 ) ^- Mo/ j . - y N ]

⁺ x N y N [ ^ 2 ^{- 2} y ⁽ N ^{- 0}-⁵hd N ( y^ ) x - ⁺ y ⁽ 0 +1 x + ) ^{- 2} А^ . ,y N ]          (59)

^x      [ ^e (    x - ⁺ y ⁽"+ 1 x + ) ⁺ mfy ^Aj y o ^- Ц

^ М з ( / 1 + /2 2 ) + M 4 (|| x m y " ]| G + ( x 0 m ₅ y o ) ) + MV m y ⁽ ” ] 2

A ( m   m ) д^{а     2} h m да 2

2 xN _N   xN) ^A o t -^y N   ₄(m + 1) ^x 0 . 5 ^A 0 t j + _CT ^y 0 •

Учитывая преобразования (59), из (58) находим

( ^K , ^A St , + , ^{( x} m y l ² ] ⁺ ( у, ^A oi j + , ^{( x} m 'хУ ⁺ Mx m y ( r ^{) ]|} G

+ Zcmh+I)    A ' - y o ² + (^ x N + ( x N - xN* ) I) ^ag%+. (y N ) ^{2        (60)}

• < M 7 ^\\ ^x mm ^ \ o ⁺ ~221 ⁺ Д 2 ) ⁺ M 8 (\\ ^x mmy° ]^{| 2 +} ( ^x o ² 5 y o ) 2 ) ^{+ £}M 9 ^{| x} mm y. ⁽ ” ] 2 .

Преобразуем первое и пятое слагаемые в левой части (60) с учетом x N _- o 5 ^ 6 x N :

( К , A St , + , ( x mm y ) ² ] + ^ x N + ( x N - x N )f) Aa^ , (y N ) ²

= ( К , A o t , + , ( x mm y )' ² ) +⁰_;5^hx N A G , _J + , (y N ) ² + ^ x N + ( x N - x N ) ^ Ao . _j + . (y N ) ² ₍₆₁₎ = ( К , A g _fj + , ( x m y ) ² ) + ( ф x N + 0^ x N ) A o t , + , (y N ) ² > M ° ( 1, A o t , + , ( x m y ) ² ) + 4 ^x' N A a _t , + , (y N ) ² >  4 ( 1, A8 , + , ( x m y ) ² ) +01^ x N A at j + , (y N ) ² >  1У A at j + , \ x mm y ]| 2 .

Учитывая (61), из (60) получаем

^{A a}t j + , \ x m y ^{] | 2 + A e}t j + , \ ^x m y x ^{] |} 2 ⁺ \ ^x m y ⁽ " ^] 2

^ M ii \\ x ²m y ^{( a )} ]^{| 2} + eM i2 \\ x mm y. ⁽ ” ] 2 + M 1з (|^| x mm y \ 2 + /2 1 + /2 2 ) , (62)

где \\ ^x m y ^]| 1 = \\ ^x m y ^]| 2 ⁺ ( ^x o ² 5 y o ) .

I случай. Пусть a > в , тогда выбирая е = 2 5^, из (62) получаем

A oV \ x mm y | 2 + Aj _J + ,\ x m y,] | 2 + n x ^m y^ IK

^ M 14 \\ x ’m y j +1]^ + M 15 (\x ’m ^ \\ 2 + /2 1 + /2).

Перепишем (63) в другой форме:

A)-...||xmmу]Ь < M1e|xmyj+1]|2 + M17||xmyj]|2 + M15(||xmmHo + Й + H),

На основании [25, лемма 4] из (64) получаем

||x m yj+1]|2 < Ml ||x mm У0]|1 + max. (|x mm Ho + И + И) )’

\                   o^j ^j '' / где M = const > 0, не зависящая от h и т.

II случай. Пусть а = в , тогда перепишем (62) в следующем виде:

АП+Их mm у]|2 ^ м18||х mm yj+12+ Mi9||x mm yj ]|2 + мЦ||х mm Ио+ Й + H), где ||xmmу]^ = ||xmmу]^ + ||xmmy^o + (xoHo) .

Пользуясь [25, лемма 4], из (66) находим априорную оценку

||x mm yjtl2 < M (||x mmy0]^ + nmax (|x mm И2+ И + д2)),

\               o^j ^j '

где M = const > 0 , не зависящая от h и т .

Теорема 4. Пусть выполнены условия (5), (19), тогда существуют такие т о , h o , что если т ^ т о , h ^ h o , то для решения разностной задачи (51)-(54) справедливы априорные оценки (65) при а > в и (67) при а = в

Из априорных оценок (65), (67) следуют существование, единственность и устойчивость решения задачи (51)–(54) по начальным данным и правой части.

Пусть u(x,t) — решение задачи (39)-(42), y(xi,tj) = yj — решение разностной задачи (51)–(54). Для оценки точности разностной схемы (51)–(54) рассмотрим разность zj = yj — uj, где uj = u(xi,tj). Тогда, подставляя y = z + u в соотношения (51)-(54), получаем задачу для функции z к ^j z = 4m (xro.5aizXCT)) + -m ^j ^.xim^i zx,i )x + bm (xmo^aizs ) xi                   x   xi                               xi

⁺ x m ( ^X m O . 5 a i +1 ^Z X4 ) ^- d ^j ( z i o ^ ) x i o ⁺ zk+ixt o ) ^{+ Ф j} ,   ⁽x, t) ^e ^ h,T ,

^K o a i zX4 ⁺ A ^et j + _CT ⁽Y 1 zx^ = m°.+hi ( A ^at j + _CT z o ⁺ d o ( z j o ⁷ ) ^; ⁺ z j o ti x + o )) ^{- V} 1 ,

( σ )          β                               ( σ )                   ( σ )          ( σ )

^{- K} N a N ^z X,N - A o t j + _CT ⁽ Y N z x,N )= Mn' ⁺⁰ - ^{5 h}d N (^i o '^x i o ⁺ z i o tl x + o) ^{+ e} 2 ^A o t j + _CT ^z N ^{- v} 2 ,

z(x, 0) = 0, x G Wh, где Ф = O(h2 + т2), i>1 = O(h2 + т2), i>2 = O(h2 + т2) при а = в и Ф = O(h2 + т2 тах{а,в}), V1 = O(h2 + т2-max{a,e¥^, v2 = O(h2 + т2-тах{а,в}^ при а = в — погрешности аппроксимации дифференциальной задачи (39)–(42) разностной схемой (51)–(54) в классе решении u = u(x,t) задачи (39)-(42).

В силу того, что задача (68)–(71) линейна, применяя априорные оценки (65), (67) к задаче (68)–(71), получаем оценки:

• 1)    в случае, когда α > β

||xmmzj+1]|2 < M max (|xmm^j' 112 + V2 + P2) ,

1        0

где M = const > 0, не зависящая от h и т;

• 2)    в случае, когда а = в

||xmmzj+1^2 < Mmax. (l|xmф/ 110 + V12 + ^Y

• ⁰^^j^^j

где M = const > 0, не зависящая от h и т .

Из оценок (72), (73) следуют единственность и устойчивость решения разностной схемы (51)–(54) по правой части и начальным данным, а также сходимость решения разностной задачи (51)–(54) к решению дифференциальной задачи (39)–(42) со скоростью O (h²+ т²) так, что если существуют такие T0,h0, то при т ^ те, h ^ h0 справедливы априорные оценки:

• 1)    в случае, когда α > β

||xmm (y^j+1— uj+1)]^ < M^xmm 11₀(h²+ т^2-max{^a,e}) ^ M(h²+ т^2-max{^a,e});

• 2)    в случае, когда а = в

^Xmm (yj+1 — u+1)]|2 ^ M^xmm уь2 + т2) ^ M(h2 + т2), где M = const > 0, не зависящая от h и т,

Замечание 3. Полученные в данной работе результаты справедливы и в случае, когда уравнение (39) имеет вид да и = 4т I- (x^mk^M ) + дв fxmn(x) |u)

• xm dx \        dx; xm^0tdx \ dx;

• 8.    Алгоритм численного решения

∂u^p

+ r(x,t)-\ qs(x,t)u(xs, t) + f (x,t), 0 < x < l, 0

если потребовать выполнения условия |q_s| ^ С2.

Для численного решения задачи (39)–(42) воспользуемся методом параметрической прогонки [29, c. 131] и приведм разностную схему (51)–(54) к расчетному виду. Тогда уравнение (51) приводится к следующему виду:

Aiyj⁺1 - Ciyj⁺¹+ B<+1 - ^xmdj (yj+X + yj+' x+) = C^;, i = 1, N - 1, (74)

где

Ai = ^тстхХ ^xm-0.5^{aj +} Yi^xi-0.5

_т 1-е/^e’^CT)

^{т   c}0

Bi = ^тСТХ^:’^xi+0.5a^j+1 ⁺ Yi+1^xi+0.5

Г(2 — в) т^1-ec^ Г(2 — в)

- ^тhaxm-0.5^bi j ^aj,

^{+ тh}CT^Xi+0.5^b+jaj+1,

Ci = Ai + Bi + h²Kixm

_T 1—a '^a

^T    co

Г(2 - a) ’

1—a   ¹—¹

F? = AA ..   - C + B B ... . . + •       . — h²xm . .      £ c!") ■ ' — .

^{1(2 a)}s 0

„ m „1—в

+ xi+0.5^T

Г(2 - в)

^1—1

52 c^⁽⁽Yi+1yi+1^{)s+1 - (}Yi+1yi+1^{)S) - T(1 -}^^)h2xmdj ⁽y^jox- ⁺y⁽₀+1xt₀⁾ s=0

Xm-^1-e

Г(2 - в)

^1—1

52 c^ (⁽⁽Yi ⁺Yi+1⁾yi^{)s+1 - ((}Yi ⁺Yi+1⁾yi⁾s) s=0

xm _T1—в ¹_¹

⁺ Г(2- в) ^cj—’^ ^i^yi-1^)S+1- ^(Yyi-1^)S),

T1—в c(M. .

AAi = ^т(1 ^-CT⁾K^(xmo.5^{a( -}Yi ^xm0.5 _Г(₂ -⁰в) - ^-h(1- ^a)xm0.5^bi ^{1 a(},

. л ™ л            ™    - 1—всв’".

BBi = ^{т(1 -}CT)^Ki xi+0.5^ai+1 ^-Yi+1xi+0.5            ^{+ -h(1 -}^^)xi+0.5bi ai+1,

^{1(2 - в)}

1—a ^(a,")

CC = AAi + BBi - h2Kxm.

i i i i i r(2 - a)

Краевое условие (52) принимает вид

У0 = К11У1 + К12У,о + К1зУ,₀+1 + ^1,

где		„ 1 ,      т1-всОв'ст)
		-^K0a1 I f1г(2—в)
	K11 =	1 ,      т 1-всОв-'1^     0.5h2 т 1-а>'ст) ' -aK0a1 + Y1Г(2—в)   +m+1 Г(2—a)
		-mm+i d0^hr(х,о+1 - X0)
	K12 =	TCTXna,1   m I^-^^Of^l +0.5h2 т 1-acOa,CT)
		-^K0a1 + f1Г(2—в)   +m+1 r(2—a)
		-m+i d0^h-(x0 - xio)
	K13 =	тстипа1    m т 1-всОв’СТ) + 0.5h2 т 1-acOa,CT)
		-^K0a1 + f1Г(2—в)   +m+1 r(2—a)

^1 =

_т 1—в_с^(в’^ст)     .      . П _5h2 _т 1—a c^(a’^)

„1 h^{- + -}(1 ^-„^{)К0a1 (y1 - y0)} - ^Y1_Т(_Г⁰-_ ^(y(- ^y0)₊ m_ г₍₂ -⁰a)^y0

Г) 2     -7-1—a ¹¹ /

^U-^{5h     -}       ^ _г^(а’^{ст) (}„,s+1

m + 1 Г(2 - a) S= ^j—sy⁰⁰

т 1 —в ^{1 — 1} ,

- ^y0) ⁺ Г(2 - в) ^ co'—’^ (^{(Y101)S+1 -}

(Y101^)s)

_ 1 —в ¹__¹ ,                                      n к

- _Г(₂ - в) ^ cl^") ⁽⁽Y100^)S+1- ⁽Y100^{)S) -}m+1 h^2-(1- ^a)d0xoOio

0.5 m+1

h²-(1

-

^^)d0 ^x+ Oio+1

У -CTX0ai + Y1

_T1—в _г^(в’^ст)

^{-   c}0

Г(2 - в)

0.5h²-^1—ac'^a'" 1 +⁰

m + 1 Г(2 - a)

Краевое условие (53) принимает вид yN = K2iyN-1 + K22yio + K23 y^+1 + /2, где j ,     т1-в c1^

tckn a^JN + yn _г(2-⁰_в)

K21 = --------------------——.7—777

• ²¹               j          т 1-в A⁹'⁷              j , j          x т 1-аА^а,⁷)

тс KN a³N + YN _Г(_2-⁰_в) + chT К в1 + (к в2 + 0.5h) h _r(2-⁰_a)

—0.5dN chT (xi₀+1 — xo)

K9 2 = ----------------------73—77 T

• ²²                 j            т 1-в с^(в’⁷)                 j / j           x т 1-ac^(a'⁷)

тс KNaN + YN _Г(_2-⁰_в) + chT К в1 + (к в2 + 0.5h) h _Г(_2-⁰_а)

—0.5dN chT (xo — xi₀+1)

^K23=           j          _т1-в _с⁽-^в1<7          ~ j          j          X _т1-a_c<^a-⁷)

TCKNaN + YN _Г(_2-⁰_в) + chTкв1 + (кв2 + 0.5h) h _Г(_2-⁰_а)

/2 = ^2hT — (1 — c)hK тв1yN — T (1 — c)KN aN (yN — yN_-1)

_T 1-вc' ^;,”      .        .                 .               _T ■ --c"^

⁺yn _Г(_{2 —}^oв) (yN ^—yN-1)⁺(^Ke2^{+ 0}-^5h)^h_Г(_{2 —}^o_а) yN 1-_а   j^—1                            1-в j^—1

Qj । к ^T              (а,ст) / s+i _s\ ^T V^-^ (в,ст) ( /       \s+1

• ^—    (^Кв2 ^{+ 0}-⁵h) h _Г(₂ — _a)>  cj-s ' yy^{+ —}yN)^—_Г(₂ — в)>  cj-s' ((YNyN)

1-в   ^j-1

• ^—    (ynyN)s) ^{— 0}-⁵h^{2T(1 — c)}dN^x-₀yi0⁺Г(2 _—в) ^-1 cj-^) ((ynyN-1)s^{+1 —}(ynyN-1)s)

  —0.5h²T(1 — c)dNxi⁺yi0+1j ^ckna^j_N+yn

  
  

  1-в/^в,^ст)

  ^T   co

  
  

  Г(2 — в)

  
  

  _T 1-ac^(a,^⁾-|

  +chT К в1 + (к в^j+0.5h) h     ⁰    .

  ^{1(2 — a)} J

  
  

Условия устойчивости метода прогонки

Ai = 0, Bi = 0, Ci > |Ai| + |Bi|,   i = 1,2,...,N — 1,   ku< 1, К21< 1

выполнены при c = 0.

Таким образом, с учетом (74)–(76), разностная схема (51)–(54) приводится к следующей системе линейных алгебраических уравнений:

Aiy^ — Cyj+1 + Biy^ — h^Tcxmdt (yjj+1x- + yj+\ x+) = —Fj, i i-1        i i            i i+1               i i i0     i0      i0+1 i0            i , yo = K11y1 + K12yi0 + K13yi0+1 + //11,

yN = K21yN-1 + K22yi0 + K23yi0+1 + /21, iy0 = uo(x).

Решение системы (77) будем искать в виде yi = ai+1yi+1 + вi+1Уio + Yi+1yi0+1 + ^i+1, i = 0,N — 1.              (78)

Найдем теперь ai, вi, Yi, ^i, i = 1,N-Из условия (75) следует, что a1 = K11,   в1 = K12,   Y1 = K13,   ^1 = /11.

Подставляя yi = ai₊iyi₊i + ei+1yio + Yi+1yio+1 + ^di+1, yi-1 = aiyi + eiyio + Yiyio+1 + ⁵i в (74), получим

Bi              Ai Bi - h²TCTxmdiX—

ai+1 =       д , ei+1 = Ci - Aiαi AiYi — h2Taxmdix+ Yi+1        о   Л Ci - Aiαi

i       i0 Ci - Aiαi Fij_+« ,    ^i+1      x-y      Д     . Ci - Aiαi

Выразим неизвестные yi, i = 0, N, через yi_o, yi_o+1 следующим образом:

yi = Hiyio + Ti yio+1 +Фi.                              (80)

В (80) найдем Hn, Tn, ФN. Тогда учитывая условие (76), а также yN = Hny_io + Tnyi_o+₁+ ФN, yN-1 = aNyN + eNyio + YNyio+1 + ^N, получим

^K21^eN ^{+ K}22   _m    ^K21 YN ^{+ K}23   ,    ^K21^N ⁺№1

HN = —:---------, TN = —:---------, ^ФN = —---------.

1 — K₂₁a_N           1 — k₂₁a_N           1 — K₂₁a_N

Найдем теперь Hi, Ti, Ф^ Тогда, подставляя (80) в (78), получим

Hi = ^ai+1Hi+1 ^{+ e}i+1, ^Ti = ^ai+1Ti+1 ⁺ Yi+1, ^Фi = ^ai+1^+1 ⁺ ^i+1i i = ^{N — 1}

, 0. (81)

Выразим yi0, yi0+1 через Hi, Ti, Ф^ Для этого рассмотрим выражения yio = Hio yio + Tio yio+1 + Фio, yio+1 = Hio+1yio + Tio+1yio+1 + Фio+1•

Учитывая (82), (83), получим

=   Hio+1Фio + Фio+1(1 — Hio)          = Tio         ,   Фio yi0+1    (1 — Hio)(1 — Tio+1) — TioHio+1, yio    1 — Hioyio+1   1 — Hio .

Из (80), (84) находим решение yi системы (77).