Численный метод решения коэффициентной обратной задачи для нелинейного уравнения диффузии-реакции

Введение. Одним из нелинейных уравнений типа «диффузия-реакция» является логистическое уравнение с диффузией du (x,t)      д2 и (x, t)

—— = D ~ ₂   + ku ^{( x,t )(1} - u ^{( x,t} )) •                  (1)

∂t          ∂x ²

Это уравнение предложено Н. Колмогоровым, И.Г. Петровским и Н.С. Пискуновым [1] и Фишером [2] для моделирования процесса распространения генной волны. Уравнение (1), также называемое уравнением Фишера - Колмогорова. - Петровского -Пискунова (ФКПП), находит применение во многих областях: в задачах тепло- и массообмена, теории горения, биологии и экологии, в физике плазмы и задачах теории фазовых переходов и т.д. [1-3].

Необходимо отметить, что многие характеристики физических, химических, биологических, экологических и т.д. процессов, описываемых уравнением (1), во многом зависит от коэффициентов данного уравнения. В связи с этим важными считаются задачи по определению этих коэффициентов с целью обеспечения желаемого протекания процессов.

1.    Постановка задачи и метод решения. Задача А. Пусть рассматривается уравнение ФКПП ди (x, t)         . д2 u (x, t)

• — ---= D ( t )——щ—- + k ( t ) и ( x,t )(1 — и ( x,t )) , 0 < x < l, 0 < t < T, (2)

∂t∂x где D(t) > 0, co следующими начальным и граничным условиями

и(x, 0) = ф(x),(3)

u(0 ,t ) = Р(t), u(l,t ) = f(t) •(4)

Предположим, что помимо функции u ( x,t ) неизвестной является также функция k ( t ). Требуется восстановление этой функции по следующему интегральному условию

l j и (x,t) dx = г (t),

где r ( t ) - заданная функция. Предполагается, что при этом выполняется условие согласования

l

Ф (0) = p (0) , ф ( I ) = f (0) , I ф ( x ) dx = r (0) .

Таким образом, задача заключается в определении функций u ( x,t ) и k ( t ), удовлетворяющих уравнению (2) и условиям (3) - (5). Данная задача относится к классу

коэффициентных обратных задач [4, 5]. Отметим, что вопросы существования, единственности и разрешимости, а также некоторые подходы к численному решению ко-

—

I-

эффициентных обратных задач для параболических уравнений исследованы в [6-8].

Для решения задачи (2) - (5) сначала дискретизируем уравнение (2) по переменной t. Уравнение (2) п условия (2) - (5) запишем при t j , j = 1 ,m . Производ-

ную

du ( x, t )

u ( x, t j )

∂t

-

du(x,t) I в уравнении (2) аппроксимируем разностью «назад» — ---It=tj

∂t ^j

u ( x, t j - 1)

A t

, где A t = T/m - шаг по времени. Для диффузионного члена

используем неявную аппроксимацию по времени, а для нелинейного младшего члена - полуявную аппроксимацию. Обозначив u j ( x ) ~ u ( x,t j ), задачу (2) - (5) запишем в следующем виде

u j ⁽ x > ~ u j - 1 ⁽ x > = D j + ku j - 1( x )(1 - u j - 1( x )) ,  0 < x < l,

Atdx uj(0) = pj, uj(l) = fj,(8)

l j uj (x) dx = rj ,j = 1, 2 ,...,m,(9)

u0 (x) = ф(x),(10)

где k j ^ k ⁽ t j ) ^,r j = r ⁽ t j ) ^,р = p ⁽ t j ) ^,f j = f ⁽ t j ) ^,D j = D ⁽ t j ) .

Предположим, что решение полученной дифференциально-разностной задачи

• (7)    - (10) на каждом временном слое j = 1 , 2 ,... ,m можно представить в виде

u^j ( x ) = w^j ( x ) + k^j ф ( x ) ,

(П)

где w j ( x ) , ф^j ( x ), j = 1 ,m - неизвестные функции. Подставив соотношение (11) в (7),

• (8)    и учитывая произвольности функций w j ( x ) , ф * ( x ), получим

w^j ( x ) — u^{j 1} ( x )    d d ² w^j ( x )   0

0 < x < l,

A t                dx¹²

wj (0) = pj, wj (l) = fj, jx) - d d 2 ^j (x) - uj—1( x )(1 — j1( x )) = o, о

Atdx

^ (0) = 0, ^ (l )=0,j = 1,2 ,...,m.(15)

Таким образом, решение обратной задачи (7) - (10) u^j(x), k^j j = 1, m определяется по следующей схеме: для каждого фиксированного значения j = 1, 2, ...,m определяются решения прямых задач (12), (13) и (14), (15); полученные решения подставляются в дополнительное соотношение (9) и из полученного уравнения определяется приближенное значение искомой функции k(t) при t = tj, т.е.

ll rj — j wj (x) dx j / j* фj (x) dx по формуле (11) определяется приближение к искомой функции u(x,t) при t = tj.

Для численного решения задач (12), (13) и (14), (15) можно использовать метод конечных разностей [6].

Задача В. Предположим, что снова рассматривается уравнение ФКПП du (x,t) = D (t)д 2 u(x^t) + k (t) u (x, t)(1 — u (x, t)), 0

u(x, 0) = ф(x),(17)

u(0, t) = P(t), u(l, t) = f(t).(18)

Помимо функции u(x,t) неизвестной является также функция D(t). Требуется восстановление этой функции по следующему интегральному условию

l ju (x,t)dx=r(t).

Предполагается, что выполняются условия согласования (6).

Предположим, что коэффициент диффузии представляется в виде D(t) = D0 + d (t) > 0, г де D 0 = const > 0 заданное число, a d (t) - неизвестная функция.

Снова дискретизируем производную du(x t) разностью «назад» в уравнении (16) при tj, j = 1, m и используем явно-неявную аппроксимацию по времени для диффузионного члена, а полуявную аппроксимацию для нелинейного младшего члена. Тогда задача (16) - (19) с учетом представления коэффициента диффузии запишется в следующем виде ujM-ujlx = D0 j + di jx) + уuj-1(x)(1 — uj-1(x)),0 < x < l, (20) At              dx2          dx2

u^j (0) = pj, u^j (l) = fj,                                     (21)

l j uj (x)dx = rj ,j = 1, 2,..., m, 0

u 0 ( x ) = ф (x),

где dj ~ d (tj).

Предположим, что решение дифференциально-разностной задачи (20)—(23) на каждом временном слое j = 1, 2,... ,m, можно представить в виде

uj (x) = wj (x) + dj ф (x),                             (24)

где wj(x), ф⁵ (x), j = 1 ,m- неизвестные функции. Подставив соотношение (24) в (20), (21) получим следующие краевые задачи относительно функций wj (x), ф⁵ (x)

wj (x) — uj¹ (x)

At

— D0 w ^x^ — kjuj 1(x)(1 — uj 1(x)) = 0, 0 < x < l, dx²

wj (0) = pj,   wj (l) = fj.

ф (x)    D d²ф⁵ (x)    d²uj 1( x)

A t      ⁰ dx²         dx¹²

= 0, 0 < x < l ,

Ф (0) = 0, ф (l ) = 0,j = 1, 2 ,...,m.

Подставив (24) в интегральное условие (22), получим ll dj =

rj — j wj (x)dx j / j* ф (x)dx.

Таким образом, решение обратной задачи (20) - (23) uj (x), dj, j = 1, m определяется по следующей схеме: для каждого фиксированного значения j = 1, 2,.. .,m, определяются решения прямых задач (25), (26) и (27), (28); по формуле (29) определяется приближенное значение искомой функции d(t) при t = tj^-, и, по формуле (24) определяется приближение к искомой функции u(x,t) при t = tj. Для численного решения задач (25), (26) и (27), (28) также можно использовать метод конечных разностей.

• 2.    Результаты численных расчетов. На основе предложенных вычислительных алгоритмов были проведены численные эксперименты для модельных задач. Ниже приводятся результаты численного эксперимента для двух модельных задач. Схема численного эксперимента заключается в следующем: задаются функции k(t) (в задаче А) и D(t) (в задаче В) и определяются решения прямых задач (2) - (5) и (16) l

• - (19). Далее по формуле r(t) = J u(x,t)dx определяется функция r (t), и найденная 0

зависимость принимается за точные данные для восстановления функции k(t) и D(t), соответственно.

Результаты численного эксперимента, проведенного для случая l = 1, T = 1, k(t) = 3 + 2 cos 10001. D0 = 0, 5, d(t) = 0, 3 + 0, 2 sin 1001. p(t) = 1, f (t) = 0, ф(x) = 1 — x представлены в таблицах 1,2.

Таблица 1

Численные результаты по задаче А___________________

tj	Значение функции k(t)
	Точное	Вычисленное при At = 10 4, Ax = 4 ■ 10 2
0,1	4,725	4,725
0,2	3,974	3,974
0,3	2,956	2,956
0,4	1,949	1,949
0,5	1,232	1,232
0,6	1,002	1,002
0,7	1,322	1,322
0,8	2,104	2,104
0,9	3,132	3,132
1,0	4,125	4,125

Таблица 2

Численные результаты по задаче В

tj	Значение функции d(t)
	Точное	Вычисленное при At = 10 4, Ax = 4 ■ 10 2
0,1	0,191	0,192
0,2	0,483	0,483
0,3	0,102	0,102
0,4	0,449	0,449
0,5	0,248	0,247
0,6	0,239	0,239
0,7	0,445	0,445
0,8	0,101	0,101
0,9	0,479	0,479
1,0	0,199	0,199

Результаты численных экспериментов показывают, что искомые функции k(t) и D(t) восстанавливаются с высокой точностью при всех расчетных сетках по времени.

Анализ результатов численного экспериментов свидетельствует, что для повышения точности решений необходимо использовать мелкие шаги разностной сетки.

Заключение. В предложенном вычислительном алгоритме эффект регуляризации обеспечивается за счет выбора разностной сетки по времени.