Численный подход к оценке погрешности некорректных задач

Во многих областях естествознания приходится сталкиваться с задачами, которые в математике принято называть некорректными. Основы теории исследования и методов решения таких задач были разработаны в трудах академиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева и член-корр. РАН В.К. Иванова. Развитие вычислительной техники стимулировало интерес к некорректным задачам. В настоящее время практически во всех разделах математики (включая алгебру, математический анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику, функциональный анализ, вычислительную математику и т. д.), в физике, геофизике, медицине, астрономии и многих других областях знаний, в которых применимы математические методы исследований, изучаются такие задачи.

При решении некорректно поставленных задач важную роль играет оценка погрешности приближенного решения. Эта оценка позволяет судить о степени достоверности этого решения. До последнего времени при оценке погрешности приближенного решения использовался модуль непрерывности обратного оператора [1], который не только позволял получить эту оценку, но и доказать ее точность [2], а также оптимальность, используемого метода [2].

Заметим, что к настоящему времени модуль непрерывности обратного оператора достаточно хорошо исследован [3]. Одной из слабых сторон модуля непрерывности [2], является то, что при его вычислении требуется коммутируемость операторов, используемых в задаче. Этот факт значительно сужает класс задач, к которым применим модуль непрерывности.

В настоящей статье предложен численный алгоритм для оценки решения некорректной задачи. Предложенный в работе подход позволяет значительно расширить класс задач, к которым он применим, а также получить точность оценки, не уступающую той, которая могла бы быть получена с помощью модуля непрерывности обратного оператора.

Постановка задачи

Пусть U , F и V – гильбертовы пространства, A - инъективный линейный ограниченный оператор, отображающий пространство U в F , а B - линейный вполне непрерывный оператор, отображающий V в U .

Рассмотрим операторное уравнение

Au = f ,    u G U , f G F .                                                            (1)

Предложим, что при f = f) существует точное решение u0 уравнения (1) и u0 g Mr, где Mr = BSr, а Sr = {v: v g V,  ||v|< r}, но f0 не известен, а вместо него даны f5 g F и 8> 0 та кие, что f0- f)| |<5.

Требуется по f ₅ , 8 и M_r определить приближенное решение u ₅ уравнения (1) и оценить уклонение || u 8- u о|| приближенного решения u ₈ от точного u q .

Метод невязки

Метод невязки приближенного решения уравнения (1), следуя работам [4–6], заключается в сведении этого уравнения к вариационной задаче inf {|v|2: v G V, Cv - f5||<8},                                                                   (2)

где C = AB .

Из [6] следует существование и единственность решения задачи (2). Решение этой задачи обозначим через v8. Тогда приближенное решение u8 уравнения (1) определим формулой u 8= Bv5.                                                                                         (3)

Теперь перейдем к оценке погрешности || u ₈ - u ₀|| .

Известно [7], что

||u8 - uо||< 2Ю(8, r), где ®(8, r) = sup {I|u|| : u g Mr, ||Au||<8}.

Введем функцию у ( 8 , r , u ₈ ) формулой

• Y ^{( 8 ,} Г , u 8 ) = sup {I u 8^{- Bv} || ^: || ^v з||<| I v ll <  ^r , C^{v - f} >||<⁸} .                                                ⁽⁴⁾

Из (3) следует, что

IIu8- u0I|

Так как множество {Bv : ||v8|| < ||v|| < r} компактно, то для любого 8 > 0 существует конечная

• 8 -сеть {u1,u2,...,un} этого компакта.

Таким образом, yn(8,r,u₈) = max{||ui -u₈||: i = 1,2,...,n}, а {u1,u2,...,un} - 8 -сеть компакта

{^Bv:llvз|1<1 Ivll < ^r}.

Заключение

В работе предложен численный подход к получению оценки погрешности приближенного решения операторного уравнения первого рода, полученного методом невязки. Показано, что эта оценка погрешности не хуже оценки, использующей модуль непрерывности обратного оператора.