Численный метод решения обратной задачи с неизвестными начальными условиями для нелинейного параболического уравнения
Автор: Япарова Наталья Михайловна
Рубрика: Вычислительная математика
Статья в выпуске: 2 т.5, 2016 года.
Бесплатный доступ
В статье рассмотрена обратная задача для нелинейного параболического уравнения с неизвестными начальными условиями. Для решения обратной задачи предложен метод дискретной регуляризации, основанный на использовании конечно-разностных уравнений и применении регуляризирующих функционалов. Построенная вычислительная схема позволяет одновременно найти численное решение внутри рассматриваемой области и неизвестную граничную функцию. В статье проведено исследование устойчивости вычислительной схемы. Выявлено влияние величин шагов дискретизации и погрешности исходных данных на устойчивость численных решений. Предложенная схема послужила основой для разработки численного метода и проведения вычислительного эксперимента. Результаты эксперимента для серии тестовых функций также представлены в данной работе и свидетельствуют о достаточной эффективности предложенного метода дискретной регуляризации.
Обратные задачи, численный метод, метод регуляризации, оценка погрешности, вычислительная схема
Короткий адрес: https://sciup.org/147160591
IDR: 147160591 | УДК: 517.96, | DOI: 10.14529/cmse160204
Numerical method for solving an inverse problem for nonlinear parabolic equation with unknown initial conditions
The paper is devoted to the inverse problem for a nonlinear parabolic equation with unknown initial conditions. A computational scheme for solving this problem is proposed. This approach allows obtain the numerical solution in internal points of domain and the unknown boundary function. The proposed scheme is based on the using of finite-difference equations and regularization technique. We investigate the stability of computational method. We obtained the dependence of stability on the discretization steps and level error of the initial data The proposed scheme proved the basis for development of numerical method and for the computational experiment. The experimental results are also presented in this paper, and confirm the effectiveness of the method.
Список литературы Численный метод решения обратной задачи с неизвестными начальными условиями для нелинейного параболического уравнения
- Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 280 с.
- Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2009. -784 с.
- Прокудина Л.А., Вяткин Г.П. Самоорганизация возмущений в жидких пленках//Доклады Академии наук. 2011. Т. 439, № 4. С. 481-484.
- Булгакова Г.Т., Кондратьева Н.Р. Аналитическая модель вертикального вытеснения нефти водой с учетом вязкостных, гравитационных и капиллярных//Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2012. № 1. С. 208-213.
- Шестаков А.Л. Методы теории автоматического управления в динамических измерениях. Министерство образования и науки Российской Федерации, Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2013. 257 с.
- Мартинсон Л.К., Чигирева О.Ю. Температурное поле цилиндрического тела в режиме периодического разогрева//Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Серия: Естественные науки. 2015. № 3 (60). С. 88-98.
- Dorofeev K.Y., Nikolaeva N.N., Titarenko V.N., Yagola A.G. New approaches to error estimation to Ill-posed problems with application to inverse problems of heat conductivity//Journal of Inverse and Ill-posed problems. 2002. Vol. 10. No 2. P.155-169.
- Танана В.П. Об оценке погрешности метода решения одной обратной задачи для параболического уравнения//Сибирский журнал вычислительной математики. 2010. Т. 13, № 4. С. 451-465.
- Табаринцева Е.В. О решении граничной задачи для параболического уравнения методом вспомогательных граничных условий//Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика. 2011. №32 (249). С. 68-76.
- Танана В.П., Гайнова И.А., Сидикова А.И. Об оценке погрешности приближенного решения одной переопределенной обратной задачи тепловой диагностики//Сибирский журнал индустриальной математики. 2012. Т. XV, № 1. С. 145-154.
- Кабанихин С.И., Шишленин М.А. Прямые и итерационные методы решения обратных и некорректных задач//Сибирские электронные математические известия. 2008. Т. 5. С. 595-608.
- Zhang Y., Lukyanenko D.V., Yagola A.G. Using Lagrange principle for solving two-dimensional integral equation with a positive kernel//Inverse Problems in Science and Engineering. 2015 DOI: 10.1080/17415977.2015.1077445
- Солодуша С.В., Япарова Н.М. Численное решение обратной граничной задачи теплопроводности с помощью уравнений Вольтерра I рода//Сибирский журнал вычислительной математики. 2015. Т. 18, № 3. С. 327-335.
- Дрозин А.Д., Дудоров М.В., Рощин В.Е., Гамов П.А., Менихес Л.Д. Математическая модель образования кристаллических зародышей в переохлажденном расплаве эвтектического сплава//Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика. 2012. № 11 (270). С. 66-77.
- Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. СПб.: Лань. 2009. 608 с.
- Вабищевич П.Н. Монотонные разностные схемы для задач конвекции/диффузии//Дифференциальные уравнения. 1994 Т. 30, №3. С. 503-515.
- Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Изд-во МГУ, 1999. 799 с.
- Камонт З., Кропельницка К. Неявные разностные методы для эволюционных функционально-дифференциальных уравнений//Сибирский журнал вычислительной математики. 2011. Т. 14, № 4. С. 361-379.
- Глазырина О.В., Павлова М.Ф. Исследование сходимости метода конечных элементов для решения параболических уравнений с нелинейным нелокальным пространственным оператором//Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51, №7. С. 876.
- Япарова Н.М. Численный метод решения некоторых обратных задач теплопроводности с неизвестными начальными условиями//Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. 2015. Т. 15, № 2. С. 55-65.
- Япарова Н.М. Метод решения некоторых многомерных обратных граничных задач параболического типа без начальных условий//Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. 2015. Т. 15, № 2. С. 97-108.
- Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. 552 с.
- Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. M.: Наука. 1967. 736 с.
- Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. Изд-во МГУ, 1990. 115 с.
