Циклические элементарные сети
Автор: Джусоева Нонна Анатольевна, Дряева Роксана Юрьевна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.19, 2017 года.
Бесплатный доступ
Доказано, что циклические элементарные сети нечетного порядка являются дополняемыми, т. е. их можно дополнить диагональю до (полной) сети. В частности такие сети являются замкнутыми. Показано, что для произвольного четного порядка существуют элементарные циклические сети, которые не являются дополняемыми.
Промежуточная подгруппа, нерасщепимый максимальный тор, сеть, циклическая сеть, сетевая группа, элементарная сетевая группа, трансвекция
Короткий адрес: https://sciup.org/14318561
IDR: 14318561
Текст научной статьи Циклические элементарные сети
Изучение надгрупп нерасщепимого максимального тора, связанного с радикальным расширением K = k( nd) степени n поля k, тесно связанно с циклическими элементарными сетями порядка n, ассоциированными с промежуточными подгруппами [1]- Исследованию таких сетей посвящена, данная заметка. Доказано, что циклические элементарные сети нечетного порядка n можно дополнить до (полной) сети, в частности, они являются замкнутыми.
Пусть R — произвольное коммутативное кольцо с единицей, n — натуральное число. Система ст = (CTij ). 1 6 i, j 6 n, аддитивных подгрупп кольца R называется сетью [2] над кольцом R порядка n. если CTirCTrj С CTij при всех зиачепнях индексов г. r. j. Для сети принята, также терминология «ковер» [3]. Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью (элементарный ковер [4], [5, вопрос 15.46]). Таким образом, элементарная сеть — это набор ст = (CTij ), 1 6 i = j 6 n, аддитивных подгрупп кольца R таких, что CTir CTrj С CTij для любой тройки попарио различных чисел г. r. j. Элементарная сеть ct = (CTij ), 1 6 i = j 6 n, называется дополняемой, если для некоторых аддитивных подгрупп CTii кольпа R таблица. (е диагональю) ст = (CTij ). 1 6 i, j 6 n является (полной) сетью. Другими словами, элементарная сеть ст является дополняемой, если ее можно дополнить (диагональю) до (полной) сети.
Известно (см., например, [2]), что элементарная сеть ст = (CTij ) является дополняемой тогда, и только тогда, когда.
CTij CTjiCTij С CTij (1)
для любых i = j. Диагональные подгруппы CTii определяются формулой
CTii = ^CTkiCTik, k6=i где суммирование ведется по всем k отличным от г.
1 Работа выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки России и темы НИР ЮМИ ВИЦ РАН (per. номер НИОКР 115033020013).
Элементарная сеть ст называется замкнутой (или допустимой [5, вопрос 15.46]), если элементарная группа
E (ст) = htij (а) : а Е Cтij, 1 6 i = j 6 n
(tij ( а ) = e + ав^, а Е R) не содержит новых элементарных трансвекций. Другими сло вами. замкнутость сети ст означает, что элементарная сеть CT = ( CT ij ). индуцированная трансвекциями из элементарной группы Е(ст)
CTij = {а Е R : tij (а) Е Е(ст)} совпадает с ст. Из построения сетевой группы [2] следует, что дополняемые элементарные сети являются замкнутыми. С другой стороны, в [6] приводится пример замкнутой, но не дополняемой сети.
Пусть R — унитальное кольцо d Е R. Пусть, далее. Ak,...,A n — подгруппы адди тивной группы кольца R. Через ст = (стij ) = ст(А2, ..., An) мы обозначаем таблицу (без диагонали), определенную следующим образом:
Г Ai+1-j, j < i;
dA n + i +1 - j , j > i.
Если так определенная таблица является элементарной сетью, то ст = (стij ) = ст(Ak,..., An) мы называем циклической элементарной сетью, ассоциированной с циклическим тором тором T [1], или просто циклической элементарной сетью. Вопросы, связанные с сетями, в частности с циклическими сетями, рассматривались также в [7]-[Ю].
Теорема. Для нечетного n, n > 3, циклическая элементарная сеть ст = (стij ) = ст(Ak,..., An) поре едка n является дополняемой.
Доказательство теоремы основано на следующей лемме.
Лемма. Пусть n нечетно, n > 3 ист = (стij) — циклическая элементарная сеть. Тогда к^стПк С отк1, п2..стк1 С ст1к, 2 6 к 6 n.
-
<1 а) Покажем первое вк.тючепне леммы. Пусть в начале 3 6 к 6 n - 1- Согласно (2) стк1 = стк+1,2 = Ак- Далее, за метим, что к + 1 = n — к + 3, так как n нечетно, в частности к = n+2- Заметим также, что n — к + 3 6 n, так как к > 3. Далее, со гласно (2) ст^1ст1к = АкdAn-д+к- С другой стороны. согласно (2) ст2—_к+з = dA^ стп—к+з,2 = An—к+к- Поэтому
стк1ст1к = Ак dAn-к+2 = стк +1 , к ст 2 ,п-к +3 стп-к +3 , к С стк +1 , 2 = стк 1 .
Пусть теперь к = 2 (n > 3). Тогда (ем. (2))
ст 21 ст 1к = A 2 dAn = ст зк ст к1 ст 1к с ст з1 ст 1к с ст 32 = 221-
Наконец, пусть к = n (n > 3). Тогда (см. (2))
стП 1 ст 1 п = AndAk = стп 1 ст 12 ст 21 С стп к ст 21 С стп 1 .
-
Ь) Покажем теперь второе включение леммы. Имеем (см. (1))
стк 1 = Ak, ст1к = dAn—к +2 , стп+к-к,1 — An +k -к,
Джусоева Н. А., Дряева Р. Ю.
при этом отметим, что к — n — к + 2 (так как n нечетно). Поэтому
CT k1 CT 2k = A k d2A n+2—k — dAkCTn+2—k,1CT1k C dA k ^ n+2-k,k
— dCT n+2-k,k CT k1 C dCTn+2-k,1 = dAn+2-k = CT1k' ▻
C ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ. Для доказательства теоремы согласно (1) нам нужно показать включения
CTij^ji — ^ij ’ ^ji^ij C CTji' (4)
Не умаляя общности предположим, что i > j. Согласно (2)
CTij — CTi— j+1,1 — Ai—j+1, стji — CT 1,i—j+1 — dAn+1+j—i.
Положим к — i — j + 1. To гда CTij — Стк1. CTji — стщ. Заметим пр и этом, что 2 6 к 6 n. Следовательно, для доказательства включений (4) достаточно применить лемму, т. е. включения (3). B
Отметим, что условие нечетности n, требуемое в теореме, существенно. Приведем пример элементарной циклической сети четного порядка, которая не дополняема.
Пусть F - произвольное поле. F(x) — поле рациональных функций g. f,g Е F[x]. в котором мы рассматриваем две подгруппы f Е F(x) : deg g — deg f > 41, B — — + A. gx
Пусть n — 2m — иетио (m > 1). d — 1. Пож)жим Ai — A. 2 6 i 6 n. i — m + 1. A m +i — B и рассмотрим таблицу ст — ct ( a2, ..., A n ). В силу оиевид!ibix включений A2 C B. AB C A система ст — ct ( a2 , ...,An) является сетью. Заметим, что ст1,т+1 — стт+1,1 — B, но B 3 не содержится в B, поэтому ст1,т+1 стт+1,1ст1,т+1 не содержится в ст1,т+1, следовательно (см. (1)), представленная сеть ст не является дополняемой.
Следствие. Циклическая элементарная сеть нечетного порядка, является замкнутой.
Список литературы Циклические элементарные сети
- Койбаев В. А., Шилов А. В. О подгруппах полной линейной группы, содержащих нерасщепимый максимальный тор//Зап. науч. семинаров ПОМИ. 2010. Т. 375. С. 130-139.
- Боревич З. И. О подгруппах линейных групп, богатых трансвекциями//Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1978. T. 75. C. 22-31.
- Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982. 288 с.
- Левчук В. М. Замечание к теореме Л. Диксона//Алгебра и логика. 1983. Т. 22, № 5. С. 504-517.
- Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Изд-е 17-е. Новосибирск, 2010.
- Койбаев В. А. Элементарные сети в линейных группах//Труды Института математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 4. С. 134-141.
- Койбаев В. А. Трансвекции в подгруппах полной линейной группы, содержащих нерасщепимый тор//Алгебра и анализ. 2009. Т. 21, № 5. С. 70-86.
- Койбаев В. А. Сети, ассоциированные с элементарными сетями//Владикавк. мат. журн. 2010. Т. 12, вып. 4. С. 39-43.
- Койбаев В. А., Нужин Я. Н. Подгруппы групп Шевалле и кольца Ли, определяемые набором аддитивных подгрупп основного кольца//Фундамент. и прикл. матем. 2013. Т. 18, вып. 1. С. 75-84.
- Дряева Р. Ю., Койбаев В. А. Разложение элементарной трансвекции в элементарной группе//Зап. науч. семинаров ПОМИ. 2015. Т. 435. С. 33-40.