Числовые характеристики инвариантной меры критических гомеоморфизмов окружности

Естественным обобщением диффеоморфизмов окружности являются гладкие гомеоморфизмы с одной критической точкой x = xcr' Класс таких гомеоморфизмов был изучен вначале 1980-годов в связи проблемой перехода в хаос в одномерных динамических системах (см. напр. Ж. Йоккоз показал, что произвольный аналитический критический гомеоморфизм f с иррациональным числом вращения Р Pf f (x) = x + p (mod 1), топологически эквивалентен линейному повороту p

^^о f = Л °Ф- т.е. существует гомеоморфизм ^ , такой, что         ^p

Определение 1. Пусть f гомеоморфизм окружности класса C3, с одной критической точкой x° xcr - Точка xcr- называется критической точкой порядка три, если f (x°) = f (xo) = 0, и f (xo) = °-

Примерами критических гомеоморфизмов окружности являются

0   „ f (x) = x +--sin 2n x, отображения семейства Арнольда:           2n       (mo )    [ ’ ]-

Грачек и Свентек [6] показали, что для критических C 3 - гомеоморфизмов окружности с одной кубической критической точкой и с иррациональным p = Р,    ___ „   ___А числом вращения      f инвариантная мера f является сингулярной относительно меры

, такое, что гомеоморфизмы ^{f 1}

Лебега ^Я т.е. существует измеримое подмножество ^ . ( A) = 1     Я Л ) = 0.

f       и           Рассмотрим два критические и f1 с тем же иррациональным числом вращения p p(fi) p(f2), и с одной кубической критической точкой x° xcr-Вопрос о регулярности сопряжения V между f1 и f■ называется проблемой "жесткости". Это проблема изучалось в работах де Мело и де Фариа [9], К. Ханина и А. Теплинского [8] и др.

Теорема 1. (см. [8]). Пусть f1 и f2 аналитические, критические гомеоморфизмы окружности с одной кубической критической точкой x°  xcr   и тем же иррациональным числом "ограниченного типа"

^Р = ^{p (} f ¹) = ^{p ( f} !^)- Тогда сопрягающий гомеоморфизм ^V между f ¹ и f ²

принадлежит классу C , где ^а - зависит только от числа вращения ^р -

Определим два числовые характеристики сингулярной инвариантной меры Pf (см. [6]):

ln P f ([ x , x + £ ])                   In P f ([ x , x + £ ])

т ( x ) = lim ini----------------,   т ( x ) = lim sup----------------

^£ >^{+ 0}           In £                   ^£ > ^{+ 0}           ln £

Функции ^{т (} x ) и ^{Т (} x ) являются инвариантными относительно f ‘

Отсюда, а также из эргодичности f относительно мер ^f и Л [6] следует, что обе эти функции являются почти постоянными и по мере Pf, и по мере Л. Эти постоянные обозначим Т (р), т(р) и Т (Л), т(Л), соответственно. Грачек и Святек [6] показали, что для кубических критических гомеоморфизмов окружности с иррациональным числом вращения "ограниченного типа"(т.е. последовательность элементов разложения pf в непрерывную дробь ограничена) справедливы неравенства

1 < т(Л) < Т(Л) < +да, 0 < т(р) < Т(р) < 1,

Другой важной характеристикой сингулярной инвариантной мере

Р  Pf является хаусдорфова размерность HD(р)    (точная грань размерностей множеств "полной"меры µf ). Известная лемма Фростмана утверждает, что хаусдорфова размерность HD(р) совпадает с т(р)‘ В силу (1.1) 0 < HD(р) <1 ’ Результат настоящей работы дополняет результат работы Грачека и Свентека [6].

Теперь сформулируем основной результат нашей работы.

Теорема 2. Пусть f - вещественно-аналитический гомеоморфизм с одной кубической критической точкой xc'  Пусть l и k натуральные числа. Предположим, что число вращение Pf иррациональное и ее раз- ложение в непрерывную дробь имеет вид:

pf = [ m, m 2

^m i , ^m i + i

,], где

m s   k ^, для всех s >  l • Пусть ^ f вероятностная f - инвариантная мера.

Тогда для почти всех конечный предел

x по мере Лебега ² (и по мере ^ f ) существует

1П ^ _f ([ x , x + £ ] lim-------------- = т ( т „)

г •+■        In s            2 A и его значение не зависит от x Кроме того, константы тл и Т^ зависят

Pf • только от числа вращения f

Используя оценки (1.1) получаем:

• 1    < т, < 1 < т„ < +».

• ^{2     А}      Отметим что для

критических отображений окружности с числом вращение равным

_5- -1 P золотому сечению      2 аналогичный результат был получен в работе

• А. Джалилова [4].