Численный метод решения обратной задачи об источнике для уравнения конвективного переноса
Автор: Гамзаев Ханлар Мехвали Оглу
Журнал: Вычислительная механика сплошных сред @journal-icmm
Статья в выпуске: 3 т.10, 2017 года.
Бесплатный доступ
Рассматриваются две обратные задачи восстановления функции источника для линейного уравнения конвективного переноса. Первая задача состоит в нахождении источника, зависящего лишь от пространственной переменной, с условием финального переопределения. Вторая задача заключается в нахождении источника, обусловленного только временем, и является обратной задачей с переопределением при дополнительном условии на границе рассматриваемой области. Для решения первой задачи производится дискретизация производной по пространственной переменной, и вследствие этого исходная задача сводится к дифференциально-разностной относительно функций времени. Ее решение предлагается представлять в специальном виде, который позволяет свести исходную задачу при каждом дискретном значении пространственной переменной к двум задачам Коши и линейному уравнению относительно приближенного значения искомой функции источника. Численное решение задач Коши осуществляется с помощью неявного метода Эйлера. Для решения второй задачи производная дискретизируется по времени, и задача становится дифференциально-разностной относительно функций пространственной переменной. Полученная дифференциально-разностная задача разрешается путем специального представления решения. В результате при каждом дискретном значении временной переменной вторая задача распадается на две задачи Коши и линейное уравнение относительно приближенного значения искомой функции источника. Для численного решения задач Коши снова необходимо прибегнуть к неявному методу Эйлера. В предлагаемом подходе, в отличие от метода глобальной регуляризации, используется регуляризационные свойства вычислительного алгоритма, и решение находится последовательно, без применения итерационных процедур. Предложенный метод апробирован в численных экспериментах на модельных задачах.
Неоднородное уравнение конвективного переноса, обратная задача об источнике, финальное переопределение, дифференциально-разностная задача
Короткий адрес: https://sciup.org/14320854
IDR: 14320854 | УДК: 532.546: | DOI: 10.7242/1999-6691/2017.10.3.25
Numerical method of solving an inverse source problem for the convective transfer equation
Two inverse problems are considered for reconstruction of a source for the linear convective transfer equation. The first problem is to find a source that depends only on a spatial variable with final redefinition condition. The second problem consists in finding a source that depends only on time, according to an additional condition on the boundary of the region under consideration. To solve the first problem, we first discretize the derivative with respect to the spatial variable and the problem reduces to a differential-difference problem with respect to functions that depend on the time variable. For solving, we propose a special representation. As a result, the solution of the initial problem on each discrete value of the space variable reduces to solving two Cauchy problems and a linear equation with respect to the approximate value of the required source function for a discrete value of the spatial variable. For the numerical solution of the Cauchy problem, the implicit Euler method is used. To solve the second problem, the time discretization of the derivative is done and the problem reduces to a differential-difference problem with respect to functions that depend on the spatial variable. The resulting differential-difference problem is solved using a special representation. As a result, the solution of the second problem at each discrete value of the time variable reduces to solving two Cauchy problems and a linear equation with respect to the approximate value of the unknown source function with a discrete value of the time variable. To solve the Cauchy problem numerically, the implicit Euler method is again applied. In the proposed method, in contrast to the global regularization method, the regularization properties of the computational algorithm are employed and the solution is determined successively without the use of iterative methods. On the basis of the proposed method, numerical experiments were performed for model problems.
Список литературы Численный метод решения обратной задачи об источнике для уравнения конвективного переноса
- Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: в 2-х т. -М.: Мир, 1990. -Т. 1. -382 с.
- Уизем Дж.Б. Линейные и нелинейные волны. -М.: Мир, 1977. -638 с.
- Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло-и массообмена. -М.: Наука, 1984. -288 с.
- Роуч П. Вычислительная гидродинамика. -М.: Мир, 1980. -618 с.
- Самарский А.А. Теория разностных схем. -М.: Наука, 2004. -614 с.
- Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Разностные схемы для уравнения переноса//Дифференциальные уравнения. -1998. -Т. 34, № 12. -С. 1675-1685.
- Bugai D.A. Locally one-dimensional difference scheme for the convective diffusion equation//Journal of Mathematical Sciences. -1999. -Vol. 72, no. 2. -P. 3021-3024.
- Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. -М.: Наука, 1977. -440 с
- Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1988. -288 с.
- Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. -М.: Изд-во ЛКИ, 2009. -480 с.
- Гамзаев Х.М. О моделировании нестационарного течения нелинейно-вязких жидкостей по трубопроводу//Инженерно-физический журнал. -2015. -Т. 88, № 2. -Р. 464-469.
- Гамзаев Х.М. Численное решение комбинированной обратной задачи для обобщенного уравнения Бюргерса//Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. -2015. -Т. 15, № 4. -С. 35-42.
