Численный метод стабилизации решений стохастической динамической системы Вентцеля в круге и на его границе

Пусть Q = { ( r , 0 ) : r e [ 0, R ) , 0 e [ O,2 n ) )} - круг в R ² с границей Г = { ( 0 ) : 0 е [ О,2 п ) } . На компакте О о Г рассмотрим систему из двух уравнений, описывающих процесс фильтрации влаги [1],

(Л -A r ,0,9) Ut = «А r ,0,<ри + ви, и =( t, r ,0), (t, r ,0 )e К хО,(1)

(Л -0)vt = Y^0^v + drU + Jv, v = (t,0), (t,0)e К хГ,(2)

где

Ar,0 = (r-R)?|(R-r)?|+^, A0 =—у, 5R =-r=R .(3)

оr \      '5r J d0        d02

К данной системе присовокупим условие согласования, что гарантирует единственность полученного решения trи = v на КхГ,(4)

и снабдим ее начальными условиями и (0, r ,0 ) = и о (r ,0), v (0,0 ) = vо (0).(5)

Назовем решение задачи (1)–(5) детерминированным решением динамической системы Вентцеля. Если мы заменим u и v , заданные на Ω и Γ соответственно, на стохастические процессы ^ = ^(t) и x = x(t), определенные на интервале (0,г), получим стохастическую динамическую систему Вентцеля, где производная от стохастических процессов ^(t), %(t), понимается как производная Нельсона-Гликлиха [3] от стохастического процесса ^ = ^(t) и X = x( t) соответственно.

Поскольку собственные векторы оператора Лапласа в полярной системе координат содержат специальные функции, здесь символом Ar 0 в (3) обозначен модифицированный оператор Лапласа в О, а в (3) символом А0 обозначен модифицированный оператор Лапласа - Бельтрами на Г. Символом дR обозначена внешняя по отношению к Q нормаль. Параметры а, у, 2, в, д е R характеризуют среду.

Впервые разрешимость стохастического уравнения (1) рассмотрена в [4]. Затем эти исследования были продолжены. Например, в [5] доказано существование решений стохастического эволюционного уравнения, в [6] изучалась начально-конечная задача для стохастического динамического уравнения соболевского типа, [7] посвящен исследованию стохастического уравнения соболевского типа высокого порядка. Задача стабилизации стохастического уравнения (1) впервые решена в [8], в [9] рассматривается вопрос о разрешимости системы Вентцеля для уравнения (1). Настоящая работа посвящена изучению нового подхода к изучению устойчивости решений стохастической динамической системы уравнений Вентцеля в круге и на его границе, а также решению задачи стабилизации для неустойчивых решений этой системы. В частности, используя модифицированный метод Галеркина, авторы получают решение для задачи стабилизации в детерминированном и стохастическом случаях.

Работа помимо введения и списка литературы состоит из двух частей. Первая часть содержит стабилизацию полученного решения для детерминированной и стохастической динамической системы Вентцеля. Вторая часть содержит алгоритм численного решения для указанных моделей, представленных в предыдущем разделе, и результаты вычислительного эксперимента в задачах стабилизации для неоклассической задачи Вентцеля.

Аналитическое решение для задач стабилизации в условиях динамической системы Вентцеля

В данном разделе мы приводим аналитическое исследование для задачи стабилизации в детерминированном и стохастическом случаях, следуя результатам, приведенным в [2].

В частности, ставится следующая задача стабилизации: требуется найти такое управление в области f_u и на границе области f_v , что решения системы

(2-Л r ,0) ut = aЛ r ,0u + fin + fu, u = u (t, r ,0), (t, r ,0) е R xQ,(6)

(2-Л0) vt = уЛ0v + д Ru + dv + fv, v = v (t ,0), (t ,0 )е R хГ,(7)

tru = v на RхГ будут экспоненциально устойчивы. Управление fu и fv будем искать с помощью контура обратной связи

f u = Bu , f v = Bv ,

где B – линейный оператор. Обозначим через n номер максимально значения в - ak2

2 + k ²

2 <- k ²

Оператор B можно представить в виде

B = | o , 2>- k ²;

8 - в + an )1,2 <- k .

Тогда решение системы (1)–(5), замкнутой контуром обратной связи (17), имеет вид

m

^u ( t ) = ^u 1 ( t ) ⁺ E t exp k = 2 V

£ + a n - a k ² ^ ( R - r ) ^k 2 + k ² J 2 R^k

(ak cos k0 + bk sin k0) + m -1      (

+Et exp k=1       v

£ + a n - a k

2 + k ²     ,

( C k cos k 0 + d k sin k 0 )

и экспоненциально устойчиво. Справедлива следующая теорема.

^в ,2

Теорема 1. Пусть a = у, в = д, -2 * k , — * k , a,в е R + ■ Если a > в, 2 < -1, тогда при a любых u0 е A(Q), v0 е A(Г) решение системы (6)-(8), замкнутое обратной связью (9), где оператор B имеет вид (10), экспоненциально устойчиво.

Гончаров Н.С., Китаева О.Г.,                         Численный метод стабилизации решений

Свиридюк Г.А.                          стохастической динамической системы Вентцеля…

Пусть U = {u е W2 (Q)© w2 (Г): dRu = o}, F = L2 (Q)© L2 (Г). Следуя [2] построим пространства случайных K -величин. Случайные K -величины %, хе UKL2 имеют вид да                         да

% = ?М к Ф к , X = 14 X/ k ,                     (12)

k = 1                    k = 1

где { ф к } - семейство собственных функций модифицированного оператора Лапласа - Бельтрами A r, _в е L ( U ; F ) ортонормированных в смысле скалярного произведения {• , •) из L ₂ ( Q ) ; { / _k } -семейство собственных функций модифицированного оператора Лапласа–Бельтрами A₀ е L ( U ; F ) ортонормированных в смысле скалярного произведения {• , •) из L ₂ ( Г ) .

Рассмотрим стохастическую систему Вентцеля

(Л-A г ,в) % (t ) = aA r Д t) + в%( t), t е(0,т), %eQ,(13)

(Л — Ae) X (t ) = yAex( t ) + 5r%( t) + 3x( t), t e( 0,т), хеГ .(14)

К данной системе присовокупим условие согласования, что гарантирует единственность полученного решения tr %(t ) = X( t),(15)

и снабдим ее начальными условиями

% (0) = %o, x( 0) = Xo-(16)

в ,₂

Пусть коэффициенты a = у, в = 3, - Л ^ k , —^ k , a, в е R + , a > в , Л<-1. Поставим a следующую задачу стабилизации для системы (13)–(16). Требуется найти такое управление в области п% и на границе области пх , что решения системы

(Л-Ar,в )£(t ) = aAr ,в% (t) + в% (t) + П%, t e(0,r), ^Q,(17)

(Л-Ar ,,)%(t ) = aAr ,e% (t) + в% (t) + n%, t e(0,t ), £eQ,(18)

tr (t)t) = x(t)

будут экспоненциально устойчивы. Управление п % и п_х будем искать с помощью контура обратной связи

П% = B%, Xx = BX,(20)

где B – линейный оператор.

Поскольку все рассуждения и оценки аналогичны детерминированному случаю, имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Пусть a = у, в = 3, - Л ^ k2, в ^ k2, a, ве R +. Если ak2 > в, Л<-1, тогда a при любых %0 е UKL2 (Q) и x0 е UKL2 (Г) решение системы (17)-(19), замкнутое обратной связью (20), где оператор B имеет вид (10), экспоненциально устойчиво.

Алгоритм численного решения задачи стабилизации динамической системы Вентцеля

В данном разделе описывается алгоритм численного решения и стабилизации стохастической динамической системы Вентцеля (1)–(5) , моделирующей фильтрацию жидкости в круге и на его границе. Выбор численного метода обусловлен возможной неустойчивостью решений при определенных значениях параметров системы.

Рассмотрим модифицированный метод Галеркина, позволяющий построить приближенное решение системы. Пусть {%.(r,0)}k=1 - семейство собственых функций модифицированного оператора Лапласа-Бельтрами Are в круге Q, а {/k (0)|k=1 - семейство собственых функций оператора Лапласа-Бельтрами А 0 на границе Г. Эти функции ортонормированы в смысле скалярных произведений пространств A(Я) и A(Г) соответственно. Собственные значения оператора Лапласа имеют вид ^k = - к2.

Приближенное решение задачи (1)–(5) ищется в виде конечных разложений по базисным функциям

NN

к = 1                                   к = 1

Подставляя (21) в уравнения (1)–(5) и проектируя на соответствующие базисные функции, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов а _к ( t ) и ^Ь к ⁽ t )

(Л + к 2) а'к (t ) = ( в - ак 2) ак (t), к = 1, ..., N.

Решение системы (22) имеет вид

ак (t) = ак (0) exp

в - а к ² ^ ,

-I t ’ ^к = 1

^ л + к 7

, ..., N .

Начальные значения коэффициентов определяются из условий (5) путем проектирования ^а к ( 0 ) = u 0 ’ ^ кА ( Я ) ’ ^Ь к ( 0 ) = v 0 ’ ^ кА ( Г ) ’ ^к = 1’•••’ ^N •                            ⁽²⁴⁾

Для анализа устойчивости решения вычисляется относительный спектр в — а к ² , ,

^ к =       -2 ’ ^к = 1’ " ’’ ^N •

Л + к

Знак величины ^ _к определяет характер поведения соотвествующей моды: при ^ _к <  0 мода экспоненциально затухает (устойчивая), при ц _к >  0 мода экспоненциально возрастает (неустойчивая).

В случае обнаружения неустойчивых мод применяется процедура стабилизаци, для этого к исходному уравнению добавляется стабилизирующее слагаемое, соответствующее обратной связи вида (9). Пусть nm = argmax Ак k

– номер максимальной неустойчивой моды. Тогда стабилирующее воздействие имеет вид Ust ab ⁼ ( ^£ + в — ^а Л ( Л + n m ) ) и и гарантирует экспоненциальное затухание всех мод решения.

После применения стабилизации коэффициенты разложения принимают вид ак (t) = ак (0)exP

в - ак2 + £ + р - anm, ( Л + nm, ) л+к2

\

^

t ’ к = 1

7

’ " ’ N ’

где выбор параметра £ гарантирует отрицательность показателей экспонент для всех к. Ниже (см. рис. 1) приведена блок-схема численного решения и стабилизации для рассматриваемой системы.

Ниже рассмотрим вычислительный эксперимент. Для простоты пусть Я = { ( r’ 0 ) : r е [ 0_;5 ) ’ 0 е [ 0’2 п ) )} - круг в R ² с границей Г = { ( 0 ) : 0 е [ 0’2 п ) } . На компакте Я и Г рассмотрим систему из двух уравнений, описывающих процесс фильтрации влаги:

(-2-Аrл,)I(t) = 5Аr^+4{. tе(0.г). ^Я.

(-2-А1,)/(t ) = 5Аа^Х + д r£ + 4/• t е( tU) • X еГ.

Гончаров Н.С., Китаева О.Г., Свиридюк Г.А.

Рис. 1. Блок-схема алгоритма численного решения и стабилизации динамической системы Вентцеля

Выбор данных параметров α , β , λ обусловлен тем, согласно теореме (см. работу [2]) при α > β > 0 и λ < - 1 решение системы является неустойчивым. Это позволяет наглядно продемонстрировать работу процедуры стабилизации. В частности, на рис. 2 показано поведение коэффициентов a _k ( t ) для неустойчивого (красные линии) и стабилизированного (зеленые пунктирные линии) решений. Видно, что в неустойчивом случае коэффициенты a ₄ ( t ) и a ₅ ( t ) экспоненциально возрастают, тогда как после применения стабилизации все коэффициенты стремятся к нулю.

На рис. 3 представлены сечения решений ξ ( t ) в области и на границе. В частности, левый график демонстрирует неустойчивое поведение – амплитуда неограничено растет вследствие

наличия мод; правый график показывает стабилизированное решение после применения

обратной связи (все моды становятся устойчивыми, а амплитуды экспоненциально затухают с течением времени).

Рис. 2. Динамика коэффициентов разложения

Рис. 3. 2D-сечения решений при различных t

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда 25-21-20017,