Циклические элементарные сети

Изучение надгрупп нерасщепимого максимального тора, связанного с радикальным расширением K = k( nd) степени n поля k, тесно связанно с циклическими элементарными сетями порядка n, ассоциированными с промежуточными подгруппами [1]- Исследованию таких сетей посвящена, данная заметка. Доказано, что циклические элементарные сети нечетного порядка n можно дополнить до (полной) сети, в частности, они являются замкнутыми.

Пусть R — произвольное коммутативное кольцо с единицей, n — натуральное число. Система ст = (CTij ). 1 6 i, j 6 n, аддитивных подгрупп кольца R называется сетью [2] над кольцом R порядка n. если CTirCTrj С CTij при всех зиачепнях индексов г. r. j. Для сети принята, также терминология «ковер» [3]. Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью (элементарный ковер [4], [5, вопрос 15.46]). Таким образом, элементарная сеть — это набор ст = (CTij ), 1 6 i = j 6 n, аддитивных подгрупп кольца R таких, что CTir CTrj С CTij для любой тройки попарио различных чисел г. r. j. Элементарная сеть ct = (CTij ), 1 6 i = j 6 n, называется дополняемой, если для некоторых аддитивных подгрупп CTii кольпа R таблица. (е диагональю) ст = (CTij ). 1 6 i, j 6 n является (полной) сетью. Другими словами, элементарная сеть ст является дополняемой, если ее можно дополнить (диагональю) до (полной) сети.

Известно (см., например, [2]), что элементарная сеть ст = (CTij ) является дополняемой тогда, и только тогда, когда.

^CTij ^CTji^CTij С ^CTij                                                   (1)

для любых i = j. Диагональные подгруппы CTii определяются формулой

CTii = ^CTkiCTik, k6=i где суммирование ведется по всем k отличным от г.

1 Работа выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки России и темы НИР ЮМИ ВИЦ РАН (per. номер НИОКР 115033020013).

Элементарная сеть ст называется замкнутой (или допустимой [5, вопрос 15.46]), если элементарная группа

E (ст) = htij (а) : а Е Cтij, 1 6 i = j 6 n

(tij ( а ) = e + ав^, а Е R) не содержит новых элементарных трансвекций. Другими сло вами. замкнутость сети ст означает, что элементарная сеть CT = ( CT ij ). индуцированная трансвекциями из элементарной группы Е(ст)

CTij = {а Е R : tij (а) Е Е(ст)} совпадает с ст. Из построения сетевой группы [2] следует, что дополняемые элементарные сети являются замкнутыми. С другой стороны, в [6] приводится пример замкнутой, но не дополняемой сети.

Пусть R — унитальное кольцо d Е R. Пусть, далее. A_k,...,A n — подгруппы адди тивной группы кольца R. Через ст = (ст_ij ) = ст(А2, ..., An) мы обозначаем таблицу (без диагонали), определенную следующим образом:

Г Ai+1-j,      j < i;

dA n + i +1 - j ^, j ^> i^.

Если так определенная таблица является элементарной сетью, то ст = (ст_ij ) = ст(Ak,..., An) мы называем циклической элементарной сетью, ассоциированной с циклическим тором тором T [1], или просто циклической элементарной сетью. Вопросы, связанные с сетями, в частности с циклическими сетями, рассматривались также в [7]-[Ю].

Теорема. Для нечетного n, n >  3, циклическая элементарная сеть ст = (ст_ij ) = ст(A_k,..., An) поре едка n является дополняемой.

Доказательство теоремы основано на следующей лемме.

Лемма. Пусть n нечетно, n > 3 ист = (стij) — циклическая элементарная сеть. Тогда к^стПк С отк1,   п2..стк1 С ст1к,   2 6 к 6 n.

• <1 а) Покажем первое вк.тючепне леммы. Пусть в начале 3 6 к 6 n - 1- Согласно (2) стк1 = стк+1,2 = Ак- Далее, за метим, что к + 1 = n — к + 3, так как n нечетно, в частности к = n+2- Заметим также, что n — к + 3 6 n, так как к >  3. Далее, со гласно (2) ст^1ст1к = АкdAn-д+к- С другой стороны. согласно (2) ст₂—_к+з = dA^ стп—к+з,2 = An—к+к- Поэтому

стк1ст1к = Ак dAn-к+2 = ^стк +1 , к ^ст 2 ,п-к +3 ^стп-к +3 , к ^{С ст}к +1 , 2 = ^стк 1 .

Пусть теперь к = 2 (n > 3). Тогда (ем. (2))

^ст 21 ^ст 1к = ^A 2 d^An = ^ст зк ^ст к1 ^ст 1к ^{с ст} з1 ^ст 1к ^{с ст} 32 = 221-

Наконец, пусть к = n (n >  3). Тогда (см. (2))

^стП 1 ^ст 1 п = AndAk = ^стп 1 ^ст 12 ^ст 21 ^{С ст}п к ^ст 21 ^{С ст}п 1 .

• Ь) Покажем теперь второе включение леммы. Имеем (см. (1))

^стк 1 = ^Ak, ^ст1к = ^dAn—к +2 , ^стп+к-к,1 — ^An +k -к,

Джусоева Н. А., Дряева Р. Ю.

при этом отметим, что к — n — к + 2 (так как n нечетно). Поэтому

^CT k1 ^CT 2k = A k d²A n+2—k ^— dAk^CTn+2—k,1^CT1k ^C dA k ^ n+2-k,k

— d^CT n+2-k,k ^CT k1 ^C dCTn+2-k,1 = dAn+2-k = ^CT1k' ▻

C ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ. Для доказательства теоремы согласно (1) нам нужно показать включения

^CTij^ji — ^ij ’ ^ji^ij ^{C CT}ji'                                       ⁽⁴⁾

Не умаляя общности предположим, что i >  j. Согласно (2)

^CTij — ^CTi— j+1,1 — Ai—j+1, ^стji — ^CT 1,i—j+1 — ^dAn+1+j—i^.

Положим к — i — j + 1. To гда CTij — Стк1. CTji — стщ. Заметим пр и этом, что 2 6 к 6 n. Следовательно, для доказательства включений (4) достаточно применить лемму, т. е. включения (3). B

Отметим, что условие нечетности n, требуемое в теореме, существенно. Приведем пример элементарной циклической сети четного порядка, которая не дополняема.

Пусть F - произвольное поле. F(x) — поле рациональных функций g. f,g Е F[x]. в котором мы рассматриваем две подгруппы f Е F(x) : deg g — deg f > 41, B — — + A. gx

Пусть n — 2m — иетио (m > 1). d — 1. Пож)жим Ai — A. 2 6 i 6 n. i — m + 1. A m +i — B и рассмотрим таблицу ст — ct ( a₂, ..., A n ). В силу оиевид!ibix включений A² C B. AB C A система ст — ct ( a₂ , ...,A_n) является сетью. Заметим, что ст1,_т+1 — ст_т+1,1 — B, но B ³ не содержится в B, поэтому ст1,_т+1 ст_т+1,₁ст₁,_т+1 не содержится в ст₁,_т+1, следовательно (см. (1)), представленная сеть ст не является дополняемой.

Следствие. Циклическая элементарная сеть нечетного порядка, является замкнутой.